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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 2.7 Derivadas de Funciones Dadas Implícitamente

En todos nuestros estudios con derivadas hasta ahora, hemos trabajado con funciones cuya fórmula se da explícitamente en términos de \(x\text{.}\) Pero hay muchas curvas interesantes cuyas ecuaciones que involucran \(x\) y \(y\) son imposibles de resolver para \(y\) en términos de \(x\text{.}\)
Figure 2.7.1. A la izquierda, el círculo dado por \(x^2 + y^2 = 16\text{.}\) En el medio, la porción del círculo \(x^2 + y^2 = 16\) que ha sido resaltada en el recuadro a la izquierda. Y a la derecha, la curva dada por \(x^3 - y^3 = 6xy\text{.}\)
Quizás las más simples y naturales de todas esas curvas son los círculos. Debido a la simetría del círculo, para cada valor de \(x\) estrictamente entre los extremos del diámetro horizontal, hay dos valores correspondientes de \(y\text{.}\) Por ejemplo, en Figura 2.7.1, hemos etiquetado \(A = (-3,\sqrt{7})\) y \(B = (-3,-\sqrt{7})\text{,}\) y estos puntos demuestran que el círculo no pasa la prueba de la línea vertical. Por lo tanto, es imposible representar el círculo a través de una sola función de la forma \(y = f(x)\text{.}\) Pero porciones del círculo pueden ser representadas explícitamente como una función de \(x\text{,}\) como el arco resaltado que se magnifica en el centro de Figura 2.7.1. Además, es evidente que el círculo es localmente lineal, por lo que deberíamos poder encontrar una línea tangente a la curva en cada punto. Así que tiene sentido preguntarse si podemos calcular \(\frac{dy}{dx}\) en cualquier punto del círculo, aunque no podamos escribir \(y\) explícitamente como una función de \(x\text{.}\)
Decimos que la ecuación \(x^2 + y^2 = 16\) define \(y\) implícitamente como una función de \(x\text{.}\) El gráfico de la ecuación puede dividirse en piezas donde cada pieza puede definirse por una función explícita de \(x\text{.}\) Para el círculo, podríamos elegir tomar la mitad superior como una función explícita de \(x\text{,}\) a saber \(y = \sqrt{16 - x^2}\) y la mitad inferior como la función explícita \(y = -\sqrt{16 - x^2}\text{.}\) La ecuación del círculo define una función implícita de \(x\text{.}\)
La curva de la derecha en Figura 2.7.1 se llama el folium de Descartes y es solo una de las muchas posibilidades fascinantes para curvas dadas implícitamente.
¿Cómo podemos encontrar una ecuación para \(\frac{dy}{dx}\) sin una fórmula explícita para \(y\) en términos de \(x\text{?}\) La siguiente actividad de vista previa nos recuerda algunas formas en que podemos calcular derivadas de funciones en contextos donde la fórmula de la función no se conoce.

Actividad Introductoria 2.7.1.

Sea \(f\) una función diferenciable de \(x\) (cuya fórmula no se conoce) y recuerda que \(\frac{d}{dx}[f(x)]\) y \(f'(x)\) son notaciones intercambiables. Determina cada una de las siguientes derivadas de combinaciones de funciones explícitas de \(x\text{,}\) la función desconocida \(f\text{,}\) y una constante arbitraria \(c\text{.}\)
  1. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ x^2 + f(x) \right]\)
  2. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ x^2 f(x) \right]\)
  3. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ c + x + f(x)^2 \right]\)
  4. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ f(x^2) \right]\)
  5. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ xf(x) + f(cx) + cf(x) \right]\)

