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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 1.2 La noción de límite

En la Sección 1.1 usamos una función, \(s(t)\text{,}\) para modelar la ubicación de un objeto en movimiento en un momento dado. Las funciones pueden modelar otros fenómenos interesantes, como la tasa a la que un automóvil consume gasolina a una velocidad dada, o la reacción de un paciente a una dosis determinada de un medicamento. Podemos usar el cálculo para estudiar cómo cambia el valor de una función en respuesta a cambios en la variable de entrada.
Piensa en la pelota que cae cuya función de posición está dada por \(s(t) = 64 - 16t^2\text{.}\) Su velocidad promedio en el intervalo \([1,x]\) está dada por
\begin{equation*} AV_{[1,x]} = \frac{s(x) - s(1)}{x-1} = \frac{(64-16x^2) - (64-16)}{x-1} = \frac{16 - 16x^2}{x-1}\text{.} \end{equation*}
Nota que la velocidad promedio es una función de \(x\text{.}\) Es decir, la función \(g(x) = \frac{16 - 16x^2}{x-1}\) nos dice la velocidad promedio de la pelota en el intervalo de \(t = 1\) a \(t = x\text{.}\) Para encontrar la velocidad instantánea de la pelota cuando \(t = 1\text{,}\) necesitamos saber qué pasa con \(g(x)\) a medida que \(x\) se acerca cada vez más a \(1\text{.}\) Pero también nota que \(g(1)\) no está definida, porque lleva al cociente \(0/0\text{.}\)
Aquí es donde entra la noción de un límite. Usando un límite, podemos investigar el comportamiento de \(g(x)\) a medida que \(x\) se acerca arbitrariamente, pero no igual, a \(1\text{.}\) Primero usamos el gráfico de una función para explorar puntos donde ocurre un comportamiento interesante.

Actividad Introductoria 1.2.1.

Supón que \(g\) es la función dada por el gráfico a continuación. Usa el gráfico en Figura 1.2.1 para responder cada una de las siguientes preguntas.
  1. Determina los valores \(g(-2)\text{,}\) \(g(-1)\text{,}\) \(g(0)\text{,}\) \(g(1)\text{,}\) y \(g(2)\text{,}\) si están definidos. Si el valor de la función no está definido, explica qué característica del gráfico te dice esto.
  2. Para cada uno de los valores \(a = -1\text{,}\) \(a = 0\text{,}\) y \(a = 2\text{,}\) completa la siguiente oración: “Cuando \(x\) se acerca cada vez más (pero no es igual) a \(a\text{,}\) \(g(x)\) se acerca tanto como queramos a .”
  3. ¿Qué pasa cuando \(x\) se acerca cada vez más (pero no es igual) a \(a = 1\text{?}\) ¿La función \(g(x)\) se acerca tanto como nos gustaría a un solo valor?
Figure 1.2.1. Gráfico de \(y = g(x)\) para Actividad de Vista Previa 1.2.1.

Subsection 1.2.1 La Noción de Límite

Los límites nos dan una forma de identificar una tendencia en los valores de una función a medida que su variable de entrada se acerca a un valor particular de interés. Necesitamos una comprensión precisa de lo que significa decir “una función \(f\) tiene límite \(L\) a medida que \(x\) se acerca a \(a\text{.}\)” Para empezar, piensa en un ejemplo reciente.
En Preview Activity 1.2.1, vimos que a medida que \(x\) se acerca cada vez más (pero no igual) a 0, \(g(x)\) se acerca tanto como queramos al valor 4. Al principio, esto puede parecer contraintuitivo, porque el valor de \(g(0)\) es \(1\text{,}\) no \(4\text{.}\) Pero los límites describen el comportamiento de una función arbitrariamente cerca de una entrada fija, y el valor de la función en la entrada fija no importa. Más formalmente,
 1 
Lo que sigue aquí no es lo que los matemáticos consideran la definición formal de un límite. Para ser completamente precisos, es necesario cuantificar tanto lo que significa decir “tan cerca de \(L\) como queramos” y “suficientemente cerca de \(a\text{.}\)” Eso se puede lograr a través de lo que tradicionalmente se llama la definición epsilon-delta de límites. La definición presentada aquí es suficiente para los propósitos de este texto.
decimos lo siguiente.

Definition 1.2.2.

