Preguntas Motivadoras
- ¿Cómo están relacionadas la masa, la densidad y el volumen?
- ¿Cómo se calcula la masa de un objeto con densidad variable?
- ¿Qué es el centro de masa de un objeto, y cómo se usan las integrales definidas para calcularlo?
Section 6.3 Densidad, Masa y Centro de Masa
Estudiar las unidades en el integrando y la variable de integración nos ayuda a entender el significado de una integral definida. Por ejemplo, si \(v(t)\) es la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje, medida en pies por segundo, y \(t\) mide el tiempo en segundos, entonces tanto la integral definida como su aproximación por suma de Riemann,
\begin{equation*}
\int_a^b v(t) \, dt \approx \sum_{i=1}^n v(t_i) \Delta t\text{,}
\end{equation*}
tienen unidades dadas por el producto de las unidades de \(v(t)\) y \(t\text{:}\)
\begin{equation*}
\text{(pies/seg)} \cdot \text{(seg)} = \text{pies}\text{.}
\end{equation*}
Así, \(\int_a^b v(t) \, dt\) mide el cambio total en la posición del objeto en movimiento en pies.
El análisis de unidades nos será particularmente útil en lo que sigue.
Actividad Introductoria 6.3.1.
En cada uno de los siguientes escenarios, consideramos la distribución de una cantidad a lo largo de un eje.
- Supón que la función \(c(x) = 200 + 100 e^{-0.1x}\) modela la densidad del tráfico en una carretera recta, medida en coches por milla, donde \(x\) es el número de millas al este de un importante intercambio, y considera la integral definida \(\int_0^2 (200 + 100 e^{-0.1x}) \, dx\text{.}\)
- ¿Cuáles son las unidades del producto \(c(x) \cdot \Delta x\text{?}\)
- ¿Cuáles son las unidades de la integral definida y su aproximación por suma de Riemann dada por\begin{equation*} \int_0^2 c(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n c(x_i) \Delta x? \end{equation*}
- Evalúa la integral definida \(\int_0^2 c(x) \, dx = \int_0^2 \left(200 + 100 e^{-0.1x}\right) \, dx\) y escribe una oración para explicar el significado del valor que encuentres.
- En un estante de 6 pies de largo lleno de libros, la función \(B\) modela la distribución del peso de los libros, en libras por pulgada, donde \(x\) es el número de pulgadas desde el extremo izquierdo del estante. Sea \(B(x)\) dada por la regla \(B(x) = 0.5 + \frac{1}{(x+1)^2}\text{.}\)
- ¿Cuáles son las unidades del producto \(B(x) \cdot \Delta x\text{?}\)
- ¿Cuáles son las unidades de la integral definida y su aproximación por suma de Riemann dada por\begin{equation*} \int_{12}^{36} B(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n B(x_i) \Delta x? \end{equation*}
- Evalúa la integral definida \(\int_{0}^{72} B(x) \, dx = \int_0^{72} \left(0.5 + \frac{1}{(x+1)^2}\right) \, dx\) y escribe una oración para explicar el significado del valor que encuentres.
Subsection 6.3.1 Densidad
La masa de una cantidad, típicamente medida en unidades métricas como gramos o kilogramos, es una medida de la cantidad de la cantidad. De manera correspondiente, la densidad de un objeto mide la distribución de masa por unidad de volumen. Por ejemplo, si un ladrillo tiene una masa de 3 kg y un volumen de 0.002 m\(^3\text{,}\) entonces la densidad del ladrillo es
\begin{equation*}
\frac{3 \mbox{kg} }{0.002 \mbox{m} ^3} = 1500 \frac{\mbox{kg} }{\mbox{m} ^3}\text{.}
\end{equation*}
Como otro ejemplo, la densidad de masa del agua es 1000 kg/m\(^3\text{.}\) Cada una de estas relaciones demuestra el siguiente principio general.
Para un objeto de densidad constante \(d\text{,}\) con masa \(m\) y volumen \(V\text{,}\)
\begin{equation*}
d = \frac{m}{V}, \ \text{or} \ m = d \cdot V\text{.}
\end{equation*}
Pero, ¿qué pasa cuando la densidad no es constante?
La fórmula \(m = d \cdot V\) recuerda a otras dos ecuaciones que hemos usado en nuestro trabajo: para un cuerpo que se mueve en una dirección fija, distancia = velocidad \(\cdot\) tiempo, y, para un rectángulo, su área se da por \(A = l \cdot w\text{.}\) Estas fórmulas se mantienen cuando las cantidades principales involucradas, como la velocidad a la que se mueve el cuerpo y la altura del rectángulo, son constantes. Cuando estas cantidades no son constantes, hemos recurrido a la integral definida para obtener ayuda. Trabajando con pequeñas secciones en las que la cantidad de interés (como la velocidad) es aproximadamente constante, podemos usar una integral definida para sumar los valores en las piezas.
