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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 1.8 La Aproximación de la Línea Tangente

Entre todas las funciones, las funciones lineales son las más simples. Una de las poderosas consecuencias de que una función \(y = f(x)\) sea diferenciable en un punto \((a,f(a))\) es que, de cerca, la función \(y = f(x)\) es localmente lineal y se parece a su línea tangente en ese punto. En ciertas circunstancias, esto nos permite aproximar la función original \(f\) con una función más simple \(L\) que es lineal: esto puede ser ventajoso cuando tenemos información limitada sobre \(f\) o cuando \(f\) es computacional o algebraicamente complicada. Exploraremos todas estas situaciones a continuación.
Es esencial recordar que cuando \(f\) es diferenciable en \(x = a\text{,}\) el valor de \(f'(a)\) proporciona la pendiente de la línea tangente a \(y = f(x)\) en el punto \((a,f(a))\text{.}\) Si conocemos tanto un punto en la línea como la pendiente de la línea, podemos encontrar la ecuación de la línea tangente y escribir la ecuación en forma punto-pendiente
 1 
Recuerda que una línea con pendiente \(m\) que pasa por \((x_0,y_0)\) tiene la ecuación \(y - y_0 = m(x - x_0)\text{,}\) y esta es la forma punto-pendiente de la ecuación.
.

Actividad Introductoria 1.8.1.

Considera la función \(y = g(x) = -x^2+3x+2\text{.}\)
  1. Usa la definición del límite de la derivada para calcular una fórmula para \(y = g'(x)\text{.}\)
  2. Determina la pendiente de la línea tangente a \(y = g(x)\) en el valor \(x = 2\text{.}\)
  3. Calcula \(g(2)\text{.}\)
  4. Encuentra una ecuación para la línea tangente a \(y = g(x)\) en el punto \((2,g(2))\text{.}\) Escribe tu resultado en la forma punto-pendiente.
  5. En los ejes proporcionados en Figure 1.8.1, dibuja un gráfico preciso y etiquetado de \(y = g(x)\) junto con su línea tangente en el punto \((2,g(2))\text{.}\)
Figure 1.8.1. Ejes para graficar \(y = g(x)\) y su línea tangente al punto \((2,g(2))\text{.}\)

Subsection 1.8.1 La línea tangente

Dada una función \(f\) que es diferenciable en \(x = a\text{,}\) sabemos que podemos determinar la pendiente de la línea tangente a \(y = f(x)\) en \((a,f(a))\) calculando \(f'(a)\text{.}\) La ecuación de la línea tangente resultante se da en forma punto-pendiente por
\begin{equation*} y - f(a) = f'(a)(x-a) \ \ \text{o} \ \ y = f'(a)(x-a) + f(a)\text{.} \end{equation*}
Nota bien: hay una gran diferencia entre \(f(a)\) y \(f(x)\) en este contexto. El primero es una constante que resulta de usar el valor fijo dado de \(a\text{,}\) mientras que el segundo es la expresión general para la regla que define la función. Lo mismo es cierto para \(f'(a)\) y \(f'(x)\text{:}\) debemos distinguir cuidadosamente entre estas expresiones. Cada vez que encontramos la línea tangente, necesitamos evaluar la función y su derivada en un valor fijo de \(a\text{.}\)
En Figura 1.8.2, vemos el gráfico de una función \(f\) y su línea tangente en el punto \((a,f(a))\text{.}\) Observa cómo cuando hacemos zoom vemos la linealidad local de \(f\) más claramente destacada. La función y su línea tangente son casi indistinguibles de cerca. La linealidad local también se puede ver dinámicamente en este applet
 2 
gvsu.edu/s/6J
.
Figure 1.8.2. Una función \(y = f(x)\) y su línea tangente en el punto \((a,f(a))\text{:}\) a la izquierda, desde una distancia, y a la derecha, de cerca. A la derecha, etiquetamos la función de la línea tangente como \(y = L(x)\) y observamos que para \(x\) cerca de \(a\text{,}\) \(f(x) \approx L(x)\text{.}\)

