¿Cuál es la derivada de la función del logaritmo natural?
¿Cuáles son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas \(\arcsin(x)\) y \(\arctan(x)\text{?}\)
Si \(g\) es la inversa de una función diferenciable \(f\text{,}\) ¿cómo se calcula \(g'\) en términos de \(f\text{,}\)\(f'\text{,}\) y \(g\text{?}\)
Gran parte de las matemáticas se centra en la noción de función. De hecho, a lo largo de nuestro estudio del cálculo, estamos investigando el comportamiento de las funciones, con especial énfasis en qué tan rápido cambia la salida de la función en respuesta a los cambios en la entrada. Debido a que cada función representa un proceso, una pregunta natural es si el proceso particular puede ser revertido. Es decir, si conocemos la salida que resulta de la función, ¿podemos determinar la entrada que llevó a ella? Y si sabemos qué tan rápido está cambiando un proceso particular, ¿podemos determinar qué tan rápido está cambiando el proceso inverso?
Una de las funciones más importantes en todas las matemáticas es la función exponencial natural \(f(x) = e^x\text{.}\) Su inversa, el logaritmo natural, \(g(x) = \ln(x)\text{,}\) es igualmente importante. Uno de nuestros objetivos en esta sección es aprender a diferenciar la función logarítmica. Primero, revisamos algunos de los conceptos básicos que rodean a las funciones y sus inversas.
Actividad Introductoria2.6.1.
La ecuación \(y = \frac{5}{9}(x-32)\) relaciona una temperatura dada en \(x\) grados Fahrenheit con la temperatura correspondiente \(y\) medida en grados Celsius.
Resuelve la ecuación \(y = \frac{5}{9}(x-32)\) para \(x\) para escribir \(x\) (temperatura en Fahrenheit) en términos de \(y\) (temperatura en Celsius).
Sea \(C(x) = \frac{5}{9}(x-32)\) la función que toma una temperatura en Fahrenheit como entrada y produce la temperatura en Celsius como salida. Además, sea \(F(y)\) la función que convierte una temperatura dada en \(y\) grados Celsius a la temperatura \(F(y)\) medida en grados Fahrenheit. Usa tu trabajo en (a) para escribir una fórmula para \(F(y)\text{.}\)
A continuación, considera la nueva función definida por \(p(x) = F(C(x))\text{.}\) Usa las fórmulas para \(F\) y \(C\) para determinar una expresión para \(p(x)\) y simplifica esta expresión tanto como sea posible. ¿Qué observas?
Ahora, sea \(r(y) = C(F(y))\text{.}\) Usa las fórmulas para \(F\) y \(C\) para determinar una expresión para \(r(y)\) y simplifica esta expresión tanto como sea posible. ¿Qué observas?
¿Cuál es el valor de \(C'(x)\text{?}\) ¿de \(F'(y)\text{?}\) ¿Cómo parecen estar relacionados estos valores?
Subsection2.6.1Hechos básicos sobre funciones inversas
Una función \(f : A \to B\) es una regla que asocia cada elemento en el conjunto \(A\) a uno y solo un elemento en el conjunto \(B\text{.}\) Llamamos a \(A\) el dominio de \(f\) y a \(B\) el codominio de \(f\text{.}\) Si existe una función \(g : B \to A\) tal que \(g(f(a)) = a\) para cada posible elección de \(a\) en el conjunto \(A\) y \(f(g(b)) = b\) para cada \(b\) en el conjunto \(B\text{,}\) entonces decimos que \(g\) es la inversa de \(f\text{.}\)
A menudo usamos la notación \(f^{-1}\) (leído “\(f\)-inversa”) para denotar la inversa de \(f\text{.}\) La función inversa deshace el trabajo de \(f\text{.}\) De hecho, si \(y = f(x)\text{,}\) entonces
Así, las ecuaciones \(y = f(x)\) y \(x = f^{-1}(y)\) dicen lo mismo. La única diferencia entre las dos ecuaciones es una de perspectiva — una está resuelta para \(x\text{,}\) mientras que la otra está resuelta para \(y\text{.}\)
Aquí nos recordamos brevemente algunos hechos clave sobre las funciones inversas.
Note2.6.1.
