CA El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Section 5.2 El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Preguntas Motivadoras

¿Cómo define la función integral \(A(x) = \int_1^x f(t) \, dt\) una antiderivada de \(f\text{?}\)
¿Cuál es la declaración del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo?
¿Cómo nos permiten los Primeros y Segundos Teoremas Fundamentales del Cálculo ver formalmente cómo la diferenciación y la integración son casi procesos inversos?

En Sección 4.4, aprendimos el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), que de aquí en adelante se referirá como el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, ya que en esta sección desarrollamos un resultado correspondiente que lo sigue. Recuerda que el Primer TFC nos dice que si \(f\) es una función continua en \([a,b]\) y \(F\) es cualquier antiderivada de \(f\) (es decir, \(F' = f\)), entonces

\begin{equation*} \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\text{.} \end{equation*}

Hemos usado este resultado en dos contextos:

Si tenemos un gráfico de \(f\) y podemos calcular el área exacta delimitada por \(f\) en un intervalo \([a,b]\text{,}\) podemos calcular el cambio en una antiderivada \(F\) sobre el intervalo.
Si podemos encontrar una fórmula algebraica para una antiderivada de \(f\text{,}\) podemos evaluar la integral para encontrar el área neta firmada delimitada por la función en el intervalo.

Para el primero, ve Actividad de Vista Previa 5.1.1 o Actividad 5.1.2. Para el segundo, podemos evaluar fácilmente integrales como

\begin{equation*} \int_1^4 x^2 \, dx\text{,} \end{equation*}

ya que sabemos que la función \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\) es una antiderivada de \(f(x) = x^2\text{.}\) Así,

\begin{align*} \int_1^4 x^2 \, dx &= \frac{1}{3}x^3 \bigg\vert_1^4\\ &= \frac{1}{3}(4)^3 - \frac{1}{3}(1)^3\\ &= 21\text{.} \end{align*}

Así, el Primer TFC puede usarse de dos maneras. Primero, para encontrar la diferencia \(F(b) - F(a)\) para una antiderivada \(F\) del integrando \(f\text{,}\) incluso si no tenemos una fórmula para \(F\) en sí. Para hacer esto, debemos conocer el valor de la integral \(\int_a^b f(x) \, dx\) exactamente, tal vez a través de fórmulas geométricas conocidas para el área. Además, el Primer TFC proporciona una manera de encontrar el valor exacto de una integral definida, y por lo tanto un área neta firmada exacta, encontrando una antiderivada del integrando y evaluando su cambio total sobre el intervalo. En este caso, necesitamos conocer una fórmula para la antiderivada \(F\text{.}\) Ambas perspectivas se reflejan en Figura 5.2.1.

Figure 5.2.1. A la izquierda, el gráfico de \(f(x) = x^2\) en el intervalo \([1,4]\) y el área que delimita. A la derecha, la función antiderivada \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\text{,}\) cuyo cambio total en \([1,4]\) es el valor de la integral definida a la izquierda.

El valor de una integral definida puede tener un significado adicional dependiendo del contexto: como el cambio en la posición cuando el integrando es una función de velocidad, la cantidad total de contaminante filtrado de un tanque cuando el integrando es la tasa a la que se filtra la contaminación, u otros cambios totales si el integrando es una función de tasa. Además, el valor de la integral definida está conectado al valor promedio de una función continua en un intervalo dado: \(f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\text{.}\)

En la última parte de Sección 5.1, estudiamos funciones integrales de la forma \(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{.}\) Figura 5.1.5 es una imagen particularmente importante a tener en cuenta mientras trabajamos con funciones integrales, y el correspondiente applet

gvsu.edu/s/cz

puede ayudarnos a entender la función \(A\text{.}\) En lo que sigue, usamos el Primer TFC para obtener una comprensión adicional de la función \(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{,}\) donde se da el integrando \(f\) (ya sea a través de un gráfico o una fórmula), y \(c\) es una constante.

Actividad Introductoria 5.2.1.

