CA La Integral Definida

Section 4.3 La Integral Definida

Preguntas Motivadoras

¿Cómo afecta el aumento del número de subintervalos a la precisión de la aproximación generada por una suma de Riemann?
¿Cuál es la definición de la integral definida de una función \(f\) sobre el intervalo \([a,b]\text{?}\)
¿Qué mide exactamente la integral definida, y cuáles son algunas de las propiedades clave de la integral definida?

En Figura 4.3.1, vemos evidencia de que aumentar el número de rectángulos en una suma de Riemann mejora la precisión de la aproximación del área neta firmada delimitada por la función dada.

Figure 4.3.1. A la izquierda y en el centro, dos sumas de Riemann izquierdas para una función \(f\) que a veces es negativa; a la derecha, las áreas exactas delimitadas por \(f\) en el intervalo \([a,d]\text{.}\)

Por lo tanto, exploramos la idea natural de permitir que el número de rectángulos aumente sin límite. En un esfuerzo por calcular el área neta firmada exacta, también consideramos las diferencias entre las sumas de Riemann izquierda, derecha y media y los diferentes resultados que generan a medida que el valor de \(n\) aumenta. Comenzamos con funciones que son exclusivamente positivas en el intervalo bajo consideración.

Actividad Introductoria 4.3.1.

Considera este applet

gvsu.edu/s/a9

, en el cual inicialmente verás la situación mostrada en Figura 4.3.2.

Figure 4.3.2. Una suma de Riemann derecha con 10 subintervalos para la función \(f(x) = \sin(2x) - \frac{x^2}{10} + 3\) en el intervalo \([1,7]\text{.}\) El valor de la suma es \(R_{10} = 4.90595\text{.}\)

Nota que el valor de la suma de Riemann elegida se muestra junto a la palabra “relative,” y que puedes cambiar el tipo de suma de Riemann que se está calculando arrastrando el punto en la barra deslizante debajo de la frase “sample point placement.”

Explora para ver cómo puedes cambiar la ventana en la que se ve la función, así como la función misma. Puedes establecer los valores mínimos y máximos de \(x\) haciendo clic y arrastrando los puntos azules que establecen los puntos finales; puedes cambiar la función escribiendo una nueva fórmula en la ventana “f(x)” en la parte inferior; y puedes ajustar la ventana general “desplazándote y haciendo zoom” usando la tecla Shift y la función de desplazamiento de tu ratón. Más información sobre cómo desplazarse y hacer zoom está disponible

gvsu.edu/s/Fl

Trabaja en consecuencia para ajustar el applet de modo que use una suma de Riemann izquierda con \(n = 5\) subintervalos para la función \(f(x) = 2x + 1\text{.}\) Deberías ver la figura actualizada mostrada en Figura 4.3.3. Luego, responde las siguientes preguntas.

Actualiza el applet (y la ventana de visualización, según sea necesario) para que la función considerada sea \(f(x) = 2x+1\) en \([1,4]\text{,}\) como se indicó anteriormente. Para esta función en este intervalo, calcula \(L_{n}\text{,}\) \(M_{n}\text{,}\) \(R_{n}\) para \(n = 5\text{,}\) \(n = 25\text{,}\) y \(n = 100\text{.}\) ¿Qué parece ser el área exacta delimitada por \(f(x) = 2x+1\) y el eje \(x\) en \([1,4]\text{?}\)
Usa geometría básica para determinar el área exacta delimitada por \(f(x) = 2x+1\) y el eje \(x\) en \([1,4]\text{.}\)
Basado en tu trabajo en (a) y (b), ¿qué observas que ocurre cuando aumentamos el número de subintervalos utilizados en la suma de Riemann?
Actualiza el applet para considerar la función \(f(x) = x^2 + 1\) en el intervalo \([1,4]\) (nota que necesitas ingresar “x ^ 2 + 1” para la fórmula de la función). Usa el applet para calcular \(L_{n}\text{,}\) \(M_{n}\text{,}\) \(R_{n}\) para \(n = 5\text{,}\) \(n = 25\text{,}\) y \(n = 100\text{.}\) ¿Qué conjeturas que es el área exacta delimitada por \(f(x) = x^2+1\) y el eje \(x\) en \([1,4]\text{?}\)
¿Por qué no podemos calcular el valor exacto del área delimitada por \(f(x) = x^2+1\) y el eje \(x\) en \([1,4]\) usando una fórmula como lo hicimos en (b)?

