Preguntas Motivadoras
- ¿Qué es una serie de potencias?
- ¿Cuáles son algunos usos importantes de las series de potencias?
- ¿Cuál es la conexión entre las series de potencias y las series de Taylor?
Section 8.6 Series de Potencias
Hemos notado en nuestro trabajo con polinomios de Taylor y series de Taylor que las funciones polinómicas son las funciones más simples posibles en matemáticas, en parte porque solo requieren suma y multiplicación para evaluarse. Desde el punto de vista del cálculo, los polinomios son especialmente agradables: podemos diferenciar o integrar fácilmente cualquier polinomio. A la luz de nuestro trabajo en Sección 8.5, ahora sabemos que varios no polinomios importantes tienen expansiones similares a polinomios. Por ejemplo, para cualquier número real \(x\text{,}\)
\begin{equation*}
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots\text{.}
\end{equation*}
Hay dos escenarios donde surgen otras series como la de \(e^x\text{:}\) se nos puede dar una expresión como
\begin{equation*}
1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots
\end{equation*}
y buscamos los valores de \(x\) para los cuales la expresión tiene sentido. O podemos estar tratando de encontrar una función desconocida \(f\) que tenga la expresión
\begin{equation*}
f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k + \cdots\text{,}
\end{equation*}
y tratamos de determinar los valores de las constantes \(a_0\text{,}\) \(a_1\text{,}\) \(\ldots\text{.}\) La última situación se explora en Actividad de Vista Previa 8.6.1.
Actividad Introductoria 8.6.1.
En el Capítulo 7, aprendimos algunas de las muchas aplicaciones importantes de las ecuaciones diferenciales, y aprendimos algunos enfoques para resolverlas o analizarlas. Aquí, consideramos un enfoque importante que nos permitirá resolver una variedad más amplia de ecuaciones diferenciales.
Consideremos la ecuación diferencial familiar del crecimiento exponencial de la población dada por
\begin{equation}
y' = ky\text{,}\tag{8.6.1}
\end{equation}
donde \(k\) es la constante de proporcionalidad. Aunque podemos resolver esta ecuación diferencial usando métodos que ya hemos aprendido, ahora tomamos un enfoque diferente que se puede aplicar a un conjunto mucho más grande de ecuaciones diferenciales. Para el resto de esta actividad, supongamos que \(k=1\text{.}\) Usaremos nuestro conocimiento de series de Taylor para encontrar una solución a la ecuación diferencial (8.6.1).
Para hacerlo, asumimos que tenemos una solución \(y=f(x)\) y que \(f(x)\) tiene una serie de Taylor que se puede escribir en la forma
\begin{equation*}
y = f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{,}
\end{equation*}
donde los coeficientes \(a_k\) son indeterminados. Nuestra tarea es encontrar los coeficientes.
- Supón que podemos diferenciar una serie de potencias término a término. Al tomar la derivada de \(f(x)\) con respecto a \(x\) y sustituir el resultado en la ecuación diferencial (8.6.1), muestra que la ecuación\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{k} \end{equation*}debe ser satisfecha para que \(f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\) sea una solución de la ED.
- Dos series son iguales si y solo si tienen los mismos coeficientes en términos de igual potencia. Usa este hecho para encontrar una relación entre \(a_1\) y \(a_0\text{.}\)
- Ahora escribe \(a_2\) en términos de \(a_1\text{.}\) Luego escribe \(a_2\) en términos de \(a_0\text{.}\)
- Escribe \(a_3\) en términos de \(a_2\text{.}\) Luego escribe \(a_3\) en términos de \(a_0\text{.}\)
- Escribe \(a_4\) en términos de \(a_3\text{.}\) Luego escribe \(a_4\) en términos de \(a_0\text{.}\)
- Observa que hay un patrón en (b)-(e). Encuentra una fórmula general para \(a_k\) en términos de \(a_0\text{.}\)
- Escribe la expansión en serie para \(y\) usando solo el coeficiente desconocido \(a_0\text{.}\) A partir de esto, determina qué funciones familiares satisfacen la ecuación diferencial (8.6.1). (Consejo: Compara con una serie de Taylor familiar.)
