Subsection 2.1.1 Algunas Notaciones Clave
Además de nuestra notación habitual \(f'\text{,}\) hay otras formas de denotar la derivada de una función, así como la instrucción de tomar la derivada. Si estamos pensando en la relación entre \(y\) y \(x\text{,}\) a veces denotamos la derivada de \(y\) con respecto a \(x\) con el símbolo
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}
\end{equation*}
que leemos “dee-y dee-x.” Por ejemplo, si \(y = x^2\text{,}\) escribiremos que la derivada es \(\frac{dy}{dx} = 2x\text{.}\) Esta notación proviene del hecho de que la derivada está relacionada con la pendiente de una línea, y la pendiente se mide por \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\text{.}\) Nota que mientras leemos \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) como “cambio en \(y\) sobre cambio en \(x\text{,}\)” vemos \(\frac{dy}{dx}\) como un solo símbolo, no como un cociente de dos cantidades.
Usamos una variante de esta notación como la instrucción para tomar la derivada. En particular,
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left[ \Box \right]
\end{equation*}
significa “toma la derivada de la cantidad en \(\Box\) con respecto a \(x\text{.}\)” Por ejemplo, podemos escribir \(\frac{d}{dx}[x^2] = 2x\text{.}\)
Es importante notar que la variable independiente puede ser diferente de \(x\text{.}\) Si tenemos \(f(z) = z^2\text{,}\) entonces escribimos \(f'(z) = 2z\text{.}\) De manera similar, si \(y = t^2\text{,}\) decimos \(\frac{dy}{dt} = 2t\text{.}\) Y también es cierto que \(\frac{d}{dq}[q^2] = 2q\text{.}\) Esta notación también puede usarse para segundas derivadas: \(f''(z) = \frac{d}{dz}\left[\frac{df}{dz}\right] = \frac{d^2 f}{dz^2}\text{.}\)
En lo que sigue, construiremos un repertorio de funciones para las cuales podemos calcular rápidamente la derivada.
Subsection 2.1.2 Funciones Constantes, de Potencia y Exponenciales
Hasta ahora, conocemos la fórmula de la derivada para dos clases importantes de funciones: funciones constantes y funciones de potencia. Si \(f(x) = c\) es una función constante, su gráfica es una línea horizontal con pendiente cero en cada punto. Así, \(\frac{d}{dx}[c] = 0\text{.}\) Resumimos esto con la siguiente regla.
Funciones Constantes.
Para cualquier número real \(c\text{,}\) si \(f(x) = c\text{,}\) entonces \(f'(x) = 0\text{.}\)
Example 2.1.1.
Si \(f(x) = 7\text{,}\) entonces \(f'(x) = 0\text{.}\) De manera similar, \(\frac{d}{dx} [\sqrt{3}] = 0\text{.}\)
En tu trabajo en
Actividad de Previsualización 2.1.1, conjeturaste que para cualquier número entero positivo
\(n\text{,}\) si
\(f(x) = x^n\text{,}\) entonces
\(f'(x) = nx^{n-1}\text{.}\) Esta regla puede probarse formalmente para cualquier número entero positivo
\(n\text{,}\) y también para cualquier número real no nulo (positivo o negativo).
Funciones de Potencia.
Para cualquier número real no nulo \(n\text{,}\) si \(f(x) = x^n\text{,}\) entonces \(f'(x) = nx^{n-1}\text{.}\)
Example 2.1.2.
Usando la regla para funciones de potencia, podemos calcular las siguientes derivadas. Si \(g(z) = z^{-3}\text{,}\) entonces \(g'(z) = -3z^{-4}\text{.}\) De manera similar, si \(h(t) = t^{7/5}\text{,}\) entonces \(\frac{dh}{dt} = \frac{7}{5}t^{2/5}\text{,}\) y \(\frac{d}{dq} [q^{\pi}] = \pi q^{\pi - 1}\text{.}\)
Será instructivo tener una fórmula de derivada para un tipo más de función básica. Por ahora, simplemente enunciamos esta regla sin explicación ni justificación; exploraremos por qué esta regla es verdadera en uno de los ejercicios. Y encontraremos un razonamiento gráfico de por qué la regla es plausible en
Actividad de Previsualización 2.2.1.
Funciones Exponenciales.
Para cualquier número real positivo \(a\text{,}\) si \(f(x) = a^x\text{,}\) entonces \(f'(x) = a^x \ln(a)\text{.}\)
Example 2.1.3.
