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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 2.2 Las funciones seno y coseno

A lo largo del Capítulo 2, desarrollaremos reglas de derivadas abreviadas para ayudarnos a evitar la definición de límite y calcular rápidamente \(f'(x)\) a partir de una fórmula para \(f(x)\text{.}\) En la Sección 2.1, enunciamos la regla para funciones de potencia,
\begin{equation*} \text{si}~ f(x) = x^n,~ \text{entonces}~ f'(x) = nx^{n-1}\text{,} \end{equation*}
y la regla para funciones exponenciales,
\begin{equation*} \text{si}~ a ~ \text{es un número real positivo y}~ f(x) = a^x,~ \text{entonces}~ f'(x) = a^x \ln(a)\text{.} \end{equation*}
Más adelante en esta sección, usaremos un argumento gráfico para conjeturar fórmulas de derivadas para las funciones seno y coseno.

Actividad Introductoria 2.2.1.

Considera la función \(g(x) = 2^x\text{,}\) que está graficada en Figura 2.2.1.
  1. En cada uno de \(x = -2, -1, 0, 1, 2\text{,}\) usa una regla para dibujar una línea tangente precisa a \(y = g(x)\text{.}\)
  2. Usa la cuadrícula proporcionada para estimar la pendiente de la línea tangente que dibujaste en cada punto en (a).
  3. Usa la definición del límite de la derivada para estimar \(g'(0)\) usando valores pequeños de \(h\text{,}\) y compara el resultado con tu estimación visual de la pendiente de la línea tangente a \(y = g(x)\) en \(x = 0\) en (b).
  4. Basado en tu trabajo en (a), (b) y (c), dibuja un gráfico preciso de \(y = g'(x)\) en los ejes adyacentes al gráfico de \(y = g(x)\text{.}\)
  5. Escribe al menos una oración que explique por qué es razonable pensar que \(g'(x) = cg(x)\text{,}\) donde \(c\) es una constante. Además, calcula \(\ln(2)\text{,}\) y luego discute cómo este valor, combinado con tu trabajo anterior, sugiere razonablemente que \(g'(x) = 2^x \ln(2)\text{.}\)
Figure 2.2.1. A la izquierda, el gráfico de \(y = g(x) = 2^x\text{.}\) A la derecha, ejes para graficar \(y = g'(x)\text{.}\)

Subsection 2.2.1 Las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno están entre las funciones más importantes de todas las matemáticas. A veces llamadas funciones circulares debido a su definición en el círculo unitario, estas funciones periódicas juegan un papel clave en la modelización de fenómenos repetitivos como las elevaciones de las mareas, el comportamiento de una masa oscilante unida a un resorte, o la ubicación de un punto en una llanta de bicicleta. Al igual que las funciones polinómicas y exponenciales, las funciones seno y coseno se consideran funciones básicas, que a menudo se usan para construir funciones más complicadas. Como tal, nos gustaría conocer las fórmulas para \(\frac{d}{dx} [\sin(x)]\) y \(\frac{d}{dx} [\cos(x)]\text{,}\) y las dos actividades siguientes nos llevan a ese fin.

Activity 2.2.2.

Considera la función \(f(x) = \sin(x)\text{,}\) que está graficada en la Figura 2.2.2 abajo. Nota cuidadosamente que la cuadrícula en el diagrama no tiene cuadros que son \(1 \times 1\text{,}\) sino aproximadamente \(1.57 \times 1\text{,}\) ya que la escala horizontal de la cuadrícula es de \(\pi/2\) unidades por cuadro.
Figure 2.2.2. A la izquierda, el gráfico de \(y = f(x) = \sin(x)\text{.}\)
  1. En cada uno de \(x = -2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\text{,}\) usa una regla para dibujar una línea tangente precisa a \(y = f(x)\text{.}\)
  2. Usa la cuadrícula proporcionada para estimar la pendiente de la línea tangente que dibujaste en cada punto. Presta mucha atención a la escala de la cuadrícula.
  3. Usa la definición del límite de la derivada para estimar \(f'(0)\) usando valores pequeños de \(h\text{,}\) y compara el resultado con tu estimación visual de la pendiente de la línea tangente a \(y = f(x)\) en \(x = 0\) en (b). Usando la periodicidad, ¿qué sugiere este resultado sobre \(f'(2\pi)\text{?}\) ¿sobre \(f'(-2\pi)\text{?}\)
  4. Basado en tu trabajo en (a), (b) y (c), dibuja un gráfico preciso de \(y = f'(x)\) en los ejes adyacentes al gráfico de \(y = f(x)\text{.}\)
  5. ¿Qué función familiar crees que es la derivada de \(f(x) = \sin(x)\text{?}\)

Activity 2.2.3.

