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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 8.5 Polinomios de Taylor y Series de Taylor

Hasta ahora, cada serie infinita que hemos discutido ha sido una serie de números reales, como
\begin{equation} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^k} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}\text{.}\tag{8.5.1} \end{equation}
En el resto de este capítulo, incluiremos series que involucran una variable. Por ejemplo, si en la serie geométrica en Ecuación (8.5.1) reemplazamos la razón \(r = \frac{1}{2}\) con la variable \(x\text{,}\) tenemos la serie infinita (aún geométrica)
\begin{equation} 1 + x + x^2 + \cdots + x^k + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} x^k\text{.}\tag{8.5.2} \end{equation}
Aquí vemos algo muy interesante: porque una serie geométrica converge siempre que su razón \(r\) satisfaga \(|r|\lt 1\text{,}\) y la suma de una serie geométrica convergente es \(\frac{a}{1-r}\text{,}\) podemos decir que para \(|x| \lt 1\text{,}\)
\begin{equation} 1 + x + x^2 + \cdots + x^k + \cdots = \frac{1}{1-x}\text{.}\tag{8.5.3} \end{equation}
Ecuación (8.5.3) establece que la función no polinómica \(\frac{1}{1-x}\) a la derecha es igual a la expresión polinómica infinita a la izquierda. Debido a que los términos a la izquierda se vuelven muy pequeños a medida que \(k\) se hace grande, podemos truncar la serie y decir, por ejemplo, que
\begin{equation*} 1 + x + x^2 + x^3 \approx \frac{1}{1-x} \end{equation*}
para valores pequeños de \(x\text{.}\) Esto muestra una forma en que una función polinómica puede usarse para aproximar una función no polinómica; tales aproximaciones son uno de los temas principales en esta sección y la siguiente.
En Actividad de Vista Previa 8.5.1, comenzamos nuestra exploración de la aproximación de funciones con polinomios.

Actividad Introductoria 8.5.1.

Actividad de Vista Previa 8.3.1 mostró cómo podemos aproximar el número \(e\) usando funciones lineales, cuadráticas, y otros polinomios; luego usamos ideas similares en Actividad de Vista Previa 8.4.1 para aproximar \(\ln(2)\text{.}\) En esta actividad, revisamos y extendemos el proceso para encontrar la “mejor” aproximación cuadrática a la función exponencial \(e^x\) alrededor del origen. Deja que \(f(x) = e^x\) sea durante toda esta actividad.
  1. Encuentra una fórmula para \(P_1(x)\text{,}\) la linealización de \(f(x)\) en \(x=0\text{.}\) (Etiquetamos esta linealización como \(P_1\) porque es una aproximación polinómica de primer grado.) Recuerda que \(P_1(x)\) es una buena aproximación a \(f(x)\) para valores de \(x\) cercanos a \(0\text{.}\) Grafica \(f\) y \(P_1\) cerca de \(x=0\) para ilustrar este hecho.
  2. Dado que \(f(x) = e^x\) no es lineal, la aproximación lineal eventualmente no es muy buena. Para obtener mejores aproximaciones, queremos desarrollar una aproximación diferente que “se doble” para que se ajuste más de cerca al gráfico de \(f\) cerca de \(x=0\text{.}\) Para hacerlo, añadimos un término cuadrático a \(P_1(x)\text{.}\) En otras palabras, dejamos que
    \begin{equation*} P_2(x) = P_1(x) + c_2x^2 \end{equation*}
    para algún número real \(c_2\text{.}\) Necesitamos determinar el valor de \(c_2\) que haga que el gráfico de \(P_2(x)\) se ajuste mejor al gráfico de \(f(x)\) cerca de \(x=0\text{.}\)
    Recuerda que \(P_1(x)\) era una buena aproximación lineal a \(f(x)\) cerca de \(0\text{;}\) esto es porque \(P_1(0) = f(0)\) y \(P'_1(0) = f'(0)\text{.}\) Por lo tanto, es razonable buscar un valor de \(c_2\) tal que
    \begin{align*} P_2(0) \amp = f(0)\text{,} \amp P'_2(0) \amp = f'(0)\text{,} \amp \text{y }P''_2(0) \amp = f''(0)\text{.} \end{align*}
    Recuerda, estamos dejando que \(P_2(x) = P_1(x) + c_2x^2\text{.}\)
    1. Calcula \(P_2(0)\) para mostrar que \(P_2(0) = f(0)\text{.}\)
    2. Calcula \(P'_2(0)\) para mostrar que \(P'_2(0) = f'(0)\text{.}\)
    3. Calcula \(P''_2(x)\text{.}\) Luego encuentra un valor para \(c_2\) tal que \(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\)
    4. Explica por qué la condición \(P''_2(0) = f''(0)\) pondrá una “curvatura” apropiada en el gráfico de \(P_2\) para que \(P_2\) se ajuste al gráfico de \(f\) alrededor de \(x=0\text{.}\)