Subsection 1.8.2 La linealización local

Un pequeño cambio en la perspectiva y la notación nos permitirá ser más precisos al discutir cómo la línea tangente aproxima \(f\) cerca de \(x = a\text{.}\) Al resolver para \(y\text{,}\) podemos escribir la ecuación de la línea tangente como
\begin{equation*} y = f'(a)(x-a) + f(a) \end{equation*}
Esta línea es en sí misma una función de \(x\text{.}\) Reemplazando la variable \(y\) con la expresión \(L(x)\text{,}\) llamamos
\begin{equation*} L(x) = f'(a)(x-a) + f(a) \end{equation*}
la linealización local de \(f\) en el punto \((a,f(a))\text{.}\) En esta notación, \(L(x)\) no es más que un nuevo nombre para la línea tangente. Como vimos anteriormente, para \(x\) cerca de \(a\text{,}\) \(f(x) \approx L(x)\text{.}\)

Example 1.8.3.

Supón que una función \(y = f(x)\) tiene su aproximación de la línea tangente dada por \(L(x) = 3 - 2(x-1)\) en el punto \((1,3)\text{,}\) pero no sabemos nada más sobre la función \(f\text{.}\) Para estimar un valor de \(f(x)\) para \(x\) cerca de 1, como \(f(1.2)\text{,}\) podemos usar el hecho de que \(f(1.2) \approx L(1.2)\) y por lo tanto
\begin{equation*} f(1.2) \approx L(1.2) = 3 - 2(1.2-1) = 3 - 2(0.2) = 2.6\text{.} \end{equation*}
Enfatizamos que \(y = L(x)\) es simplemente un nuevo nombre para la función de la línea tangente. Usando esta nueva notación y nuestra observación de que \(L(x) \approx f(x)\) para \(x\) cerca de \(a\text{,}\) se sigue que podemos escribir
\begin{equation*} f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) \ \text{para} \ x \ \text{cerca de} \ a\text{.} \end{equation*}

Activity 1.8.2.