Dada una función \(f\text{,}\) una entrada fija \(x = a\text{,}\) y un número real \(L\text{,}\) decimos que \(f\) tiene límite \(L\) a medida que \(x\) se acerca a \(a\), y escribimos
\begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x) = L \end{equation*}
siempre que podamos hacer que \(f(x)\) se acerque tanto como queramos a \(L\) tomando \(x\) suficientemente cerca (pero no igual) a \(a\text{.}\) Si no podemos hacer que \(f(x)\) se acerque a un solo valor tanto como queramos a medida que \(x\) se acerca a \(a\text{,}\) entonces decimos que \(f\) no tiene un límite a medida que \(x\) se acerca a \(a\text{.}\)

Example 1.2.3.

Para la función \(g\) representada en Figura 1.2.1, hacemos las siguientes observaciones:
\begin{equation*} \lim_{x \to -1} g(x) = 3, \ \lim_{x \to 0} g(x) = 4, \ \text{y} \ \lim_{x \to 2} g(x) = 1\text{.} \end{equation*}
Al trabajar con un gráfico, basta con preguntar si la función se acerca a un solo valor desde cada lado de la entrada fija. El valor de la función en la entrada fija es irrelevante. Este razonamiento explica los valores de los tres límites mencionados anteriormente.
Sin embargo, \(g\) no tiene un límite a medida que \(x \to 1\text{.}\) Hay un salto en el gráfico en \(x = 1\text{.}\) Si nos acercamos a \(x = 1\) desde la izquierda, los valores de la función tienden a acercarse a 3, pero si nos acercamos a \(x = 1\) desde la derecha, los valores de la función se acercan a 2. No hay un solo número al que se acerquen todos estos valores de la función. Por eso el límite de \(g\) no existe en \(x = 1\text{.}\)
Para cualquier función \(f\text{,}\) hay típicamente tres formas de responder a la pregunta “¿tiene \(f\) un límite en \(x = a\text{,}\) y si es así, ¿cuál es el límite?” La primera es razonar gráficamente como acabamos de hacer con el ejemplo de Preview Activity 1.2.1. Si tenemos una fórmula para \(f(x)\text{,}\) hay dos posibilidades adicionales:
  1. Evaluar la función en una secuencia de entradas que se acercan a \(a\) en ambos lados (típicamente usando algún tipo de tecnología de computación), y preguntar si la secuencia de salidas parece acercarse a un solo valor.
  2. Usar la forma algebraica de la función para entender la tendencia en sus valores de salida a medida que los valores de entrada se acercan a \(a\text{.}\)
El primer enfoque produce solo una aproximación del valor del límite, mientras que el último a menudo se puede usar para determinar el límite exactamente.

Example 1.2.4. Límites de Dos Funciones.