Para una función \(f : A \to B\text{,}\)
\(f\) tiene una inversa si y solo si \(f\) es uno a uno 1
Una función \(f\) es uno a uno siempre que no haya dos entradas distintas que lleven a la misma salida.
y sobre 2
Una función \(f\) es sobre siempre que cada posible elemento del codominio pueda ser realizado como una salida de la función para alguna elección de entrada del dominio.
;
siempre que \(f^{-1}\) exista, el dominio de \(f^{-1}\) es el codominio de \(f\text{,}\) y el codominio de \(f^{-1}\) es el dominio de \(f\text{;}\)
\(f^{-1}(f(x)) = x\) para cada \(x\) en el dominio de \(f\) y \(f(f^{-1}(y)) = y\) para cada \(y\) en el codominio de \(f\text{;}\)
\(y = f(x)\) si y solo si \(x = f^{-1}(y)\text{.}\)
El último hecho revela una relación especial entre las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\text{.}\) Si un punto \((x,y)\) que se encuentra en la gráfica de \(y = f(x)\text{,}\) entonces también es cierto que \(x = f^{-1}(y)\text{,}\) lo que significa que el punto \((y,x)\) se encuentra en la gráfica de \(f^{-1}\text{.}\) Esto nos muestra que las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son reflejos entre sí a través de la línea \(y = x\text{,}\) porque este reflejo es precisamente la acción geométrica que intercambia las coordenadas en un par ordenado. En Figura 2.6.2, vemos esto ilustrado por la función \(y = f(x) = 2^x\) y su inversa, con los puntos \((-1,\frac{1}{2})\) y \((\frac{1}{2},-1)\) destacando el reflejo de las curvas a través de \(y = x\text{.}\)
Figure2.6.2.Una gráfica de una función \(y = f(x)\) junto con su inversa, \(y = f^{-1}(x)\text{.}\)
Para cerrar nuestra revisión de hechos importantes sobre inversas, recordamos que la función exponencial natural \(y = f(x) = e^x\) tiene una función inversa, a saber, el logaritmo natural, \(x = f^{-1}(y) = \ln(y)\text{.}\) Así, escribir \(y = e^x\) es intercambiable con \(x = \ln(y)\text{,}\) además \(\ln(e^x) = x\) para cada número real \(x\) y \(e^{\ln(y)} = y\) para cada número real positivo \(y\text{.}\)
Subsection2.6.2La derivada de la función del logaritmo natural
En lo que sigue, encontramos una fórmula para la derivada de \(g(x) = \ln(x)\text{.}\) Para hacerlo, aprovechamos el hecho de que conocemos la derivada de la función exponencial natural, la inversa de \(g\text{.}\) En particular, sabemos que escribir \(g(x) = \ln(x)\) es equivalente a escribir \(e^{g(x)} = x\text{.}\) Ahora diferenciamos ambos lados de esta ecuación y observamos que
Para todos los números reales positivos \(x\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\text{.}\)
Esta regla para la función del logaritmo natural ahora se une a nuestra lista de reglas básicas de derivadas. Nota que esta regla se aplica solo a valores positivos de \(x\text{,}\) ya que estos son los únicos valores para los cuales \(\ln(x)\) está definido.
También nota que por primera vez en nuestro trabajo, diferenciar una función básica de un tipo particular ha llevado a una función de una naturaleza muy diferente: la derivada del logaritmo natural no es otro logaritmo, ni siquiera una función exponencial, sino una racional.