Figure 4.3.3. Una suma de Riemann izquierda con 5 subintervalos para la función \(f(x) = 2x+1\) en el intervalo \([1,4]\text{.}\) El valor de la suma es \(L_5 = 16.2\text{.}\)

Subsection 4.3.1 La definición de la integral definida

En Actividad de Vista Previa 4.3.1, vimos que a medida que el número de rectángulos se hacía más y más grande, los valores de \(L_n\text{,}\) \(M_n\text{,}\) y \(R_n\) se acercaban cada vez más al mismo valor. Resulta que esto ocurre para cualquier función continua en un intervalo \([a,b]\text{,}\) y también para una suma de Riemann usando cualquier punto \(x_{i+1}^*\) en el intervalo \([x_i, x_{i+1}]\text{.}\) Así, al dejar que \(n \to \infty\text{,}\) realmente no importa dónde elijamos evaluar la función dentro de un subintervalo dado, porque

\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{.} \end{equation*}

Que estos límites siempre existan (y compartan el mismo valor) cuando \(f\) es continua

Resulta que una función no necesita ser continua para tener una integral definida. Para nuestros propósitos, asumimos que las funciones que consideramos son continuas en el(los) intervalo(s) de interés. Es fácil ver que cualquier función que sea continua por partes en un intervalo de interés también tendrá una integral definida bien definida.

nos permite hacer la siguiente definición.

Definition 4.3.4.

La integral definida de una función continua \(f\) en el intervalo \([a,b]\text{,}\) denotada \(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) es el número real dado por

\begin{equation*} \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{,} \end{equation*}

donde \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\) \(x_i = a + i\Delta x\) (para \(i = 0, \ldots, n\)), y \(x_i^*\) satisface \(x_{i-1} \le x_i^* \le x_i\) (para \(i = 1, \ldots, n\)).

Llamamos al símbolo \(\int\) el signo de integral, los valores \(a\) y \(b\) los límites de integración, y la función \(f\) el integrando. El proceso de determinar el número real \(\int_a^b f(x) \, dx\) se llama evaluar la integral definida. Si bien hay varias interpretaciones diferentes de la integral definida, por ahora la más importante es que \(\int_a^b f(x) \, dx\) mide el área neta firmada delimitada por \(y = f(x)\) y el eje \(x\) en el intervalo \([a,b]\text{.}\)

Por ejemplo, si \(f\) es la función representada en Figura 4.3.5, y \(A_1\text{,}\) \(A_2\text{,}\) y \(A_3\) son las áreas exactas delimitadas por \(f\) y el eje \(x\) en los intervalos respectivos \([a,b]\text{,}\) \([b,c]\text{,}\) y \([c,d]\text{,}\) entonces

\begin{gather*} \int_a^b f(x) \, dx = A_1, \ \int_b^c f(x) \, dx = -A_2,\\ \int_c^d f(x) \, dx = A_3,\\ \text{ y } \int_a^d f(x) \, dx = A_1 - A_2 + A_3\text{.} \end{gather*}

Figure 4.3.5. Una función continua \(f\) en el intervalo \([a,d]\text{.}\)

También podemos usar integrales definidas para expresar el cambio de posición y la distancia recorrida por un objeto en movimiento. Si \(v\) es una función de velocidad en un intervalo \([a,b]\text{,}\) entonces el cambio de posición del objeto, \(s(b) - s(a)\text{,}\) se da por

\begin{equation*} s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt\text{.} \end{equation*}

Si la función de velocidad es no negativa en \([a,b]\text{,}\) entonces \(\int_a^b v(t) \,dt\) nos dice la distancia que recorrió el objeto. Si la velocidad es a veces negativa en \([a,b]\text{,}\) podemos usar integrales definidas para encontrar las áreas delimitadas por la función en cada intervalo donde \(v\) no cambia de signo, y la suma de estas áreas nos dirá la distancia que recorrió el objeto.