Supón que se sabe que para una función diferenciable dada \(y = g(x)\text{,}\) su linealización local en el punto donde \(a = -1\) está dada por \(L(x) = -2 + 3(x+1)\text{.}\)
  1. Calcula los valores de \(L(-1)\) y \(L'(-1)\text{.}\)
  2. ¿Cuáles deben ser los valores de \(g(-1)\) y \(g'(-1)\text{?}\) ¿Por qué?
  3. ¿Esperas que el valor de \(g(-1.03)\) sea mayor o menor que el valor de \(g(-1)\text{?}\) ¿Por qué?
  4. Usa la linealización local para estimar el valor de \(g(-1.03)\text{.}\)
  5. Supón que también sabes que \(g''(-1) = 2\text{.}\) ¿Qué te dice esto sobre la gráfica de \(y = g(x)\) en \(a = -1\text{?}\)
  6. Para \(x\) cerca de \(-1\text{,}\) dibuja la gráfica de la linealización local \(y = L(x)\) así como una posible gráfica de \(y = g(x)\) en los ejes proporcionados en Figura 1.8.4.
Figure 1.8.4. Ejes para trazar \(y = L(x)\) y \(y = g(x)\text{.}\)
De Actividad 1.8.2, vemos que la linealización local \(y = L(x)\) es una función lineal que comparte dos valores importantes con la función \(y = f(x)\) de la que se deriva. En particular,
  • porque \(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{,}\) se sigue que \(L(a) = f(a)\text{;}\) y
  • porque \(L\) es una función lineal, su derivada es su pendiente.
Por lo tanto, \(L'(x) = f'(a)\) para cada valor de \(x\text{,}\) y específicamente \(L'(a) = f'(a)\text{.}\) Por lo tanto, vemos que \(L\) es una función lineal que tiene tanto el mismo valor como la misma pendiente que la función \(f\) en el punto \((a,f(a))\text{.}\)
Así, si conocemos la aproximación lineal \(y = L(x)\) para una función, conocemos el valor de la función original y su pendiente en el punto de tangencia. Lo que queda desconocido, sin embargo, es la forma de la función \(f\) en el punto de tangencia. Hay esencialmente cuatro posibilidades, como se muestra en Figura 1.8.5.
Figure 1.8.5. Cuatro posibles gráficos para una función diferenciable no lineal y cómo puede situarse en relación con su línea tangente en un punto.
Estas posibles formas resultan del hecho de que hay tres opciones para el valor de la segunda derivada: ya sea \(f''(a) \lt 0\text{,}\) \(f''(a) = 0\text{,}\) o \(f''(a) \gt 0\text{.}\)
  • Si \(f''(a) \gt 0\text{,}\) entonces sabemos que el gráfico de \(f\) es cóncavo hacia arriba, y vemos la primera posibilidad a la izquierda, donde la línea tangente se encuentra completamente debajo de la curva.
  • Si \(f''(a) \lt 0\text{,}\) entonces \(f\) es cóncavo hacia abajo y la línea tangente se encuentra por encima de la curva, como se muestra en la segunda figura.
  • Si \(f''(a) = 0\) y \(f''\) cambia de signo en \(x = a\text{,}\) la concavidad del gráfico cambiará, y veremos ya sea la tercera o la cuarta figura.
     3 
    Es posible que \(f''(a) = 0\) pero \(f''\) no cambie de signo en \(x = a\text{,}\) en cuyo caso el gráfico se parecerá a una de las dos primeras opciones.
    .
  • Una quinta opción (que no es muy interesante) puede ocurrir si la función \(f\) en sí misma es lineal, de modo que \(f(x) = L(x)\) para todos los valores de \(x\text{.}\)
Los gráficos en Figura 1.8.5 destacan otra cosa importante que podemos aprender de la concavidad del gráfico cerca del punto de tangencia: si la línea tangente se encuentra por encima o por debajo de la curva en sí. Esto es clave porque nos dice si los valores de la aproximación de la línea tangente serán demasiado grandes o demasiado pequeños en comparación con el valor verdadero de \(f\text{.}\) Por ejemplo, en la primera situación en el gráfico más a la izquierda en Figura 1.8.5 donde \(f''(a) > 0\text{,}\) debido a que la línea tangente cae por debajo de la curva, sabemos que \(L(x) \le f(x)\) para todos los valores de \(x\) cerca de \(a\text{.}\)

Activity 1.8.3.

Esta actividad trata sobre una función \(f(x)\) sobre la cual se conoce la siguiente información:
  • \(f\) es una función diferenciable definida en cada número real \(x\)
  • \(\displaystyle f(2) = -1\)
  • \(y = f'(x)\) tiene su gráfico dado en Figura 1.8.6
Figure 1.8.6. En el centro, un gráfico de \(y = f'(x)\text{;}\) a la izquierda, ejes para trazar \(y = f(x)\text{;}\) a la derecha, ejes para trazar \(y = f''(x)\text{.}\)
Tu tarea es determinar tanta información como sea posible sobre \(f\) (especialmente cerca del valor \(a = 2\)) respondiendo a las preguntas a continuación.
  1. Encuentra una fórmula para la aproximación de la línea tangente, \(L(x)\text{,}\) a \(f\) en el punto \((2,-1)\text{.}\)
  2. Usa la aproximación de la línea tangente para estimar el valor de \(f(2.07)\text{.}\) Muestra tu trabajo cuidadosamente y claramente.
  3. Dibuja un gráfico de \(y = f''(x)\) en la cuadrícula de la derecha en Figura 1.8.6; etiquétalo apropiadamente.
  4. ¿Está aumentando, disminuyendo o ni una cosa ni la otra la pendiente de la línea tangente a \(y = f(x)\) cuando \(x = 2\text{?}\) Explica.
  5. Dibuja un posible gráfico de \(y = f(x)\) cerca de \(x = 2\) en la cuadrícula de la izquierda en Figura 1.8.6. Incluye un dibujo de \(y=L(x)\) (encontrado en la parte (a)). Explica cómo sabes que el gráfico de \(y = f(x)\) se ve como lo has dibujado.
  6. ¿Tu estimación en (b) sobreestima o subestima el valor verdadero de \(f(2.07)\text{?}\) ¿Por qué?
La idea de que una función diferenciable se ve lineal y puede ser bien aproximada por una función lineal es importante y encuentra amplia aplicación en el cálculo. Por ejemplo, al aproximar una función con su linealización local, es posible desarrollar un algoritmo efectivo para estimar los ceros de una función. La linealidad local también nos ayuda a entender mejor ciertos límites desafiantes. Por ejemplo, hemos visto que el límite
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \end{equation*}
es indeterminado, porque tanto su numerador como su denominador tienden a 0. Aunque no hay álgebra que podamos hacer para simplificar \(\frac{\sin(x)}{x}\text{,}\) es sencillo mostrar que la linealización de \(f(x) = \sin(x)\) en el punto \((0,0)\) se da por \(L(x) = x\text{.}\) Por lo tanto, para valores de \(x\) cerca de 0, \(\sin(x) \approx x\text{,}\) y por lo tanto
\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{x} \approx \frac{x}{x} = 1\text{,} \end{equation*}
lo que hace plausible el hecho de que
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\text{.} \end{equation*}

