como una serie geométrica, encontramos una manera de escribir \(N\) como una fracción única: \(N = \frac{4}{33}\text{.}\) En esta sección, exploramos otros tipos de sumas infinitas. En Preview Activity 8.3.1 vemos cómo una de esas sumas está relacionada con el famoso número \(e\text{.}\)
Actividad Introductoria8.3.1.
¿Alguna vez te has preguntado cómo tu calculadora puede producir una aproximación numérica para números complicados como \(e\text{,}\)\(\pi\) o \(\ln(2)\text{?}\) Después de todo, las únicas operaciones que una calculadora realmente puede realizar son suma, resta, multiplicación, y división, las operaciones que componen los polinomios. Esta actividad proporciona los primeros pasos para entender cómo funciona este proceso. A lo largo de la actividad, deja que \(f(x) = e^x\text{.}\)
Encuentra la línea tangente a \(f\) en \(x=0\) y usa esta linealización para aproximar \(e\text{.}\) Es decir, encuentra una fórmula \(L(x)\) para la línea tangente, y calcula \(L(1)\text{,}\) ya que \(L(1) \approx f(1) = e\text{.}\)
La linealización de \(e^x\) no proporciona una buena aproximación a \(e\) ya que 1 no está muy cerca de 0. Para obtener una mejor aproximación, alteramos un poco nuestro enfoque. En lugar de usar una línea recta para aproximar \(e\text{,}\) ponemos una curva apropiada en nuestra función de estimación para que se ajuste mejor al gráfico de \(e^x\) para \(x\) cerca de 0. Con la linealización, tanto \(f(x)\) como \(f'(x)\) compartían el mismo valor que la linealización en \(x=0\text{.}\) Ahora usaremos una aproximación cuadrática \(P_2(x)\) a \(f(x) = e^x\) centrada en \(x=0\) que tiene la propiedad de que \(P_2(0) = f(0)\text{,}\)\(P'_2(0) = f'(0)\text{,}\) y \(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\)
Sea \(P_2(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}\text{.}\) Muestra que \(P_2(0) = f(0)\text{,}\)\(P'_2(0) = f'(0)\text{,}\) y \(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\) Luego, usa \(P_2(x)\) para aproximar \(e\) observando que \(P_2(1) \approx f(1)\text{.}\)
Podemos seguir aproximando \(e\) con polinomios de mayor grado cuyos derivados superiores coincidan con los de \(f\) en 0. Esto resulta en que los polinomios se ajusten mejor al gráfico de \(f\) para más valores de \(x\) alrededor de 0. Por ejemplo, sea \(P_3(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\text{.}\) Muestra que \(P_3(0) = f(0)\text{,}\)\(P'_3(0) = f'(0)\text{,}\)\(P''_3(0) = f''(0)\text{,}\) y \(P'''_3(0) = f'''(0)\text{.}\) Usa \(P_3(x)\) para aproximar \(e\) de manera similar a como lo hiciste con \(P_2(x)\) arriba.
Subsection8.3.1Series Infinitas
Preview Activity 8.3.1 muestra que una aproximación a \(e\) usando un polinomio lineal es 2, una aproximación a \(e\) usando un polinomio cuadrático es \(2.5\text{,}\) y una aproximación usando un polinomio cúbico es 2.6667. Si continuamos este proceso, podemos obtener aproximaciones de polinomios cuárticos (grado 4) y quínticos (grado 5), dándonos las siguientes aproximaciones a \(e\text{:}\)
Podemos calcular esta suma usando un \(n\) tan grande como queramos, y cuanto más grande sea \(n\text{,}\) más precisa será la aproximación (8.3.2). Esto sugiere que podemos escribir el número \(e\) como la suma infinita
\begin{equation}
e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\text{.}\tag{8.3.3}
\end{equation}
Esta suma es un ejemplo de una serie infinita. Nota que la serie (8.3.3) es la suma de los términos de la secuencia infinita \(\left\{\frac{1}{n!}\right\}\text{.}\) En general, usamos la siguiente notación y terminología.
Definition8.3.1.
Una serie infinita de números reales es la suma de los elementos en una secuencia infinita de números reales. En otras palabras, una serie infinita es una suma de la forma
donde \(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\) son números reales.