Considera la función \(A\) definida por la regla

\begin{equation*} A(x) = \int_1^x f(t) \, dt\text{,} \end{equation*}

donde \(f(t) = 4-2t\text{.}\)

Calcula \(A(1)\) y \(A(2)\) exactamente.
Usa el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar una fórmula para \(A(x)\) que no involucre integrales. Es decir, usa el primer FTC para evaluar \(\int_1^x (4-2t) \, dt\text{.}\)
Observa que \(f\) es una función lineal; ¿qué tipo de función es \(A\text{?}\)
Usando la fórmula que encontraste en (b) que no involucra integrales, calcula \(A'(x)\text{.}\)
Aunque hemos definido \(f\) por la regla \(f(t) = 4-2t\text{,}\) es equivalente decir que \(f\) está dada por la regla \(f(x) = 4 - 2x\text{.}\) ¿Qué observas sobre la relación entre \(A\) y \(f\text{?}\)

Subsection 5.2.1 El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

El resultado de Actividad de Vista Previa 5.2.1 no es particular para la función \(f(t) = 4-2t\text{,}\) ni para la elección de “\(1\)” como el límite inferior en la integral que define la función \(A\text{.}\) Por ejemplo, si dejamos que \(f(t) = \cos(t) - t\) y establecemos \(A(x) = \int_2^x f(t) \, dt\text{,}\) podemos determinar una fórmula para \(A\) mediante el Primer TFC. Específicamente,

\begin{align*} A(x) &= \int_2^x (\cos(t) - t) \, dt\\ &= \sin(t) - \frac{1}{2}t^2 \bigg\vert_2^x\\ &= \sin(x) - \frac{1}{2}x^2 - \left(\sin(2) - 2 \right)\text{.} \end{align*}

Diferenciando \(A(x)\text{,}\) dado que \((\sin(2) - 2)\) es constante, se sigue que

\begin{equation*} A'(x) = \cos(x) - x\text{,} \end{equation*}

y así vemos que \(A'(x) = f(x)\text{,}\) por lo que \(A\) es una antiderivada de \(f\text{.}\) Y dado que \(A(2) = \int_2^2 f(t) \, dt = 0\text{,}\) \(A\) es la única antiderivada de \(f\) para la cual \(A(2) = 0\text{.}\)

En general, si \(f\) es cualquier función continua, y definimos la función \(A\) por la regla

\begin{equation*} A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{,} \end{equation*}

donde \(c\) es una constante arbitraria, entonces podemos mostrar que \(A\) es una antiderivada de \(f\text{.}\) Para ver por qué, vamos a demostrar que \(A'(x) = f(x)\) usando la definición de límite de la derivada. Haciendo esto, observamos que

\begin{align} A'(x) \amp = \lim_{h \to 0} \frac{A(x+h) - A(x)}{h}\notag\\ \amp = \lim_{h \to 0} \frac{\int_c^{x+h} f(t) \, dt - \int_c^x f(t) \, dt}{h}\notag\\ \amp = \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t) \, dt}{h}\text{,}\tag{5.2.1} \end{align}

donde Ecuación (5.2.1) sigue del hecho de que \(\int_c^x f(t) \,dt + \int_x^{x+h} f(t) \, dt = \int_c^{x+h} f(t) \, dt\text{.}\) Ahora, observa que para valores pequeños de \(h\text{,}\)

\begin{equation*} \int_x^{x+h} f(t) \, dt \approx f(x) \cdot h\text{,} \end{equation*}

mediante una simple aproximación por la izquierda de la integral. Así, al tomar el límite en Ecuación (5.2.1), se sigue que

\begin{equation*} A'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t) \, dt}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot h}{h} = f(x)\text{.} \end{equation*}

Por lo tanto, \(A\) es de hecho una antiderivada de \(f\text{.}\) Además, \(A(c) = \int_c^c f(t) \, dt = 0\text{.}\) El argumento anterior demuestra la veracidad del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, que declaramos de la siguiente manera.

El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

Si \(f\) es una función continua y \(c\) es cualquier constante, entonces \(f\) tiene una antiderivada única \(A\) que satisface \(A(c) = 0\text{,}\) y esa antiderivada se da por la regla \(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{.}\)

Activity 5.2.2.

Supón que \(f\) es la función dada en Figura 5.2.2 y que \(f\) es una función a trozos cuyas partes son porciones de líneas o porciones de círculos, como se muestra.

