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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 1.1 ¿Cómo medimos la velocidad?

El cálculo se puede ver en términos generales como el estudio del cambio. Una pregunta natural e importante que hacer sobre cualquier cantidad cambiante es “¿qué tan rápido está cambiando la cantidad?”
Comenzamos con un problema simple: una pelota es lanzada directamente hacia arriba en el aire. ¿Cómo se está moviendo la pelota? Preguntas como esta son centrales para nuestro estudio del cálculo diferencial.

Actividad Introductoria 1.1.1.

Supón que la altura \(s\) de una pelota en el tiempo \(t\) (en segundos) se da en pies por la fórmula \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{.}\)
  1. Construye un gráfico de \(y = s(t)\) en el intervalo de tiempo \(0 \le t \le 3\text{.}\) Etiqueta al menos seis puntos distintos en el gráfico, incluyendo los tres puntos que muestran cuando la pelota fue lanzada, cuando la pelota alcanza su punto más alto, y cuando la pelota cae.
  2. Describe el comportamiento de la pelota en el intervalo de tiempo \(0 \lt t \lt 1\) y en el intervalo de tiempo \(1 \lt t \lt 3\text{.}\) ¿Qué ocurre en el instante \(t = 1\text{?}\)
  3. Considera la expresión
    \begin{equation*} AV_{[0.5,1]} = \frac{s(1) - s(0.5)}{1-0.5}\text{.} \end{equation*}
    Calcula el valor de \(AV_{[0.5,1]}\text{.}\) ¿Qué mide este valor en el gráfico? ¿Qué nos dice este valor sobre el movimiento de la pelota? En particular, ¿cuáles son las unidades de \(AV_{[0.5,1]}\text{?}\)

Subsection 1.1.1 Posición y velocidad promedio

Cualquier objeto en movimiento tiene una posición que se puede considerar una función del tiempo. Cuando el movimiento es a lo largo de una línea recta, la posición se da por una sola variable, que denotamos por \(s(t)\text{.}\) Por ejemplo, \(s(t)\) podría dar el marcador de millas de un coche que viaja en una carretera recta en el tiempo \(t\) en horas. De manera similar, la función \(s\) descrita en Preview Activity 1.1.1 es una función de posición, donde la posición se mide verticalmente en relación con el suelo.
En cualquier intervalo de tiempo, un objeto en movimiento también tiene una velocidad promedio. Por ejemplo, para calcular la velocidad promedio de un coche dividimos el número de millas recorridas por el tiempo transcurrido, lo que da la velocidad en millas por hora. De manera similar, el valor de \(AV_{[0.5,1]}\) en Preview Activity 1.1.1 dio la velocidad promedio de la pelota en el intervalo de tiempo \([0.5,1]\text{,}\) medida en pies por segundo.
En general, hacemos la siguiente definición:

Velocidad Promedio.

Para un objeto que se mueve en línea recta con función de posición \(s(t)\text{,}\) la velocidad promedio del objeto en el intervalo de \(t = a\) a \(t = b\), denotada \(AV_{[a,b]}\text{,}\) se da por la fórmula
\begin{equation*} AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}
Nota bien: las unidades en \(AV_{[a,b]}\) son “unidades de \(s\) por unidad de \(t\text{,}\)” como “millas por hora” o “pies por segundo.”

Activity 1.1.2.

Las siguientes preguntas se refieren a la función de posición dada por \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{,}\) considerada en Preview Activity 1.1.1.
  1. Calcula la velocidad media de la pelota en cada uno de los siguientes intervalos de tiempo: \([0.4,0.8]\text{,}\) \([0.7,0.8]\text{,}\) \([0.79, 0.8]\text{,}\) \([0.799,0.8]\text{,}\) \([0.8,1.2]\text{,}\) \([0.8,0.9]\text{,}\) \([0.8,0.81]\text{,}\) \([0.8,0.801]\text{.}\) Incluye unidades para cada valor.
  2. En el gráfico proporcionado en Figura 1.1.1, dibuja la línea que pasa por los puntos \(A=(0.4, s(0.4))\) y \(B=(0.8, s(0.8))\text{.}\) ¿Cuál es el significado de la pendiente de esta línea? A la luz de este significado, ¿cuál es una forma geométrica de interpretar cada uno de los valores calculados en la pregunta anterior?
  3. Usa una herramienta de graficación para trazar el gráfico de \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\) en un intervalo que contenga el valor \(t = 0.8\text{.}\) Luego, haz zoom repetidamente en el punto \((0.8, s(0.8))\text{.}\) ¿Qué observas sobre cómo se ve el gráfico a medida que lo miras más de cerca?
  4. ¿Qué conjeturas sobre la velocidad de la pelota en el instante \(t = 0.8\text{?}\) ¿Por qué?
Figure 1.1.1. Un gráfico parcial de \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{.}\)

