Sabemos que \(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}\text{.}\) Pero como no tenemos un gráfico o una fórmula para la función, no podemos ni dibujar una línea tangente ni evaluar el límite algebraicamente. Ni siquiera podemos usar valores cada vez más pequeños de \(h\) para estimar el límite. En cambio, solo tenemos dos opciones: usar \(h = -1\) o \(h = 1\text{,}\) dependiendo de qué punto emparejamos con \((2,3.25)\text{.}\)
Entonces, una estimación es
\begin{equation*}
f'(2) \approx \frac{f(1)-f(2)}{1-2} = \frac{2.5-3.25}{-1} = 0.75\text{.}
\end{equation*}
La otra es
\begin{equation*}
f'(2) \approx \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{3.625-3.25}{1} = 0.375\text{.}
\end{equation*}
Debido a que la primera aproximación mira hacia atrás desde el punto \((2,3.25)\) y la segunda aproximación mira hacia adelante, tiene sentido promediar estas dos estimaciones para tener en cuenta el comportamiento en ambos lados de \(x=2\text{.}\) Haciendo esto, encontramos que
\begin{equation*}
f'(2) \approx \frac{0.75 + 0.375}{2} = 0.5625\text{.}
\end{equation*}