Subsection 8.5.1 Polinomios de Taylor

Actividad de Vista Previa 8.5.1 ilustra los primeros pasos en el proceso de aproximar funciones con polinomios. Usando este proceso podemos aproximar funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, y otras funciones no polinómicas tan de cerca como queramos (para ciertos valores de \(x\)) con polinomios. Esto es extraordinariamente útil ya que nos permite calcular valores de estas funciones con la precisión que queramos usando solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, que pueden ser fácilmente programadas en una computadora.
A continuación extendemos el enfoque en Actividad de Vista Previa 8.5.1 a funciones arbitrarias en puntos arbitrarios. Sea \(f\) una función que tiene tantos derivados como necesitemos en un punto \(x=a\text{.}\) Recuerda que \(P_1(x)\) es la línea tangente a \(f\) en \((a,f(a))\) y se da por la fórmula
\begin{equation*} P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{.} \end{equation*}
\(P_1(x)\) es la aproximación lineal a \(f\) cerca de \(a\) que tiene la misma pendiente y valor de función que \(f\) en el punto \(x = a\text{.}\)
A continuación queremos encontrar una aproximación cuadrática
\begin{equation*} P_2(x) = P_1(x) + c_2(x-a)^2 \end{equation*}
para que \(P_2(x)\) modele más de cerca \(f(x)\) cerca de \(x=a\text{.}\) Considera los siguientes cálculos de los valores y derivados de \(P_2(x)\text{:}\)
\begin{align*} P_2(x) \amp = P_1(x) + c_2(x-a)^2 \amp P_2(a) \amp = P_1(a) = f(a)\\ P'_2(x) \amp = P'_1(x) + 2c_2(x-a) \amp P'_2(a) \amp = P'_1(a) = f'(a)\\ P''_2(x) \amp = 2c_2 \amp P''_2(a) \amp = 2c_2\text{.} \end{align*}
Para hacer que \(P_2(x)\) se ajuste mejor a \(f(x)\) que \(P_1(x)\text{,}\) queremos que \(P_2(x)\) y \(f(x)\) tengan la misma concavidad en \(x=a\text{,}\) además de tener la misma pendiente y valor de función. Es decir, queremos que
\begin{equation*} P''_2(a) = f''(a)\text{.} \end{equation*}
Esto implica que
\begin{equation*} 2c_2 = f''(a) \end{equation*}
y por lo tanto
\begin{equation*} c_2 = \frac{f''(a)}{2}\text{.} \end{equation*}
Por lo tanto, la aproximación cuadrática \(P_2(x)\) a \(f\) centrada en \(x=a\) es
\begin{equation*} P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\text{.} \end{equation*}
Este enfoque se extiende naturalmente a polinomios de mayor grado. Definimos polinomios
\begin{align*} P_3(x) \amp = P_2(x) + c_3(x-a)^3\text{,}\\ P_4(x) \amp = P_3(x) + c_4(x-a)^4\text{,}\\ P_5(x) \amp = P_4(x) + c_5(x-a)^5\text{,} \end{align*}
y en general
\begin{equation*} P_n(x) = P_{n-1}(x) + c_n(x-a)^n\text{.} \end{equation*}
La propiedad definitoria de estos polinomios es que para cada \(n\text{,}\) \(P_n(x)\) y todas sus primeras \(n\) derivadas deben coincidir con las de \(f\) en \(x = a\text{.}\) En otras palabras, requerimos que
\begin{equation*} P^{(k)}_n(a) = f^{(k)}(a) \end{equation*}
para todos los \(k\) desde 0 hasta \(n\text{.}\)
Para ver las condiciones bajo las cuales esto sucede, supón
\begin{equation*} P_n(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n\text{.} \end{equation*}
Entonces
\begin{align*} P^{(0)}_n(a) \amp = c_0\\ P^{(1)}_n(a) \amp = c_1\\ P^{(2)}_n(a) \amp = 2c_2\\ P^{(3)}_n(a) \amp = (2)(3)c_3\\ P^{(4)}_n(a) \amp = (2)(3)(4)c_4\\ P^{(5)}_n(a) \amp = (2)(3)(4)(5)c_5 \end{align*}
y, en general,
\begin{equation*} P^{(k)}_n(a) = (2)(3)(4) \cdots (k-1)(k)c_k = k!c_k\text{.} \end{equation*}
Así que tener \(P^{(k)}_n(a) = f^{(k)}(a)\) significa que \(k!c_k = f^{(k)}(a)\) y por lo tanto
\begin{equation*} c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \end{equation*}
para cada valor de \(k\text{.}\) Usando esta expresión para \(c_k\text{,}\) hemos encontrado la fórmula para la aproximación polinómica de \(f\) que buscamos. Tal polinomio se llama un polinomio de Taylor.

Polinomios de Taylor.

El \(n\)-ésimo polinomio de Taylor de \(f\) centrado en \(x = a\) se da por
\begin{align*} P_n(x) =\mathstrut \amp f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\ =\mathstrut \amp \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \end{align*}
Este polinomio de grado \(n\) aproxima \(f(x)\) cerca de \(x=a\) y tiene la propiedad de que \(P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)\) para \(k = 0, 1, \ldots, n\text{.}\)

Example 8.5.1.