Subsection 1.1.2 Velocidad Instantánea

Ya sea que estemos conduciendo un coche, montando una bicicleta o lanzando una pelota, tenemos una sensación intuitiva de que un objeto en movimiento tiene una velocidad en cualquier momento dado -- un número que mide qué tan rápido se está moviendo el objeto en este momento. Por ejemplo, el velocímetro de un coche le dice al conductor la velocidad del coche en cualquier instante dado. De hecho, la velocidad en un velocímetro es realmente una velocidad promedio que se calcula en un intervalo de tiempo muy pequeño. Si dejamos que el intervalo de tiempo sobre el cual se calcula la velocidad promedio se haga más y más corto, podemos progresar de la velocidad promedio a la velocidad instantánea.
Informalmente, definimos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en el tiempo \(t = a\) como el valor al que se aproxima la velocidad promedio a medida que tomamos intervalos de tiempo cada vez más pequeños que contienen \(t = a\text{.}\) Pronto desarrollaremos una definición más formal de velocidad instantánea, y esta definición será la base de gran parte de nuestro trabajo en cálculo. Por ahora, está bien pensar en la velocidad instantánea de la siguiente manera: toma velocidades promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños alrededor de un punto específico. Si esas velocidades promedio se acercan a un solo número, entonces ese número será la velocidad instantánea en ese punto.

Activity 1.1.3.

Cada una de las siguientes preguntas se refiere a \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{,}\) la función de posición del Activity 1.1.1 de la vista previa.
  1. Calcula la velocidad media de la pelota en el intervalo de tiempo \([1.5,2]\text{.}\) ¿Qué diferencia hay entre este valor y la velocidad media en el intervalo \([0,0.5]\text{?}\)
  2. Usa tecnología de cálculo adecuada para estimar la velocidad instantánea de la pelota en \(t = 1.5\text{.}\) De igual manera, estima la velocidad instantánea de la pelota en \(t = 2\text{.}\) ¿Cuál valor es mayor?
  3. ¿Cómo se relaciona el signo de la velocidad instantánea de la pelota con su comportamiento en un momento dado? Es decir, ¿qué te dice una velocidad instantánea positiva sobre lo que está haciendo la pelota? ¿Y una velocidad instantánea negativa?
  4. Sin hacer ningún cálculo, ¿qué esperas que sea la velocidad instantánea de la pelota en \(t = 1\text{?}\) ¿Por qué?
En este punto hemos comenzado a ver una conexión estrecha entre la velocidad promedio y la velocidad instantánea. Cada una está conectada no solo al comportamiento físico del objeto en movimiento sino también al comportamiento geométrico del gráfico de la función de posición. Nos interesa calcular velocidades promedio en el intervalo \([a,b]\) para intervalos cada vez más pequeños. Para hacer el vínculo entre velocidad promedio y velocidad instantánea más formal, piensa en el valor \(b\) como \(b = a + h\text{,}\) donde \(h\) es un número pequeño (no nulo) que se permite variar. Entonces la velocidad promedio del objeto en el intervalo \([a,a+h]\) es
\begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{,} \end{equation*}
con el denominador siendo simplemente \(h\) porque \((a+h) - a = h\text{.}\) Nota que cuando \(h \lt 0\text{,}\) \(AV_{[a,a+h]}\) mide la velocidad promedio en el intervalo \([a+h,a]\text{.}\)
Para encontrar la velocidad instantánea en \(t = a\text{,}\) investigamos qué sucede a medida que el valor de \(h\) se aproxima a cero.

Example 1.1.2. Calculando la velocidad instantánea para una pelota en caída.