Subsection 2.7.1 Diferenciación Implícita

Comenzamos nuestra exploración de la diferenciación implícita con el ejemplo del círculo dado por \(x^2 + y^2 = 16\text{.}\) ¿Cómo podemos encontrar una fórmula para \(\frac{dy}{dx}\text{?}\)
Al ver \(y\) como una función implícita de \(x\text{,}\) pensamos en \(y\) como alguna función cuya fórmula \(f(x)\) es desconocida, pero que podemos diferenciar. Así como \(y\) representa una fórmula desconocida, también su derivada con respecto a \(x\text{,}\) \(\frac{dy}{dx}\text{,}\) será (al menos temporalmente) desconocida.
Así que vemos \(y\) como una función diferenciable desconocida de \(x\) y diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a \(x\text{.}\)
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ x^2 + y^2 \right] = \frac{d}{dx} \left[ 16 \right]\text{.} \end{equation*}
A la derecha, la derivada de la constante \(16\) es \(0\text{,}\) y a la izquierda podemos aplicar la regla de la suma, por lo que se sigue que
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ x^2 \right] + \frac{d}{dx} \left[ y^2 \right] = 0\text{.} \end{equation*}
Nota cuidadosamente los diferentes roles que juegan \(x\) y \(y\text{.}\) Debido a que \(x\) es la variable independiente, \(\frac{d}{dx} \left[x^2\right] = 2x\text{.}\) Pero \(y\) es la variable dependiente y \(y\) es una función implícita de \(x\text{.}\) Recuerda Actividad de Vista Previa 2.7.1, donde calculamos \(\frac{d}{dx}[f(x)^2]\text{.}\) Calcular \(\frac{d}{dx}[y^2]\) es lo mismo, y requiere la regla de la cadena, por la cual encontramos que \(\frac{d}{dx}[y^2] = 2y^1 \frac{dy}{dx}\text{.}\) Ahora tenemos que
\begin{equation*} 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\text{.} \end{equation*}
Resolvemos esta ecuación para \(\frac{dy}{dx}\) restando \(2x\) de ambos lados y dividiendo por \(2y\text{.}\)
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\text{.} \end{equation*}
Hay varias cosas importantes que observar sobre el resultado de que \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\text{.}\) Primero, esta expresión para la derivada involucra tanto \(x\) como \(y\text{.}\) Esto tiene sentido porque hay dos puntos correspondientes en el círculo para cada valor de \(x\) entre \(-4\) y \(4\text{,}\) y la pendiente de la línea tangente es diferente en cada uno de estos puntos.
En segundo lugar, esta fórmula es completamente consistente con nuestra comprensión de los círculos. La pendiente del radio desde el origen hasta el punto \((a,b)\) es \(m_r = \frac{b}{a}\text{.}\) La línea tangente al círculo en \((a,b)\) es perpendicular al radio, y por lo tanto tiene pendiente \(m_t = -\frac{a}{b}\text{,}\) como se muestra en Figura 2.7.2. En particular, la pendiente de la línea tangente es cero en \((0,4)\) y \((0,-4)\text{,}\) y no está definida en \((-4,0)\) y \((4,0)\text{.}\) Todos estos valores son consistentes con la fórmula \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\text{.}\)
Figure 2.7.2. El círculo dado por \(x^2 + y^2 = 16\) con el punto \((a,b)\) en el círculo y la línea tangente en ese punto, con pendientes etiquetadas de la línea radial, \(m_r\text{,}\) y la línea tangente, \(m_t\text{.}\)

Example 2.7.3.

