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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 3.2 Usando derivadas para describir familias de funciones

Los matemáticos a menudo están interesados en hacer observaciones generales, por ejemplo, describiendo patrones que se mantienen en un gran número de casos. Piensa en el Teorema de Pitágoras: no nos dice algo sobre un solo triángulo rectángulo, sino más bien un hecho sobre todos los triángulos rectángulos. En la siguiente parte de nuestros estudios, usamos cálculo para hacer observaciones generales sobre familias de funciones que dependen de uno o más parámetros. Las personas que usan matemáticas aplicadas, como ingenieros y economistas, a menudo encuentran los mismos tipos de funciones donde solo ocurren pequeños cambios en ciertas constantes. Estas constantes se llaman parámetros.
Figure 3.2.1. El gráfico de \(f(t) = a \sin(b(t-c)) + d\) basado en los parámetros \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\text{,}\) y \(d\text{.}\)
Ya estás familiarizado con ciertas familias de funciones. Por ejemplo, \(f(t) = a \sin(b(t-c)) + d\) es una versión estirada y desplazada de la función seno con amplitud \(a\text{,}\) período \(\frac{2\pi}{b}\text{,}\) desplazamiento de fase \(c\text{,}\) y desplazamiento vertical \(d\text{.}\) Sabemos que \(a\) afecta el tamaño de la oscilación, \(b\) la rapidez de la oscilación, y \(c\) dónde comienza la oscilación, como se muestra en Figura 3.2.1, mientras que \(d\) afecta la posición vertical del gráfico.
Como otro ejemplo, cada función de la forma \(y = mx + b\) es una línea con pendiente \(m\) e intersección en \(y\) \((0,b)\text{.}\) El valor de \(m\) afecta la inclinación de la línea, y el valor de \(b\) sitúa la línea verticalmente en los ejes de coordenadas. Estos dos parámetros describen todas las posibles líneas no verticales.
Para otras familias de funciones menos familiares, podemos usar cálculo para descubrir dónde ocurre el comportamiento clave: dónde los miembros de la familia están aumentando o disminuyendo, cóncavos hacia arriba o hacia abajo, dónde ocurren los extremos relativos, y más, todo en términos de los parámetros involucrados. Para empezar, revisamos una colección común de funciones para ver cómo el cálculo confirma cosas que ya sabemos.

Actividad Introductoria 3.2.1.

Sea \(a\text{,}\) \(h\text{,}\) y \(k\) números reales arbitrarios con \(a \ne 0\text{,}\) y sea \(f\) la función dada por la regla \(f(x) = a(x-h)^2 + k\text{.}\)
  1. ¿Qué tipo familiar de función es \(f\text{?}\) ¿Qué información sabes sobre \(f\) solo con mirar su forma? (Piensa en los roles de \(a\text{,}\) \(h\text{,}\) y \(k\text{.}\))
  2. A continuación, usamos algo de cálculo para desarrollar ideas familiares desde una perspectiva diferente. Para empezar, trata \(a\text{,}\) \(h\text{,}\) y \(k\) como constantes y calcula \(f'(x)\text{.}\)
  3. Encuentra todos los números críticos de \(f\text{.}\) (Estos dependerán de al menos uno de \(a\text{,}\) \(h\text{,}\) y \(k\text{.}\))
  4. Supón que \(a \lt 0\text{.}\) Construye un gráfico de signos de la primera derivada para \(f\text{.}\)
  5. Basado en la información que has encontrado arriba, clasifica los valores críticos de \(f\) como máximos o mínimos.

Subsection 3.2.1 Describiendo familias de funciones en términos de parámetros

Nuestro objetivo es describir las características clave del comportamiento general de cada miembro de una familia de funciones en términos de sus parámetros. Al encontrar las primeras y segundas derivadas y construir gráficos de signos (cada uno de los cuales puede depender de uno o más de los parámetros), a menudo podemos hacer conclusiones amplias sobre cómo aparecerá cada miembro de la familia.