Determina el polinomio de Taylor de tercer orden para \(f(x) = e^x\text{,}\) así como el polinomio de Taylor de orden general \(n\) para \(f\) centrado en \(x=0\text{.}\)
Solution.
Sabemos que \(f'(x) = e^x\) y por lo tanto \(f''(x) = e^x\) y \(f'''(x) = e^x\text{.}\) Así,
\begin{equation*} f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 1\text{.} \end{equation*}
Entonces, el polinomio de Taylor de tercer orden de \(f(x) = e^x\) centrado en \(x=0\) es
\begin{align*} P_3(x) \amp = f(0) + f'(0)(x-0) + \frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2 + \frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3\\ \amp = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\text{.} \end{align*}
En general, para la función exponencial \(f\) tenemos \(f^{(k)}(x) = e^x\) para cada número entero positivo \(k\text{.}\) Así, el término \(k\)-ésimo en el polinomio de Taylor de orden \(n\) para \(f(x)\) centrado en \(x=0\) es
\begin{equation*} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x-0)^k = \frac{1}{k!}x^k\text{.} \end{equation*}
Por lo tanto, el polinomio de Taylor de orden \(n\) para \(f(x) = e^x\) centrado en \(x=0\) es
\begin{equation*} P_n(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}x^n = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\text{.} \end{equation*}

Activity 8.5.2.

Acabamos de ver que el polinomio de Taylor de orden \(n\) centrado en \(a = 0\) para la función exponencial \(e^x\) es
\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}\text{.} \end{equation*}
En esta actividad, determinamos polinomios de Taylor de bajo orden para varias otras funciones conocidas, y buscamos patrones generales.
  1. Sea \(f(x) = \frac{1}{1-x}\text{.}\)
    1. Calcula las primeras cuatro derivadas de \(f(x)\) en \(x=0\text{.}\) Luego encuentra el polinomio de Taylor de cuarto orden \(P_4(x)\) para \(\frac{1}{1-x}\) centrado en \(0\text{.}\)
    2. Basado en tus resultados de la parte (i), determina una fórmula general para \(f^{(k)}(0)\text{.}\)
  2. Sea \(f(x) = \cos(x)\text{.}\)
    1. Calcula las primeras cuatro derivadas de \(f(x)\) en \(x=0\text{.}\) Luego encuentra el polinomio de Taylor de cuarto orden \(P_4(x)\) para \(\cos(x)\) centrado en \(0\text{.}\)
    2. Basado en tus resultados de la parte (i), encuentra una fórmula general para \(f^{(k)}(0)\text{.}\) (Piensa en cómo el hecho de que \(k\) sea par o impar afecta el valor de la \(k\)-ésima derivada.)
  3. Sea \(f(x) = \sin(x)\text{.}\)
    1. Calcula las primeras cuatro derivadas de \(f(x)\) en \(x=0\text{.}\) Luego encuentra el polinomio de Taylor de cuarto orden \(P_4(x)\) para \(\sin(x)\) centrado en \(0\text{.}\)
    2. Basado en tus resultados de la parte (i), encuentra una fórmula general para \(f^{(k)}(0)\text{.}\) (Piensa en cómo el hecho de que \(k\) sea par o impar afecta el valor de la \(k\)-ésima derivada.)
Es posible que un polinomio de Taylor de orden \(n\) no sea un polinomio de grado \(n\text{;}\) es decir, el orden de la aproximación puede ser diferente del grado del polinomio. Por ejemplo, en Activity 8.5.3 encontramos que el polinomio de Taylor de segundo orden \(P_2(x)\) centrado en \(0\) para \(\sin(x)\) es \(P_2(x) = x\text{.}\) En este caso, el polinomio de Taylor de segundo orden es un polinomio de grado 1.

Subsection 8.5.2 Series de Taylor

En Activity 8.5.2 vimos que el polinomio de Taylor de cuarto orden \(P_4(x)\) para \(\sin(x)\) centrado en \(0\) es
\begin{equation*} P_4(x) = x - \frac{x^3}{3!}\text{.} \end{equation*}
El patrón que encontramos para las derivadas \(f^{(k)}(0)\) describe los polinomios de Taylor de orden superior, por ejemplo,
\begin{align*} P_5(x) \amp= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}\text{,}\\ P_7(x) \amp= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!}\text{,}\\ P_9(x) \amp= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9}}{9!}\text{,} \end{align*}
y así sucesivamente. Es instructivo considerar el comportamiento gráfico de estas funciones; Figure 8.5.2 muestra los gráficos de algunos de los polinomios de Taylor centrados en \(0\) para la función seno.
Figure 8.5.2. Los polinomios de Taylor de orden 1, 5, 7 y 9 centrados en \(x = 0\) para \(f(x) = \sin(x)\text{.}\)
Nota que \(P_1(x)\) se aproxima a la función seno solo para valores de \(x\) que están cerca de \(0\text{,}\) pero a medida que aumentamos el grado del polinomio de Taylor, los polinomios de Taylor proporcionan un mejor ajuste al gráfico de la función seno en intervalos más grandes. Esto ilustra el comportamiento general de los polinomios de Taylor: para cualquier función suficientemente bien comportada, la secuencia \(\{P_n(x)\}\) de polinomios de Taylor converge a la función \(f\) en intervalos cada vez más grandes (aunque esos intervalos no necesariamente aumenten sin límite). Si los polinomios de Taylor finalmente convergen a \(f\) en todo su dominio, escribimos
\begin{equation*} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \end{equation*}

Definition 8.5.3.