Las derivadas de los logaritmos ahora pueden ser calculadas en conjunto con todas las reglas conocidas hasta la fecha. Por ejemplo, si \(f(t) = \ln(t^2 + 1)\text{,}\) entonces por la regla de la cadena, \(f'(t) = \frac{1}{t^2 + 1} \cdot 2t\text{.}\)
Hay conexiones interesantes entre las gráficas de \(f(x) = e^x\) y \(f^{-1}(x) = \ln(x)\text{.}\)
En Figura 2.6.3, recordamos que dado que la función exponencial natural tiene la propiedad de que su derivada es ella misma, la pendiente de la tangente a \(y = e^x\) es igual a la altura de la curva en ese punto. Por ejemplo, en el punto \(A = (\ln(0.5), 0.5)\text{,}\) la pendiente de la línea tangente es \(m_A = 0.5\text{,}\) y en \(B = (\ln(5), 5)\text{,}\) la pendiente de la línea tangente es \(m_B = 5\text{.}\)
Figure2.6.3.Una gráfica de la función \(y = e^x\) junto con su inversa, \(y = \ln(x)\text{,}\) donde ambas funciones se ven usando la variable de entrada \(x\text{.}\)
En los puntos correspondientes \(A'\) y \(B'\) en la gráfica de la función del logaritmo natural (que provienen de reflejar \(A\) y \(B\) a través de la línea \(y = x\)), sabemos que la pendiente de la línea tangente es el recíproco de la coordenada \(x\) del punto (ya que \(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\)). Así, en \(A' = (0.5, \ln(0.5))\text{,}\) tenemos \(m_{A'} = \frac{1}{0.5} = 2\text{,}\) y en \(B' = (5, \ln(5))\text{,}\)\(m_{B'} = \frac{1}{5}\text{.}\)
En particular, observamos que \(m_{A'} = \frac{1}{m_A}\) y \(m_{B'} = \frac{1}{m_B}\text{.}\) Esto no es una coincidencia, sino que de hecho se cumple para cualquier curva \(y = f(x)\) y su inversa, siempre que la inversa exista. Esto se debe al reflejo a través de \(y = x\text{.}\) Cambia los roles de \(x\) y \(y\text{,}\) invirtiendo así la subida y la carrera, por lo que la pendiente de la función inversa en el punto reflejado es el recíproco de la pendiente de la función original.
Activity2.6.2.
Para cada función dada a continuación, encuentra su derivada.
\(\displaystyle h(x) = x^2\ln(x)\)
\(\displaystyle p(t) = \frac{\ln(t)}{e^t + 1}\)
\(\displaystyle s(y) = \ln(\cos(y) + 2)\)
\(\displaystyle z(x) = \tan(\ln(x))\)
\(\displaystyle m(z) = \ln(\ln(z))\)
Subsection2.6.3Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas
Las funciones trigonométricas son periódicas, por lo que no son uno a uno, y por lo tanto no tienen funciones inversas. Sin embargo, podemos restringir el dominio de cada función trigonométrica para que sea uno a uno en ese dominio.
Por ejemplo, considera la función seno en el dominio \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{.}\) Debido a que ningún resultado de la función seno se repite en este intervalo, la función es uno a uno y por lo tanto tiene una inversa. Así, la función \(f(x) = \sin(x)\) con \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) y codominio \([-1,1]\) tiene una función inversa \(f^{-1}\) tal que
Llamamos a \(f^{-1}\) la arcoseno (o función seno inversa) y escribimos \(f^{-1}(y) = \arcsin(y)\text{.}\) Es especialmente importante recordar que
\begin{equation*}
y = \sin(x) \ \ \text{y} \ \ x = \arcsin(y)
\end{equation*}
dicen lo mismo. “El arcoseno de \(y\)” significa “el ángulo cuyo seno es \(y\text{.}\)” Por ejemplo, \(\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}\) significa que \(\frac{\pi}{6}\) es el ángulo cuyo seno es \(\frac{1}{2}\text{,}\) lo cual es equivalente a escribir \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\text{.}\)
Figure2.6.4.Un gráfico de \(f(x) = \sin(x)\) (en azul), restringido al dominio \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{,}\) junto con su inversa, \(f^{-1}(x) = \arcsin(x)\) (en magenta).
A continuación, determinamos la derivada de la función arcoseno. Dejando \(h(x) = \arcsin(x)\text{,}\) nuestro objetivo es encontrar \(h'(x)\text{.}\) Dado que \(h(x)\) es el ángulo cuyo seno es \(x\text{,}\) es equivalente escribir
Finalmente, recordamos que \(h(x) = \arcsin(x)\text{,}\) por lo que el denominador de \(h'(x)\) es la función \(\cos(\arcsin(x))\text{,}\) o en otras palabras, “el coseno del ángulo cuyo seno es \(x\text{.}\)” Un poco de trigonometría de triángulos rectángulos nos permite simplificar esta expresión considerablemente.
Digamos que \(\theta = \arcsin(x)\text{,}\) de modo que \(\theta\) es el ángulo cuyo seno es \(x\text{.}\) Podemos imaginar \(\theta\) como un ángulo en un triángulo rectángulo con hipotenusa \(1\) y una pierna vertical de longitud \(x\text{,}\) como se muestra en Figura 2.6.5. La pierna horizontal debe ser \(\sqrt{1-x^2}\text{,}\) por el Teorema de Pitágoras.