Subsection 8.6.1 Series de Potencias
Como muestra la Actividad de Vista Previa 8.6.1, puede ser útil tratar una función desconocida como si tuviera una serie de Taylor, y luego determinar los coeficientes a partir de otra información. En otras palabras, definimos una función como una serie infinita de potencias de \(x\) y luego determinamos los coeficientes basándonos en algo más que una fórmula para la función. Este método nos permite aproximar soluciones a muchos tipos diferentes de ecuaciones diferenciales, incluso si no podemos resolverlas explícitamente. Esto es diferente de nuestro trabajo con series de Taylor ya que no estamos usando una función original \(f\) para generar los coeficientes de la serie.
Definition 8.6.1.
Una serie de potencias centrada en \(x = a\) es una función de la forma
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-a)^k\tag{8.6.2}
\end{equation}
donde \(\{c_k\}\) es una secuencia de números reales y \(x\) es una variable independiente.
Una serie de potencias define una función \(f\) cuyo dominio es el conjunto de valores de \(x\) para los cuales la serie de potencias converge. Por lo tanto, escribimos
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-a)^k\text{.}
\end{equation*}
Resulta que, en su intervalo de convergencia, cada serie de potencias es de hecho la serie de Taylor de la función que define, por lo que todas las técnicas que desarrollamos en la sección anterior pueden aplicarse también a las series de potencias.
1
Ver Ejercicio 8.6.4.4 en esta sección.
Example 8.6.2.
Considera la serie de potencias definida por
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{2^k}\text{.}
\end{equation*}
¿Cuáles son \(f(1)\) y \(f\left(\frac{3}{2}\right)\text{?}\) Encuentra una fórmula general para \(f(x)\) y determina los valores para los cuales esta serie de potencias converge.
Solution.
Si evaluamos \(f\) en \(x=1\) obtenemos la serie
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}
\end{equation*}
que es una serie geométrica con razón \(\frac{1}{2}\text{.}\) Así que podemos sumar esta serie y encontrar que
\begin{equation*}
f(1) = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2\text{.}
\end{equation*}
De manera similar,
\begin{equation*}
f(3/2) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^k = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4\text{.}
\end{equation*}
En general, \(f(x)\) es una serie geométrica con razón \(\frac{x}{2}\text{,}\) así que
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^k = \frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \frac{2}{2-x}
\end{equation*}
siempre que \(-1 \lt \frac{x}{2} \lt 1\) (lo que asegura que la razón sea menor que 1 en valor absoluto). Por lo tanto, la serie de potencias que define \(f(x)=\frac{2}{2-x}\) converge para \(-2 \lt x \lt 2\text{.}\)
Como hicimos para las series de Taylor, definimos el intervalo de convergencia de una serie de potencias (8.6.2) como el conjunto de valores de \(x\) para los cuales la serie converge. Y como hicimos con las series de Taylor, típicamente usamos la Prueba de la Razón para encontrar los valores de \(x\) para los cuales la serie de potencias converge absolutamente, y luego verificamos los extremos por separado si el radio de convergencia es finito.
Example 8.6.3.
Sea \(f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2}\text{.}\) Determina el intervalo de convergencia de esta serie de potencias.
Solution.
Primero vamos a graficar algunas de las sumas parciales de esta serie de potencias para tener una idea del intervalo de convergencia. Sea
\begin{equation*}
S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k^2}
\end{equation*}
para cada \(n \geq 1\text{.}\) Figura 8.6.4 muestra gráficos de \(S_{10}(x)\) (en rojo), \(S_{25}(x)\) (en azul), y \(S_{50}(x)\) (en verde).