Sea \(f\) una función cuyas derivadas existen en \(x=a\text{.}\) La serie de Taylor para \(f\) centrada en \(x=a\) es la serie \(T_f(x)\) definida por
\begin{equation*} T_f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \end{equation*}
En el caso especial donde \(a=0\) en Definition 8.5.3, la serie de Taylor también se llama serie de Maclaurin para \(f\text{.}\) Desde Example 8.5.1 sabemos el polinomio de Taylor de orden \(n\) centrado en \(0\) para la función exponencial \(e^x\text{;}\) por lo tanto, la serie de Maclaurin para \(e^x\) es
\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\text{.} \end{equation*}

Activity 8.5.3.

En Actividad 8.5.2 determinamos polinomios de Taylor de orden pequeño para algunas funciones conocidas, y también encontramos patrones generales en las derivadas evaluadas en \(0\text{.}\) Usa esa información para escribir la serie de Taylor centrada en \(0\) para las siguientes funciones.
  1. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1-x}\)
  2. \(f(x) = \cos(x)\) (Necesitarás considerar cuidadosamente cómo indicar que muchos de los coeficientes son 0. Piensa en una manera general de representar un número entero par.)
  3. \(f(x) = \sin(x)\) (Necesitarás considerar cuidadosamente cómo indicar que muchos de los coeficientes son \(0\text{.}\) Piensa en una manera general de representar un número entero impar.)
  4. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x}\)

Activity 8.5.4.

  1. Dibuja los gráficos de varios de los polinomios de Taylor centrados en \(0\) (de orden al menos 5) para \(e^x\) y convéncete de que estos polinomios de Taylor convergen a \(e^x\) para cada valor de \(x\text{.}\)
  2. Dibuja los gráficos de varios de los polinomios de Taylor centrados en \(0\) (de orden al menos 6) para \(\cos(x)\) y convéncete de que estos polinomios de Taylor convergen a \(\cos(x)\) para cada valor de \(x\text{.}\) Escribe la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(\cos(x)\text{.}\)
  3. Dibuja los gráficos de varios de los polinomios de Taylor centrados en \(0\) para \(\frac{1}{1-x}\text{.}\) Basándote en tus gráficos, ¿para qué valores de \(x\) parecen estos polinomios de Taylor converger a \(\frac{1}{1-x}\text{?}\) ¿Cómo es esta situación diferente de lo que observamos con \(e^x\) y \(\cos(x)\text{?}\) Además, escribe la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(\frac{1}{1-x}\text{.}\)
La serie de Maclaurin para \(e^x\text{,}\) \(\sin(x)\text{,}\) \(\cos(x)\text{,}\) y \(\frac{1}{1-x}\) se usarán frecuentemente, así que debemos asegurarnos de conocerlas y reconocerlas bien.

Subsection 8.5.3 El Intervalo de Convergencia de una Serie de Taylor

En la sección anterior (en Figure 8.5.2 y Activity 8.5.4) observamos que los polinomios de Taylor centrados en \(0\) para \(e^x\text{,}\) \(\cos(x)\text{,}\) y \(\sin(x)\) convergían a estas funciones para todos los valores de \(x\) en su dominio, pero que los polinomios de Taylor centrados en \(0\) para \(\frac{1}{1-x}\) convergen a \(\frac{1}{1-x}\) en el intervalo \((-1,1)\) y divergen para todos los demás valores de \(x\text{.}\) Así que la serie de Taylor para una función \(f(x)\) no necesita converger para todos los valores de \(x\) en el dominio de \(f\text{.}\)
Nuestras observaciones sugieren dos preguntas naturales: ¿podemos determinar los valores de \(x\) para los cuales una serie de Taylor dada converge? ¿Y la serie de Taylor para una función \(f\) realmente converge a \(f(x)\text{?}\)

Example 8.5.4.