Subsection 1.8.3 Resumen

  • La línea tangente a una función diferenciable \(y = f(x)\) en el punto \((a,f(a))\) se da en forma punto-pendiente por la ecuación
    \begin{equation*} y - f(a) = f'(a)(x-a)\text{.} \end{equation*}
  • El principio de linealidad local nos dice que si hacemos zoom en un punto donde una función \(y = f(x)\) es diferenciable, la función será indistinguible de su línea tangente. Es decir, una función diferenciable se ve lineal cuando se observa de cerca. Renombramos la línea tangente para que sea la función \(y = L(x)\text{,}\) donde \(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{.}\) Así, \(f(x) \approx L(x)\) para todos los \(x\) cerca de \(x = a\text{.}\)
  • Si conocemos la aproximación de la línea tangente \(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\) a una función \(y=f(x)\text{,}\) entonces porque \(L(a) = f(a)\) y \(L'(a) = f'(a)\text{,}\) también conocemos los valores tanto de la función como de su derivada en el punto donde \(x = a\text{.}\) En otras palabras, la aproximación lineal nos dice la altura y la pendiente de la función original. Si, además, conocemos el valor de \(f''(a)\text{,}\) entonces sabemos si la línea tangente se encuentra por encima o por debajo del gráfico de \(y = f(x)\text{,}\) dependiendo de la concavidad de \(f\text{.}\)

Exercises 1.8.4 Exercises

1. Approximating \(\sqrt{x}\).

Use linear approximation to approximate \(\sqrt {36.1}\) as follows.
Let \(f(x) = \sqrt x\text{.}\) The equation of the tangent line to \(f(x)\) at \(x = 36\) can be written in the form \(y = mx+b\text{.}\) Compute \(m\) and \(b\text{.}\)
\(m=\)
\(b=\)
Using this find the approximation for \(\sqrt {36.1}\text{.}\)
Answer:

2. Local linearization of a graph.

The figure below shows \(f(x)\) and its local linearization at \(x=a\text{,}\) \(y = 4 x - 4\text{.}\) (The local linearization is shown in blue.)
What is the value of \(a\text{?}\)
\(a =\)
What is the value of \(f(a)\text{?}\)
\(f(a) =\)
Use the linearization to approximate the value of \(f(3.2)\text{.}\)
\(f(3.2) =\)
Is the approximation an under- or overestimate?
(Enter under or over.)