Example 3.2.2.

Considera la familia de funciones de dos parámetros dada por \(g(x) = axe^{-bx}\text{,}\) donde \(a\) y \(b\) son números reales positivos. Describe completamente el comportamiento de un miembro típico de la familia en términos de \(a\) y \(b\text{,}\) incluyendo la ubicación de todos los números críticos, dónde \(g\) está aumentando, disminuyendo, cóncavo hacia arriba, y cóncavo hacia abajo, y el comportamiento a largo plazo de \(g\text{.}\)
Solution.
Comenzamos calculando \(g'(x)\text{.}\) Por la regla del producto,
\begin{equation*} g'(x) = ax \frac{d}{dx}\left[e^{-bx}\right] + e^{-bx} \frac{d}{dx}[ax]\text{.} \end{equation*}
Al aplicar la regla de la cadena y la regla del múltiplo constante, encontramos que
\begin{equation*} g'(x) = axe^{-bx}(-b) + e^{-bx}(a)\text{.} \end{equation*}
Para encontrar los números críticos de \(g\text{,}\) resolvemos la ecuación \(g'(x) = 0\text{.}\) Al factorizar \(g'(x)\text{,}\) encontramos
\begin{equation*} 0 = ae^{-bx}(-bx + 1)\text{.} \end{equation*}
Dado que se nos da que \(a \ne 0\) y sabemos que \(e^{-bx} \ne 0\) para todos los valores de \(x\text{,}\) la única forma en que esta ecuación puede mantenerse es cuando \(-bx + 1 = 0\text{.}\) Resolviendo para \(x\text{,}\) encontramos \(x = \frac{1}{b}\text{,}\) y este es por lo tanto el único número crítico de \(g\text{.}\)
Construimos el gráfico de signos de la primera derivada para \(g\) que se muestra en Figura 3.2.3.
Figure 3.2.3. El gráfico de signos de la primera derivada para \(g(x) = axe^{-bx}\text{.}\)
Debido a que el factor \(ae^{-bx}\) es siempre positivo, el signo de \(g'\) depende del factor lineal \((1-bx)\text{,}\) que es positivo para \(x \lt \frac{1}{b}\) y negativo para \(x \gt \frac{1}{b}\text{.}\) Por lo tanto, no solo podemos concluir que \(g\) está siempre aumentando para \(x \lt \frac{1}{b}\) y disminuyendo para \(x \gt \frac{1}{b}\text{,}\) sino también que \(g\) tiene un máximo global en \((\frac{1}{b}, g(\frac{1}{b}))\) y ningún mínimo local.
A continuación, pasamos a analizar la concavidad de \(g\text{.}\) Con \(g'(x) = -abxe^{-bx} + ae^{-bx}\text{,}\) diferenciamos para encontrar que
\begin{equation*} g''(x) = -abxe^{-bx}(-b) + e^{-bx}(-ab) + ae^{-bx}(-b)\text{.} \end{equation*}
Combinando términos similares y factorizando, ahora tenemos
\begin{equation*} g''(x) = ab^2xe^{-bx} - 2abe^{-bx} = abe^{-bx}(bx - 2)\text{.} \end{equation*}
Figure 3.2.4. El gráfico de signos de la segunda derivada para \(g(x) = axe^{-bx}\text{.}\)
Observamos que \(abe^{-bx}\) es siempre positivo, y así el signo de \(g''\) depende del signo de \((bx-2)\text{,}\) que es cero cuando \(x = \frac{2}{b}\text{.}\) Dado que \(b\) es positivo, el valor de \((bx-2)\) es negativo para \(x \lt \frac{2}{b}\) y positivo para \(x \gt \frac{2}{b}\text{.}\) El gráfico de signos para \(g''\) se muestra en Figura 3.2.4. Así, \(g\) es cóncavo hacia abajo para todo \(x \lt \frac{2}{b}\) y cóncavo hacia arriba para todo \(x \gt \frac{2}{b}\text{.}\)
Finalmente, analizamos el comportamiento a largo plazo de \(g\) considerando dos límites. Primero, notamos que
\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} axe^{-bx} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax}{e^{bx}}\text{.} \end{equation*}
Este límite tiene forma indeterminada \(\frac{\infty}{\infty}\text{,}\) así que aplicamos la Regla de L’Hôpital y encontramos que \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\text{.}\) En la otra dirección,
\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} axe^{-bx} = -\infty\text{,} \end{equation*}
porque \(ax \to -\infty\) y \(e^{-bx} \to \infty\) cuando \(x \to -\infty\text{.}\) Por lo tanto, a medida que nos movemos hacia la izquierda en su gráfico, \(g\) disminuye sin límite, mientras que a medida que nos movemos hacia la derecha, \(g(x) \to 0\text{.}\)
Toda esta información ahora nos ayuda a producir el gráfico de un miembro típico de esta familia de funciones sin usar una utilidad de graficación (y sin elegir valores particulares para \(a\) y \(b\)), como se muestra en Figura 3.2.5.
Figure 3.2.5. El gráfico de \(g(x) = axe^{-bx}\text{.}\)
Nota que el valor de \(b\) controla la ubicación horizontal del máximo global y el punto de inflexión, ya que ninguno depende de \(a\text{.}\) El valor de \(a\) afecta la extensión vertical del gráfico. Por ejemplo, el máximo global ocurre en el punto \((\frac{1}{b}, g(\frac{1}{b})) = (\frac{1}{b}, \frac{a}{b}e^{-1})\text{,}\) así que cuanto mayor sea el valor de \(a\text{,}\) mayor será el valor del máximo global.
El trabajo que hemos completado en Ejemplo 3.2.2 a menudo se puede replicar para otras familias de funciones que dependen de parámetros. Normalmente estamos más interesados en determinar todos los números críticos, un gráfico de signos de la primera derivada, un gráfico de signos de la segunda derivada, y el límite de la función cuando \(x \to \infty\text{.}\) A lo largo, preferimos trabajar con los parámetros como constantes arbitrarias. Además, podemos experimentar con algunos valores particulares de los parámetros presentes para reducir la complejidad algebraica de nuestro trabajo. Las siguientes actividades ofrecen varios ejemplos clave donde vemos que los valores de los parámetros afectan sustancialmente el comportamiento de funciones individuales dentro de una familia dada.