Usamos la notación de sumatoria para identificar una serie. Si la serie suma los elementos de una secuencia \(\{a_n\}_{n \geq 1}\text{,}\) escribiremos la serie como
Cada una de estas notaciones es simplemente una abreviatura para la suma infinita \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\text{.}\)
¿Es siquiera posible sumar una lista infinita de números? Que hacerlo sea posible en algunas situaciones no debería sorprendernos. Ya hemos examinado el caso especial de las series geométricas en la sección anterior. Además, la integral definida se define como el límite de una secuencia de sumas finitas, lo que proporciona una idea de cómo pensaremos en las sumas infinitas en general. Al investigar otras sumas infinitas, hay dos preguntas clave que buscamos responder: (1) ¿es la suma finita? y (2) si es así, ¿cuál es su valor?
Aunque es físicamente imposible sumar una colección infinita de números, podemos, por supuesto, sumar cualquier colección finita de ellos. En lo que sigue, investigamos cómo entender cómo encontrar la \(n\)-ésima suma parcial (es decir, la suma de los primeros \(n\) términos) nos permite entender la suma infinita.
Suma los dos primeros números de esta serie. Es decir, encuentra un valor numérico para
Las sumas en la tabla en parte c forman una secuencia cuyo \(n\)-ésimo término es \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\text{.}\) Basado en tus cálculos en la tabla, ¿crees que la secuencia \(\{S_n\}\) converge o diverge? Explica. ¿Cómo crees que esta secuencia \(\{S_n\}\) está relacionada con la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{?}\)
El ejemplo en Actividad 8.3.2 ilustra cómo definimos la suma de una serie infinita. Construimos una nueva secuencia de números (llamada la secuencia de sumas parciales) donde el término \(n\)-ésimo en la secuencia consiste en la suma de los primeros \(n\) términos de la serie. Si esta secuencia converge, se dice que la serie infinita correspondiente converge, y decimos que podemos encontrar la suma de la serie. Más formalmente, tenemos la siguiente definición.
Definition8.3.2.
La \(n\)-ésima suma parcial de la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) es la suma finita \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\text{.}\)
En otras palabras, la \(n\)-ésima suma parcial \(S_n\) de una serie es la suma de los primeros \(n\) términos en la serie,
de sus sumas parciales. Si la secuencia de sumas parciales converge a algún número finito, decimos que la serie correspondiente converge. De lo contrario, decimos que la serie diverge. De nuestro trabajo en Actividad 8.3.2, la serie
parece converger a algún número cercano a 1.54977. Formalizamos el concepto de convergencia y divergencia de una serie infinita en la siguiente definición.
se determina por lo que sucede con los términos \(a_k\) para valores muy grandes de \(k\text{.}\) Para ver por qué, supón que \(m\) es alguna constante mayor que 1. Entonces
Dado que \(a_1+a_2+ \cdots + a_m\) es un número finito, la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) convergerá si y solo si la serie \(\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k\) converge. Debido a que el índice inicial de la serie no afecta si la serie converge o diverge, a menudo solo escribiremos
\begin{equation*}
\sum a_k
\end{equation*}
cuando estemos interesados en preguntas de convergencia/divergencia en lugar de la suma exacta de una serie.
En Sección 8.2 encontramos la familia especial de series geométricas infinitas. Recuerda que una serie geométrica tiene la forma \(\sum_{k=0}^{\infty} ar^k\text{,}\) donde \(a\) y \(r\) son números reales (y \(r \ne 1\)). Encontramos que la \(n\)-ésima suma parcial \(S_n\) de una serie geométrica se da por la fórmula conveniente
y así una serie geométrica converge si \(|r| \lt 1\text{.}\) Las series geométricas divergen para todos los demás valores de \(r\text{.}\)
Generalmente es una pregunta difícil determinar si una serie no geométrica dada converge o diverge. Hay varias pruebas que podemos usar y que consideraremos en las siguientes secciones.
Subsection8.3.2La Prueba de Divergencia
La primera pregunta que hacemos sobre cualquier serie infinita suele ser “¿Converge o diverge la serie?” Hay una manera sencilla de verificar que ciertas series divergen, y exploramos esta prueba en la siguiente actividad.
Activity8.3.3.
Si la serie\(\sum a_k\) converge, entonces un resultado importante necesariamente sigue con respecto a la secuencia\(\{a_n\}\text{.}\) Esta actividad explora este resultado.