Considera la función \(g(x) = \cos(x)\text{,}\) que está graficada en la Figura 2.2.5 abajo. Nota cuidadosamente que la cuadrícula en el diagrama no tiene cuadros que son \(1 \times 1\text{,}\) sino aproximadamente \(1.57 \times 1\text{,}\) ya que la escala horizontal de la cuadrícula es de \(\pi/2\) unidades por cuadro.
Figure 2.2.5. A la izquierda, el gráfico de \(y = g(x) = \cos(x)\text{.}\)
  1. En cada uno de \(x = -2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\text{,}\) usa una regla para dibujar una línea tangente precisa a \(y = g(x)\text{.}\)
  2. Usa la cuadrícula proporcionada para estimar la pendiente de la línea tangente que dibujaste en cada punto. Nuevamente, nota la escala de los ejes y la cuadrícula.
  3. Usa la definición del límite de la derivada para estimar \(g'(\frac{\pi}{2})\) usando valores pequeños de \(h\text{,}\) y compara el resultado con tu estimación visual de la pendiente de la línea tangente a \(y = g(x)\) en \(x = \frac{\pi}{2}\) en (b). Usando la periodicidad, ¿qué sugiere este resultado sobre \(g'(-\frac{3\pi}{2})\text{?}\) ¿puede la simetría en el gráfico ayudarte a estimar otras pendientes fácilmente?
  4. Basado en tu trabajo en (a), (b) y (c), dibuja un gráfico preciso de \(y = g'(x)\) en los ejes adyacentes al gráfico de \(y = g(x)\text{.}\)
  5. ¿Qué función familiar crees que es la derivada de \(g(x) = \cos(x)\text{?}\)
Los resultados de las dos actividades anteriores sugieren que las funciones seno y coseno no solo tienen conexiones hermosas como las identidades \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) y \(\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x)\text{,}\) sino que están aún más vinculadas a través del cálculo, ya que la derivada de cada una involucra a la otra. Las siguientes reglas resumen los resultados de las actividades
 1 
Estas dos reglas pueden probarse formalmente usando la definición de límite de la derivada y las identidades de expansión para \(\sin(x+h)\) y \(\cos(x+h)\text{.}\)
.

Funciones Seno y Coseno.

Para todos los números reales \(x\text{,}\)
\begin{equation*} \frac{d}{dx} [\sin(x)] = \cos(x) \ \ \text{y} \ \ \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x)\text{.} \end{equation*}
Ahora hemos añadido las funciones seno y coseno a nuestra biblioteca de funciones básicas cuyas derivadas conocemos. La regla del múltiplo constante y la regla de la suma aún se mantienen, por supuesto, así como todo el significado inherente de la derivada.

Activity 2.2.4.

Responde a cada una de las siguientes preguntas. Cuando se solicite una derivada, asegúrate de etiquetar la función derivada con su nombre usando la notación adecuada.
  1. Determina la derivada de \(h(t) = 3\cos(t) - 4\sin(t)\text{.}\)
  2. Encuentra la pendiente exacta de la línea tangente a \(y = f(x) = 2x + \frac{\sin(x)}{2}\) en el punto donde \(x = \frac{\pi}{6}\text{.}\)
  3. Encuentra la ecuación de la línea tangente a \(y = g(x) = x^2 + 2\cos(x)\) en el punto donde \(x = \frac{\pi}{2}\text{.}\)
  4. Determina la derivada de \(p(z) = z^4 + 4^z + 4\cos(z) - \sin(\frac{\pi}{2})\text{.}\)
  5. La función \(P(t) = 24 + 8\sin(t)\) representa una población de un tipo particular de animal que vive en una pequeña isla, donde \(P\) se mide en cientos y \(t\) se mide en décadas desde el 1 de enero de 2010. ¿Cuál es la tasa de cambio instantánea de \(P\) el 1 de enero de 2030? ¿Cuáles son las unidades de esta cantidad? Escribe una oración en lenguaje cotidiano que explique cómo se está comportando la población en este momento.