Activity 3.2.2.

Considera la familia de funciones definidas por \(p(x) = x^3 - ax\text{,}\) donde \(a \ne 0\) es una constante arbitraria.
  1. Encuentra \(p'(x)\) y determina los números críticos de \(p\text{.}\) ¿Cuántos números críticos tiene \(p\text{?}\)
  2. Construye un gráfico de signos de la primera derivada para \(p\text{.}\) ¿Qué puedes decir sobre el comportamiento general de \(p\) si la constante \(a\) es positiva? ¿Por qué? ¿Qué pasa si la constante \(a\) es negativa? En cada caso, describe los extremos relativos de \(p\text{.}\)
  3. Encuentra \(p''(x)\) y construye un gráfico de signos de la segunda derivada para \(p\text{.}\) ¿Qué te dice esto sobre la concavidad de \(p\text{?}\) ¿Qué papel juega \(a\) en la determinación de la concavidad de \(p\text{?}\)
  4. Sin usar una herramienta de graficación, dibuja y etiqueta gráficos típicos de \(p(x)\) para los casos donde \(a\gt 0\) y \(a \lt 0\text{.}\) Etiqueta todos los puntos de inflexión y los extremos locales.
  5. Finalmente, usa una herramienta de graficación para probar tus observaciones anteriores ingresando y graficando la función \(p(x) = x^3 - ax\) para al menos cuatro valores diferentes de \(a\text{.}\) Escribe varias oraciones para describir tus conclusiones generales sobre cómo el comportamiento de \(p\) depende de \(a\text{.}\)

Activity 3.2.3.