Supón que la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) converge y tiene una suma igual a \(L\text{.}\)
¿Cuál es la \(n\)-ésima suma parcial \(S_n\) de la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{?}\)
¿Cuál es la \((n-1)\)-ésima suma parcial \(S_{n-1}\) de la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{?}\)
¿Cuál es la diferencia entre la \(n\)-ésima suma parcial y la \((n-1)\)-ésima suma parcial de la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{?}\)
Dado que estamos asumiendo que \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k = L\text{,}\) ¿qué nos dice eso sobre \(\lim_{n \to \infty} S_n\text{?}\) ¿Por qué? ¿Qué nos dice eso sobre \(\lim_{n \to \infty} S_{n-1}\text{?}\) ¿Por qué?
Combina los resultados de las dos partes anteriores de esta actividad para determinar \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1})\text{.}\)
El resultado de Actividad 8.3.3 es la siguiente importante declaración condicional:
Si la serie \(\sum_{k = 1}^{\infty} a_k\) converge, entonces la secuencia \(\{a_k\}\) de términos \(k\)-ésimos converge a 0.
Es lógicamente equivalente decir que si la secuencia \(\{a_k\}\) no converge a 0, entonces la serie \(\sum_{k = 1}^{\infty} a_k\) no puede converger. Esta declaración se llama la Prueba de Divergencia.
La Prueba de Divergencia.
Si \(\lim_{k \to \infty} a_k \neq 0\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) diverge.
Activity8.3.4.
Determina si la Prueba de Divergencia se aplica a las siguientes series. Si la prueba no se aplica, explica por qué. Si la prueba se aplica, ¿qué nos dice sobre la serie?
\(\displaystyle \sum \frac{k}{k+1}\)
\(\displaystyle \sum (-1)^k\)
\(\displaystyle \sum \frac{1}{k}\)
Nota bien: ten mucho cuidado con la Prueba de Divergencia. Esta prueba solo nos dice qué sucede con una serie si los términos de la secuencia correspondiente no convergen a 0. Si la secuencia de los términos de la serie converge a 0, la Prueba de Divergencia no se aplica: de hecho, como veremos pronto, una serie cuyos términos tienden a cero puede tanto converger como diverger.
Subsection8.3.3La Prueba del Integral
La Prueba de Divergencia resuelve las preguntas de divergencia o convergencia de series \(\sum a_k\) en las que \(\lim_{k \to \infty} a_k \neq 0\text{.}\) Determinar la convergencia o divergencia de series \(\sum a_k\) en las que \(\lim_{k \to \infty} a_k = 0\) resulta ser más complicado. A menudo, tenemos que investigar la secuencia de sumas parciales o aplicar alguna otra técnica.
A continuación, consideramos la serie armónica 2
Esta serie se llama armónica porque cada término en la serie después del primero es la media armónica del término anterior y el término siguiente. La media armónica de dos números \(a\) y \(b\) es \(\frac{2ab}{a+b}\text{.}\) Ver “What’s Harmonic about the Harmonic Series”, por David E. Kullman (en el College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 3 (mayo, 2001), 201-203) para una discusión interesante sobre la media armónica.
Esta información por sí sola no parece ser suficiente para decirnos si la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) converge o diverge. Las sumas parciales podrían eventualmente estabilizarse en algún número fijo o continuar creciendo sin límite. Incluso si miramos sumas parciales más grandes, como \(\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{k} \approx 7.485470861\text{,}\) el resultado no es particularmente convincente de una manera u otra. La Prueba del Integral es una forma de determinar si la serie armónica converge o no, y exploramos esta prueba más a fondo en la siguiente actividad.
Activity8.3.5.
Considera la serie armónica \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\text{.}\) Recuerda que la serie armónica convergerá siempre que su secuencia de sumas parciales converja. La \(n\)-ésima suma parcial \(S_n\) de la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) es
A través de esta última expresión para \(S_n\text{,}\) podemos visualizar esta suma parcial como una suma de áreas de rectángulos con alturas \(\frac{1}{m}\) y bases de longitud 1, como se muestra en Figura 8.3.4, que usa la 9ª suma parcial.
Figure8.3.4.Una imagen de la 9ª suma parcial de la serie armónica como una suma de áreas de rectángulos.
El gráfico de la función continua \(f\) definida por \(f(x) = \frac{1}{x}\) se superpone en este gráfico.
Explica cómo esta imagen representa una suma de Riemann particular.
¿Cuál es la integral definida que corresponde a la suma de Riemann que consideraste en (a)?