El comportamiento de \(S_{50}\) en particular sugiere que \(f(x)\) parece estar convergiendo a una curva particular en el intervalo \((-1,1)\text{,}\) mientras crece sin límite fuera de ese intervalo. Por lo tanto, el intervalo de convergencia podría ser \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\) Para verificar nuestra conjetura, aplicamos la Prueba de la Razón. Ahora,
\begin{equation*}
a_k = \frac{x^k}{k^2}\text{,}
\end{equation*}
así que
\begin{align*}
\lim_{k \to \infty} \frac{\left| a_{k+1} \right|}{ \left| a_k \right|} \amp = \lim_{k \to \infty} \frac{ \frac{|x|^{k+1}}{(k+1)^2} }{ \frac{| x|^{k}}{k^2} }\\
\amp = \lim_{k \to \infty} |x| \left(\frac{k}{k+1}\right)^2\\
\amp = |x| \lim_{k \to \infty} \left(\frac{k}{k+1}\right)^2\\
\amp = |x|\text{.}
\end{align*}
Por lo tanto, la Prueba de la Razón nos dice que \(f(x)\) converge absolutamente cuando \(| x | \lt 1\) y diverge cuando \(| x | \gt 1\text{.}\) Debido a que la Prueba de la Razón es inconclusa cuando \(|x| = 1\text{,}\) necesitamos verificar \(x = 1\) y \(x = -1\) individualmente.
Cuando \(x = 1\text{,}\) observa que
\begin{equation*}
f(1) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{.}
\end{equation*}
Esta es una serie \(p\) con \(p \gt 1\text{,}\) que sabemos que converge. Cuando \(x = -1\text{,}\) tenemos
\begin{equation*}
f(-1) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}\text{.}
\end{equation*}
Esta es una serie alternante, y dado que la secuencia \(\left\{ \frac{1}{n^2} \right\}\) disminuye a 0, la serie de potencias converge por la Prueba de Series Alternantes. Por lo tanto, el intervalo de convergencia de esta serie de potencias es \(-1 \le x \le 1\text{.}\)
Activity 8.6.2.
Determina el intervalo de convergencia de cada serie de potencias.
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-1)^k}{3k}\)
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} kx^k\)
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2(x+1)^k}{4^k}\)
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{(2k)!}\)
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k!x^k\)
Subsection 8.6.2 Manipulando Series de Potencias
Sabemos las expansiones en series de potencias para funciones importantes como \(\sin(x)\) y \(e^x\text{.}\) A menudo, podemos usar una expansión en serie de potencias conocida para encontrar una serie de potencias para una función diferente, pero relacionada. La siguiente actividad demuestra una forma de hacer esto.
Activity 8.6.3.
Nuestro objetivo en esta actividad es encontrar una expansión en serie de potencias para \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) centrada en \(x=0\text{.}\)
Aunque podríamos usar los métodos de Section 8.5 y diferenciar \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\) varias veces para buscar patrones y encontrar la serie de Taylor para \(f(x)\text{,}\) buscamos un enfoque alternativo debido a lo complicado que se vuelven las derivadas de \(f(x)\) rápidamente.
- ¿Cuál es la expansión en serie de Taylor para \(g(x) = \frac{1}{1-x}\text{?}\) ¿Cuál es el intervalo de convergencia de esta serie?
- ¿Cómo se relaciona \(g(-x^2)\) con \(f(x)\text{?}\) Explica, y por lo tanto sustituye \(-x^2\) por \(x\) en la expansión en serie de potencias para \(g(x)\text{.}\) Dada la relación entre \(g(-x^2)\) y \(f(x)\text{,}\) ¿cómo se relaciona la serie resultante con \(f(x)\text{?}\)
- ¿Para qué valores de \(x\) será válida esta expansión en serie de potencias para \(f(x)\text{?}\) ¿Por qué?
En una sección anterior encontramos varias series de Maclaurin importantes y sus intervalos de convergencia. Aquí, enumeramos estas funciones clave y sus expansiones correspondientes.
\begin{align*}
\sin(x) \amp =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\amp\text{para}\amp-\infty \lt x \lt \infty\\
\cos(x) \amp =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\amp\text{para}\amp-\infty \lt x \lt \infty\\
e^x \amp =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}\amp\text{para}\amp-\infty \lt x \lt \infty\\
\frac{1}{1-x} \amp =\sum_{k=0}^{\infty} x^k\amp\text{para}\amp-1 \lt x \lt 1
\end{align*}
Como vimos en Activity 8.6.3, podemos usar estas series conocidas para encontrar otras expansiones en series de potencias para funciones relacionadas como \(\sin(x^2)\text{,}\) \(e^{5x^3}\text{,}\) y \(\cos(x^5)\text{.}\)
Activity 8.6.4.