Considera la familia de funciones de dos parámetros de la forma \(h(x) = a(1-e^{-bx})\text{,}\) donde \(a\) y \(b\) son números reales positivos.
  1. Encuentra la primera derivada y los números críticos de \(h\text{.}\) Usa estos para construir un diagrama de signos de la primera derivada y determina para qué valores de \(x\) la función \(h\) está aumentando y disminuyendo.
  2. Encuentra la segunda derivada y construye un diagrama de signos de la segunda derivada. ¿Para qué valores de \(x\) una función en esta familia es cóncava hacia arriba? ¿cóncava hacia abajo?
  3. ¿Cuál es el valor de \(\lim_{x \to \infty} a(1-e^{-bx})\text{?}\) \(\lim_{x \to -\infty} a(1-e^{-bx})\text{?}\)
  4. ¿Cómo afecta el cambio en el valor de \(b\) la forma de la curva?
  5. Sin usar una herramienta de graficación, dibuja el gráfico de un miembro típico de esta familia. Escribe varias oraciones para describir el comportamiento general de una función típica \(h\) y cómo este comportamiento depende de \(a\) y \(b\text{.}\)

Activity 3.2.4.

Sea \(L(t) = \frac{A}{1+ce^{-kt}}\text{,}\) donde \(A\text{,}\) \(c\) y \(k\) son todos números reales positivos.
  1. Observa que podemos escribir equivalentemente \(L(t) = A(1+ce^{-kt})^{-1}\text{.}\) Encuentra \(L'(t)\) y explica por qué \(L\) no tiene números críticos. ¿\(L\) está siempre aumentando o siempre disminuyendo? ¿Por qué?
  2. Dado el hecho de que
    \begin{equation*} L''(t) = Ack^2e^{-kt} \frac{ce^{-kt}-1}{(1+ce^{-kt})^3}\text{,} \end{equation*}
    encuentra todos los valores de \(t\) tales que \(L''(t) = 0\) y por lo tanto construye un gráfico de signos de la segunda derivada. ¿Para qué valores de \(t\) es una función en esta familia cóncava hacia arriba? ¿cóncava hacia abajo?
  3. ¿Cuál es el valor de \(\lim_{t \to \infty} \frac{A}{1+ce^{-kt}}\text{?}\) \(\lim_{t \to -\infty} \frac{A}{1+ce^{-kt}}\text{?}\)
  4. Encuentra el valor de \(L(x)\) en el punto de inflexión encontrado en (b).
  5. Sin usar una herramienta de graficación, dibuja el gráfico de un miembro típico de esta familia. Escribe varias oraciones para describir el comportamiento general de una función típica \(L\) y cómo este comportamiento depende del número \(A\text{,}\) \(c\) y \(k\text{.}\)
  6. Explica por qué es razonable pensar que la función \(L(t)\) modela el crecimiento de una población a lo largo del tiempo en un entorno donde la mayor población posible que el entorno circundante puede soportar es \(A\text{.}\)

Subsection 3.2.2 Resumen

  • Dada una familia de funciones que depende de uno o más parámetros, al investigar cómo los números críticos y las ubicaciones donde la segunda derivada es cero dependen de los valores de estos parámetros, a menudo podemos describir con precisión la forma de la función en términos de los parámetros.
  • En particular, así como podemos crear gráficos de signos de la primera y segunda derivada para una sola función, a menudo podemos hacerlo para familias enteras de funciones donde los números críticos y los posibles puntos de inflexión dependen de constantes arbitrarias. Estos gráficos de signos luego revelan dónde los miembros de la familia están aumentando o disminuyendo, cóncavos hacia arriba o hacia abajo, y nos ayudan a identificar extremos relativos y puntos de inflexión.