Figure2.6.5.El triángulo rectángulo que corresponde al ángulo \(\theta = \arcsin(x)\text{.}\)
Ahora, porque \(\theta = \arcsin(x)\text{,}\) la expresión para \(\cos(\arcsin(x))\) es equivalente a \(\cos(\theta)\text{.}\) De la figura, \(\cos(\arcsin(x)) = \cos(\theta) = \sqrt{1-x^2}\text{.}\)
Sustituyendo esta expresión en nuestra fórmula, \(h'(x) = \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\text{,}\) ahora hemos demostrado que
Las siguientes indicaciones en esta actividad te llevarán a desarrollar la derivada de la función tangente inversa.
Sea \(r(x) = \arctan(x)\text{.}\) Usa la relación entre las funciones arcotangente y tangente para reescribir esta ecuación usando solo la función tangente.
Diferencia ambos lados de la ecuación que encontraste en (a). Resuelve la ecuación resultante para \(r'(x)\text{,}\) escribiendo \(r'(x)\) tan simple como sea posible en términos de una función trigonométrica evaluada en \(r(x)\text{.}\)
Recuerda que \(r(x) = \arctan(x)\text{.}\) Actualiza tu expresión para \(r'(x)\) de modo que solo involucre funciones trigonométricas y la variable independiente \(x\text{.}\)
Introduce un triángulo rectángulo con ángulo \(\theta\) de modo que \(\theta = \arctan(x)\text{.}\) ¿Cuáles son los tres lados del triángulo?
En términos de solo \(x\) y \(1\text{,}\) ¿cuál es el valor de \(\cos(\arctan(x))\text{?}\)
Usa los resultados de tu trabajo anterior para encontrar una expresión que solo involucre \(1\) y \(x\) para \(r'(x)\text{.}\)
Aunque las derivadas de otras funciones trigonométricas inversas se pueden establecer de manera similar, por ahora nos limitamos a las funciones arcoseno y arcotangente.
Activity2.6.4.
Determina la derivada de cada una de las siguientes funciones.
Subsection2.6.4El vínculo entre la derivada de una función y la derivada de su inversa
En Figura 2.6.3, vimos una relación interesante entre las pendientes de las líneas tangentes a las funciones exponencial natural y logaritmo natural en puntos reflejados a través de la línea \(y = x\text{.}\) En particular, observamos que en el punto \((\ln(2), 2)\) en el gráfico de \(f(x) = e^x\text{,}\) la pendiente de la línea tangente es \(f'(\ln(2)) = 2\text{,}\) mientras que en el punto correspondiente \((2, \ln(2))\) en el gráfico de \(f^{-1}(x) = \ln(x)\text{,}\) la pendiente de la línea tangente es \((f^{-1})'(2) = \frac{1}{2}\text{,}\) que es el recíproco de \(f'(\ln(2))\text{.}\)
Que las dos líneas tangentes correspondientes tengan pendientes recíprocas no es una coincidencia. Si \(f\) y \(g\) son funciones inversas diferenciables, entonces \(y = f(x)\) si y solo si \(x = g(y)\text{,}\) entonces \(f(g(x)) = x\) para cada \(x\) en el dominio de \(f^{-1}\text{.}\) Diferenciando ambos lados de esta ecuación, tenemos
Resolviendo para \(g'(x)\text{,}\) tenemos \(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\text{.}\) Aquí vemos que la pendiente de la línea tangente a la función inversa \(g\) en el punto \((x,g(x))\) es precisamente el recíproco de la pendiente de la línea tangente a la función original \(f\) en el punto \((g(x),f(g(x))) = (g(x),x)\text{.}\)
Figure2.6.6.Un gráfico de la función \(y = f(x)\) junto con su inversa, \(y = g(x) = f^{-1}(x)\text{.}\) Observa que las pendientes de las dos líneas tangentes son recíprocas entre sí.
Para ver esto más claramente, considera el gráfico de la función \(y = f(x)\) mostrado en Figura 2.6.6, junto con su inversa \(y = g(x)\text{.}\) Dado un punto \((a,b)\) que se encuentra en el gráfico de \(f\text{,}\) sabemos que \((b,a)\) se encuentra en el gráfico de \(g\text{;}\) porque \(f(a) = b\) y \(g(b) = a\text{.}\) Ahora, aplicando la regla que \(g'(x) = 1/f'(g(x))\) al valor \(x = b\text{,}\) tenemos
que es precisamente lo que vemos en la figura: la pendiente de la línea tangente a \(g\) en \((b,a)\) es el recíproco de la pendiente de la línea tangente a \(f\) en \((a,b)\text{,}\) ya que estas dos líneas son reflejos una de la otra a través de la línea \(y = x\text{.}\)
Derivada de una función inversa.