Para cada una de las siguientes funciones, nos gustaría saber si la función tiene un límite en los valores de \(a\) indicados. Usa enfoques tanto numéricos como algebraicos para investigar y, si es posible, estima o determina el valor del límite. Compara los resultados con un gráfico cuidadoso de la función en un intervalo que contenga los puntos de interés.
  1. \(f(x) = \frac{4-x^2}{x+2}\text{;}\) \(a = -1\text{,}\) \(a = -2\)
  2. \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\text{;}\) \(a = 3\text{,}\) \(a = 0\)
Solution.
a. Primero construimos un gráfico de \(f\) junto con tablas de valores cerca de \(a = -1\) y \(a = -2\text{.}\)
\(x\) \(f(x)\)
\(-0.9\) \(2.9\)
\(-0.99\) \(2.99\)
\(-0.999\) \(2.999\)
\(-0.9999\) \(2.9999\)
\(-1.1\) \(3.1\)
\(-1.01\) \(3.01\)
\(-1.001\) \(3.001\)
\(-1.0001\) \(3.0001\)
Table 1.2.5. Tabla de valores de \(f\) cerca de \(x=-1\text{.}\)
\(x\) \(f(x)\)
\(-1.9\) \(3.9\)
\(-1.99\) \(3.99\)
\(-1.999\) \(3.999\)
\(-1.9999\) \(3.9999\)
\(-2.1\) \(4.1\)
\(-2.01\) \(4.01\)
\(-2.001\) \(4.001\)
\(-2.0001\) \(4.0001\)
Table 1.2.6. Tabla de valores de \(f\) cerca de \(x=-2\text{.}\)
Figure 1.2.7. Gráfico de \(f(x)\) en \([-4,2]\text{.}\)
De Tabla 1.2.5, parece que podemos hacer \(f\) tan cercano como queramos a 3 tomando \(x\) suficientemente cercano a \(-1\text{,}\) lo que sugiere que \(\lim_{x \to -1} f(x) = 3\text{.}\) Esto también es consistente con el gráfico de \(f\text{.}\) Para ver esto un poco más rigurosamente y desde un punto de vista algebraico, considera la fórmula para \(f\text{:}\) \(f(x) = \frac{4-x^2}{x+2}\text{.}\) A medida que \(x \to -1\text{,}\) \((4-x^2) \to (4 - (-1)^2) = 3\text{,}\) y \((x+2) \to (-1 + 2) = 1\text{,}\) así que a medida que \(x \to -1\text{,}\) el numerador de \(f\) tiende a 3 y el denominador tiende a 1, por lo tanto \(\lim_{x \to -1} f(x) = \frac{3}{1} = 3\text{.}\)
La situación es más complicada cuando \(x \to -2\text{,}\) porque \(f(-2)\) no está definido. Si intentamos usar un argumento algebraico similar respecto al numerador y denominador, observamos que a medida que \(x \to -2\text{,}\) \((4-x^2) \to (4 - (-2)^2) = 0\text{,}\) y \((x+2) \to (-2 + 2) = 0\text{,}\) así que a medida que \(x \to -2\text{,}\) el numerador y el denominador de \(f\) tienden a 0. Llamamos a \(0/0\) una forma indeterminada. Esto nos dice que de alguna manera hay más trabajo por hacer. De Tabla 1.2.6 y Figura 1.2.7, parece que \(f\) debería tener un límite de \(4\) en \(x = -2\text{.}\)
Para ver algebraicamente por qué este es el caso, observa que
\begin{align*} \lim_{x \to -2} f(x) = \amp \lim_{x \to -2} \frac{4-x^2}{x+2}\\ = \amp \lim_{x \to -2} \frac{(2-x)(2+x)}{x+2}\text{.} \end{align*}
Es importante observar que, dado que estamos tomando el límite a medida que \(x \to -2\text{,}\) estamos considerando valores de \(x\) que están cerca, pero no iguales, a \(-2\text{.}\) Porque nunca permitimos realmente que \(x\) sea igual a \(-2\text{,}\) el cociente \(\frac{2+x}{x+2}\) tiene valor 1 para cada valor posible de \(x\text{.}\) Así, podemos simplificar la expresión más reciente arriba, y encontrar que
\begin{equation*} \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} 2-x\text{.} \end{equation*}
Este límite ahora es fácil de determinar, y su valor claramente es \(4\text{.}\) Así, desde varios puntos de vista hemos visto que \(\lim_{x \to -2} f(x) = 4\text{.}\)
b. A continuación nos dirigimos a la función \(g\text{,}\) y construimos dos tablas y un gráfico.
\(x\) \(g(x)\)
\(2.9\) \(0.88351\)
\(2.99\) \(0.86777\)
\(2.999\) \(0.86620\)
\(2.9999\) \(0.86604\)
\(3.1\) \(0.84864\)
\(3.01\) \(0.86428\)
\(3.001\) \(0.86585\)
\(3.0001\) \(0.86601\)
Table 1.2.8. Tabla de valores de \(g\) cerca de \(x=3\text{.}\)
\(x\) \(g(x)\)
\(-0.1\) \(0\)
\(-0.01\) \(0\)
\(-0.001\) \(0\)
\(-0.0001\) \(0\)
\(0.1\) \(0\)
\(0.01\) \(0\)
\(0.001\) \(0\)
\(0.0001\) \(0\)
Table 1.2.9. Tabla de valores de \(g\) cerca de \(x=0\text{.}\)
Figure 1.2.10. Gráfico de \(g(x)\) en \([-4,4]\text{.}\)
Primero, a medida que \(x \to 3\text{,}\) parece por los valores de la tabla que la función se está acercando a un número entre \(0.86601\) y \(0.86604\text{.}\) Por el gráfico parece que \(g(x) \to g(3)\) a medida que \(x \to 3\text{.}\) El valor exacto de \(g(3) = \sin(\frac{\pi}{3})\) es \(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}\) que es aproximadamente 0.8660254038. Esto es una evidencia convincente de que
\begin{equation*} \lim_{x \to 3} g(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \end{equation*}
A medida que \(x \to 0\text{,}\) observamos que \(\frac{\pi}{x}\) no se comporta de una manera elemental. Cuando \(x\) es positivo y se acerca a cero, estamos dividiendo por valores positivos cada vez más pequeños, y \(\frac{\pi}{x}\) aumenta sin límite. Cuando \(x\) es negativo y se acerca a cero, \(\frac{\pi}{x}\) disminuye sin límite. En este sentido, a medida que nos acercamos a \(x = 0\text{,}\) las entradas a la función seno están creciendo rápidamente, y esto lleva a oscilaciones cada vez más rápidas en el gráfico de \(g\) entre \(1\) y \(-1\text{.}\) Si graficamos la función \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) con una herramienta de graficación y luego hacemos zoom en \(x = 0\text{,}\) vemos que la función nunca se estabiliza en un solo valor cerca del origen, lo que sugiere que \(g\) no tiene un límite en \(x = 0\text{.}\)
¿Cómo reconciliamos el gráfico con la tabla de la derecha arriba, que parece sugerir que el límite de \(g\) a medida que \(x\) se acerca a \(0\) puede de hecho ser \(0\text{?}\) Los datos nos engañan debido a la naturaleza especial de la secuencia de valores de entrada \(\{0.1, 0.01, 0.001, \ldots\}\text{.}\) Cuando evaluamos \(g(10^{-k})\text{,}\) obtenemos \(g(10^{-k}) = \sin\left(\frac{\pi}{10^{-k}}\right) = \sin(10^k \pi) = 0\) para cada valor entero positivo de \(k\text{.}\) Pero si tomamos una secuencia diferente de valores que se acercan a cero, digamos \(\{0.3, 0.03, 0.003, \ldots\}\text{,}\) entonces encontramos que
\begin{equation*} g(3 \cdot 10^{-k}) = \sin\left(\frac{\pi}{3 \cdot 10^{-k}}\right) = \sin\left(\frac{10^k \pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025\text{.} \end{equation*}
Esa secuencia de valores de la función sugiere que el valor del límite es \(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}\) Claramente la función no puede tener dos valores diferentes para el límite, así que \(g\) no tiene límite a medida que \(x \to 0\text{.}\)
Una lección importante que tomar de Ejemplo 1.2.4 es que las tablas pueden ser engañosas al determinar el valor de un límite. Mientras que una tabla de valores es útil para investigar el posible valor de un límite, también deberíamos usar otras herramientas para confirmar el valor.