Para calcular el valor de una integral definida a partir de la definición, tenemos que tomar el límite de una suma. Aunque esto es posible de hacer en circunstancias selectas, también es tedioso y lleva mucho tiempo, y no ofrece mucha información adicional sobre el significado o la interpretación de la integral definida. En su lugar, en Sección 4.4, aprenderemos el Teorema Fundamental del Cálculo, que proporciona un atajo para evaluar una gran clase de integrales definidas. Esto nos permitirá determinar el área neta firmada exacta delimitada por una función continua y el eje \(x\) en muchas circunstancias.

Por ahora, nuestro objetivo es entender el significado y las propiedades de la integral definida, más que calcular su valor. Para hacer esto, nos basaremos en la interpretación del área neta firmada de la integral definida. Así que usaremos como ejemplos curvas que producen regiones cuyas áreas podemos calcular exactamente a través de fórmulas de área. Así podemos calcular el valor exacto de la integral correspondiente.

Por ejemplo, si deseamos evaluar la integral definida \(\int_1^4 (2x+1) \, dx\text{,}\) observamos que la región delimitada por esta función y el eje \(x\) es el trapecio mostrado en Figura 4.3.6. Por la fórmula para el área de un trapecio, \(A = \frac{1}{2}(3+9) \cdot 3 = 18\text{,}\) así que

\begin{equation*} \int_1^4 (2x+1) \, dx = 18\text{.} \end{equation*}

Figure 4.3.6. El área delimitada por \(f(x)=2x+1\) y el eje \(x\) en el intervalo \([1,4]\text{.}\)

Activity 4.3.2.

Usa fórmulas geométricas conocidas y la interpretación del área firmada neta de la integral definida para evaluar cada una de las integrales definidas a continuación.

\(\displaystyle \int_0^1 3x \, dx\)
\(\displaystyle \int_{-1}^4 (2-2x) \, dx\)
\(\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\)
\(\int_{-3}^4 g(x) \, dx\text{,}\) donde \(g\) es la función representada en Figura 4.3.7. Supón que cada porción de \(g\) es parte de una línea o parte de un círculo.

Figure 4.3.7. La función \(g\) para la parte (d). Nota que \(g\) está definida por partes, y cada parte de la función es parte de un círculo o parte de una línea.

Subsection 4.3.2 Algunas propiedades de la integral definida

Considerando la integral definida de una función \(f\) sobre un intervalo \([a,b]\) como el área neta firmada delimitada por \(f\) y el eje \(x\text{,}\) descubrimos varias propiedades estándar de la integral definida. Es útil recordar que la integral definida se define en términos de sumas de Riemann, que consisten en las áreas de rectángulos.

Para cualquier número real \(a\) y la integral definida \(\int_a^a f(x) \, dx\) es evidente que no se encierra ninguna área, porque el intervalo comienza y termina en el mismo punto. Por lo tanto,

Si \(f\) es una función continua y \(a\) es un número real, entonces \(\int_a^a f(x) \,dx = 0\text{.}\)

A continuación, consideramos el resultado de subdividir el intervalo de integración. En Figura 4.3.8, vemos que

\begin{gather*} \int_a^b f(x) \, dx = A_1, \ \int_b^c f(x) \, dx = A_2,\\ \text{y }\int_a^c f(x) \, dx = A_1 + A_2\text{,} \end{gather*}

lo que ilustra la siguiente regla general.