La evidencia gráfica sugiere que la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(e^x\) converge para todos los valores de \(x\text{.}\) Para verificar esto, usa la Prueba de la Razón para determinar todos los valores de \(x\) para los cuales la serie de Taylor
\begin{equation} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\tag{8.5.4} \end{equation}
converge absolutamente.
Solution.
Recuerda que la Prueba de la Razón se aplica solo a series de términos no negativos. En este ejemplo, la variable \(x\) puede tener valores negativos. Pero estamos interesados en la convergencia absoluta, así que aplicamos la Prueba de la Razón a la serie
\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} \left| \frac{x^k}{k!} \right| = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{| x |^k}{k!}\text{.} \end{equation*}
Ahora, observa que
\begin{align*} \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} \amp = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{| x |^{k+1}}{(k+1)!} }{ \frac{| x |^k}{k} }\\ \amp = \lim_{k \to \infty} \frac{| x |^{k+1}k!}{ | x |^{k}(k+1)! }\\ \amp = \lim_{k \to \infty} \frac{| x |}{k+1}\\ \amp = 0 \end{align*}
para cualquier valor de \(x\text{.}\) Así que la serie de Taylor (8.5.4) converge absolutamente para cada valor de \(x\text{,}\) y por lo tanto converge para cada valor de \(x\text{.}\)
Una pregunta aún queda: mientras la serie de Taylor para \(e^x\) converge para todo \(x\text{,}\) lo que hemos hecho no nos dice que esta serie de Taylor realmente converge a \(e^x\) para cada \(x\text{.}\) Volveremos a esta pregunta cuando consideremos el error en una aproximación de Taylor cerca del final de esta sección.
Podemos aplicar la idea principal del Ejemplo 8.5.4 en general. Para determinar los valores de \(x\) para los cuales una serie de Taylor
\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} c_k (x-a)^k\text{,} \end{equation*}
centrada en \(x = a\) convergerá, aplicamos la Prueba del Cociente con \(a_k = | c_k (x-a)^k |\text{.}\) La serie converge si \(\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} \lt 1\text{.}\)
Observa que
\begin{equation*} \frac{a_{k+1}}{{a_k}} = | x-a | \frac{| c_{k+1} |}{| c_{k} |}\text{,} \end{equation*}
así que cuando aplicamos la Prueba del Cociente, obtenemos
\begin{equation*} \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} |x-a| \frac{| c_{k+1} |}{| c_{k} |}\text{.} \end{equation*}
Nota que supón que
\begin{equation*} \lim_{k \to \infty} \frac{| c_{k+1} |}{| c_{k} |} = L\text{,} \end{equation*}
así que
\begin{equation*} \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = |x-a| \cdot L\text{.} \end{equation*}
Hay tres posibilidades para \(L\text{:}\) \(L\) puede ser \(0\text{,}\) puede ser un valor positivo finito, o puede ser infinito. Basándonos en este valor de \(L\text{,}\) podemos determinar para qué valores de \(x\) la serie de Taylor original converge.
  • Si \(L = 0\text{,}\) entonces la serie de Taylor converge en \((-\infty, \infty)\text{.}\)
  • Si \(L\) es infinito, entonces la serie de Taylor converge solo en \(x = a\text{.}\)
  • Si \(L\) es finito y no cero, entonces la serie de Taylor converge absolutamente para todo \(x\) que satisfaga
    \begin{equation*} |x-a| \cdot L \lt 1 \end{equation*}
    o para todo \(x\) tal que
    \begin{equation*} |x-a| \lt \frac{1}{L}\text{,} \end{equation*}
    que es el intervalo
    \begin{equation*} \left(a-\frac{1}{L}, a+\frac{1}{L}\right)\text{.} \end{equation*}
    Debido a que la Prueba del Cociente es inconclusa cuando \(|x-a| \cdot L = 1\text{,}\) los puntos extremos \(a \pm \frac{1}{L}\) deben ser verificados por separado.
Es importante notar que el conjunto de valores de \(x\) en los que una serie de Taylor converge es siempre un intervalo centrado en \(x=a\text{.}\) Por esta razón, el conjunto en el que una serie de Taylor converge se llama el intervalo de convergencia. La mitad de la longitud del intervalo de convergencia se llama el radio de convergencia. Si el intervalo de convergencia de una serie de Taylor es infinito, entonces decimos que el radio de convergencia es infinito.

Activity 8.5.5.

  1. Usa la Prueba de la Razón para determinar explícitamente el intervalo de convergencia de la serie de Taylor para \(f(x) = \frac{1}{1-x}\) centrada en \(x=0\text{.}\)
  2. Usa la Prueba de la Razón para determinar explícitamente el intervalo de convergencia de la serie de Taylor para \(f(x) = \cos(x)\) centrada en \(x=0\text{.}\)
  3. Usa la Prueba de la Razón para determinar explícitamente el intervalo de convergencia de la serie de Taylor para \(f(x) = \sin(x)\) centrada en \(x=0\text{.}\)
La Prueba del Cociente nos permite determinar el conjunto de valores de \(x\) para los cuales una serie de Taylor converge absolutamente. Sin embargo, solo porque una serie de Taylor para una función \(f\) converge, no podemos estar seguros de que la serie de Taylor realmente converge a \(f(x)\text{.}\) Para mostrar por qué y dónde una serie de Taylor de hecho converge a la función \(f\text{,}\) consideramos a continuación el error que está presente en los polinomios de Taylor.