Para la curva dada implícitamente por \(x^3 + y^2 - 2xy = 2\text{,}\) mostrada en Figura 2.7.4, encuentra la pendiente de la línea tangente en \((-1,1)\text{.}\)
Figure 2.7.4. La curva \(x^3 + y^2 - 2xy = 2\text{.}\)
Solution.
Comenzamos diferenciando implícitamente la ecuación de la curva. Tomando la derivada de cada lado con respecto a \(x\text{,}\)
\begin{equation*} \frac{d}{dx}\left[ x^3 + y^2 - 2xy \right] = \frac{d}{dx} \left[ 2 \right]\text{,} \end{equation*}
por la regla de la suma y el hecho de que la derivada de una constante es cero, tenemos
\begin{equation*} \frac{d}{dx}[x^3] + \frac{d}{dx}[y^2] - \frac{d}{dx}[2xy] = 0\text{.} \end{equation*}
Para las tres derivadas que ahora debemos ejecutar, la primera usa la simple regla de la potencia, la segunda requiere la regla de la cadena (ya que \(y\) es una función implícita de \(x\)), y la tercera necesita la regla del producto (nuevamente, ya que \(y\) es una función de \(x\)). Aplicando estas reglas, ahora encontramos que
\begin{equation*} 3x^2 + 2y\frac{dy}{dx} - [2x \frac{dy}{dx} + 2y] = 0\text{.} \end{equation*}
Queremos resolver esta ecuación para \(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Para hacerlo, primero recogemos todos los términos que involucran \(\frac{dy}{dx}\) en un lado de la ecuación.
\begin{equation*} 2y\frac{dy}{dx} - 2x \frac{dy}{dx}= 2y - 3x^2\text{.} \end{equation*}
Luego factorizamos el lado izquierdo para aislar \(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
\begin{equation*} \frac{dy}{dx}(2y - 2x) = 2y - 3x^2\text{.} \end{equation*}
Finalmente, dividimos ambos lados por \((2y - 2x)\) y concluimos que
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{2y-3x^2}{2y-2x}\text{.} \end{equation*}
Nota que la expresión para \(\frac{dy}{dx}\) depende de ambos \(x\) y \(y\text{.}\) Para encontrar la pendiente de la línea tangente en \((-1,1)\text{,}\) sustituimos las coordenadas en la fórmula para \(\frac{dy}{dx}\text{,}\) usando la notación
\begin{equation*} \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(-1,1)} = \frac{2(1)-3(-1)^2}{2(1)-2(-1)} = -\frac14\text{.} \end{equation*}
Este valor coincide con nuestra estimación visual de la pendiente de la línea tangente mostrada en Figura 2.7.4.
Ejemplo 2.7.3 muestra que es posible, al diferenciar implícitamente, tener múltiples términos que involucren \(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Usamos la suma y la resta para recoger todos los términos que involucran \(\frac{dy}{dx}\) en un lado de la ecuación, luego factorizamos para obtener un solo término de \(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Finalmente, dividimos para resolver por \(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
Usamos la notación
\begin{equation*} \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(a,b)} \end{equation*}
para denotar la evaluación de \(\frac{dy}{dx}\) en el punto \((a,b)\text{.}\) Esto es análogo a escribir \(f'(a)\) cuando \(f'\) depende de una sola variable.
Hay una gran diferencia entre escribir \(\frac{d}{dx}\) y \(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Por ejemplo,
\begin{equation*} \frac{d}{dx}[x^2 + y^2] \end{equation*}
da una instrucción para tomar la derivada con respecto a \(x\) de la cantidad \(x^2 + y^2\text{,}\) presumiblemente donde \(y\) es una función de \(x\text{.}\) Por otro lado,
\begin{equation*} \frac{dy}{dx}(x^2 + y^2) \end{equation*}
significa el producto de la derivada de \(y\) con respecto a \(x\) con la cantidad \(x^2 + y^2\text{.}\) Entender esta sutileza notacional es esencial.

Activity 2.7.2.

Considera la curva definida por la ecuación \(x = y^5 - 5y^3 + 4y\text{,}\) cuyo gráfico se muestra en Figura 2.7.5.
  1. Explica por qué no es posible expresar \(y\) como una función explícita de \(x\text{.}\)
  2. Usa la diferenciación implícita para encontrar una fórmula para \(dy/dx\text{.}\)
  3. Usa tu resultado de la parte (b) para encontrar una ecuación de la línea tangente al gráfico de \(x = y^5 - 5y^3 + 4y\) en el punto \((0, 1)\text{.}\)
  4. Usa tu resultado de la parte (b) para determinar todos los puntos en los que el gráfico de \(x = y^5 - 5y^3 + 4y\) tiene una línea tangente vertical.
Figure 2.7.5. La curva \(x = y^5 - 5y^3 + 4y\text{.}\)
Es natural preguntar dónde la línea tangente a una curva es vertical u horizontal. La pendiente de una línea tangente horizontal debe ser cero, mientras que la pendiente de una línea tangente vertical no está definida. A menudo la fórmula para \(\frac{dy}{dx}\) se expresa como un cociente de funciones de \(x\) y \(y\text{,}\) digamos
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{p(x,y)}{q(x,y)}\text{.} \end{equation*}
La línea tangente es horizontal precisamente cuando el numerador es cero y el denominador no es cero, haciendo que la pendiente de la línea tangente sea cero. Si podemos resolver la ecuación \(p(x,y) = 0\) para \(x\) o \(y\) en términos del otro, podemos sustituir esa expresión en la ecuación original de la curva. Esto da una ecuación en una sola variable, y si podemos resolver esa ecuación podemos encontrar el(los) punto(s) en la curva donde \(p(x,y) = 0\text{.}\) En esos puntos, la línea tangente es horizontal.
De manera similar, la línea tangente es vertical siempre que \(q(x,y) = 0\) y \(p(x,y) \ne 0\text{,}\) haciendo que la pendiente no esté definida.

Activity 2.7.3.