La función de posición para una pelota en caída se da por \(s(t) = 16 - 16t^2\) (donde \(s\) se mide en pies y \(t\) en segundos).
  1. Encuentra una expresión para la velocidad promedio de la pelota en un intervalo de tiempo de la forma \([0.5, 0.5+h]\) donde \(-0.5 \lt h \lt 0.5\) y \(h \ne 0\text{.}\)
  2. Usa esta expresión para calcular la velocidad promedio en \([0.5,0.75]\) y \([0.4,0.5]\text{.}\)
  3. Haz una conjetura sobre la velocidad instantánea en \(t = 0.5\text{.}\)
Solution.
  1. Hacemos las suposiciones de que \(-0.5 \lt h \lt 0.5\) y \(h \ne 0\) porque \(h\) no puede ser cero (de lo contrario no hay intervalo en el cual calcular la velocidad promedio) y porque la función solo tiene sentido en el intervalo de tiempo \(0 \le t \le 1\text{,}\) ya que esta es la duración del tiempo durante el cual la pelota está cayendo. Queremos calcular y simplificar
    \begin{equation*} AV_{[0.5, 0.5+h]} = \frac{s(0.5+h) - s(0.5)}{(0.5+h) - 0.5}\text{.} \end{equation*}
    Comenzamos encontrando \(s(0.5+h)\text{.}\) Para hacerlo, seguimos la regla que define la función \(s\text{.}\)
    \begin{align*} s(0.5+h) \amp = 16 - 16(0.5 + h)^2\\ \amp = 16 - 16(0.25 + h + h^2)\\ \amp = 16 - 4 - 16h - 16h^2\\ \amp = 12 - 16h - 16h^2\text{.} \end{align*}
    Ahora, volviendo a nuestro cálculo de la velocidad promedio, encontramos que
    \begin{align*} AV_{[0.5, 0.5+h]} \amp = \frac{s(0.5+h) - s(0.5)}{(0.5+h) - 0.5}\\ \amp = \frac{(12 - 16h - 16h^2) - (16 - 16(0.5)^2)}{0.5 + h - 0.5}\\ \amp = \frac{12 - 16h - 16h^2 - 12}{h}\\ \amp = \frac{-16h - 16h^2}{h}\text{.} \end{align*}
    En este punto, notamos dos cosas: primero, la expresión para la velocidad promedio claramente depende de \(h\text{,}\) como debe ser, ya que a medida que \(h\) cambia, la velocidad promedio cambiará. Además, notamos que como \(h\) nunca puede ser igual a cero, podemos eliminar el factor común de \(h\) del numerador y el denominador. Se sigue que
    \begin{equation*} AV_{[0.5, 0.5+h]} = -16 - 16h\text{.} \end{equation*}
  2. A partir de esta expresión podemos calcular el promedio para cualquier valor pequeño positivo o negativo de \(h\text{.}\) Por ejemplo, para obtener la velocidad promedio en \([0.5,0.75]\text{,}\) dejamos que \(h = 0.25\text{,}\) y la velocidad promedio es \(-16 - 16(0.25) = -20\) pies/seg. Para obtener la velocidad promedio en \([0.4, 0.5]\text{,}\) dejamos que \(h = -0.1\text{,}\) y calculamos la velocidad promedio como
    \begin{equation*} -16 - 16(-0.1) = -14.4\ \text{pies/seg}\text{.} \end{equation*}
  3. Incluso podemos explorar qué sucede con \(AV_{[0.5, 0.5+h]}\) a medida que \(h\) se acerca más y más a cero. A medida que \(h\) se aproxima a cero, \(-16h\) también se aproximará a cero, por lo que parece que la velocidad instantánea de la pelota en \(t = 0.5\) debería ser \(-16\) pies/seg.

Activity 1.1.4.

Para la función dada por \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\) de Actividad de Vista Previa 1.1.1, encuentra la expresión más simplificada que puedas para la velocidad promedio de la pelota en el intervalo \([2, 2+h]\text{.}\) Usa tu resultado para calcular la velocidad promedio en \([1.5,2]\) y para estimar la velocidad instantánea en \(t = 2\text{.}\) Finalmente, compara tu trabajo anterior en Actividad 1.1.3.

