Cálculo Activo

Hasta ahora, hemos usado los cuadriláteros más simples posibles (es decir, rectángulos) para estimar áreas. Sin embargo, es natural preguntarse si otras formas familiares podrían servirnos aún mejor.

Una alternativa a \(L_n\text{,}\) \(R_n\text{,}\) y \(M_n\) se llama la Regla del Trapecio. En lugar de usar un rectángulo para estimar el área (firmada) delimitada por \(y = f(x)\) en un pequeño intervalo, usamos un trapecio. Por ejemplo, en Figura 5.6.2, estimamos el área bajo la curva usando tres subintervalos y los trapecios que resultan de conectar los puntos correspondientes en la curva con líneas rectas.

Ahora observamos que han surgido dos sumas familiares. La suma de Riemann izquierda \(L_3\) es \(L_3 = f(x_0) \Delta x + f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x\text{,}\) y la suma de Riemann derecha es \(R_3 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x\text{.}\) Sustituyendo \(L_3\) y \(R_3\) por las expresiones correspondientes en Ecuación (5.6.4), se sigue que \(T_3 = \frac{1}{2} \left[ L_3 + R_3 \text{.}\) Así hemos visto un resultado muy importante: usar trapecios para estimar el área (firmada) delimitada por una curva es lo mismo que promediar las estimaciones generadas usando los puntos finales izquierdo y derecho.

Sabemos por la definición de la integral definida que si dejamos que \(n\) sea lo suficientemente grande, podemos hacer cualquiera de las aproximaciones \(L_n\text{,}\) \(R_n\text{,}\) y \(M_n\) tan cercanas como queramos (en teoría) al valor exacto de \(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) Por lo tanto, puede ser natural preguntarse por qué alguna vez usamos alguna regla que no sea \(L_n\) o \(R_n\) (con un valor de \(n\) suficientemente grande) para estimar una integral definida. Una de las razones principales es que a medida que \(n \to \infty\text{,}\) \(\Delta x = \frac{b-a}{n} \to 0\text{,}\) y así en un cálculo de suma de Riemann con un valor grande de \(n\text{,}\) terminamos multiplicando por un número que está muy cerca de cero. Hacerlo a menudo genera errores de redondeo, porque representar números cercanos a cero con precisión es un desafío persistente para las computadoras.

Por lo tanto, exploramos formas de estimar integrales definidas con altos niveles de precisión, pero sin usar valores extremadamente grandes de \(n\text{.}\) Prestar mucha atención a los patrones en los errores, como los observados en Actividad 5.6.2, es una forma de comenzar a ver algunos enfoques alternativos.

Para empezar, comparamos los errores en las reglas del Punto Medio y del Trapecio. Primero, considera una función que es cóncava hacia arriba en un intervalo dado, e imagina aproximar el área delimitada en ese intervalo por ambas reglas del Punto Medio y del Trapecio usando un solo subintervalo.

Como se ve en Figura 5.6.3, es evidente que siempre que la función sea cóncava hacia arriba en un intervalo, la Regla del Trapecio con un subintervalo, \(T_1\text{,}\) sobreestimará el valor exacto de la integral definida en ese intervalo. A partir de un análisis cuidadoso de la línea que delimita la parte superior del rectángulo para la Regla del Punto Medio (mostrada en magenta), vemos que si rotamos este segmento de línea hasta que sea tangente a la curva en el punto medio del intervalo (como se muestra a la derecha en Figura 5.6.3), el trapecio resultante tiene el mismo área que \(M_1\text{,}\) y este valor es menor que el valor exacto de la integral definida. Por lo tanto, cuando la función es cóncava hacia arriba en el intervalo, \(M_1\) subestima el valor verdadero de la integral.

Estas observaciones se extienden fácilmente a la situación donde la concavidad de la función permanece consistente pero usamos valores más grandes de \(n\) en las Reglas del Punto Medio y del Trapecio. Por lo tanto, siempre que \(f\) sea cóncava hacia arriba en \([a,b]\text{,}\) \(T_n\) sobreestimará el valor de \(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) mientras que \(M_n\) subestimará \(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) Las observaciones inversas son ciertas en la situación donde \(f\) es cóncava hacia abajo.