3. Estimating with the local linearization.

Suppose that \(f(x)\) is a function with \(f(130) = 46\) and \(f'(130) = 1\text{.}\) Estimate \(f(125.5)\text{.}\)
\(f(125.5) \approx\)

4. Predicting behavior from the local linearization.

The temperature, \(H\text{,}\) in degrees Celsius, of a cup of coffee placed on the kitchen counter is given by \(H = f(t)\text{,}\) where \(t\) is in minutes since the coffee was put on the counter.
(a) Is \(f'(t)\) positive or negative?
  • positive
  • negative
(Be sure that you are able to give a reason for your answer.)
(b) What are the units of \(f'(30)\text{?}\) help (units)
 4 
/pg_files/helpFiles/Units.html
Suppose that \(|f'(30)| = 0.9\) and \(f(30) = 51\text{.}\) Fill in the blanks (including units where needed) and select the appropriate terms to complete the following statement about the temperature of the coffee in this case.
At minutes after the coffee was put on the counter, its
  • derivative
  • temperature
  • change in temperature
is and will
  • increase
  • decrease
by about in the next 75 seconds.
Note: If you are using MathQuill click the textbox (Tt) button before entering an answer that contains units.

5.

A certain function \(y=p(x)\) has its local linearization at \(a = 3\) given by \(L(x) = -2x + 5\text{.}\)
  1. What are the values of \(p(3)\) and \(p'(3)\text{?}\) Why?
  2. Estimate the value of \(p(2.79)\text{.}\)
  3. Suppose that \(p''(3) = 0\) and you know that \(p''(x) \lt 0\) for \(x \lt 3\text{.}\) Is your estimate in (b) too large or too small?
  4. Suppose that \(p''(x) \gt 0\) for \(x \gt 3\text{.}\) Use this fact and the additional information above to sketch an accurate graph of \(y = p(x)\) near \(x = 3\text{.}\) Include a sketch of \(y = L(x)\) in your work.

6.

A potato is placed in an oven, and the potato’s temperature \(F\) (in degrees Fahrenheit) at various points in time is taken and recorded in the following table. Time \(t\) is measured in minutes.
Table 1.8.7. Temperature data for the potato.
\(t\) \(F(t)\)
\(0\) \(70\)
\(15\) \(180.5\)
\(30\) \(251\)
\(45\) \(296\)
\(60\) \(324.5\)
\(75\) \(342.8\)
\(90\) \(354.5\)
  1. Use a central difference to estimate \(F'(60)\text{.}\) Use this estimate as needed in subsequent questions.
  2. Find the local linearization \(y = L(t)\) to the function \(y = F(t)\) at the point where \(a = 60\text{.}\)
  3. Determine an estimate for \(F(63)\) by employing the local linearization.
  4. Do you think your estimate in (c) is too large or too small? Why?

7.

An object moving along a straight line path has a differentiable position function \(y = s(t)\text{;}\) \(s(t)\) measures the object’s position relative to the origin at time \(t\text{.}\) It is known that at time \(t = 9\) seconds, the object’s position is \(s(9) = 4\) feet (i.e., 4 feet to the right of the origin). Furthermore, the object’s instantaneous velocity at \(t = 9\) is \(-1.2\) feet per second, and its acceleration at the same instant is \(0.08\) feet per second per second.
  1. Use local linearity to estimate the position of the object at \(t = 9.34\text{.}\)
  2. Is your estimate likely too large or too small? Why?
  3. In everyday language, describe the behavior of the moving object at \(t = 9\text{.}\) Is it moving toward the origin or away from it? Is its velocity increasing or decreasing?

8.

For a certain function \(f\text{,}\) its derivative is known to be \(f'(x) = (x-1)e^{-x^2}\text{.}\) Note that you do not know a formula for \(y = f(x)\text{.}\)
  1. At what \(x\)-value(s) is \(f'(x) = 0\text{?}\) Justify your answer algebraically, but include a graph of \(f'\) to support your conclusion.
  2. Reasoning graphically, for what intervals of \(x\)-values is \(f''(x) \gt 0\text{?}\) What does this tell you about the behavior of the original function \(f\text{?}\) Explain.
  3. Assuming that \(f(2) = -3\text{,}\) estimate the value of \(f(1.88)\) by finding and using the tangent line approximation to \(f\) at \(x=2\text{.}\) Is your estimate larger or smaller than the true value of \(f(1.88)\text{?}\) Justify your answer.
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