Supón que \(f\) es una función diferenciable con inversa \(g\) y que \((a,b)\) es un punto que se encuentra en el gráfico de \(f\) en el cual \(f'(a) \ne 0\text{.}\) Entonces
Más generalmente, para cualquier \(x\) en el dominio de \(g'\text{,}\) tenemos \(g'(x) = 1/f'(g(x))\text{.}\)
Las reglas que derivamos para \(\ln(x)\text{,}\)\(\arcsin(x)\text{,}\) y \(\arctan(x)\) son solo ejemplos específicos de esta propiedad general de la derivada de una función inversa. Por ejemplo, con \(g(x) = \ln(x)\) y \(f(x) = e^x\text{,}\) se sigue que
Para todos los números reales positivos \(x\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\text{.}\)
Para todos los números reales \(x\) tales que \(-1 \lt x \lt 1\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{.}\) Además, para todos los números reales \(x\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\arctan(x)] = \frac{1}{1+x^2}\text{.}\)
Si \(g\) es la inversa de una función diferenciable \(f\text{,}\) entonces para cualquier punto \(x\) en el dominio de \(g'\text{,}\)\(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\text{.}\)
Exercises2.6.6Exercises
1.Composite function involving logarithms and polynomials.
Find the derivative of the function \(f(t)\text{,}\) below.
\(f(t)=\ln(t^{3}+3)\)
\(f'(t) =\)
2.Composite function involving trigonometric functions and logarithms.
Find the derivative of the function \(g(t)\text{,}\) below. It may be to your advantage to simplify before differentiating.
\(g(t) = \cos(\ln(t))\)
\(g'(t) =\)
3.Product involving \(\arcsin(w)\).
Find the derivative of the function \(h(w)\text{,}\) below. It may be to your advantage to simplify before differentiating.
\(h(w) = 7 w \arcsin w\)
\(h'(w) =\)
4.Derivative involving \(\arctan(x)\).
For \(x>0\text{,}\) find and simplify the derivative of \(f(x) = \arctan x + \arctan(1/x)\text{.}\)
\(f'(x) =\)
(What does your result tell you about \(f\))?
5.Composite function from a graph.
Let \((x_0, y_0) = (2, 6)\) and \((x_1, y_1) = (2.1, 6.2)\text{.}\) Use the following graph of the function \(f\) to find the indicated derivatives.
If \(h(x)=(f(x))^{5}\text{,}\) then
\(h'(2) =\)
If \(g(x)=f^{-1}(x)\text{,}\) then
\(g'(6) =\)
6.Composite function involving an inverse trigonometric function.
Consider the graph of \(y = f(x)\) provided in Figure 2.6.7 and use it to answer the following questions.
Use the provided graph to estimate the value of \(f'(1)\text{.}\)
Sketch an approximate graph of \(y = f^{-1}(x)\text{.}\) Label at least three distinct points on the graph that correspond to three points on the graph of \(f\text{.}\)
Based on your work in (a), what is the value of \((f^{-1})'(-1)\text{?}\) Why?
Figure2.6.7.A function \(y = f(x)\)
11.
Let \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 + 4\text{.}\)
Sketch a graph of \(y = f(x)\) and explain why \(f\) is an invertible function.
Let \(g\) be the inverse of \(f\) and determine a formula for \(g\text{.}\)
Compute \(f'(x)\text{,}\)\(g'(x)\text{,}\)\(f'(2)\text{,}\) and \(g'(6)\text{.}\) What is the special relationship between \(f'(2)\) and \(g'(6)\text{?}\) Why?
12.
Let \(h(x) = x + \sin(x)\text{.}\)
Sketch a graph of \(y = h(x)\) and explain why \(h\) must be invertible.
Explain why it does not appear to be algebraically possible to determine a formula for \(h^{-1}\text{.}\)
Observe that the point \((\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 1)\) lies on the graph of \(y = h(x)\text{.}\) Determine the value of \((h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1)\text{.}\)