Figure 5.2.2. A la izquierda, el gráfico de \(y = f(x)\text{.}\) A la derecha, ejes para dibujar \(y = A(x)\text{.}\)

Además, sea \(A\) la función definida por la regla \(A(x) = \int_2^x f(t) \, dt\text{.}\)

¿Qué nos dice el Segundo TFC sobre la relación entre \(A\) y \(f\text{?}\)
Calcula \(A(1)\) y \(A(3)\) exactamente.
Dibuja un gráfico preciso de \(y = A(x)\) en los ejes a la derecha que refleje con precisión dónde \(A\) está aumentando y disminuyendo, dónde \(A\) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, y los valores exactos de \(A\) en \(x = 0, 1, \ldots, 7\text{.}\)
¿En qué se parece \(A\) a, pero es diferente de, la función \(F\) que encontraste en Actividad 5.1.2?
Con el menor trabajo adicional posible, dibuja gráficos precisos de las funciones \(B(x) = \int_3^x f(t) \, dt\) y \(C(x) = \int_1^x f(t) \, dt\text{.}\) Justifica tus resultados con al menos una frase de explicación.

Subsection 5.2.2 Entendiendo las Funciones Integrales

El Segundo TFC nos proporciona una manera de construir una antiderivada de cualquier función continua. En particular, si nos dan una función continua \(g\) y deseamos encontrar una antiderivada \(G\text{,}\) ahora podemos decir que

\begin{equation*} G(x) = \int_c^x g(t) \, dt \end{equation*}

proporciona la regla para tal antiderivada, y además que \(G(c) = 0\text{.}\) Nota especialmente que sabemos que \(G'(x) = g(x)\text{,}\) o

\begin{equation} \frac{d}{dx} \left[ \int_c^x g(t) \, dt \right] = g(x)\text{.}\tag{5.2.2} \end{equation}

Este resultado es útil para entender el gráfico de \(G\text{.}\)

Example 5.2.3.

Investiga el comportamiento de la función integral

\begin{equation*} E(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt\text{.} \end{equation*}

Solution.

\(E\) está estrechamente relacionada con la conocida función de error

La función de error se define por la regla \(\erf (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \,dt\) y tiene la propiedad clave de que \(0 \le \erf (x) \lt 1\) para todo \(x \ge 0\) y además que \(\lim_{x \to \infty} \erf (x) = 1\text{.}\)

en probabilidad y estadística. Resulta que la función \(e^{-t^2}\) no tiene una antiderivada elemental.

Aunque no podemos evaluar \(E\) exactamente para ningún valor que no sea \(x = 0\text{,}\) aún podemos obtener una gran cantidad de información sobre la función \(E\text{.}\) Aplicando la regla en Equation (5.2.2) a \(E\text{,}\) se sigue que

\begin{equation*} E'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_0^x e^{-t^2} \, dt \right] = e^{-x^2}\text{,} \end{equation*}

así que conocemos una fórmula para la derivada de \(E\text{,}\) y sabemos que \(E(0) = 0\text{.}\) Esta información es precisamente el tipo que se nos dio en Activity 3.1.2, donde se nos dio información sobre la derivada de una función, pero carecíamos de una fórmula para la función en sí.

Usando las primeras y segundas derivadas de \(E\text{,}\) junto con el hecho de que \(E(0) = 0\text{,}\) podemos determinar más información sobre el comportamiento de \(E\text{.}\) Primero, notamos que para todos los números reales \(x\text{,}\) \(e^{-x^2} \gt 0\text{,}\) y por lo tanto \(E'(x) \gt 0\) para todo \(x\text{.}\) Así que \(E\) es una función siempre creciente. Además, a medida que \(x \to \infty\text{,}\) \(E'(x) = e^{-x^2} \to 0\text{,}\) por lo que la pendiente de la función \(E\) tiende a cero a medida que \(x \to \infty\) (y de manera similar a medida que \(x \to -\infty\)). De hecho, resulta que \(E\) tiene asíntotas horizontales a medida que \(x\) aumenta o disminuye sin límite.