¿Cuál es mayor, la integral definida en (b), o la suma parcial correspondiente \(S_9\) de la serie? ¿Por qué?
Si en lugar de considerar la 9ª suma parcial, consideramos la \(n\)-ésima suma parcial, y dejamos que \(n\) tienda a infinito, entonces podemos comparar la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) con la integral impropia \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \ dx\text{.}\) ¿Cuál de estas cantidades es mayor? ¿Por qué?
¿Converge o diverge la integral impropia \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \ dx\text{?}\) ¿Qué nos dice ese resultado, junto con tu trabajo en (d), sobre la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\text{?}\)
Las ideas de Actividad 8.3.5 se aplican de manera más general. Supón que \(f\) es una función continua decreciente y que \(a_k = f(k)\) para cada valor de \(k\text{.}\) Considera la serie correspondiente \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{.}\) La suma parcial
siempre se puede ver como una suma de Riemann por la izquierda de \(f(x)\text{,}\) usando rectángulos con bases de ancho 1 y alturas dadas por los valores \(a_k\text{.}\) Una imagen representativa se muestra a la izquierda en Figura 8.3.5. Dado que \(f\) es una función decreciente, tenemos que
Así que si \(\int_{1}^{\infty} f(x) \ dx\) converge, entonces también lo hace \(\sum_{k=2}^{\infty} a_k\text{,}\) lo que también significa que la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) también converge. Nuestra discusión anterior ha demostrado la veracidad de la Prueba del Integral.
La Prueba del Integral.
Sea \(f\) una función de valor real y supón que \(f\) es decreciente y positiva para todo \(x\) mayor que algún número \(c\text{.}\) Sea \(a_k = f(k)\) para cada número entero positivo \(k\text{.}\)
Si la integral impropia \(\int_{c}^{\infty} f(x) \, dx\) converge, entonces la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) converge.
Si la integral impropia \(\int_{c}^{\infty} f(x) \, dx\) diverge, entonces la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) diverge.
La Prueba del Integral compara una serie infinita dada con una integral impropia natural y correspondiente y dice que la serie infinita y la integral impropia correspondiente tienen el mismo estado de convergencia. En la siguiente actividad, aplicamos la Prueba del Integral para determinar la convergencia o divergencia de una clase de series importantes.
Activity8.3.6.
La serie \(\sum \frac{1}{k^p}\) son series especiales llamadas series \(p\text{.}\) Ya hemos visto que la serie \(p\) con \(p=1\) (la serie armónica) diverge. Investigamos el comportamiento de otras series \(p\) en esta actividad.
Evalúa la integral impropia \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \ dx\text{.}\) ¿La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\) converge o diverge? Explica.
Evalúa la integral impropia \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \ dx\) donde \(p \gt 1\text{.}\) ¿Para qué valores de \(p\) podemos concluir que la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) converge?
Evalúa la integral impropia \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \ dx\) donde \(p \lt 1\text{.}\) ¿Qué nos dice esto sobre la serie \(p\) correspondiente \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\text{?}\)
Resume tu trabajo en esta actividad completando la siguiente afirmación.
La serie \(p\)\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) converge si y solo si .
Subsection8.3.4La Prueba de Comparación de Límites
La Prueba Integral nos permite determinar la convergencia de toda una familia de series: las series \(p\text{.}\) Sin embargo, hemos visto que a menudo es difícil integrar funciones, por lo que la Prueba Integral no es una que podamos usar todo el tiempo. De hecho, incluso para una serie relativamente simple como \(\sum \frac{k^2+1}{k^4+2k+2}\text{,}\) la Prueba Integral no es una opción. En lo que sigue, desarrollamos una prueba que se aplica a series de funciones racionales comparando su comportamiento con el comportamiento de las series \(p\text{.}\)
Activity8.3.7.
Considera la serie \(\sum \frac{k+1}{k^3+2}\text{.}\) Dado que la convergencia o divergencia de una serie solo depende del comportamiento de la serie para valores grandes de \(k\text{,}\) podríamos examinar los términos de esta serie más de cerca a medida que \(k\) se hace grande.
Calculando el valor de \(\frac{k+1}{k^3+2}\) para \(k = 100\) y \(k = 1000\text{,}\) explica por qué los términos \(\frac{k+1}{k^3+2}\) son esencialmente \(\frac{k}{k^3}\) cuando \(k\) es grande.