Considera la curva definida por la ecuación \(y(y^2-1)(y-2) = x(x-1)(x-2)\text{,}\) cuyo gráfico se muestra en Figura 2.7.6. A través de la diferenciación implícita, se puede mostrar que
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(x-2) + x(x-2) + x(x-1)}{(y^2-1)(y-2) + 2y^2(y-2) + y(y^2-1)}\text{.} \end{equation*}
Usa este hecho para responder cada una de las siguientes preguntas.
  1. Determina todos los puntos \((x,y)\) en los que la línea tangente a la curva es horizontal. (Usa la tecnología apropiadamente para encontrar los ceros necesarios de la función polinómica relevante.)
  2. Determina todos los puntos \((x,y)\) en los que la línea tangente es vertical. (Usa la tecnología apropiadamente para encontrar los ceros necesarios de la función polinómica relevante.)
  3. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva en uno de los puntos donde \(x = 1\text{.}\)
Figure 2.7.6. \(y(y^2-1)(y-2) = x(x-1)(x-2)\text{.}\)

Activity 2.7.4.

Para cada una de las siguientes curvas, usa la diferenciación implícita para encontrar \(dy/dx\) y determina la ecuación de la línea tangente en el punto dado.
  1. \(x^3 - y^3 = 6xy\text{,}\)  \((-3,3)\)
  2. \(\sin(y) + y = x^3 + x\text{,}\)  \((0,0)\)
  3. \(3x e^{-xy} = y^2\text{,}\)  \((0.619061,1)\)

Subsection 2.7.2 Resumen

  • En una ecuación que involucra \(x\) y \(y\) donde partes del gráfico pueden ser definidas por funciones explícitas de \(x\text{,}\) decimos que \(y\) es una función implícita de \(x\text{.}\) Un buen ejemplo de tal curva es el círculo unitario.
  • Usamos la diferenciación implícita para diferenciar una función definida implícitamente. Diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a \(x\text{,}\) tratando \(y\) como una función de \(x\) aplicando la regla de la cadena. Si es posible, posteriormente resolvemos para \(\frac{dy}{dx}\) usando álgebra.
  • Aunque \(\frac{dy}{dx}\) ahora puede involucrar ambas variables \(x\) y \(y\text{,}\) \(\frac{dy}{dx}\) aún da la pendiente de la línea tangente a la curva. Puede ser usado para decidir dónde la línea tangente es horizontal (\(\frac{dy}{dx} = 0\)) o vertical (\(\frac{dy}{dx}\) no está definida), o para encontrar la ecuación de la línea tangente en un punto particular de la curva.

Exercises 2.7.3 Exercises

1. Implicit differentiation in a polynomial equation.

Find \(dy/dx\) in terms of \(x\) and \(y\) if \(x^{2} y - x - 5 y - 11 =0\text{.}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} =\)

2. Implicit differentiation in an equation with logarithms.

Find \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) in terms of \(x\) and \(y\) if \(x \ln y + y^{3} = 3 \ln x\text{.}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} =\)

3. Implicit differentiation in an equation with inverse trigonometric functions.

Find \(dy/dx\) in terms of \(x\) and \(y\) if \(\arctan(x^{3} y) = x y^{3}\text{.}\)
\({dy\over dx} =\)

4. Slope of the tangent line to an implicit curve.

Find the slope of the tangent to the curve \(x^{3}+xy+y^{2} = 31\) at \((1,5)\text{.}\)
The slope is .
(Enter undef if the slope is not defined at this point.)

5. Equation of the tangent line to an implicit curve.

Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve \(3xy^{3}+xy = 16\) at the point \(\left(4,1\right)\text{.}\)
The help (equations)
 1 
/pg_files/helpFiles/Entering-Equations.html
defines the tangent line to the curve at the point \(\left(4,1\right)\text{.}\)

6.

Consider the curve given by the equation \(2y^3+y^2-y^5 = x^4 - 2x^3 + x^2\text{.}\) Find all points at which the tangent line to the curve is horizontal or vertical. Be sure to use a graphing utility to plot this implicit curve and to visually check the results of algebraic reasoning that you use to determine where the tangent lines are horizontal and vertical.

7.

For the curve given by the equation \(\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1\text{,}\) find the equation of the tangent line to the curve at the point \((\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\text{.}\)

8.

Implicit differentiation enables us a different perspective from which to see why the rule \(\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)\) holds, if we assume that \(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\text{.}\) This exercise leads you through the key steps to do so.
  1. Let \(y = a^x\text{.}\) Rewrite this equation using the natural logarithm function to write \(x\) in terms of \(y\) (and the constant \(a\)).
  2. Differentiate both sides of the equation you found in (a) with respect to \(x\text{,}\) keeping in mind that \(y\) is implicitly a function of \(x\text{.}\)
  3. Solve the equation you found in (b) for \(\frac{dy}{dx}\text{,}\) and then use the definition of \(y\) to write \(\frac{dy}{dx}\) solely in terms of \(x\text{.}\) What have you found?
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