Sea \(f\) la función dada por la expansión en series de potencias
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}\text{.}
\end{equation*}
- Supón que podemos diferenciar una serie de potencias término a término, tal como podemos diferenciar un polinomio (finito). Usa el hecho de que\begin{equation*} f(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + \cdots \end{equation*}para encontrar una expansión en series de potencias para \(f'(x)\text{.}\)
- Observa que \(f(x)\) y \(f'(x)\) tienen series de Taylor conocidas. ¿Qué funciones conocidas son estas? ¿Qué relación conocida demuestra nuestro trabajo?
- ¿Cuál es la expansión en series para \(f''(x)\text{?}\) ¿Qué función conocida es \(f''(x)\text{?}\)
Nuestro trabajo en Activity 8.6.3 se sostiene de manera más general. El teorema correspondiente, que no demostraremos, establece que podemos diferenciar una serie de potencias para una función \(f\) término por término y obtener la expansión en serie para \(f'\text{,}\) y de manera similar podemos integrar una expansión en serie para una función \(f\) término por término y obtener la expansión en serie para \(\int f(x) \ dx\text{.}\) Para ambos, el radio de convergencia de la serie resultante es el mismo que el original, aunque es posible que el estado de convergencia de las diversas series pueda diferir en los extremos. La declaración formal del Teorema de Diferenciación e Integración de Series de Potencias sigue.
Teorema de Diferenciación e Integración de Series de Potencias.
Supón que \(f(x)\) tiene una expansión en serie de potencias
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} c_kx^k
\end{equation*}
y que la serie converge absolutamente a \(f(x)\) en el intervalo \(-r \lt x \lt r\text{.}\) Entonces, la serie de potencias \(\sum_{k=1}^{\infty} kc_kx^{k-1}\) obtenida al diferenciar la serie de potencias para \(f(x)\) término por término converge absolutamente a \(f'(x)\) en el intervalo \(-r \lt x \lt r\text{.}\) Es decir,
\begin{equation*}
f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} kc_kx^{k-1}, \ \text{para} \ |x| \lt r\text{.}
\end{equation*}
De manera similar, la serie de potencias \(\sum_{k=0}^{\infty} c_k\frac{x^{k+1}}{k+1}\) obtenida al integrar la serie de potencias para \(f(x)\) término por término converge absolutamente en el intervalo \(-r \lt x \lt r\text{,}\) y
\begin{equation*}
\int f(x) \ dx = \sum_{k=0}^{\infty} c_k\frac{x^{k+1}}{k+1} + C, \ \text{para} \ |x| \lt r\text{.}
\end{equation*}
Este teorema valida los pasos que tomamos en Activity 8.6.4. Nos dice que podemos diferenciar e integrar término por término en el interior del intervalo de convergencia, pero no nos dice qué pasa en los extremos de este intervalo. Siempre necesitamos verificar qué pasa en los extremos por separado. Más importante aún, podemos usar el enfoque de diferenciar o integrar una serie término por término para encontrar nuevas series.
Example 8.6.5.
Encuentra una expansión en serie centrada en \(x = 0\) para \(\arctan(x)\text{,}\) así como su intervalo de convergencia.
Solution.
