Subsection 5.5.1 El Método de Fracciones Parciales
El método de fracciones parciales se usa para integrar funciones racionales. Implica revertir el proceso de encontrar un denominador común.
Example 5.5.1.
Evalúa
\begin{equation*}
\int \frac{5x}{x^2-x-2} \, dx\text{.}
\end{equation*}
Solution.
Si factorizamos el denominador, podemos ver cómo \(R\) podría ser la suma de dos fracciones de la forma \(\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}\text{,}\) así que supón que
\begin{equation*}
\frac{5x}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}
\end{equation*}
y busca las constantes \(A\) y \(B\text{.}\)
Multiplicando ambos lados de esta ecuación por \((x-2)(x+1)\text{,}\) encontramos que
\begin{equation*}
5x = A(x+1) + B(x-2)\text{.}
\end{equation*}
Dado que queremos que esta ecuación se mantenga para cada valor de \(x\text{,}\) podemos usar elecciones perspicaces de valores específicos de \(x\) para ayudarnos a encontrar \(A\) y \(B\text{.}\) Tomando \(x = -1\text{,}\) tenemos
\begin{equation*}
5(-1) = A(0) + B(-3)\text{,}
\end{equation*}
así que \(B = \frac{5}{3}\text{.}\) Eligiendo \(x = 2\text{,}\) se sigue que
\begin{equation*}
5(2) = A(3) + B(0)\text{,}
\end{equation*}
así que \(A = \frac{10}{3}\text{.}\) Así,
\begin{equation*}
\int \frac{5x}{x^2-x-2} \, dx = \int \frac{10/3}{x-2} + \frac{5/3}{x+1} \, dx\text{.}
\end{equation*}
Esta integral es sencilla de evaluar, y por lo tanto encontramos que
\begin{equation*}
\int \frac{5x}{x^2-x-2} \, dx = \frac{10}{3} \ln|x-2| + \frac{5}{3}\ln|x+1| + C\text{.}
\end{equation*}
Resulta que podemos usar el método de fracciones parciales, junto con la sustitución \(u\) y otras técnicas algebraicas, para reescribir cualquier función racional \(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) donde el grado del polinomio \(P\) es menor que el grado de \(Q\) como una suma de funciones racionales más simples de una de las siguientes formas:
\begin{equation*}
\frac{A}{x-c},\ \frac{A}{(x-c)^n},\ \frac{Ax+B}{x^2 + k},\ \text{o }\frac{Ax+B}{\left(x^2 + k\right)^n}
\end{equation*}
donde \(A\text{,}\) \(B\text{,}\) y \(c\) son números reales, y \(k\) es un número real positivo. Debido a que podemos antidiferenciar cada una de estas formas básicas, las fracciones parciales nos permiten antidiferenciar cualquier función racional.
Un sistema de álgebra computacional como Maple, Mathematica, o WolframAlpha se puede usar para encontrar la descomposición en fracciones parciales de cualquier función racional. En WolframAlpha, ingresando
partial fraction 5x/(x^2-x-2)
resulta en la salida
\begin{equation*}
\frac{5x}{x^2-x-2} = \frac{10}{3(x-2)} + \frac{5}{3(x+1)}\text{.}
\end{equation*}
Usaremos tecnología para generar descomposiciones en fracciones parciales de funciones racionales, y luego evaluaremos las integrales usando métodos establecidos.
Activity 5.5.2.
Para cada uno de los siguientes problemas, evalúa la integral usando la descomposición en fracciones parciales proporcionada.
\(\int \frac{1}{x^2 - 2x - 3} \, dx\text{,}\) dado que \(\frac{1}{x^2 - 2x - 3} = \frac{1/4}{x-3} - \frac{1/4}{x+1}\)
\(\int \frac{x^2+1}{x^3 - x^2} \, dx\text{,}\) dado que \(\frac{x^2+1}{x^3 - x^2} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x-1}\)
\(\int \frac{x-2}{x^4 + x^2}\, dx\text{,}\) dado que \(\frac{x-2}{x^4 + x^2} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{-x+2}{1+x^2}\)
Subsection 5.5.2 Usando una Tabla de Integrales
El cálculo tiene una larga historia, que se remonta a los matemáticos griegos en 400-300 a.C. Sus principales fundamentos fueron investigados y comprendidos independientemente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a finales de los años 1600, haciendo que las ideas modernas del cálculo tengan más de 300 años. Es instructivo darse cuenta de que hasta finales de los años 1980, la computadora personal no existía, por lo que el cálculo (y otras matemáticas) tuvo que hacerse a mano durante aproximadamente 300 años. En el siglo XXI, sin embargo, las computadoras han revolucionado muchos aspectos del mundo en el que vivimos, incluyendo las matemáticas. En esta sección hacemos un breve recorrido histórico antes de discutir el papel que los sistemas de álgebra computacional pueden jugar en la evaluación de integrales indefinidas. En particular, consideramos una clase de integrales que involucran ciertas expresiones radicales.