Formalicemos nuestras observaciones en (a) un poco más. Sea \(a_k = \frac{k+1}{k^3+2}\) y \(b_k = \frac{k}{k^3}\text{.}\) Calcula
¿Qué te dice el valor del límite sobre \(a_k\) y \(b_k\) para valores grandes de \(k\text{?}\) Compara tu respuesta con la parte (a).
¿La serie \(\sum \frac{k}{k^3}\) converge o diverge? ¿Por qué? ¿Qué crees que nos dice eso sobre la convergencia o divergencia de la serie \(\sum \frac{k+1}{k^3+2}\text{?}\) Explica.
Actividad 8.3.7 ilustra cómo podemos comparar una serie con términos positivos con otra cuyo estado de convergencia conocemos. Supón que tenemos dos series \(\sum a_k\) y \(\sum b_k\) con términos positivos y conocemos el estado de convergencia de la serie \(\sum a_k\text{.}\) Recuerda que la convergencia o divergencia de una serie depende solo de los términos de la serie para valores grandes de \(k\text{,}\) así que si sabemos que \(a_k\) y \(b_k\) son proporcionales para valores grandes de \(k\text{,}\) entonces las dos series \(\sum a_k\) y \(\sum b_k\) deberían comportarse de la misma manera. En otras palabras, si hay una constante finita positiva \(c\) tal que
Dado que multiplicar por una constante no nula no afecta la convergencia o divergencia de una serie, se sigue que las series \(\sum a_k\) y \(\sum b_k\) o bien ambas convergen o ambas divergen. La declaración formal de este hecho se llama la Prueba de Comparación de Límites.
La Prueba de Comparación de Límites.
Sea \(\sum a_k\) y \(\sum b_k\) series con términos positivos. Si
\begin{equation*}
\lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{a_k} = c
\end{equation*}
para alguna constante positiva (finita) \(c\text{,}\) entonces \(\sum a_k\) y \(\sum b_k\) o bien ambas convergen o ambas divergen.
La Prueba de Comparación de Límites muestra que si tenemos una serie \(\sum \frac{p(k)}{q(k)}\) de funciones racionales donde \(p(k)\) es un polinomio de grado \(m\) y \(q(k)\) un polinomio de grado \(l\text{,}\) entonces la serie \(\sum \frac{p(k)}{q(k)}\) se comportará como la serie \(\sum \frac{k^m}{k^l}\text{.}\) Así que esta prueba nos permite determinar la convergencia o divergencia de series cuyos términos son funciones racionales.
Activity8.3.8.
Usa la Prueba de Comparación de Límites para determinar la convergencia o divergencia de la serie
comparándola con la serie \(\sum \frac{1}{k^2}\text{.}\)
Subsection8.3.5La Prueba del Cociente
La Prueba de Comparación de Límites funciona bien si podemos encontrar una serie con comportamiento conocido para comparar. Pero tales series no siempre son fáciles de encontrar. En esta sección examinaremos una prueba que nos permite examinar el comportamiento de una serie comparándola con una serie geométrica, sin saber de antemano qué serie geométrica necesitamos.
Esta serie no es una serie geométrica, pero esta actividad ilustrará cómo podríamos comparar esta serie con una geométrica. Recuerda que una serie \(\sum a_k\) es geométrica si la razón \(\frac{a_{k+1}}{a_k}\) es siempre la misma. Para la serie en (8.3.4), nota que \(a_k = \frac{2^k}{3^k-k}\text{.}\)
Para ver si \(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\) es comparable a una serie geométrica, analizamos las razones de términos sucesivos en la serie. Completa la Tabla 8.3.6, listando tus cálculos con al menos 8 decimales.
Table8.3.6.Razones de términos sucesivos en la serie \(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\)
\(k\)
\(5\)
\(10\)
\(20\)
\(21\)
\(22\)
\(23\)
\(24\)
\(25\)
\(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\)
Basado en tus cálculos en la Tabla 8.3.6, ¿qué podemos decir sobre la razón \(\frac{a_{k+1}}{a_k}\) si \(k\) es grande?
¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con la afirmación: “la serie \(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\) es aproximadamente geométrica cuando \(k\) es grande”? Si no, ¿por qué no? Si es así, ¿crees que la serie \(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\) converge o diverge? Explica.