A continuación, comparamos el tamaño de los errores entre \(M_n\) y \(T_n\text{.}\) Nuevamente, nos enfocamos en \(M_1\) y \(T_1\) en un intervalo donde la concavidad de \(f\) es consistente. En Figura 5.6.4, donde el error de la Regla del Trapecio está sombreado en rojo, mientras que el error de la Regla del Punto Medio está sombreado en rojo más claro, es visualmente aparente que el error en la Regla del Trapecio es más significativo. Para ver cuánto más significativo, consideremos dos ejemplos y algunos cálculos particulares.

Usando tecnología apropiada para calcular \(M_4\text{,}\) \(M_8\text{,}\) \(T_4\text{,}\) y \(T_8\text{,}\) así como los errores correspondientes \(E_{M,4}\text{,}\) \(E_{M,8}\text{,}\) \(E_{T,4}\text{,}\) y \(E_{T,8}\text{,}\) como hicimos en Actividad 5.6.2, encontramos los resultados resumidos en Tabla 5.6.5. También incluimos las aproximaciones y sus errores para el ejemplo \(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\) de Actividad 5.6.2.

Para una función dada \(f\) y un intervalo \([a,b]\text{,}\) \(E_{T,4} = T_4 - \int_a^b f(x) \,dx\) calcula la diferencia entre la aproximación generada por la Regla del Trapecio con \(n = 4\) y el valor exacto de la integral definida. Si miramos no solo \(E_{T,4}\text{,}\) sino también los otros errores generados al usar \(T_n\) y \(M_n\) con \(n = 4\) y \(n = 8\) en los dos ejemplos mencionados en Table 5.6.5, vemos un patrón evidente. No solo el signo del error (que mide si la regla genera una sobreestimación o subestimación) está ligado a la regla utilizada y la concavidad de la función, sino que la magnitud de los errores generados por \(T_n\) y \(M_n\) parece estar estrechamente conectada. En particular, los errores generados por la Regla del Punto Medio parecen ser aproximadamente la mitad (en valor absoluto) de los generados por la Regla del Trapecio.

Esta importante relación sugiere una manera de combinar las Reglas del Punto Medio y del Trapecio para crear una aproximación aún más precisa a una integral definida.

Si una función está siempre aumentando o siempre disminuyendo en el intervalo \([a,b]\text{,}\) una de \(L_n\) y \(R_n\) sobreestimará el valor verdadero de \(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) mientras que la otra subestimará la integral. Así, los errores que resultan de \(L_n\) y \(R_n\) tendrán signos opuestos; por lo que promediar \(L_n\) y \(R_n\) elimina una cantidad considerable del error presente en las respectivas aproximaciones. De manera similar, tiene sentido pensar en promediar \(M_n\) y \(T_n\) para generar una aproximación aún más precisa.

La regla para \(S_{2n}\) dada por Equation (5.6.5) es usualmente conocida como Regla de Simpson.

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Thomas Simpson fue un matemático del siglo XVIII; su idea fue extender la regla del trapecio, pero en lugar de usar líneas rectas para construir trapecios, usar funciones cuadráticas para construir regiones cuya área estaba delimitada por parábolas (cuyas áreas podía encontrar exactamente). La Regla de Simpson a menudo se desarrolla desde la perspectiva más sofisticada de usar interpolación por funciones cuadráticas.