Como se ve en la breve tabla de integrales que se encuentra en
Apéndice A, hay muchas formas de integrales que involucran
\(\sqrt{a^2 \pm w^2}\) y
\(\sqrt{w^2 - a^2}\text{.}\) Estas reglas de integrales se pueden desarrollar usando una técnica conocida como
sustitución trigonométrica que elegimos omitir; en su lugar, simplemente aceptaremos los resultados presentados en la tabla. Para ver cómo se usan estas reglas, considera las diferencias entre
\begin{equation*}
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx, \ \ \ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx, \ \ \ \text{y} \ \ \ \int \sqrt{1-x^2} \,dx\text{.}
\end{equation*}
La primera integral es una básica familiar, y resulta en \(\arcsin(x) + C\text{.}\) La segunda integral se puede evaluar usando una sustitución \(u\) estándar con \(u = 1-x^2\text{.}\) La tercera, sin embargo, no es familiar y no se presta a la sustitución \(u\text{.}\)
\begin{equation*}
(h) ~ \int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left( \frac{u}{a} \right) + C\text{.}
\end{equation*}
Usando las sustituciones \(a = 1\) y \(u = x\) (de modo que \(du = dx\)), se sigue que
\begin{equation*}
\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} \arcsin (x) + C\text{.}
\end{equation*}
Siempre que estamos aplicando una regla en la tabla, estamos haciendo una sustitución \(u\text{,}\) especialmente cuando la sustitución es más complicada que establecer \(u = x\) como en el último ejemplo.
Example 5.5.2.
Evalúa la integral
\begin{equation*}
\int \sqrt{9 + 64x^2} \, dx\text{.}
\end{equation*}
Solution.
Aquí, queremos usar la Regla (c) de la tabla, pero ahora establecemos \(a = 3\) y \(u = 8x\text{.}\) También elegimos la opción “\(+\)” en la regla. Con esta sustitución, se sigue que \(du = 8dx\text{,}\) así que \(dx = \frac{1}{8} du\text{.}\) Aplicando la sustitución,
\begin{equation*}
\int \sqrt{9 + 64x^2} \, dx = \int \sqrt{9 + u^2} \cdot \frac{1}{8} \, du = \frac{1}{8} \int \sqrt{9+u^2} \, du\text{.}
\end{equation*}
Por la Regla (c), ahora encontramos que
\begin{align*}
\int \sqrt{9 + 64x^2} \, dx =\mathstrut \amp \frac{1}{8} \left( \frac{u}{2}\sqrt{u^2 + 9} + \frac{9}{2}\ln|u + \sqrt{u^2 + 9}| + C \right)\\
=\mathstrut \amp \frac{1}{8} \left( \frac{8x}{2}\sqrt{64x^2 + 9} + \frac{9}{2}\ln|8x + \sqrt{64x^2 + 9}| + C \right)\text{.}
\end{align*}
Siempre que usamos una sustitución
\(u\) junto con
Apéndice A, es importante que no olvidemos abordar cualquier constante que surja e incluirla en nuestros cálculos, como el
\(\frac{1}{8}\) que apareció en
Ejemplo 5.5.2.
Activity 5.5.3.
Para cada una de las siguientes integrales, evalúa la integral usando
\(u\)-sustitución y/o una entrada de la tabla que se encuentra en
Apéndice A.
\(\displaystyle \int \sqrt{x^2 + 4} \, dx\)
\(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2 +4}} \, dx\)
\(\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{16+25x^2}}\, dx\)
\(\displaystyle \int \frac{1}{x^2 \sqrt{49-36x^2}} \, dx\)
Subsection 5.5.3 Usando Sistemas de Álgebra Computacional
Un sistema de álgebra computacional (CAS) es un programa de computadora capaz de ejecutar matemáticas simbólicas. Por ejemplo, si le pedimos a un CAS que resuelva la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\) para la variable \(x\text{,}\) donde \(a\text{,}\) \(b\) y \(c\) son constantes arbitrarias, el programa devolverá \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}\) La investigación para desarrollar el primer CAS data de la década de 1960, y estos programas se hicieron disponibles al público a principios de la década de 1990. Dos ejemplos prominentes son los programas Maple y Mathematica, que estuvieron entre los primeros sistemas de álgebra computacional en ofrecer una interfaz gráfica de usuario. Hoy en día, Maple y Mathematica son paquetes de software profesional excepcionalmente poderosos que pueden ejecutar una increíble variedad de cálculos matemáticos sofisticados. También son muy caros, ya que cada uno es un programa propietario. El CAS SAGE es una alternativa de código abierto, gratuita a Maple y Mathematica.
Para los propósitos de este texto, cuando necesitemos usar un CAS, vamos a recurrir en su lugar a una herramienta computacional similar, pero algo diferente, el “motor de conocimiento computacional” basado en la web llamado WolframAlpha. Hay dos características de WolframAlpha que lo hacen destacar entre las opciones de CAS mencionadas anteriormente: (1) a diferencia de Maple y Mathematica, WolframAlpha es gratuito (si estamos dispuestos a navegar por algunos anuncios emergentes); y (2) a diferencia de cualquiera de los tres, la sintaxis en WolframAlpha es flexible. Piensa en WolframAlpha como un poco similar a hacer una búsqueda en Google: el programa interpretará lo que se ingresa, y luego proporcionará un resumen de opciones.