Si \(f(x) = 2^x\text{,}\) entonces \(f'(x) = 2^x \ln(2)\text{.}\) De manera similar, para \(p(t) = 10^t\text{,}\) \(p'(t) = 10^t \ln(10)\text{.}\) Es especialmente importante notar que cuando \(a = e\text{,}\) donde \(e\) es la base de la función logaritmo natural, tenemos que
\begin{equation*}
\frac{d}{dx} [e^x] = e^x \ln(e) = e^x
\end{equation*}
ya que \(\ln(e) = 1\text{.}\) Esta es una propiedad extremadamente importante de la función \(e^x\text{:}\) ¡su función derivada es ella misma!
Nota cuidadosamente la distinción entre funciones de potencia y funciones exponenciales: en las funciones de potencia, la variable está en la base, como en \(x^2\text{,}\) mientras que en las funciones exponenciales, la variable está en el exponente, como en \(2^x\text{.}\) Como podemos ver en las reglas, esto hace una gran diferencia en la forma de la derivada.
Activity 2.1.2.
Usa las tres reglas anteriores para determinar la derivada de cada una de las siguientes funciones. Para cada una, da tu respuesta usando notación completa y adecuada, etiquetando la derivada con su nombre. Por ejemplo, si te dan una función \(h(z)\text{,}\) deberías escribir “\(h'(z) =\)” o “\(\frac{dh}{dz} =\)” como parte de tu respuesta.
\(\displaystyle f(t) = \pi\)
\(\displaystyle g(z) = 7^z\)
\(\displaystyle h(w) = w^{3/4}\)
\(\displaystyle p(x) = 3^{1/2}\)
\(\displaystyle r(t) = (\sqrt{2})^t\)
\(\displaystyle s(q) = q^{-1}\)
\(\displaystyle m(t) = \frac{1}{t^3}\)
Subsection 2.1.3 Múltiplos Constantes y Sumas de Funciones
A continuación, aprenderemos cómo calcular la derivada de una función construida como una combinación algebraica de funciones básicas. Por ejemplo, nos gustaría poder tomar la derivada de una función polinómica como
\begin{equation*}
p(t) = 3t^5 - 7t^4 + t^2 - 9\text{,}
\end{equation*}
que es una suma de múltiplos constantes de potencias de \(t\text{.}\) Para ello, desarrollamos dos nuevas reglas: la Regla del Múltiplo Constante y la Regla de la Suma.
¿Cómo se relaciona la derivada de \(y = kf(x)\) con la derivada de \(y = f(x)\text{?}\) Recuerda que cuando multiplicamos una función por una constante \(k\text{,}\) estiramos verticalmente el gráfico por un factor de \(|k|\) (y reflejamos el gráfico a través de \(y = 0\) si \(k \lt 0\)). Este estiramiento vertical afecta la pendiente del gráfico, por lo que la pendiente de la función \(y = kf(x)\) es \(k\) veces más empinada que la pendiente de \(y = f(x)\text{.}\) Así, cuando multiplicamos una función por un factor de \(k\text{,}\) cambiamos el valor de su derivada por un factor de \(k\) también.,
La Regla del Múltiplo Constante.
Para cualquier número real \(k\text{,}\) si \(f(x)\) es una función diferenciable con derivada \(f'(x)\text{,}\) entonces \(\frac{d}{dx}[k f(x)] = k f'(x)\text{.}\)
En palabras, esta regla dice que “la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función.”
Example 2.1.4.
Si \(g(t) = 3 \cdot 5^t\text{,}\) tenemos \(g'(t) = 3 \cdot 5^t \ln(5)\text{.}\) De manera similar, \(\frac{d}{dz} [5z^{-2}] = 5 (-2z^{-3})\text{.}\)
A continuación, examinamos una suma de dos funciones. Si tenemos \(y = f(x)\) y \(y = g(x)\text{,}\) podemos calcular una nueva función \(y = (f+g)(x)\) sumando las salidas de las dos funciones: \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\text{.}\) No solo el valor de la nueva función es la suma de los valores de las dos funciones conocidas, sino que la pendiente de la nueva función es la suma de las pendientes de las funciones conocidas. Por lo tanto, llegamos a la siguiente Regla de la Suma para derivadas:
La Regla de la Suma.
Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones diferenciables con derivadas \(f'(x)\) y \(g'(x)\) respectivamente, entonces \(\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\text{.}\)
En palabras, la Regla de la Suma nos dice que “la derivada de una suma es la suma de las derivadas.” También nos dice que una suma de dos funciones diferenciables también es diferenciable. Además, porque podemos ver la función diferencia \(y = (f-g)(x) = f(x) - g(x)\) como \(y = f(x) + (-1 \cdot g(x))\text{,}\) las Reglas de la Suma y del Múltiplo Constante juntas nos dicen que \(\frac{d}{dx}[f(x) + (-1 \cdot g(x))] = f'(x) - g'(x)\text{,}\) o que “la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.” Ahora podemos calcular derivadas de sumas y diferencias de funciones elementales.