Figure 4.3.8. El área delimitada por \(y=f(x)\) en el intervalo \([a,c]\text{.}\)

Si \(f\) es una función continua y \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) y \(c\) son números reales, entonces

\begin{equation*} \int_a^c f(x) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c f(x) \,dx\text{.} \end{equation*}

Aunque esta regla es fácil de ver si \(a \lt b \lt c\text{,}\) de hecho se cumple en general para cualquier valor de \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) y \(c\text{.}\) Otra propiedad de la integral definida establece que si invertimos el orden de los límites de integración, cambiamos el signo del valor de la integral.

Si \(f\) es una función continua y \(a\) y \(b\) son números reales, entonces

\begin{equation*} \int_b^a f(x) \,dx = -\int_a^b f(x) \,dx\text{.} \end{equation*}

Este resultado tiene sentido porque si integramos de \(a\) a \(b\text{,}\) entonces en la suma de Riemann definitoria establecemos \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\) mientras que si integramos de \(b\) a \(a\text{,}\) tenemos \(\Delta x = \frac{a-b}{n} = -\frac{b-a}{n}\text{,}\) y este es el único cambio en la suma utilizada para definir la integral.

Hay dos propiedades adicionales útiles de la integral definida. Cuando trabajamos con reglas de derivadas en Capítulo 2, formulamos la Regla del Múltiplo Constante y la Regla de la Suma. Recuerda que la Regla del Múltiplo Constante dice que si \(f\) es una función diferenciable y \(k\) es una constante, entonces

\begin{equation*} \frac{d}{dx} [kf(x)] = kf'(x)\text{,} \end{equation*}

y la Regla de la Suma dice que si \(f\) y \(g\) son funciones diferenciables, entonces

\begin{equation*} \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\text{.} \end{equation*}

Estas reglas son útiles porque permiten tratar individualmente las partes más simples de ciertas funciones aprovechando la adición y la multiplicación por una constante. En otras palabras, el proceso de tomar la derivada respeta la adición y la multiplicación por constantes de la manera más simple posible.

Resulta que reglas similares se aplican a la integral definida. Primero, consideremos las funciones representadas en Figura 4.3.9.

Figure 4.3.9. Las áreas delimitadas por \(y = f(x)\) y \(y = 2f(x)\) en \([a,b]\text{.}\)

Debido a que multiplicar la función por 2 duplica su altura en cada valor de \(x\text{,}\) vemos que la altura de cada rectángulo en una suma de Riemann izquierda se duplica, \(f(x_i)\) para la función original, versus \(2f(x_i)\) en la función duplicada. Para las áreas \(A\) y \(B\text{,}\) se sigue que \(B = 2A\text{.}\) Como esto es cierto independientemente del valor de \(n\) o del tipo de suma que usemos, vemos que en el límite, el área de la región roja delimitada por \(y = 2f(x)\) será el doble del área de la región azul delimitada por \(y = f(x)\text{.}\) Como no hay nada especial en el valor \(2\) en comparación con una constante arbitraria \(k\text{,}\) se cumple el siguiente principio general.

Regla del Múltiplo Constante.

Si \(f\) es una función continua y \(k\) es cualquier número real, entonces

\begin{equation*} \int_a^b k \cdot f(x) \,dx = k \int_a^b f(x) \,dx\text{.} \end{equation*}

Vemos una situación similar con la suma de dos funciones \(f\) y \(g\text{.}\)

Figure 4.3.10. Las áreas delimitadas por \(y = f(x)\) y \(y = g(x)\) en \([a,b]\text{,}\) así como el área delimitada por \(y = f(x) + g(x)\text{.}\)

Si tomamos la suma de dos funciones \(f\) y \(g\) en cada punto del intervalo, la altura de la función \(f+g\) está dada por \((f+g)(x_i) = f(x_i) + g(x_i)\text{.}\) Por lo tanto, para los rectángulos representados con áreas \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) y \(C\text{,}\) se sigue que \(C = A + B\text{.}\) Debido a que esto ocurrirá para cada uno de esos rectángulos, en el límite el área de la región gris será la suma de las áreas de las regiones azul y roja. En términos de integrales definidas, tenemos la siguiente regla general.

Regla de la Suma.