Además, podemos observar que \(E''(x) = -2xe^{-x^2}\text{,}\) y que \(E''(0) = 0\text{,}\) mientras que \(E''(x) \lt 0\) para \(x \gt 0\) y \(E''(x) \gt 0\) para \(x \lt 0\text{.}\) Esta información nos dice que \(E\) es cóncava hacia arriba para \(x\lt 0\) y cóncava hacia abajo para \(x \gt 0\) con un punto de inflexión en \(x = 0\text{.}\)

Lo único que nos falta en este punto es una idea de cuán grande puede llegar a ser \(E\) a medida que \(x\) aumenta. Si usamos una suma de Riemann de punto medio con 10 subintervalos para estimar \(E(2)\text{,}\) vemos que \(E(2) \approx 0.8822\text{;}\) un cálculo similar para estimar \(E(3)\) muestra poco cambio (\(E(3) \approx 0.8862\)), por lo que parece que a medida que \(x\) aumenta sin límite, \(E\) se aproxima a un valor apenas mayor que \(0.886\text{,}\) lo cual se alinea con el hecho de que \(E\) tiene asíntotas horizontales. Juntando toda esta información (y usando la simetría de \(f(t) = e^{-t^2}\)), vemos los resultados mostrados en Figure 5.2.4.

Figure 5.2.4. A la izquierda, el gráfico de \(f(t) = e^{-t^2}\text{.}\) A la derecha, la función integral \(E(x) = \int_0^x e^{-t^2} \ dt\text{,}\) que es la antiderivada única de \(f\) que satisface \(E(0) = 0\text{.}\)

Debido a que \(E\) es la antiderivada de \(f(t) = e^{-t^2}\) que satisface \(E(0) = 0\text{,}\) los valores en el gráfico de \(y = E(x)\) representan el área neta firmada de la región delimitada por \(f(t) = e^{-t^2}\) desde 0 hasta \(x\text{.}\) Vemos que el valor de \(E\) aumenta rápidamente cerca de cero pero luego se nivela a medida que \(x\) aumenta, ya que hay cada vez menos área adicional acumulada delimitada por \(f(t) = e^{-t^2}\) a medida que \(x\) aumenta.

Activity 5.2.3.

Supón que \(f(t) = \frac{t}{1+t^2}\) y \(F(x) = \int_0^x f(t) \, dt\text{.}\)

En los ejes a la izquierda en Figure 5.2.5, traza un gráfico de \(f(t) = \frac{t}{1+t^2}\) en el intervalo \(-10 \le t \le 10\text{.}\) Etiqueta claramente los ejes verticales con la escala apropiada.
¿Cuál es la relación clave entre \(F\) y \(f\text{,}\) según el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo?
Usa la prueba de la primera derivada para determinar los intervalos en los que \(F\) está aumentando y disminuyendo.
Usa la prueba de la segunda derivada para determinar los intervalos en los que \(F\) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Nota que \(f'(t)\) puede simplificarse para escribirse en la forma \(f'(t) = \frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\text{.}\)
Usando la tecnología apropiadamente, estima los valores de \(F(5)\) y \(F(10)\) mediante sumas de Riemann apropiadas.
Dibuja un gráfico preciso de \(y = F(x)\) en los ejes de la derecha proporcionados, y etiqueta claramente los ejes verticales con la escala apropiada.

Figure 5.2.5. Ejes para trazar \(f\) y \(F\text{.}\)

Subsection 5.2.3 Diferenciando una Función Integral

Hemos visto que el Segundo TFC nos permite construir una antiderivada \(F\) para cualquier función continua \(f\) como la función integral \(F(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{.}\) Si tenemos una función de la forma \(F(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{,}\) entonces sabemos que \(F'(x) = \frac{d}{dx} \left[\int_c^x f(t) \, dt \right] = f(x)\text{.}\) Esto muestra que las funciones integrales, aunque quizás tengan las fórmulas más complicadas de todas las funciones que hemos encontrado, son, no obstante, particularmente simples de diferenciar. Por ejemplo, si

\begin{equation*} F(x) = \int_{\pi}^x \sin(t^2) \, dt\text{,} \end{equation*}

entonces por el Segundo TFC, sabemos inmediatamente que

\begin{equation*} F'(x) = \sin(x^2)\text{.} \end{equation*}

En general, sabemos por el Segundo TFC que

\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) \, dt \right] = f(x)\text{.} \end{equation*}

Esta ecuación dice que “la derivada de la función integral cuyo integrando es \(f\text{,}\) es \(f\text{.}\)” Vemos que si primero integramos la función \(f\) desde \(t = a\) hasta \(t = x\text{,}\) y luego diferenciamos con respecto a \(x\text{,}\) estos dos procesos se “deshacen” entre sí.