Subsection 8.5.4 Aproximaciones de Error para Polinomios de Taylor

Ahora sabemos cómo encontrar polinomios de Taylor para funciones como \(\sin(x)\text{,}\) y cómo determinar el intervalo de convergencia de la serie de Taylor correspondiente. A continuación desarrollamos un límite de error que nos dirá qué tan bien un polinomio de Taylor de orden \(n\) \(P_n(x)\) aproxima su función generadora \(f(x)\text{.}\) Este límite de error también nos permitirá determinar si una serie de Taylor en su intervalo de convergencia realmente es igual a la función \(f\) de la cual se deriva la serie de Taylor. Finalmente, podremos usar el límite de error para determinar el orden del polinomio de Taylor \(P_n(x)\) que asegurará que \(P_n(x)\) aproxima \(f(x)\) al grado de precisión deseado.
Para este argumento, asumimos en todo momento que centramos nuestras aproximaciones en \(0\) (pero un argumento similar se sostiene para aproximaciones centradas en \(a\)). Definimos el error exacto, \(E_n(x)\text{,}\) que resulta de aproximar \(f(x)\) con \(P_n(x)\) por
\begin{equation*} E_n(x) = f(x) - P_n(x)\text{.} \end{equation*}
Estamos particularmente interesados en \(|E_n(x)|\text{,}\) la distancia entre \(P_n\) y \(f\text{.}\) Porque
\begin{equation*} P^{(k)}_n(0) = f^{(k)}(0) \end{equation*}
para \(0 \leq k \leq n\text{,}\) sabemos que
\begin{equation*} E^{(k)}_n(0) = 0 \end{equation*}
para \(0 \leq k \leq n\text{.}\) Además, dado que \(P_n(x)\) es un polinomio de grado menor o igual a \(n\text{,}\) sabemos que
\begin{equation*} P_n^{(n+1)}(x) = 0\text{.} \end{equation*}
Así que, dado que \(E^{(n+1)}_n(x) = f^{(n+1)}(x) - P_n^{(n+1)}(x)\text{,}\) se sigue que
\begin{equation*} E^{(n+1)}_n(x) = f^{(n+1)}(x) \end{equation*}
para todo \(x\text{.}\)
Supón que queremos aproximar \(f(x)\) en un número \(c\) cercano a \(0\) usando \(P_n(c)\text{.}\) Si asumimos que \(|f^{(n+1)}(t)|\) está limitado por algún número \(M\) en \([0, c]\text{,}\) de modo que
\begin{equation*} \left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M \end{equation*}
para todo \(0 \leq t \leq c\text{,}\) entonces podemos decir que
\begin{equation*} \left|E^{(n+1)}_n(t)\right| = \left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M \end{equation*}
para todo \(t\) entre \(0\) y \(c\text{.}\) Equivalentemente,
\begin{equation} -M \leq E^{(n+1)}_n(t) \leq M\tag{8.5.5} \end{equation}
en \([0, c]\text{.}\) A continuación, integramos los tres términos en Desigualdad (8.5.5) desde \(t = 0\) hasta \(t = x\text{,}\) y así encontramos que
\begin{equation*} \int_0^x -M \ dt \leq \int_0^x E^{(n+1)}_n(t) \ dt \leq \int_0^x M \ dt \end{equation*}
para cada valor de \(x\) en \([0, c]\text{.}\) Dado que \(E^{(n)}_n(0) = 0\text{,}\) el Primer FTC nos dice que
\begin{equation*} -Mx \leq E^{(n)}_n(x) \leq Mx \end{equation*}
para cada \(x\) en \([0, c]\text{.}\)
Al integrar esta última desigualdad, obtenemos
\begin{equation*} \int_0^x -Mt \ dt \leq \int_0^x E^{(n)}_n(t) \ dt \leq \int_0^x Mt \ dt \end{equation*}
y así
\begin{equation*} -M\frac{x^2}{2} \leq E^{(n-1)}_n(x) \leq M\frac{x^2}{2} \end{equation*}
para todo \(x\) en \([0, c]\text{.}\)
Al integrar \(n\) veces, llegamos a
\begin{equation*} -M\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \leq E_n(x) \leq M\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \end{equation*}
para todo \(x\) en \([0, c]\text{.}\) Esto nos permite concluir que
\begin{equation*} \left|E_n(x)\right| \leq M\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \end{equation*}
para todo \(x\) en \([0, c]\text{,}\) y hemos encontrado un límite en el error de la aproximación, \(E_n\text{.}\)
Nuestro trabajo anterior se basó en la aproximación centrada en \(a = 0\text{;}\) el argumento puede generalizarse para cualquier valor de \(a\text{,}\) lo que resulta en el siguiente teorema.

El Límite de Error de Lagrange para \(P_n(x)\).

Sea \(f\) una función continua con \(n+1\) derivadas continuas. Supón que \(M\) es un número real positivo tal que \(\left|f^{(n+1)}(x)\right| \le M\) en el intervalo \([a, c]\text{.}\) Si \(P_n(x)\) es el polinomio de Taylor de orden \(n\) para \(f(x)\) centrado en \(x=a\text{,}\) entonces
\begin{equation*} \left|P_n(c) - f(c)\right| \leq M\frac{|c-a|^{n+1}}{(n+1)!}\text{.} \end{equation*}
Podemos usar este límite de error para obtener información importante sobre los polinomios de Taylor y las series de Taylor, como vemos en los siguientes ejemplos y actividades.

Example 8.5.5.

Determina qué tan bien el polinomio de Taylor de orden 10 \(P_{10}(x)\) para \(\sin(x)\text{,}\) centrado en \(0\text{,}\) aproxima \(\sin(2)\text{.}\)
Solution.
Para responder a esta pregunta usamos \(f(x) = \sin(x)\text{,}\) \(c = 2\text{,}\) \(a=0\text{,}\) y \(n = 10\) en la fórmula del límite de error de Lagrange. También necesitamos encontrar un valor apropiado para \(M\text{.}\) Nota que las derivadas de \(f(x) = \sin(x)\) son todas iguales a \(\pm \sin(x)\) o \(\pm \cos(x)\text{.}\) Así,
\begin{equation*} \left| f^{(n+1)}(x) \right| \leq 1 \end{equation*}
para cualquier \(n\) y \(x\text{.}\) Por lo tanto, podemos elegir \(M\) como \(1\text{.}\) Entonces
\begin{equation*} \left|P_{10}(2) - f(2)\right| \leq (1)\frac{|2-0|^{11}}{(11)!} = \frac{2^{11}}{(11)!} \approx 0.00005130671797\text{.} \end{equation*}
Así que \(P_{10}(2)\) aproxima \(\sin(2)\) con un error máximo de \(0.00005130671797\text{.}\) Un sistema de álgebra computacional nos dice que
\begin{equation*} P_{10}(2) \approx 0.9093474427 \ \ \text{ y } \ \ \sin(2) \approx 0.9092974268 \end{equation*}
con una diferencia real de aproximadamente \(0.0000500159\text{.}\)

Activity 8.5.6.