Si \(f\) y \(g\) son funciones continuas, entonces

\begin{equation*} \int_a^b [f(x) + g(x)] \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_a^b g(x) \,dx\text{.} \end{equation*}

Las Reglas del Múltiplo Constante y de la Suma se pueden combinar para decir que para cualquier función continua \(f\) y \(g\) y cualquier constante \(c\) y \(k\text{,}\)

\begin{equation*} \int_a^b [c f(x) \pm k g(x)] \,dx = c \int_a^b f(x) \,dx \pm k \int_a^b g(x) \,dx\text{.} \end{equation*}

Activity 4.3.3.

Supón que se conoce la siguiente información sobre las funciones \(f\text{,}\) \(g\text{,}\) \(x^2\) y \(x^3\text{:}\)

\(\int_0^2 f(x) \, dx = -3\text{;}\) \(\int_2^5 f(x) \, dx = 2\)
\(\int_0^2 g(x) \, dx = 4\text{;}\) \(\int_2^5 g(x) \, dx = -1\)
\(\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}\text{;}\) \(\int_2^5 x^2 \, dx = \frac{117}{3}\)
\(\int_0^2 x^3 \, dx = 4\text{;}\) \(\int_2^5 x^3 \, dx = \frac{609}{4}\)

Usa la información proporcionada y las reglas discutidas en la sección anterior para evaluar cada una de las siguientes integrales definidas.

\(\displaystyle \int_5^2 f(x) \, dx\)
\(\displaystyle \int_0^5 g(x) \, dx\)
\(\displaystyle \int_0^5 (f(x) + g(x))\, dx\)
\(\displaystyle \int_2^5 (3x^2 - 4x^3) \, dx\)
\(\displaystyle \int_5^0 (2x^3 - 7g(x)) \, dx\)

Subsection 4.3.3 Cómo la integral definida está conectada con el valor promedio de una función

Una de las aplicaciones más valiosas de la integral definida es que proporciona una manera de discutir el valor promedio de una función, incluso para una función que toma infinitos valores. Recuerda que si deseamos tomar el promedio de \(n\) números \(y_1\text{,}\) \(y_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(y_n\text{,}\) calculamos

\begin{equation*} AVG = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}\text{.} \end{equation*}

Dado que las integrales surgen de las sumas de Riemann en las que sumamos \(n\) valores de una función, no debería sorprender que evaluar una integral sea similar a promediar los valores de salida de una función. Considera, por ejemplo, la suma de Riemann derecha \(R_n\) de una función \(f\text{,}\) que está dada por

\begin{equation*} R_n = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + \cdots + f(x_n) \Delta x = (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\Delta x\text{.} \end{equation*}

Dado que \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\) podemos escribir

\begin{align} R_n =\mathstrut \amp (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\cdot \frac{b-a}{n}\notag\\ =\mathstrut \amp (b-a) \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{.}\tag{4.3.1} \end{align}

Vemos que la suma de Riemann derecha con \(n\) subintervalos es solo la longitud del intervalo \((b-a)\) multiplicada por el promedio de los \(n\) valores de la función encontrados en los extremos derechos. Y al igual que con nuestros esfuerzos para calcular el área, cuanto mayor sea el valor de \(n\) que usemos, más preciso será nuestro promedio. De hecho, definiremos el valor promedio de \(f\) en \([a,b]\) como

\begin{equation*} f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{.} \end{equation*}

Pero también sabemos que para cualquier función continua \(f\) en \([a,b]\text{,}\) tomar el límite de una suma de Riemann conduce precisamente a la integral definida. Es decir, \(\lim_{n \to \infty} R_n = \int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) y así tomando el límite como \(n \to \infty\) en Ecuación (4.3.1), tenemos que

\begin{equation} \int_a^b f(x) \, dx = (b-a) \cdot f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{.}\tag{4.3.2} \end{equation}

Resolviendo la Ecuación (4.3.2) para \(f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}\) tenemos el siguiente principio general.

Valor promedio de una función.