¿Qué pasa si diferenciamos una función \(f(t)\) y luego integramos el resultado desde \(t = a\) hasta \(t = x\text{?}\) Es decir, ¿qué podemos decir sobre la cantidad

\begin{equation*} \int_a^x \frac{d}{dt} \left[ f(t) \right] \, dt? \end{equation*}

Notamos que \(f(t)\) es una antiderivada de \(\frac{d}{dt} \left[ f(t) \right]\) y aplicamos el Primer TFC. Vemos que

\begin{align*} \int_a^x \frac{d}{dt} \left[ f(t) \right] \, dt &= f(t) \bigg\vert_a^x\\ &= f(x) - f(a)\text{.} \end{align*}

Así, vemos que si primero diferenciamos \(f\) y luego integramos el resultado desde \(a\) hasta \(x\text{,}\) volvemos a la función \(f\text{,}\) menos el valor constante \(f(a)\text{.}\) Así que los dos procesos casi se deshacen entre sí, hasta el valor constante \(f(a)\text{.}\)

Las observaciones hechas en los dos párrafos anteriores demuestran que diferenciar e integrar (donde integramos desde una constante hasta una variable) son procesos casi inversos. Esto no debería ser sorprendente: integrar implica antidiferenciar, lo que revierte el proceso de diferenciar. Por otro lado, vemos que hay cierta sutileza involucrada, porque integrar la derivada de una función no produce exactamente la función en sí. Esto se debe a que cada función tiene una familia completa de antiderivadas, y cualquiera de esas antiderivadas difiere solo por una constante.

Activity 5.2.4.

Evalúa cada una de las siguientes derivadas e integrales definidas. Cita claramente si usas el Primer o Segundo TFC al hacerlo.

\(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_4^x e^{t^2} \, dt \right]\)
\(\displaystyle \int_{-2}^x \frac{d}{dt} \left[ \frac{t^4}{1+t^4} \right] \, dt\)
\(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_{x}^1 \cos(t^3) \, dt \right]\)
\(\displaystyle \int_{3}^x \frac{d}{dt} \left[ \ln(1+t^2) \right] \, dt\)
\(\frac{d}{dx} \left[ \int_4^{x^3} \sin(t^2) \, dt \right]\) .

Subsection 5.2.4 Resumen

Para una función continua \(f\text{,}\) la función integral \(A(x) = \int_1^x f(t) \, dt\) define una antiderivada de \(f\text{.}\)
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo es la declaración formal, más general del hecho anterior: si \(f\) es una función continua y \(c\) es cualquier constante, entonces \(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\) es la antiderivada única de \(f\) que satisface \(A(c) = 0\text{.}\)
Juntos, el Primer y Segundo TFC nos permiten ver formalmente cómo la diferenciación y la integración son procesos casi inversos a través de las observaciones de que

\begin{equation*} \int_c^x \frac{d}{dt} \left[ f(t) \right] \, dt = f(x) - f(c) \end{equation*}

y

\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ \int_c^x f(t) \, dt \right] = f(x)\text{.} \end{equation*}

Exercises 5.2.5 Exercises

1. A definite integral starting at 3.

Let \(g(x)=\int_{0}^{x}\, f(t)\,dt\text{,}\) where \(f(t)\) is given in the figure below.

(Click on the graph for a larger version.)

Find each of the following:

A. \(g(0) =\)

B. \(g'(1) =\)

C. The interval (with endpoints given to the nearest 0.25) where \(g\) is concave up:

interval =

(Give your answer as an interval or a list of intervals, e.g., (-infinity,8] or (1,5),(7,10), or enter nonefor no intervals.)