Example 2.1.5.
Usando la regla de la suma, \(\frac{d}{dw} (2^w + w^2) = 2^w \ln(2) + 2w\text{.}\) Usando tanto las reglas de la suma como del múltiplo constante, si \(h(q) = 3q^6 - 4q^{-3}\text{,}\) entonces \(h'(q) = 3 (6q^5) - 4(-3q^{-4}) = 18q^5 + 12q^{-4}\text{.}\)
Activity 2.1.3.
Usa solo las reglas para funciones constantes, de potencia y exponenciales, junto con las reglas del múltiplo constante y de la suma, para calcular la derivada de cada función a continuación con respecto a la variable independiente dada. Nota bien que aún no conocemos ninguna regla para diferenciar el producto o cociente de funciones. Esto significa que puede que tengas que hacer algo de álgebra primero en las funciones a continuación antes de que puedas usar las reglas existentes para calcular la fórmula de la derivada deseada. En cada caso, etiqueta la derivada que calcules con su nombre usando la notación adecuada como \(f'(x)\text{,}\) \(h'(z)\text{,}\) \(dr/dt\text{,}\) etc.
\(\displaystyle f(x) = x^{5/3} - x^4 + 2^x\)
\(\displaystyle g(x) = 14e^x + 3x^5 - x\)
\(\displaystyle h(z) = \sqrt{z} + \frac{1}{z^4} + 5^z\)
\(\displaystyle r(t) = \sqrt{53} \, t^7 - \pi e^t + e^4\)
\(\displaystyle s(y) = (y^2 + 1)(y^2 - 1)\)
\(\displaystyle q(x) = \frac{x^3 - x + 2}{x}\)
\(\displaystyle p(a) = 3a^4 - 2a^3 + 7a^2 - a + 12\)
De la misma manera que tenemos reglas abreviadas para ayudarnos a encontrar derivadas, introducimos un lenguaje que es más simple y corto. A menudo, en lugar de decir “tomar la derivada de \(f\text{,}\)” simplemente diremos “diferenciar \(f\text{.}\)” De manera similar, si la derivada existe en un punto, decimos “\(f\) es diferenciable en ese punto,” o que \(f\) puede ser diferenciada.
A medida que trabajamos con la estructura algebraica de las funciones, es importante desarrollar una visión general de lo que estamos haciendo. Aquí, hacemos varias observaciones generales basadas en las reglas que tenemos hasta ahora.
La derivada de cualquier función polinómica será otra función polinómica, y que el grado de la derivada es uno menos que el grado de la función original. Por ejemplo, si \(p(t) = 7t^5 - 4t^3 + 8t\text{,}\) \(p\) es un polinomio de grado 5, y su derivada, \(p'(t) = 35t^4 - 12t^2 + 8\text{,}\) es un polinomio de grado 4.
La derivada de cualquier función exponencial es otra función exponencial: por ejemplo, si \(g(z) = 7 \cdot 2^z\text{,}\) entonces \(g'(z) = 7 \cdot 2^z \ln(2)\text{,}\) que también es exponencial.
No debemos perder de vista el hecho de que todo el significado de la derivada que desarrollamos en
Capítulo 1 sigue siendo válido. La derivada mide la tasa de cambio instantánea de la función original, así como la pendiente de la línea tangente en cualquier punto seleccionado en la curva.
Activity 2.1.4.
Cada una de las siguientes preguntas te pide usar derivadas para responder preguntas clave sobre funciones. Asegúrate de pensar cuidadosamente en cada pregunta y de usar la notación adecuada en tus respuestas.
Encuentra la pendiente de la línea tangente a \(h(z) = \sqrt{z} + \frac{1}{z}\) en el punto donde \(z = 4\text{.}\)
-
Una población de células está creciendo de tal manera que su número total en millones está dado por la función \(P(t) = 2(1.37)^t + 32\text{,}\) donde \(t\) se mide en días.
Determina la tasa instantánea a la que la población está creciendo en el día 4, e incluye unidades en tu respuesta.
¿Está la población creciendo a una tasa creciente o decreciente en el día 4? Explica.
Encuentra una ecuación para la línea tangente a la curva \(p(a) = 3a^4 - 2a^3 + 7a^2 - a + 12\) en el punto donde \(a=-1\text{.}\)
¿Cuál es la diferencia entre que te pidan encontrar la pendiente de la línea tangente (preguntado en (a)) y la ecuación de la línea tangente (preguntado en (c))?