Podemos generalizar el argumento en Actividad 8.3.9 de la siguiente manera. Considera la serie \(\sum a_k\text{.}\) Si
\begin{equation*}
\frac{a_{k+1}}{a_k} \approx r
\end{equation*}
para valores grandes de \(k\text{,}\) entonces \(a_{k+1} \approx ra_k\) para valores grandes de \(k\) y la serie \(\sum a_k\) es aproximadamente la serie geométrica \(\sum ar^k\) para valores grandes de \(k\text{.}\) Dado que la serie geométrica con razón \(r\) converge solo para \(-1 \lt r \lt 1\text{,}\) vemos que la serie \(\sum a_k\) convergerá si
\begin{equation*}
\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = r
\end{equation*}
para un valor de \(r\) tal que \(|r| \lt 1\text{.}\) Este resultado se conoce como la Prueba del Cociente.
Si \(0 \leq r \lt 1\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) converge.
Si \(1 \lt r\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) diverge.
Si \(r = 1\text{,}\) entonces la prueba es inconclusa.
Nota bien: La Prueba del Cociente examina el límite del cociente de términos consecutivos de una serie dada; al hacerlo, la prueba pregunta, “¿es esta serie aproximadamente geométrica?” Si es así, la prueba usa el límite del cociente de términos consecutivos para determinar si la serie dada converge.
Ahora hemos encontrado varias pruebas para determinar la convergencia o divergencia de series.
La Prueba de Divergencia se puede usar para mostrar que una serie diverge, pero nunca para probar que una serie converge.
Usamos la Prueba Integral para determinar el estado de convergencia de toda una clase de series, las series \(p\text{.}\)
La Prueba de Comparación de Límites funciona bien para series que involucran funciones racionales y que por lo tanto pueden compararse con series \(p\text{.}\)
Finalmente, la Prueba del Cociente nos permite comparar nuestra serie con una serie geométrica; es particularmente útil para series que involucran potencias \(n\) y factoriales.
Otras dos pruebas, la Prueba de Comparación Directa y la Prueba de la Raíz, se discuten en los ejercicios.
Uno de los desafíos de determinar si una serie converge o diverge es encontrar qué prueba responde a esa pregunta.
Activity8.3.10.
Determina si cada una de las siguientes series converge o diverge. Indica explícitamente qué prueba usas.
\(\displaystyle \sum \frac{k}{2^k}\)
\(\displaystyle \sum \frac{k^3+2}{k^2+1}\)
\(\displaystyle \sum \frac{10^k}{k!}\)
\(\displaystyle \sum \frac{k^3-2k^2+1}{k^6+4}\)
Subsection8.3.6Resumen
Una serie infinita es una suma de los elementos en una secuencia infinita. En otras palabras, una serie infinita es una suma de la forma
La secuencia \(\{S_n\}\) de sumas parciales de una serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) nos dice sobre la convergencia o divergencia de la serie. En particular
La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) converge si la secuencia \(\{S_n\}\) de sumas parciales converge. En este caso decimos que la serie es el límite de la secuencia de sumas parciales y escribimos
For the following answer blanks, decide whether the given sequence or series is convergent or divergent. If convergent, enter the limit (for a sequence) or the sum (for a series). If divergent, enter ’infinity’ if it diverges to \(\infty\text{,}\) ’-infinity’ if it diverges to \(- \infty\) or ’DNE’ otherwise.
(a) The series \(\displaystyle
\sum_{n=1}^\infty \frac{3n}{6n+13}\text{.}\)
(b) The sequence \(\displaystyle
\biggl \lbrace \frac{3n}{6n+13} \biggr \rbrace\text{.}\)
4.Convergence of an integral and a related series.
Compute the value of the following improper integral. If it converges, enter its value. Enter infinity if it diverges to \(\infty\text{,}\) and -infinity if it diverges to \(-\infty\text{.}\) Otherwise, enter diverges.
Does the series \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^2 + 1}\) converge or diverge?
converges
diverges to +infinity
diverges to -infinity
diverges
5.
In this exercise we investigate the sequence \(\left\{\frac{b^n}{n!}\right\}\) for any constant \(b\text{.}\)
Use the Ratio Test to determine if the series \(\sum \frac{10^k}{k!}\) converges or diverges.
Now apply the Ratio Test to determine if the series \(\sum \frac{b^k}{k!}\) converges for any constant \(b\text{.}\)
Use your result from (b) to decide whether the sequence \(\left\{\frac{b^n}{n!}\right\}\) converges or diverges. If the sequence \(\left\{\frac{b^n}{n!}\right\}\) converges, to what does it converge? Explain your reasoning.