Subsection 2.2.2 Resumen

  • Para una función exponencial \(f(x) = a^x\) \((a \gt 1)\text{,}\) la gráfica de \(f'(x)\) parece ser una versión escalada de la función original. En particular, un análisis cuidadoso de la gráfica de \(f(x) = 2^x\text{,}\) sugiere que \(\frac{d}{dx}[2^x] = 2^x \ln(2)\text{,}\) que es un caso especial de la regla que enunciamos en la Sección 2.1.
  • Al analizar cuidadosamente las gráficas de \(y = \sin(x)\) y \(y = \cos(x)\text{,}\) y al usar la definición de límite de la derivada en puntos selectos, encontramos que \(\frac{d}{dx} [\sin(x)] = \cos(x)\) y \(\frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x)\text{.}\)
  • Notamos que todas las reglas de derivadas encontradas anteriormente aún se mantienen, pero ahora también pueden aplicarse a funciones que involucren el seno y el coseno. Todo el significado establecido de la derivada se aplica también a estas funciones trigonométricas.

Exercises 2.2.3 Exercises

1.

Suppose that \(V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)\) represents the value of a person’s investment portfolio in thousands of dollars in year \(t\text{,}\) where \(t = 0\) corresponds to January 1, 2010.
  1. At what instantaneous rate is the portfolio’s value changing on January 1, 2012? Include units on your answer.
  2. Determine the value of \(V''(2)\text{.}\) What are the units on this quantity and what does it tell you about how the portfolio’s value is changing?
  3. On the interval \(0 \le t \le 20\text{,}\) graph the function \(V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)\) and describe its behavior in the context of the problem. Then, compare the graphs of the functions \(A(t) = 24 \cdot 1.07^t\) and \(V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)\text{,}\) as well as the graphs of their derivatives \(A'(t)\) and \(V'(t)\text{.}\) What is the impact of the term \(6 \sin(t)\) on the behavior of the function \(V(t)\text{?}\)

2.

Let \(f(x) = 3\cos(x) - 2\sin(x) + 6\text{.}\)
  1. Determine the exact slope of the tangent line to \(y = f(x)\) at the point where \(a = \frac{\pi}{4}\text{.}\)
  2. Determine the tangent line approximation to \(y = f(x)\) at the point where \(a = \pi\text{.}\)
  3. At the point where \(a = \frac{\pi}{2}\text{,}\) is \(f\) increasing, decreasing, or neither?
  4. At the point where \(a = \frac{3\pi}{2}\text{,}\) does the tangent line to \(y = f(x)\) lie above the curve, below the curve, or neither? How can you answer this question without even graphing the function or the tangent line?

3.

In this exercise, we explore how the limit definition of the derivative more formally shows that \(\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)\text{.}\) Letting \(f(x) = \sin(x)\text{,}\) note that the limit definition of the derivative tells us that
\begin{equation*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\text{.} \end{equation*}
  1. Recall the trigonometric identity for the sine of a sum of angles \(\alpha\) and \(\beta\text{:}\) \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\text{.}\) Use this identity and some algebra to show that
    \begin{equation*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h)}{h}\text{.} \end{equation*}
  2. Next, note that as \(h\) changes, \(x\) remains constant. Explain why it therefore makes sense to say that
    \begin{equation*} f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) -1 }{h} + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\text{.} \end{equation*}
  3. Finally, use small values of \(h\) to estimate the values of the two limits in (c):
    \begin{equation*} \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} \ \ \text{and} \ \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\text{.} \end{equation*}
  4. What do your results in (b) and (c) thus tell you about \(f'(x)\text{?}\)
  5. By emulating the steps taken above, use the limit definition of the derivative to argue convincingly that \(\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)\text{.}\)
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