D. The value of \(x\) where \(g\) takes its maximum on the interval \(0 \leq x \leq 8\text{.}\)

\(x =\)

2. Variable in the lower limit.

Find the derivative: \(\displaystyle \frac{d}{dx}\int^a_x \ln(\ln(t))\,dt =\)

3. Approximating a function with derivative \(e^{-x^2/5}\).

Find a good numerical approximation to \(F(4)\) for the function with the properties that \(F'(x)=e^{-x^2/5}\) and \(F(0)=3\text{.}\)

\(F(4) \approx\)

4.

Let \(g\) be the function pictured at left in Figure 5.2.6, and let \(F\) be defined by \(F(x) = \int_{2}^x g(t) \, dt\text{.}\) Assume that the shaded areas have values \(A_1 = 4.29\text{,}\) \(A_2 = 12.75\text{,}\) \(A_3 = 0.36\text{,}\) and \(A_4 = 1.79\text{.}\) Assume further that the portion of \(A_2\) that lies between \(x = 0.5\) and \(x = 2\) is \(6.06\text{.}\)

Sketch a carefully labeled graph of \(F\) on the axes provided, and include a written analysis of how you know where \(F\) is zero, increasing, decreasing, concave up, and concave down.

Figure 5.2.6. At left, the graph of \(g\text{.}\) At right, axes for plotting \(F\text{.}\)

5.

The tide removes sand from the beach at a small ocean park at a rate modeled by the function

\begin{equation*} R(t) = 2 + 5\sin \left( \frac{4\pi t}{25} \right) \end{equation*}

A pumping station adds sand to the beach at rate modeled by the function

\begin{equation*} S(t) = \frac{15t}{1+3t} \end{equation*}

Both \(R(t)\) and \(S(t)\) are measured in cubic yards of sand per hour, \(t\) is measured in hours, and the valid times are \(0 \le t \le 6\text{.}\) At time \(t = 0\text{,}\) the beach holds 2500 cubic yards of sand.

What definite integral measures how much sand the tide will remove during the time period \(0 \le t \le 6\text{?}\) Why?
Write an expression for \(Y(x)\text{,}\) the total number of cubic yards of sand on the beach at time \(x\text{.}\) Carefully explain your thinking and reasoning.
At what instantaneous rate is the total number of cubic yards of sand on the beach at time \(t = 4\) changing?
Over the time interval \(0 \le t \le 6\text{,}\) at approximately what time \(t\) is the amount of sand on the beach least? What is the corresponding approximate minimum value? Explain and justify your answers fully.

6.

When an aircraft attempts to climb as rapidly as possible, its climb rate (in feet per minute) decreases as altitude increases, because the air is less dense at higher altitudes. Given below is a table showing performance data for a certain single engine aircraft, giving its climb rate at various altitudes, where \(c(h)\) denotes the climb rate of the airplane at an altitude \(h\text{.}\)

Table 5.2.7. Data for the climbing aircraft.

\(h\) (feet)	\(0\)	\(1000\)	\(2000\)	\(3000\)	\(4000\)	\(5000\)	\(6000\)	\(7000\)	\(8000\)	\(9000\)	\(10{,}000\)
\(c\) (ft/min)	\(925\)	\(875\)	\(830\)	\(780\)	\(730\)	\(685\)	\(635\)	\(585\)	\(535\)	\(490\)	\(440\)

Let a new function \(m\text{,}\) that also depends on \(h\text{,}\) (say \(y = m(h)\)) measure the number of minutes required for a plane at altitude \(h\) to climb the next foot of altitude.

Determine a similar table of values for \(m(h)\) and explain how it is related to the table above. Be sure to discuss the units on \(m\text{.}\)
Give a careful interpretation of a function whose derivative is \(m(h)\text{.}\) Describe what the input is and what the output is. Also, explain in plain English what the function tells us.
Determine a definite integral whose value tells us exactly the number of minutes required for the airplane to ascend to 10,000 feet of altitude. Clearly explain why the value of this integral has the required meaning.
Determine a formula for a function \(M(h)\) whose value tells us the exact number of minutes required for the airplane to ascend to \(h\) feet of altitude.
Estimate the values of \(M(6000)\) and \(M(10000)\) as accurately as you can. Include units on your results.

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