Si \(f\) es una función continua en \([a,b]\text{,}\) entonces su valor promedio en \([a,b]\) está dado por la fórmula

\begin{equation*} f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x) \, dx\text{.} \end{equation*}

La Ecuación (4.3.2) nos dice otra manera de interpretar la integral definida: la integral definida de una función \(f\) de \(a\) a \(b\) es la longitud del intervalo \((b-a)\) multiplicada por el valor promedio de la función en el intervalo. Además, cuando la función \(f\) es no negativa en \([a,b]\text{,}\) la Ecuación (4.3.2) tiene una interpretación visual natural.

Figure 4.3.11. Una función \(y = f(x)\text{,}\) el área que delimita y su valor promedio en \([a,b]\text{.}\)

Considera Figura 4.3.11, donde vemos a la izquierda la región sombreada cuya área es \(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) en el centro el rectángulo sombreado cuyas dimensiones son \((b-a)\) por \(f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}\) y a la derecha estas dos figuras superpuestas. Nota que en verde oscuro mostramos la línea horizontal \(y = f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{.}\) Así, el área del rectángulo verde está dada por \((b-a) \cdot f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}\) que es precisamente el valor de \(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) El área de la región azul en la figura de la izquierda es la misma que el área del rectángulo verde en la figura del centro. También podemos observar que las áreas \(A_1\) y \(A_2\) en la figura más a la derecha parecen ser iguales. Así, conocer el valor promedio de una función nos permite construir un rectángulo cuya área es la misma que el valor de la integral definida de la función en el intervalo. Este applet

⁴

gvsu.edu/s/az

proporciona una oportunidad para explorar cómo cambia el valor promedio de la función a medida que cambia el intervalo, a través de una imagen similar a la que se encuentra en Figura 4.3.11.

Activity 4.3.4.

Supón que \(v(t) = \sqrt{4-(t-2)^2}\) nos dice la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en el intervalo \(0 \le t \le 4\text{,}\) donde \(t\) se mide en minutos y \(v\) se mide en metros por minuto.

Dibuja un gráfico preciso de \(y = v(t)\text{.}\) ¿Qué tipo de curva es \(y = \sqrt{4-(t-2)^2}\text{?}\)
Evalúa \(\int_0^4 v(t) \, dt\) exactamente.
En términos del problema físico del objeto en movimiento con velocidad \(v(t)\text{,}\) ¿cuál es el significado de \(\int_0^4 v(t) \, dt\text{?}\) Incluye unidades en tu respuesta.
Determina el valor promedio exacto de \(v(t)\) en \([0,4]\text{.}\) Incluye unidades en tu respuesta.
Dibuja un rectángulo cuya base sea el segmento de línea desde \(t=0\) hasta \(t = 4\) en el eje \(t\) de tal manera que el área del rectángulo sea igual al valor de \(\int_0^4 v(t) \, dt\text{.}\) ¿Cuál es la altura exacta del rectángulo?
¿Cómo puedes usar el valor promedio que encontraste en (d) para calcular la distancia total recorrida por el objeto en movimiento en \([0,4]\text{?}\)

Subsection 4.3.4 Resumen

Cualquier suma de Riemann de una función continua \(f\) en un intervalo \([a,b]\) proporciona una estimación del área neta firmada delimitada por la función y el eje horizontal en el intervalo. Aumentar el número de subintervalos en la suma de Riemann mejora la precisión de esta estimación, y dejar que el número de subintervalos aumente sin límite resulta en que los valores de las sumas de Riemann correspondientes se acerquen al valor exacto del área neta firmada encerrada.
Cuando tomamos el límite de las sumas de Riemann, llegamos a lo que llamamos la integral definida de \(f\) sobre el intervalo \([a,b]\text{.}\) En particular, el símbolo \(\int_a^b f(x) \, dx\) denota la integral definida de \(f\) sobre \([a,b]\text{,}\) y esta cantidad se define por la ecuación

\begin{equation*} \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{,} \end{equation*}