Aunque podríamos diferenciar \(\arctan(x)\) repetidamente y buscar patrones en los valores de la derivada en \(x = 0\) en un intento de encontrar la serie de Maclaurin para \(\arctan(x)\) desde la definición, resulta ser mucho más fácil usar una serie conocida de manera perspicaz. En Activity 8.6.3, encontramos que
\begin{equation*}
\frac{1}{1+x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k}
\end{equation*}
para \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\) Recuerda que
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} \left[ \arctan(x) \right] = \frac{1}{1+x^2}\text{,}
\end{equation*}
y por lo tanto
\begin{equation*}
\int \frac{1}{1+x^2} \ dx = \arctan(x) + C\text{.}
\end{equation*}
Se sigue que podemos integrar la serie para \(\frac{1}{1+x^2}\) término por término para obtener la expansión en serie de potencias para \(\arctan(x)\text{.}\) Haciendo esto, encontramos que
\begin{align*}
\arctan(x) \amp = \int \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^kx^{2k} \right) \ dx\\
\amp = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \int (-1)^k x^{2k} \ dx \right)\\
\amp = \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} \right) + C\text{.}
\end{align*}
El Teorema de Diferenciación e Integración de Series de Potencias nos dice que esta igualdad es válida para al menos \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)
Para encontrar el valor de la constante \(C\text{,}\) podemos usar el hecho de que \(\arctan(0) = 0\text{.}\) Así que
\begin{equation*}
0 = \arctan(0) = \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{0^{2k+1}}{2k+1} \right) + C = C\text{,}
\end{equation*}
y debemos tener \(C = 0\text{.}\) Por lo tanto,
\begin{equation}
\arctan(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\tag{8.6.3}
\end{equation}
para al menos \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)
Es un ejercicio sencillo verificar que la serie de potencias
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}
\end{equation*}
converge tanto cuando \(x = -1\) como cuando \(x = 1\text{;}\) en cada caso, tenemos una serie alternante con términos \(\frac{1}{2k+1}\) que disminuyen a \(0\text{,}\) y así el intervalo de convergencia para la expansión en serie de \(\arctan(x)\) en la Ecuación (8.6.3) es \(-1 \le x \le 1\text{.}\)
Activity 8.6.5.
Encuentra una expansión en serie de potencias para \(\ln(1+x)\) centrada en \(x=0\) y determina su intervalo de convergencia.
Subsection 8.6.3 Resumen
- Una serie de potencias es una serie de la forma\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{.} \end{equation*}
- A menudo podemos suponer que una solución a un problema dado puede escribirse como una serie de potencias, luego usar la información en el problema para determinar los coeficientes en la serie de potencias. Este método nos permite aproximar soluciones a ciertos problemas usando sumas parciales de la serie de potencias; es decir, podemos encontrar soluciones aproximadas que son polinomios.
- La conexión entre series de potencias y series de Taylor es que son esencialmente lo mismo: en su intervalo de convergencia una serie de potencias es la serie de Taylor de su suma.
Exercises 8.6.4 Exercises
1. Finding coefficients in a power series expansion of a rational function.
Represent the function \(\displaystyle \frac{5}{(1 - 6 x)}\) as a power series \(\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n\)
\(c_0 =\)
\(c_1 =\)
\(c_2 =\)
\(c_3 =\)
\(c_4 =\)
Find the radius of convergence \(R =\) .
2. Finding coefficients in a power series expansion of a function involving \(\arctan(x)\).
The function \(f(x) = 5 x \arctan (3 x)\) is represented as a power series
\(\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n .\)
Find the first few coefficients in the power series.
\(c_0 =\)
\(c_1 =\)
\(c_2 =\)
\(c_3 =\)
\(c_4 =\)
Find the radius of convergence \(R\) of the series.
\(R =\)
3.
We can use power series to approximate definite integrals to which known techniques of integration do not apply. We will illustrate this in this exercise with the definite integral \(\int_0^1 \sin(x^2) \,ds\text{.}\)
- Use the Taylor series for \(\sin(x)\) to find the Taylor series for \(\sin(x^2)\text{.}\) What is the interval of convergence for the Taylor series for \(\sin(x^2)\text{?}\) Explain.
- Integrate the Taylor series for \(\sin(x^2)\) term by term to obtain a power series expansion for \(\int \sin(x^2)\,dx\text{.}\)
- Use the result from part (b) to explain how to evaluate \(\int_0^1 \sin(x^2) \ dx\text{.}\) Determine the number of terms you will need to approximate \(\int_0^1 \sin(x^2) \,dx\) to 3 decimal places.
4.
There is an important connection between power series and Taylor series. Suppose \(f\) is defined by a power series centered at 0 so that
\begin{equation*}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{.}
\end{equation*}
- Determine the first 4 derivatives of \(f\) evaluated at 0 in terms of the coefficients \(a_k\text{.}\)
- Show that \(f^{(n)}(0) = n!a_n\) for each positive integer \(n\text{.}\)
-
Explain how the result of (b) tells us the following:On its interval of convergence, a power series is the Taylor series of its sum.
5.