Sea \(P_n(x)\) el \(n\)-ésimo polinomio de Taylor para \(\sin(x)\) centrado en \(x=0\text{.}\) Determina cuán grande necesitamos elegir \(n\) para que \(P_n(2)\) aproxime \(\sin(2)\) a \(20\) decimales.

Example 8.5.6.

Muestra que la serie de Taylor para \(\sin(x)\) realmente converge a \(\sin(x)\) para todo \(x\text{.}\)
Solution.
Recuerda del ejemplo anterior que como \(f(x) = \sin(x)\text{,}\) sabemos
\begin{equation*} \left| f^{(n+1)}(x) \right| \leq 1 \end{equation*}
para cualquier \(n\) y \(x\text{.}\) Esto nos permite elegir \(M = 1\) en la fórmula del límite de error de Lagrange. Así,
\begin{equation} |P_n(x) - \sin(x)| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\tag{8.5.6} \end{equation}
para cada \(x\text{.}\)
Mostramos en trabajos anteriores que la serie de Taylor \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\) converge para cada valor de \(x\text{.}\) Debido a que los términos de cualquier serie convergente deben acercarse a cero, se sigue que
\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = 0 \end{equation*}
para cada valor de \(x\text{.}\) Así, tomando el límite cuando \(n \to \infty\) en la desigualdad (8.5.6), se sigue que
\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} |P_n(x) - \sin(x)| = 0\text{.} \end{equation*}
Como resultado, ahora podemos escribir
\begin{equation*} \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{equation*}
para cada número real \(x\text{.}\)

Activity 8.5.7.

  1. Muestra que la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(\cos(x)\) converge a \(\cos(x)\) para cada número real \(x\text{.}\)
  2. Ahora consideramos la serie de Taylor para \(e^x\text{.}\)
    1. Muestra que la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(e^x\) converge a \(e^x\) para cada valor no negativo de \(x\text{.}\)
    2. Muestra que la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(e^x\) converge a \(e^x\) para cada valor negativo de \(x\text{.}\)
    3. Explica por qué la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(e^x\) converge a \(e^x\) para cada número real \(x\text{.}\) Recuerda que anteriormente mostramos que la serie de Taylor centrada en \(0\) para \(e^x\) converge para todos \(x\text{,}\) y ahora hemos completado el argumento de que la serie de Taylor para \(e^x\) realmente converge a \(e^x\) para todos \(x\text{.}\)
  3. Sea \(P_n(x)\) el polinomio de Taylor de orden \(n\) para \(e^x\) centrado en \(0\text{.}\) Encuentra un valor de \(n\) tal que \(P_n(5)\) aproxime \(e^5\) con una precisión de \(8\) decimales.

Subsection 8.5.5 Resumen

  • Podemos usar polinomios de Taylor para aproximar funciones. Esto nos permite aproximar valores de funciones usando solo suma, resta, multiplicación, y división de números reales. El polinomio de Taylor de orden \(n\) centrado en \(x=a\) de una función \(f\) es
    \begin{align*} P_n(x) =\mathstrut \amp f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\ =\mathstrut \amp \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \end{align*}
  • La serie de Taylor centrada en \(x=a\) para una función \(f\) es
    \begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \end{equation*}
    El polinomio de Taylor de orden \(n\) centrado en \(a\) para \(f\) es la suma parcial de orden \(n\) de su serie de Taylor centrada en \(a\text{.}\) Así que el polinomio de Taylor de orden \(n\) para una función \(f\) es una aproximación a \(f\) en el intervalo donde la serie de Taylor converge; para los valores de \(x\) para los cuales la serie de Taylor converge a \(f\) escribimos
    \begin{equation*} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \end{equation*}
  • El Límite de Error de Lagrange nos muestra cómo determinar la precisión al usar un polinomio de Taylor para aproximar una función. Más específicamente, si \(P_n(x)\) es el polinomio de Taylor de orden \(n\) para \(f\) centrado en \(x=a\) y si \(M\) es un límite superior para \(\left|f^{(n+1)}(x)\right|\) en el intervalo \([a, c]\text{,}\) entonces
    \begin{equation*} \left|P_n(c) - f(c)\right| \leq M\frac{|c-a|^{n+1}}{(n+1)!}\text{.} \end{equation*}

Exercises 8.5.6 Exercises

1. Determining Taylor polynomials from a function formula.

Find the Taylor polynomials of degree \(n\) approximating \(\sin\mathopen{}\left(4x\right)\) for \(x\) near 0:
For \(n=1\text{,}\) \(P_{1}(x) =\)
For \(n=3\text{,}\) \(P_{3}(x) =\)
For \(n=5\text{,}\) \(P_{5}(x) =\)