Subsection 1.1.3 Resumen

  • Para un objeto que se mueve en línea recta con función de posición \(s(t)\text{,}\) la velocidad promedio del objeto en el intervalo de \(t = a\) a \(t = b\), denotada \(AV_{[a,b]}\text{,}\) se da por la fórmula
    \begin{equation*} AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}
  • La velocidad promedio en \([a,b]\) se puede ver geométricamente como la pendiente de la línea entre los puntos \((a,s(a))\) y \((b,s(b))\) en el gráfico de \(y = s(t)\text{,}\) como se muestra en Figure 1.1.3.
    Figure 1.1.3. El gráfico de la función de posición \(s\) junto con la línea a través de \((a,s(a))\) y \((b,s(b))\) cuya pendiente es \(m = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) La pendiente de la línea es la tasa promedio de cambio de \(s\) en el intervalo \([a,b]\text{.}\)
  • Dado un objeto en movimiento cuya posición en el tiempo \(t\) se da por una función \(s\text{,}\) la velocidad promedio del objeto en el intervalo de tiempo \([a,b]\) se da por \(AV_{[a,b]} = \frac{s(b) - s(a)}{b-a}\text{.}\) Viendo el intervalo \([a,b]\) como teniendo la forma \([a,a+h]\text{,}\) calculamos de manera equivalente la velocidad promedio con la fórmula \(AV_{[a,a+h]} = \frac{s(a+h) - s(a)}{h}\text{.}\)
  • La velocidad instantánea de un objeto en movimiento en un tiempo fijo se estima considerando velocidades promedio en intervalos de tiempo cada vez más cortos que contienen el instante de interés.

Exercises 1.1.4 Exercises

1. Average velocity from position.

Consider a car whose position, \(s\text{,}\) is given by the table
\(t\) (s) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
\(s\) (ft) 0 0.5 1.4 3.8 6.5 9.6
Find the average velocity over the interval \(0 \le t \le 0.2\text{.}\)
average velocity = help (units)
 1 
/pg_files/helpFiles/Units.html
Estimate the velocity at \(t=0.2\text{.}\)
velocity = help (units)
 2 
/pg_files/helpFiles/Units.html

2. Rate of calorie consumption.

The table below shows the number of calories used per minute as a function of an individual’s body weight for three sports:
Activity 100 lb 120 lb 150 lb 170 lb 200 lb 220 lb
Walking 2.7 3.2 4 4.6 5.4 5.9
Bicycling 5.4 6.5 8.1 9.2 10.8 11.9
Swimming 5.8 6.9 8.7 9.8 11.6 12.7
a) Determine the number of calories that a 200 lb person uses in one half-hour of walking . calories
b) Who uses more calories, a 170 lb person swimming for one hour, or a 220 lb person bicycling for a half-hour?
  • The 170 lb person swimming for one hour
  • The 220 lb person bicycling for a half-hour
  • They both use the same amount of calories
c) Does the number of calories of a person walking increase or decrease as weight increases?
  • Increase
  • Decrease

3. Average rate of change - quadratic function.

Let \(\ f(x) = 9 - x^2\text{.}\)
a) Compute each of the following expressions and interpret each as an average rate of change:
(i) \(\ \ \ \frac{f( 1 ) - f(0)}{ 1 - 0} = \ \)
(ii) \(\ \ \frac{f( 3 ) - f( 1 )}{3 - 1 } = \ \)
(iii) \(\ \frac{f( 3 ) - f(0)}{3 - 0} = \ \)
b) Based on the graph sketched below, match each of your answers in (i) - (iii) with one of the lines labeled A - F. Type the corresponding letter of the line segment next to the appropriate formula. Clearly not all letters will be used.
(click on image to enlarge)
\(\frac{f( 1 ) - f(0)}{ 1 - 0}\)
\(\frac{f( 3 ) - f( 1 )}{3 - 1 }\)
\(\frac{f( 3 ) - f(0)}{3 - 0}\)

4. Comparing average rate of change of two functions.

Consider the graphs of \(f(x)\) and \(g(x)\) below:
For each interval given below, decide whether the average rate of change of \(f(x)\) or \(g(x)\) is greater over that particular interval.
Interval Which function has GREATER average rate of change?
\(0 \leq x \leq 4\)
  • f
  • g
  • both have an equal rate of change
\(0 \leq x \leq 8\)
  • f
  • g
  • both have an equal rate of change
\(0 \leq x \leq 2.2\)
  • f
  • g
  • both have an equal rate of change
\(5.2 \leq x \leq 6.1\)
  • f
  • g
  • both have an equal rate of change
\(5.2 \leq x \leq 6.9\)
  • f
  • g
  • both have an equal rate of change

5. Matching a distance graph to velocity.

A car is driven at an increasing speed, starting at noon. Which of the following could be a graph of the distance the car has traveled as a function of time past noon?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
figure .

6.