In this exercise we will begin with a strange power series and then find its sum. The Fibonacci sequence \(\{f_n\}\) is a famous sequence whose first few terms are
\begin{equation*}
f_0 = 0, f_1 = 1, f_2 = 1, f_3 = 2, f_4 = 3, f_5 = 5, f_6 = 8, f_7 = 13, \cdots\text{,}
\end{equation*}
where each term in the sequence after the first two is the sum of the preceding two terms. That is, \(f_0 = 0\text{,}\) \(f_1 = 1\) and for \(n \geq 2\) we have
\begin{equation*}
f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\text{.}
\end{equation*}
Now consider the power series
\begin{equation*}
F(x) = \sum_{k=0}^{\infty} f_kx^k\text{.}
\end{equation*}
We will determine the sum of this power series in this exercise.
-
Explain why each of the following is true.
- \(\displaystyle xF(x) = \sum_{k=1}^{\infty} f_{k-1}x^k\)
- \(\displaystyle x^2F(x) = \sum_{k=2}^{\infty} f_{k-2}x^k\)
- Show that\begin{equation*} F(x) - xF(x) - x^2F(x) = x\text{.} \end{equation*}
- Now use the equation\begin{equation*} F(x) - xF(x) - x^2F(x) = x \end{equation*}to find a simple form for \(F(x)\) that doesn’t involve a sum.
- Use a computer algebra system or some other method to calculate the first 8 derivatives of \(\frac{x}{1-x-x^2}\) evaluated at 0. Why shouldn’t the results surprise you?
6.
Airy’s equation
2
The general differential equations of the form \(y'' \pm k^2xy = 0\) is called Airy’s equation. These equations arise in many problems, such as the study of diffraction of light, diffraction of radio waves around an object, aerodynamics, and the buckling of a uniform column under its own weight.
\begin{equation}
y'' - xy = 0\text{,}\tag{8.6.4}
\end{equation}
can be used to model an undamped vibrating spring with spring constant \(x\) (note that \(y\) is an unknown function of \(x\)). So the solution to this differential equation will tell us the behavior of a spring-mass system as the spring ages (like an automobile shock absorber). Assume that a solution \(y=f(x)\) has a Taylor series that can be written in the form
\begin{equation*}
y = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{,}
\end{equation*}
where the coefficients are undetermined. Our job is to find the coefficients.
- Differentiate the series for \(y\) term by term to find the series for \(y'\text{.}\) Then repeat to find the series for \(y''\text{.}\)
- Substitute your results from part (a) into the Airy equation and show that we can write Equation (8.6.4) in the form\begin{equation} \sum_{k=2}^{\infty} (k-1)ka_kx^{k-2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{k+1} = 0\text{.}\tag{8.6.5} \end{equation}
- At this point, it would be convenient if we could combine the series on the left in (8.6.5), but one written with terms of the form \(x^{k-2}\) and the other with terms in the form \(x^{k+1}\text{.}\) Explain why\begin{equation} \sum_{k=2}^{\infty} (k-1)ka_kx^{k-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)a_{k+2}x^{k}\text{.}\tag{8.6.6} \end{equation}
- Now show that\begin{equation} \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1}x^k\text{.}\tag{8.6.7} \end{equation}
-
\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n} - \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^{n} = 0\text{.}\tag{8.6.8} \end{equation}Combine the like powers of \(x\) in the two series to show that our solution must satisfy\begin{equation} 2a_2 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[(k+1)(k+2)a_{k+2}-a_{k-1} \right] x^{k} = 0\text{.}\tag{8.6.9} \end{equation}
-
Use equation (8.6.9) to show the following:
- \(a_{3k+2} = 0\) for every positive integer \(k\text{,}\)
- \(a_{3k} = \frac{1}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3k-1)(3k)} a_0 \text{ for } k \geq 1\text{,}\)
- \(a_{3k+1} = \frac{1}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3k)(3k+1)} a_1 \text{ for } k \geq 1\text{.}\)
-
Use the previous part to conclude that the general solution to the Airy equation (8.6.4) is\begin{align*} y \amp= a_0\left( 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{3k}}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3k-1)(3k)} \right)\\ \amp\phantom{={}}+ a_1 \left( x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{3k+1}}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3k)(3k+1)} \right)\text{.} \end{align*}Any values for \(a_0\) and \(a_1\) then determine a specific solution that we can approximate as closely as we like using this series solution.