Exercises 3.2.3 Exercises

1. Drug dosage with a parameter.

For some positive constant \(C\text{,}\) a patient’s temperature change, \(T\text{,}\) due to a dose, \(D\text{,}\) of a drug is given by \(T = \left(\frac{C}{2} - \frac{D}{3}\right)D^2.\)
What dosage maximizes the temperature change?
\(D =\)
The sensitivity of the body to the drug is defined as \(dT/dD\text{.}\) What dosage maximizes sensitivity?
\(D =\)

2. Using the graph of \(g'\).

The figure below gives the behavior of the derivative of \(g(x)\) on \(-2\le x\le 2\text{.}\)
Graph of \(g'(x)\) (not \(g(x)\))
(Click on the graph to get a larger version.)
Sketch a graph of \(g(x)\) and use your sketch to answer the following questions.
A. Where does the graph of \(g(x)\) have inflection points?
\(x =\)
Enter your answer as a comma-separated list of values, or enter none if there are none.
B. Where are the global maxima and minima of \(g\) on \([-2,2]\text{?}\)
minimum at \(x =\)
maximum at \(x =\)
C. If \(g(-2) = -8\text{,}\) what are possible values for \(g(0)\text{?}\)
\(g(0)\) is in
(Enter your answer as an interval, or union of intervals, giving the possible values. Thus if you know \(-5 \lt g(0) \le -2\text{,}\) enter (-5,-2]. Enter infinity for \(\infty\text{,}\) the interval [1,1] to indicate a single point).
How is the value of \(g(2)\) related to the value of \(g(0)\text{?}\)
\(g(2)\) \(g(0)\)
(Enter the appropriate mathematical equality or inequality, \(=\text{,}\) \(\lt \text{,}\) \(>\text{,}\) etc.)

3.

Consider the one-parameter family of functions given by \(p(x) = x^3-ax^2\text{,}\) where \(a \gt 0\text{.}\)
  1. Sketch a plot of a typical member of the family, using the fact that each is a cubic polynomial with a repeated zero at \(x = 0\) and another zero at \(x = a\text{.}\)
  2. Find all critical numbers of \(p\text{.}\)
  3. Compute \(p''\) and find all values for which \(p''(x) = 0\text{.}\) Hence construct a second derivative sign chart for \(p\text{.}\)
  4. Describe how the location of the critical numbers and the inflection point of \(p\) change as \(a\) changes. That is, if the value of \(a\) is increased, what happens to the critical numbers and inflection point?

4.

Let \(q(x) = \frac{e^{-x}}{x-c}\) be a one-parameter family of functions where \(c \gt 0\text{.}\)
  1. Explain why \(q\) has a vertical asymptote at \(x = c\text{.}\)
  2. Determine \(\lim_{x \to \infty} q(x)\) and \(\lim_{x \to -\infty} q(x)\text{.}\)
  3. Compute \(q'(x)\) and find all critical numbers of \(q\text{.}\)
  4. Construct a first derivative sign chart for \(q\) and determine whether each critical number leads to a local minimum, local maximum, or neither for the function \(q\text{.}\)
  5. Sketch a typical member of this family of functions with important behaviors clearly labeled.

5.

Let \(E(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}}\text{,}\) where \(m\) is any real number and \(s\) is a positive real number.
  1. Compute \(E'(x)\) and hence find all critical numbers of \(E\text{.}\)
  2. Construct a first derivative sign chart for \(E\) and classify each critical number of the function as a local minimum, local maximum, or neither.
  3. It can be shown that \(E''(x)\) is given by the formula
    \begin{equation*} E''(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}} \left(\frac{(x-m)^2 - s^2}{s^4} \right)\text{.} \end{equation*}
    Find all values of \(x\) for which \(E''(x) = 0\text{.}\)
  4. Determine \(\lim_{x \to \infty} E(x)\) and \(\lim_{x \to -\infty} E(x)\text{.}\)
  5. Construct a labeled graph of a typical function \(E\) that clearly shows how important points on the graph of \(y = E(x)\) depend on \(m\) and \(s\text{.}\)
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