2. Determining Taylor polynomials from given derivative values.

Suppose \(g\) is a function which has continuous derivatives, and that \(g(8)=4, g'(8)=1\text{,}\) \(g''(8)=4\text{,}\) \(g'''(8)=5\text{.}\)
(a) What is the Taylor polynomial of degree 2 for \(g\) near \(8\text{?}\)
\(P_2(x) =\)
(b) What is the Taylor polynomial of degree 3 for \(g\) near \(8\text{?}\)
\(P_3(x) =\)
(c) Use the two polynomials that you found in parts (a) and (b) to approximate \(g(8.1)\text{.}\)
With \(P_2\text{,}\) \(g(8.1)\approx\)
With \(P_3\text{,}\) \(g(8.1)\approx\)

3. Finding the Taylor series for a given rational function.

Find the first four terms of the Taylor series for the function \(\displaystyle \frac{1}{x}\) about the point \(a = 1\text{.}\) (Your answers should include the variable x when appropriate.)
\(\displaystyle \frac{1}{x} =\) + + + + ...

4. Finding the Taylor series for a given trigonometric function.

Find the first four terms of the Taylor series for the function \(\sin(x)\) about the point \(a = \pi/4\text{.}\) (Your answers should include the variable x when appropriate.)
\(\sin(x) =\) + + + + ...

5. Finding the Taylor series for a given logarithmic function.

Find the first five terms of the Taylor series for the function \(f(x) = \ln\mathopen{}\left(x\right)\) about the point \(a = 4\text{.}\) (Your answers should include the variable x when appropriate.)
\(\ln\mathopen{}\left(x\right) =\) + + + + + ...

6.

In this exercise we investigation the Taylor series of polynomial functions.
  1. Find the 3rd order Taylor polynomial centered at \(a = 0\) for \(f(x) = x^3-2x^2+3x-1\text{.}\) Does your answer surprise you? Explain.
  2. Without doing any additional computation, find the 4th, 12th, and 100th order Taylor polynomials (centered at \(a = 0\)) for \(f(x) = x^3-2x^2+3x-1\text{.}\) Why should you expect this?
  3. Now suppose \(f(x)\) is a degree \(m\) polynomial. Completely describe the \(n\)th order Taylor polynomial (centered at \(a = 0\)) for each \(n\text{.}\)

7.

The examples we have considered in this section have all been for Taylor polynomials and series centered at 0, but Taylor polynomials and series can be centered at any value of \(a\text{.}\) We look at examples of such Taylor polynomials in this exercise.
  1. Let \(f(x) = \sin(x)\text{.}\) Find the Taylor polynomials up through order four of \(f\) centered at \(x = \frac{\pi}{2}\text{.}\) Then find the Taylor series for \(f(x)\) centered at \(x = \frac{\pi}{2}\text{.}\) Why should you have expected the result?
  2. Let \(f(x) = \ln(x)\text{.}\) Find the Taylor polynomials up through order four of \(f\) centered at \(x = 1\text{.}\) Then find the Taylor series for \(f(x)\) centered at \(x = 1\text{.}\)
  3. Use your result from (b) to determine which Taylor polynomial will approximate \(\ln(2)\) to two decimal places. Explain in detail how you know you have the desired accuracy.

8.

We can use known Taylor series to obtain other Taylor series, and we explore that idea in this exercise, as a preview of work in the following section.
  1. Calculate the first four derivatives of \(\sin(x^2)\) and hence find the fourth order Taylor polynomial for \(\sin(x^2)\) centered at \(a=0\text{.}\)
  2. Part (a) demonstrates the brute force approach to computing Taylor polynomials and series. Now we find an easier method that utilizes a known Taylor series. Recall that the Taylor series centered at 0 for \(f(x) = \sin(x)\) is
    \begin{equation} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\text{.}\tag{8.5.7} \end{equation}
    1. Substitute \(x^2\) for \(x\) in the Taylor series (8.5.7). Write out the first several terms and compare to your work in part (a). Explain why the substitution in this problem should give the Taylor series for \(\sin(x^2)\) centered at 0.
    2. What should we expect the interval of convergence of the series for \(\sin(x^2)\) to be? Explain in detail.

9.

Based on the examples we have seen, we might expect that the Taylor series for a function \(f\) always converges to the values \(f(x)\) on its interval of convergence. We explore that idea in more detail in this exercise. Let \(f(x) = \begin{cases}e^{-1/x^2} \amp \text{ if } x \neq 0, \\ 0 \amp \text{ if } x = 0. \end{cases}\)
  1. Show, using the definition of the derivative, that \(f'(0) = 0\text{.}\)
  2. It can be shown that \(f^{(n)}(0) = 0\) for all \(n \geq 2\text{.}\) Assuming that this is true, find the Taylor series for \(f\) centered at 0.
  3. What is the interval of convergence of the Taylor series centered at 0 for \(f\text{?}\) Explain. For which values of \(x\) the interval of convergence of the Taylor series does the Taylor series converge to \(f(x)\text{?}\)
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