Activity 1.2.2.

Estima el valor de cada uno de los siguientes límites construyendo tablas de valores apropiadas. Luego determina el valor exacto del límite usando álgebra para simplificar la función. Finalmente, grafica cada función en un intervalo apropiado para verificar tu resultado visualmente.
  1. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x-1}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - 8}{x}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}\)
Recuerda que nuestra motivación principal para considerar los límites de funciones proviene de nuestro interés en estudiar la tasa de cambio de una función. Con ese fin, cerramos esta sección revisando nuestro trabajo previo con velocidad promedio e instantánea y destacando el papel que juegan los límites.

Subsection 1.2.2 Velocidad Instantánea

Supón que tenemos un objeto en movimiento cuya posición en el tiempo \(t\) está dada por una función \(s\text{.}\) Sabemos que la velocidad promedio del objeto en el intervalo de tiempo \([a,b]\) es \(AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) Definimos la velocidad instantánea en \(a\) como el límite de la velocidad promedio a medida que \(b\) se acerca a \(a\text{.}\) Nota particularmente que a medida que \(b \to a\text{,}\) la longitud del intervalo de tiempo se hace más corta y más corta (mientras siempre incluye \(a\)). Escribiremos \(IV_{t=a}\) para la velocidad instantánea en \(t = a\text{,}\) y así
\begin{equation*} IV_{t=a} = \lim_{b \to a} AV_{[a,b]} = \lim_{b \to a} \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}
De manera equivalente, si pensamos en el valor cambiante \(b\) como de la forma \(b = a + h\text{,}\) donde \(h\) es un número pequeño, entonces podemos escribir
\begin{equation*} IV_{t=a} = \lim_{h \to 0} AV_{[a,a+h]} = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{.} \end{equation*}
Nuevamente, la idea más importante aquí es que para calcular la velocidad instantánea, tomamos un límite de velocidades promedio a medida que el intervalo de tiempo se reduce.

Activity 1.2.3.