donde \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\) \(x_i = a + i\Delta x\) (para \(i = 0, \ldots, n\)), y \(x_i^*\) satisface \(x_{i-1} \le x_i^* \le x_i\) (para \(i = 1, \ldots, n\)).
La integral definida \(\int_a^b f(x) \,dx\) mide el área neta firmada exacta delimitada por \(f\) y el eje horizontal en \([a,b]\text{;}\) además, el valor de la integral definida está relacionado con lo que llamamos el valor promedio de la función en \([a,b]\text{:}\) \(f_{\text{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) En el contexto donde consideramos la integral de una función de velocidad \(v\text{,}\) \(\int_a^b v(t) \,dt\) mide el cambio exacto en la posición del objeto en movimiento en \([a,b]\text{;}\) cuando \(v\) es no negativa, \(\int_a^b v(t) \,dt\) es la distancia recorrida por el objeto en \([a,b]\text{.}\)
La integral definida es una suma sofisticada, y por lo tanto tiene algunas de las mismas propiedades naturales que tienen las sumas finitas. Quizás la más importante de estas es cómo la integral definida respeta las sumas y los múltiplos constantes de funciones, lo cual se puede resumir con la regla

\begin{equation*} \int_a^b [c f(x) \pm k g(x)] \,dx = c \int_a^b f(x) \,dx \pm k \int_a^b g(x) \,dx \end{equation*}

donde \(f\) y \(g\) son funciones continuas en \([a,b]\) y \(c\) y \(k\) son constantes arbitrarias.

Exercises 4.3.5 Exercises

1. Evaluating definite integrals from graphical information.

Use the following figure, which shows a graph of \(f(x)\) to find each of the indicated integrals.

(Click on the graph for a larger version.)

Note that the first area (with vertical, red shading) is 18 and the second (with oblique, black shading) is 6.

A. \(\int_a^b f(x) dx =\)

B. \(\int_b^c f(x) dx =\)

C. \(\int_a^c f(x) dx =\)

D. \(\int_a^c |f(x)| dx =\)

2. Estimating definite integrals from a graph.

Use the graph of \(f(x)\) shown below to find the following integrals.

(Click on the graph for a larger version.)

A. \(\int_{-4}^0 f(x) dx =\)

B. If the vertical red shaded area in the graph has area \(A\text{,}\) estimate: \(\int_{-4}^{6} f(x) dx =\)

(Your estimate may be written in terms of \(A\text{.}\))

3. Finding the average value of a linear function.

Find the average value of \(f(x)=7 x + 1\) over \([3,8]\)

average value =

4. Finding the average value of a function given graphically.

The figure below to the left is a graph of \(f(x)\text{,}\) and below to the right is \(g(x)\text{.}\)


\(f(x)\)	\(g(x)\)

(a)

What is the average value of \(f(x)\) on \(0\le x\le 2\text{?}\)

avg value =

(b)

What is the average value of \(g(x)\) on \(0\le x\le 2\text{?}\)

avg value =

(c)

What is the average value of \(f(x)\cdot g(x)\) on \(0\le x\le 2\text{?}\)

avg value =

(d)

Is the following statement true?

\begin{equation*} \hbox{Average}(f)\cdot\hbox{Average(g)} = \hbox{Average}(f\cdot g) \end{equation*}

5. Estimating a definite integral and average value from a graph.

Use the figure below, which shows the graph of \(y=f(x)\text{,}\) to answer the following questions.

(Click on the graph to get a larger version.)

A. Estimate the integral: \(\int_{-3}^3 f(x)\,dx \approx\)

(You will certainly want to use an enlarged version of the graph to obtain your estimate.)

B. Which of the following average values of \(f\) is larger?

Between \(x=-3\) and \(x=3\)
Between \(x=0\) and \(x=3\)

6. Using rules to combine known integral values.

Suppose \(\displaystyle \int_{-9}^{-4.5} f(x) dx =10, \ \int_{-9}^{-7.5} f(x) dx=8, \ \int_{-6}^{-4.5} f(x)dx =10\text{.}\)

\(\displaystyle \int_{-7.5}^{-6} f(x)dx =\)

\(\displaystyle \int_{-6}^{-7.5} (10 f(x)- 8)dx =\)

7.