Si queremos que WolframAlpha evalúe una integral por nosotros, podemos proporcionarle una sintaxis como
integrate x^2 dx
a lo que el programa responde con
\begin{equation*}
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + \text{constant}\text{.}
\end{equation*}
Aunque hay mucho de lo que entusiasmarse con respecto a los programas CAS como WolframAlpha, hay varias cosas de las que deberíamos tener cuidado: (1) un CAS solo responde exactamente a lo que se ingresa; (2) un CAS puede responder usando funciones poderosas de matemáticas muy avanzadas; y (3) hay problemas que incluso un CAS no puede resolver sin una visión humana adicional.
Aunque (1) probablemente no necesite decirse, tenemos que ser cuidadosos con nuestra entrada: si ingresamos una sintaxis que define la función incorrecta, el CAS trabajará precisamente con la función que definimos. Por ejemplo, si estamos interesados en evaluar la integral
\begin{equation*}
\int \frac{1}{16-5x^2} \, dx\text{,}
\end{equation*}
y por error ingresamos
integrate 1/16 - 5x^2 dx
un CAS responderá (correctamente) con
\begin{equation*}
\frac{1}{16}x - \frac{5}{3} x^3\text{.}
\end{equation*}
Pero si estamos lo suficientemente versados en antidiferenciación, reconoceremos que esta función no puede ser la que buscamos: al integrar una función racional como \(\frac{1}{16-5x^2}\text{,}\) esperamos que la función logarítmica esté presente en el resultado.
Con respecto a (2), incluso para una integral relativamente simple como \(\int \frac{1}{16-5x^2} \, dx\text{,}\) algunos CAS invocarán funciones avanzadas en lugar de simples. Por ejemplo, si usamos Maple para ejecutar el comando
int(1/(16-5*x^2), x);
el programa responde con
\begin{equation*}
\int \frac{1}{16-5x^2} \, dx = \frac{\sqrt{5}}{20} \arctanh (\frac{\sqrt{5}}{4}x)\text{.}
\end{equation*}
Aunque esto es correcto (salvo por la constante arbitraria que falta, que Maple nunca reporta), la función tangente hiperbólica inversa no es una función común ni familiar; una forma más simple de expresar esta función se puede encontrar usando el método de fracciones parciales, y resulta ser el resultado reportado por WolframAlpha:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{16-5x^2} \, dx = \frac{1}{8\sqrt{5}} \left(\log(4\sqrt{5}+5x) - \log(4\sqrt{5}-5x)\right) + \text{constant}\text{.}
\end{equation*}
Usar funciones sofisticadas de matemáticas más avanzadas es a veces la forma en que un CAS le dice al usuario “No sé cómo resolver este problema.” Por ejemplo, si queremos evaluar
\begin{equation*}
\int e^{-x^2} \, dx\text{,}
\end{equation*}
y le pedimos a WolframAlpha que lo haga, la entrada
integrate exp(-x^2) dx
resulta en la salida
\begin{equation*}
\int e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\erf (x) + \text{constant}\text{.}
\end{equation*}
La función “erf\((x)\)” es la función de error, que en realidad se define por una integral:
\begin{equation*}
\erf (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt\text{.}
\end{equation*}
Así que, al producir una salida que involucra una integral, el CAS básicamente nos ha devuelto la misma pregunta que hicimos.
Finalmente, como se mencionó en (3) arriba, hay momentos en que un CAS realmente fallará sin una visión humana adicional. Si consideramos la integral
\begin{equation*}
\int (1+x)e^x \sqrt{1+x^2e^{2x}} \, dx
\end{equation*}
y le pedimos a WolframAlpha que la evalúe
int (1+x) * exp(x) * sqrt(1+x^2 * exp(2x)) dx,
el programa piensa por un momento y luego informa
(no se encontró resultado en términos de funciones matemáticas estándar)
Pero de hecho esta integral no es tan difícil de evaluar. Si dejamos que \(u = xe^{x}\text{,}\) entonces \(du = (1+x)e^x \, dx\text{,}\) lo que significa que la integral anterior tiene la forma
\begin{equation*}
\int (1+x)e^x \sqrt{1+x^2e^{2x}} \, dx = \int \sqrt{1+u^2} \, du\text{,}
\end{equation*}
que es una integral sencilla para cualquier CAS de evaluar.
Así que, debemos proceder con cierta precaución: aunque cualquier CAS es capaz de evaluar una amplia gama de integrales (tanto definidas como indefinidas), hay momentos en que el resultado puede confundirnos. Debemos pensar cuidadosamente sobre el significado de la salida, si es consistente con lo que esperamos, y si tiene sentido proceder.