Considera un objeto en movimiento cuya función de posición está dada por \(s(t) = t^2\text{,}\) donde \(s\) se mide en metros y \(t\) se mide en minutos.
  1. Determina la expresión más simplificada para la velocidad promedio del objeto en el intervalo \([3, 3+h]\text{,}\) donde \(h \gt 0\text{.}\)
  2. Determina la velocidad promedio del objeto en el intervalo \([3,3.2]\text{.}\) Incluye unidades en tu respuesta.
  3. Determina la velocidad instantánea del objeto cuando \(t = 3\text{.}\) Incluye unidades en tu respuesta.
La actividad de cierre de esta sección te pide que hagas algunas conexiones entre velocidad promedio, velocidad instantánea y pendientes de ciertas líneas.

Activity 1.2.4.

Para el objeto en movimiento cuya posición \(s\) en el tiempo \(t\) está dada por el gráfico en Figura 1.2.11, responde cada una de las siguientes preguntas. Supón que \(s\) se mide en pies y \(t\) se mide en segundos.
Figure 1.2.11. Gráfico de la función de posición \(y = s(t)\) en Actividad 1.2.4.
  1. Usa el gráfico para estimar la velocidad promedio del objeto en cada uno de los siguientes intervalos: \([0.5,1]\text{,}\) \([1.5,2.5]\text{,}\) \([0,5]\text{.}\) Dibuja cada línea cuya pendiente representa la velocidad promedio que buscas.
  2. ¿Cómo podrías usar las velocidades promedio o las pendientes de las líneas para estimar la velocidad instantánea del objeto en un tiempo fijo?
  3. Usa el gráfico para estimar la velocidad instantánea del objeto cuando \(t = 2\text{.}\) ¿Debería esta velocidad instantánea en \(t = 2\) ser mayor o menor que la velocidad promedio en \([1.5,2.5]\) que calculaste en (a)? ¿Por qué?

Subsection 1.2.3 Resumen

  • Los límites nos permiten examinar tendencias en el comportamiento de la función cerca de un punto específico. En particular, tomar un límite en un punto dado pregunta si los valores de la función cercanos tienden a acercarse a un valor fijo particular.
  • Leemos \(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{,}\) como “el límite de \(f\) a medida que \(x\) se acerca a \(a\) es \(L\text{,}\)” lo que significa que podemos hacer el valor de \(f(x)\) tan cercano a \(L\) como queramos tomando \(x\) suficientemente cercano (pero no igual) a \(a\text{.}\)
  • Para encontrar \(\lim_{x \to a} f(x)\) para un valor dado de \(a\) y una función conocida \(f\text{,}\) podemos estimar este valor a partir del gráfico de \(f\text{,}\) o podemos hacer una tabla de valores de la función para valores de \(x\) que estén más y más cerca de \(a\text{.}\) Si queremos el valor exacto del límite, podemos trabajar con la función algebraicamente para entender cómo cambian las diferentes partes de la fórmula para \(f\) a medida que \(x \to a\text{.}\)
  • Encontramos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en un tiempo fijo tomando el límite de las velocidades promedio del objeto sobre intervalos de tiempo más y más cortos que contienen el tiempo de interés.

Exercises 1.2.4 Exercises

1. Limits on a piecewise graph.

Use the figure below, which gives a graph of the function \(f(x)\text{,}\) to give values for the indicated limits. If a limit does not exist, enter none.
(a) \(\lim\limits_{x \rightarrow -1} f(x)\) = help (limits)
 2 
/pg_files/helpFiles/Entering-Limits.html
(b) \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)\) =
(c) \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x)\) =
(d) \(\lim\limits_{x \rightarrow 4} f(x)\) =

2. Estimating a limit graphically.

Use a graph to estimate the limit
\begin{equation*} \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(6\theta)}{\theta}. \end{equation*}
Note: \(\theta\) is measured in radians. All angles will be in radians in this class unless otherwise specified.
\(\lim\limits_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(6\theta)}{\theta} =\)

3. Limits for a piecewise formula.

For the function
\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, \amp 0\le x \lt 4\\ 4, \amp x = 4\\ 3 x + 0, \amp 4 \lt x \end{cases} \end{equation*}
use algebra to find each of the following limits:
\(\lim\limits_{x\to 4^{+}}\, f(x) =\)
\(\lim\limits_{x\to 4^{-}}\, f(x) =\)
\(\lim\limits_{x\to 4}\, f(x) =\)
(For each, enter DNE if the limit does not exist.)
Sketch a graph of \(f(x)\) to confirm your answers.