The velocity of an object moving along an axis is given by the piecewise linear function \(v\) that is pictured in Figure 4.3.12. Assume that the object is moving to the right when its velocity is positive, and moving to the left when its velocity is negative. Assume that the given velocity function is valid for \(t = 0\) to \(t = 4\text{.}\)

Write an expression involving definite integrals whose value is the total change in position of the object on the interval \([0,4]\text{.}\)
Use the provided graph of \(v\) to determine the value of the total change in position on \([0,4]\text{.}\)
Write an expression involving definite integrals whose value is the total distance traveled by the object on \([0,4]\text{.}\) What is the exact value of the total distance traveled on \([0,4]\text{?}\)
What is the object’s exact average velocity on \([0,4]\text{?}\)
Find an algebraic formula for the object’s position function on \([0, 1.5]\) that satisfies \(s(0) = 0\text{.}\)

Figure 4.3.12. The velocity function of a moving object.

8.

Suppose that the velocity of a moving object is given by \(v(t) = t(t-1)(t-3)\text{,}\) measured in feet per second, and that this function is valid for \(0 \le t \le 4\text{.}\)

Write an expression involving definite integrals whose value is the total change in position of the object on the interval \([0,4]\text{.}\)
Use appropriate technology (such as an applet
⁵
gvsu.edu/s/a9
) to compute Riemann sums to estimate the object’s total change in position on \([0,4]\text{.}\) Work to ensure that your estimate is accurate to two decimal places, and explain how you know this to be the case.
Write an expression involving definite integrals whose value is the total distance traveled by the object on \([0,4]\text{.}\)
Use appropriate technology to compute Riemann sums to estimate the object’s total distance travelled on \([0,4]\text{.}\) Work to ensure that your estimate is accurate to two decimal places, and explain how you know this to be the case.
What is the object’s average velocity on \([0,4]\text{,}\) accurate to two decimal places?

9.

Consider the graphs of two functions \(f\) and \(g\) that are provided in Figure 4.3.13. Each piece of \(f\) and \(g\) is either part of a straight line or part of a circle.

Figure 4.3.13. Two functions \(f\) and \(g\text{.}\)

Determine the exact value of \(\int_0^1 [f(x) + g(x)]\,dx\text{.}\)
Determine the exact value of \(\int_1^4 [2f(x) - 3g(x)] \, dx\text{.}\)
Find the exact average value of \(h(x) = g(x) - f(x)\) on \([0,4]\text{.}\)
For what constant \(c\) does the following equation hold?

\begin{equation*} \int_0^4 c \, dx = \int_0^4 [f(x) + g(x)] \, dx \end{equation*}

10.

Let \(f(x) = 3 - x^2\) and \(g(x) = 2x^2\text{.}\)

On the interval \([-1,1]\text{,}\) sketch a labeled graph of \(y = f(x)\) and write a definite integral whose value is the exact area bounded by \(y = f(x)\) on \([-1,1]\text{.}\)
On the interval \([-1,1]\text{,}\) sketch a labeled graph of \(y = g(x)\) and write a definite integral whose value is the exact area bounded by \(y = g(x)\) on \([-1,1]\text{.}\)
Write an expression involving a difference of definite integrals whose value is the exact area that lies between \(y = f(x)\) and \(y = g(x)\) on \([-1,1]\text{.}\)
Explain why your expression in (c) has the same value as the single integral \(\int_{-1}^1 [f(x) - g(x)] \, dx\text{.}\)
Explain why, in general, if \(p(x) \ge q(x)\) for all \(x\) in \([a,b]\text{,}\) the exact area between \(y = p(x)\) and \(y = q(x)\) is given by

\begin{equation*} \int_a^b [p(x) - q(x)] \, dx\text{.} \end{equation*}

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