A bungee jumper dives from a tower at time \(t=0\text{.}\) Her height \(h\) (measured in feet) at time \(t\) (in seconds) is given by the graph in Figure 1.1.4. In this problem, you may base your answers on estimates from the graph or use the fact that the jumper’s height function is given by \(s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100\text{.}\)
Figure 1.1.4. A bungee jumper’s height function.
  1. What is the change in vertical position of the bungee jumper between \(t=0\) and \(t=15\text{?}\)
  2. Estimate the jumper’s average velocity on each of the following time intervals: \([0,15]\text{,}\) \([0,2]\text{,}\) \([1,6]\text{,}\) and \([8,10]\text{.}\) Include units on your answers.
  3. On what time interval(s) do you think the bungee jumper achieves her greatest average velocity? Why?
  4. Estimate the jumper’s instantaneous velocity at \(t=5\text{.}\) Show your work and explain your reasoning, and include units on your answer.
  5. Among the average and instantaneous velocities you computed in earlier questions, which are positive and which are negative? What does negative velocity indicate?

7.

A diver leaps from a 3 meter springboard. His feet leave the board at time \(t=0\text{,}\) he reaches his maximum height of 4.5 m at \(t = 1.1\) seconds, and enters the water at \(t = 2.45\text{.}\) Once in the water, the diver coasts to the bottom of the pool (depth 3.5 m), touches bottom at \(t=7\text{,}\) rests for one second, and then pushes off the bottom. From there he coasts to the surface, and takes his first breath at \(t=13\text{.}\)
  1. Let \(s(t)\) denote the function that gives the height of the diver’s feet (in meters) above the water at time \(t\text{.}\) (Note that the “height” of the bottom of the pool is \(-3.5\) meters.) Sketch a carefully labeled graph of \(s(t)\) on the provided axes in Figure 1.1.5. Include scale and units on the vertical axis. Be as detailed as possible.
    Figure 1.1.5. Axes for plotting \(s(t)\) in part (a).
    Figure 1.1.6. Axes for plotting \(v(t)\) in part (c).
  2. Based on your graph in (a), what is the average velocity of the diver between \(t = 2.45\) and \(t=7\text{?}\) Is his average velocity the same on every time interval within \([2.45,7]\text{?}\)
  3. Let the function \(v(t)\) represent the instantaneous vertical velocity of the diver at time \(t\) (i.e. the speed at which the height function \(s(t)\) is changing; note that velocity in the upward direction is positive, while the velocity of a falling object is negative). Based on your understanding of the diver’s behavior, as well as your graph of the position function, sketch a carefully labeled graph of \(v(t)\) on the axes provided in Figure 1.1.6. Include scale and units on the vertical axis. Write several sentences that explain how you constructed your graph, discussing when you expect \(v(t)\) to be zero, positive, negative, relatively large, and relatively small.
  4. Is there a connection between the two graphs that you can describe? What can you say about the velocity graph when the height function is increasing? decreasing? Make as many observations as you can.

8.

According to the U.S. census, the population of the city of Grand Rapids, MI, was 181,843 in 1980; 189,126 in 1990; and 197,800 in 2000.
  1. Between 1980 and 2000, by how many people did the population of Grand Rapids grow?
  2. In an average year between 1980 and 2000, by how many people did the population of Grand Rapids grow?
  3. Just like we can find the average velocity of a moving body by computing change in position over change in time, we can compute the average rate of change of any function \(f\text{.}\) In particular, the average rate of change of a function \(f\) over an interval \([a,b]\) is the quotient
    \begin{equation*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}
    What does the quantity \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) measure on the graph of \(y = f(x)\) over the interval \([a,b]\text{?}\)
  4. Let \(P(t)\) represent the population of Grand Rapids at time \(t\text{,}\) where \(t\) is measured in years from January 1, 1980. What is the average rate of change of \(P\) on the interval \(t = 0\) to \(t = 20\text{?}\) What are the units on this quantity?
  5. If we assume the population of Grand Rapids is growing at a rate of approximately 4% per decade, we can model the population function with the formula
    \begin{equation*} P(t) = 181843 (1.04)^{t/10}\text{.} \end{equation*}
    Use this formula to compute the average rate of change of the population on the intervals \([5,10]\text{,}\) \([5,9]\text{,}\) \([5,8]\text{,}\) \([5,7]\text{,}\) and \([5,6]\text{.}\)
  6. How fast do you think the population of Grand Rapids was changing on January 1, 1985? Said differently, at what rate do you think people were being added to the population of Grand Rapids as of January 1, 1985? How many additional people should the city have expected in the following year? Why?
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