Nota que usamos “\(S_{2n}\)” en lugar de “\(S_n\)” ya que los puntos \(n\) que usa la Regla del Punto Medio son diferentes de los puntos \(n\) que usa la Regla del Trapecio, y por lo tanto la Regla de Simpson está usando \(2n\) puntos para evaluar la función. Nos basamos en los resultados en Table 5.6.5 para ver las aproximaciones generadas por la Regla de Simpson. En particular, en Table 5.6.6, incluimos todos los resultados en Table 5.6.5, pero incluimos resultados adicionales para \(S_8 = \frac{2M_4 + T_4}{3}\) y \(S_{16} = \frac{2M_8 + T_8}{3}\text{.}\)

Los resultados vistos en Table 5.6.6 son sorprendentes. Si consideramos la aproximación \(S_{16}\) de \(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\text{,}\) el error es solo \(E_{S,16} = 0.0000019434\text{.}\) En contraste, \(L_8 = 0.5491458502\text{,}\) por lo que el error de esa estimación es \(E_{L,8} = 0.0491458502\text{.}\) Además, observamos que generar las aproximaciones para la Regla de Simpson es casi ningún trabajo adicional: una vez que tenemos \(L_n\text{,}\) \(R_n\) y \(M_n\) para un valor dado de \(n\text{,}\) es un ejercicio simple generar \(T_n\text{,}\) y de ahí calcular \(S_{2n}\text{.}\) Finalmente, nota que el error en las aproximaciones de la Regla de Simpson de \(\int_0^1 (1-x^2) \, dx\) es cero!

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Similar a cómo las aproximaciones del Punto Medio y del Trapecio son exactas para funciones lineales, las aproximaciones de la Regla de Simpson son exactas para funciones cuadráticas y cúbicas. Ver discusión adicional sobre este tema más adelante en la sección y en los ejercicios.

Estas reglas no solo son útiles para aproximar integrales definidas como \(\int_0^1 e^{-x^2} \, dx\text{,}\) para las cuales no podemos encontrar una antiderivada elemental de \(e^{-x^2}\text{,}\) sino también para aproximar integrales definidas cuando se nos da una función a través de una tabla de datos.

Al concluir nuestra discusión sobre la aproximación numérica de integrales definidas, es importante resumir las tendencias generales en cómo las diversas reglas sobreestiman o subestiman el valor verdadero de una integral definida, y por cuánto. Para revisar algunas observaciones pasadas y ver algunas nuevas, consideramos la siguiente actividad.

Los resultados vistos en Activity 5.6.4 se generalizan bien. Por ejemplo, si \(f\) está disminuyendo en \([a,b]\text{,}\) \(L_n\) sobreestimará el valor exacto de \(\int_a^b f(x) \,dx\text{,}\) y si \(f\) es cóncava hacia abajo en \([a,b]\text{,}\) \(M_n\) sobreestimará el valor exacto de la integral. Un excelente ejercicio es escribir una colección de escenarios de posibles comportamientos de funciones, y luego categorizar si cada uno de \(L_n\text{,}\) \(R_n\text{,}\) \(T_n\) y \(M_n\) es una sobreestimación o subestimación.

Finalmente, hacemos dos notas importantes sobre la Regla de Simpson. Cuando T. Simpson desarrolló por primera vez esta regla, su idea fue reemplazar la función \(f\) en un intervalo dado con una función cuadrática que compartiera tres valores con la función \(f\text{.}\) Al hacerlo, garantizó que esta nueva regla de aproximación sería exacta para la integral definida de cualquier polinomio cuadrático. En una de las sorpresas agradables del análisis numérico, resulta que aunque fue diseñada para ser exacta para polinomios cuadráticos, la Regla de Simpson es exacta para cualquier polinomio cúbico: es decir, si estamos interesados en una integral como \(\int_2^5 (5x^3 - 2x^2 + 7x - 4)\, dx\text{,}\) \(S_{2n}\) siempre será exacta, independientemente del valor de \(n\text{.}\) Esto es solo una pieza más de evidencia que muestra cuán efectiva es la Regla de Simpson como herramienta de aproximación para estimar integrales definidas.

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Una razón por la que la Regla de Simpson es tan efectiva es que \(S_{2n}\) se beneficia de usar \(2n+1\) puntos de datos. Porque combina \(M_n\text{,}\) que usa \(n\) puntos medios, y \(T_n\text{,}\) que usa los \(n+1\) puntos finales de los subintervalos elegidos, \(S_{2n}\) aprovecha la máxima cantidad de información que tenemos cuando conocemos los valores de la función en los puntos finales y medios de \(n\) subintervalos.