6.
There is a test for convergence similar to the Ratio Test called the Root Test. Suppose we have a series \(\sum a_k\) of positive terms so that \(a_n \to 0\) as \(n \to \infty\text{.}\)
Assume
\begin{equation*}
\sqrt[n]{a_n} \to r
\end{equation*}
as \(n\) goes to infinity. Explain why this tells us that \(a_n \approx r^n\) for large values of \(n\text{.}\)
Using the result of part (a), explain why \(\sum a_k\) looks like a geometric series when \(n\) is big. What is the ratio of the geometric series to which \(\sum a_k\) is comparable?
Use what we know about geometric series to determine that values of \(r\) so that \(\sum a_k\) converges if \(\sqrt[n]{a_n} \to r\) as \(n \to \infty\text{.}\)
7.
The associative and distributive laws of addition allow us to add finite sums in any order we want. That is, if \(\sum_{k=0}^n a_k\) and \(\sum_{k=0}^n b_k\) are finite sums of real numbers, then
This shows that it is possible to have to two divergent series \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\) and \(\sum_{k=0}^{\infty} b_k\) but yet have the series \(\sum_{k=0}^{\infty} (a_k+b_k)\) converge.
While part (a) shows that we cannot add series term by term in general, we can under reasonable conditions. The problem in part (a) is that we tried to add divergent series. In this exercise we will show that if \(\sum a_k\) and \(\sum b_k\) are convergent series, then \(\sum (a_k+b_k)\) is a convergent series and
Let \(A_n\) and \(B_n\) be the \(n\)th partial sums of the series \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) and \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\text{,}\) respectively. Explain why
(Note that the starting point of the sum is irrelevant in this problem, so it doesn’t matter where we begin the sum.)
Use the prior result to find the sum of the series \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k+3^k}{5^k}\text{.}\)
8.
In the Limit Comparison Test we compared the behavior of a series to one whose behavior we know. In that test we use the limit of the ratio of corresponding terms of the series to determine if the comparison is valid. In this exercise we see how we can compare two series directly, term by term, without using a limit of sequence. First we consider an example.
Consider the series
\begin{equation*}
\sum \frac{1}{k^2} \text{ and } \sum \frac{1}{k^2+k}\text{.}
\end{equation*}
We know that the series \(\sum \frac{1}{k^2}\) is a \(p\)-series with \(p = 2 \gt 1\) and so \(\sum \frac{1}{k^2}\) converges. In this part of the exercise we will see how to use information about \(\sum \frac{1}{k^2}\) to determine information about \(\sum \frac{1}{k^2+k}\text{.}\) Let \(a_k = \frac{1}{k^2}\) and \(b_k = \frac{1}{k^2+k}\text{.}\)
Let \(S_n\) be the \(n\)th partial sum of \(\sum \frac{1}{k^2}\) and \(T_n\) the \(n\)th partial sum of \(\sum \frac{1}{k^2+k}\text{.}\) Which is larger, \(S_1\) or \(T_1\text{?}\) Why?
Which is larger, \(a_3\) or \(b_3\text{?}\) Based on that answer, which is larger, \(S_3\) or \(T_3\text{?}\)
Which is larger, \(a_n\) or \(b_n\text{?}\) Explain. Based on that answer, which is larger, \(S_n\) or \(T_n\text{?}\)
Based on your response to the previous part of this exercise, what relationship do you expect there to be between \(\sum \frac{1}{k^2}\) and \(\sum \frac{1}{k^2+k}\text{?}\) Do you expect \(\sum \frac{1}{k^2+k}\) to converge or diverge? Why?
The example in the previous part of this exercise illustrates a more general result. Explain why the Direct Comparison Test, stated here, works.
If \(\sum a_k\) converges, then \(\sum b_k\) converges.
If \(\sum b_k\) diverges, then \(\sum a_k\) diverges.
Note8.3.7.
This comparison test applies only to series with nonnegative terms.
Use the Direct Comparison Test to determine the convergence or divergence of the series \(\sum \frac{1}{k-1}\text{.}\) Hint: Compare to the harmonic series.
Use the Direct Comparison Test to determine the convergence or divergence of the series \(\sum \frac{k}{k^3+1}\text{.}\)