4. Evaluating a limit algebraically.

Evaluate the limit
\begin{equation*} \lim_{ x \rightarrow -7 } \frac{x^2 - 49}{x + 7} \end{equation*}
If the limit does not exist enter DNE.
Limit =

5.

Consider the function whose formula is \(f(x) = \frac{16-x^4}{x^2-4}\text{.}\)
  1. What is the domain of \(f\text{?}\)
  2. Use a sequence of values of \(x\) near \(a = 2\) to estimate the value of \(\lim_{x \to 2} f(x)\text{,}\) if you think the limit exists. If you think the limit doesn’t exist, explain why.
  3. Use algebra to simplify the expression \(\frac{16-x^4}{x^2-4}\) and hence work to evaluate \(\lim_{x \to 2} f(x)\) exactly, if it exists, or to explain how your work shows the limit fails to exist. Discuss how your findings compare to your results in (b).
  4. True or false: \(f(2) = -8\text{.}\) Why?
  5. True or false: \(\frac{16-x^4}{x^2-4} = -4-x^2\text{.}\) Why? How is this equality connected to your work above with the function \(f\text{?}\)
  6. Based on all of your work above, construct an accurate, labeled graph of \(y = f(x)\) on the interval \([1,3]\text{,}\) and write a sentence that explains what you now know about \(\lim_{x \to 2} \frac{16-x^4}{x^2-4}\text{.}\)

6.

Let \(g(x) = -\frac{|x+3|}{x+3}\text{.}\)
  1. What is the domain of \(g\text{?}\)
  2. Use a sequence of values near \(a = -3\) to estimate the value of \(\lim_{x \to -3} g(x)\text{,}\) if you think the limit exists. If you think the limit doesn’t exist, explain why.
  3. Use algebra to simplify the expression \(\frac{|x+3|}{x+3}\) and hence work to evaluate \(\lim_{x \to -3} g(x)\) exactly, if it exists, or to explain how your work shows the limit fails to exist. Discuss how your findings compare to your results in (b). (Hint: \(|a| = a\) whenever \(a \ge 0\text{,}\) but \(|a| = -a\) whenever \(a \lt 0\text{.}\))
  4. True or false: \(g(-3) = -1\text{.}\) Why?
  5. True or false: \(-\frac{|x+3|}{x+3} = -1\text{.}\) Why? How is this equality connected to your work above with the function \(g\text{?}\)
  6. Based on all of your work above, construct an accurate, labeled graph of \(y = g(x)\) on the interval \([-4,-2]\text{,}\) and write a sentence that explains what you now know about \(\lim_{x \to -3} g(x)\text{.}\)

7.

For each of the following prompts, sketch a graph on the provided axes of a function that has the stated properties.
Figure 1.2.12. Axes for plotting \(y = f(x)\) in (a) and \(y = g(x)\) in (b).
  1. \(y = f(x)\) such that
    • \(f(-2) = 2\) and \(\lim_{x \to -2} f(x) = 1\)
    • \(f(-1) = 3\) and \(\lim_{x \to -1} f(x) = 3\)
    • \(f(1)\) is not defined and \(\lim_{x \to 1} f(x) = 0\)
    • \(f(2) = 1\) and \(\lim_{x \to 2} f(x)\) does not exist.
  2. \(y = g(x)\) such that
    • \(g(-2) = 3\text{,}\) \(g(-1) = -1\text{,}\) \(g(1) = -2\text{,}\) and \(g(2) = 3\)
    • At \(x = -2, -1, 1\) and \(2\text{,}\) \(g\) has a limit, and its limit equals the value of the function at that point.
    • \(g(0)\) is not defined and \(\lim_{x \to 0} g(x)\) does not exist.

8.

A bungee jumper dives from a tower at time \(t=0\text{.}\) Her height \(s\) in feet at time \(t\) in seconds is given by \(s(t) = 100\cos(0.75t) \cdot e^{-0.2t}+100\text{.}\)
  1. Write an expression for the average velocity of the bungee jumper on the interval \([1,1+h]\text{.}\)
  2. Use computing technology to estimate the value of the limit as \(h \to 0\) of the quantity you found in (a).
  3. What is the meaning of the value of the limit in (b)? What are its units?
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