Por ejemplo, si tenemos una función de velocidad no negativa que no es constante, en un intervalo de tiempo corto \(\Delta t\) sabemos que la distancia recorrida es aproximadamente \(v(t) \Delta t\text{,}\) ya que \(v(t)\) es casi constante en un intervalo pequeño. De manera similar, si estamos pensando en el área bajo una función no negativa \(f\) cuyo valor está cambiando, en un intervalo corto \(\Delta x\) el área bajo la curva es aproximadamente el área del rectángulo cuya altura es \(f(x)\) y cuyo ancho es \(\Delta x\text{:}\) \(f(x) \Delta x\text{.}\) Ambos principios están representados visualmente en Figura 6.3.1.
De manera similar, si la densidad de algún objeto no es constante, podemos usar una integral definida para calcular la masa total del objeto. Nos enfocaremos en problemas donde la densidad varía en solo una dimensión, digamos a lo largo de un solo eje.
Consideremos una barra delgada de longitud \(b\) cuyo extremo izquierdo está en el origen, donde \(x = 0\text{,}\) y asumamos que la barra tiene un área de sección transversal constante de 1 cm\(^2\text{.}\) Dejamos que \(\rho(x)\) represente la función de densidad de masa de la barra, medida en gramos por centímetro cúbico. Es decir, dado un lugar \(x\text{,}\) \(\rho(x)\) nos dice aproximadamente cuánta masa se encontrará en una sección de un centímetro de ancho de la barra en \(x\text{.}\)
El volumen de una sección delgada de la barra de ancho \(\Delta x\text{,}\) como se muestra en Figura 6.3.2, es el área de la sección transversal multiplicada por \(\Delta x\text{.}\) Dado que las secciones transversales tienen un área constante de 1 cm\(^2\text{,}\) se sigue que el volumen de la sección es \(1 \Delta x\) cm\(^3\text{.}\) Y dado que la masa es el producto de la densidad y el volumen, vemos que la masa de esta sección es aproximadamente
\begin{equation*}
\text{masa} _{\text{sección} } \approx \rho(x) \ \frac{\mbox{g} }{\mbox{cm} ^3} \cdot 1 \Delta x \ \mbox{cm} ^3 = \rho(x) \cdot \Delta x \ \mbox{g}\text{.}
\end{equation*}
La suma de Riemann correspondiente (y la integral que aproxima),
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \rho(x_i) \Delta x \approx \int_0^b \rho(x) \, dx\text{,}
\end{equation*}
por lo tanto mide la masa de la barra entre \(0\) y \(b\text{.}\) (La suma de Riemann es una aproximación, mientras que la integral será la masa exacta.)
Para objetos cuya área de sección transversal es constante y cuya masa se distribuye en relación con la ubicación horizontal \(x\text{,}\) tiene sentido pensar en la función de densidad \(\rho(x)\) con unidades “masa por unidad de longitud,” como g/cm. Así, cuando calculamos \(\rho(x) \cdot \Delta x\) en una pequeña sección \(\Delta x\text{,}\) las unidades resultantes son g/cm \(\cdot\) cm = g, lo que mide la masa de la sección. El principio general sigue.
Para un objeto de área de sección transversal constante cuya masa se distribuye a lo largo de un solo eje según la función \(\rho(x)\) (cuyas unidades son unidades de masa por unidad de longitud), la masa total, \(M\text{,}\) del objeto entre \(x = a\) y \(x = b\) se da por
\begin{equation*}
M = \int_a^b \rho(x) \, dx\text{.}
\end{equation*}
Activity 6.3.2.
Considera las siguientes situaciones en las que la masa se distribuye de manera no constante.
- Supón que una varilla delgada con un área de sección transversal constante de 1 cm\(^2\) tiene su masa distribuida según la función de densidad \(\rho(x) = 2e^{-0.2x}\text{,}\) donde \(x\) es la distancia en cm desde el extremo izquierdo de la varilla, y las unidades en \(\rho(x)\) son g/cm. Si la varilla mide 10 cm de largo, determina la masa exacta de la varilla.
- Considera el cono que tiene una base de radio 4 m y una altura de 5 m. Imagina el cono acostado horizontalmente con el centro de su base en el origen y piensa en el cono como un sólido de revolución.
- Escribe y evalúa una integral definida cuyo valor sea el volumen del cono.
- Ahora, supón que el cono tiene una densidad uniforme de 800 kg/m\(^3\text{.}\) ¿Cuál es la masa del cono sólido?
- Ahora supón que la densidad del cono no es uniforme, sino que el cono es más denso en su base. En particular, asume que la densidad del cono es uniforme a lo largo de secciones transversales paralelas a su base, pero que en cada una de esas secciones transversales que están a una distancia \(x\) unidades del origen, la densidad de la sección transversal está dada por la función \(\rho(x) = 400 + \frac{200}{1+x^2}\text{,}\) medida en kg/m\(^3\text{.}\) Determina y evalúa una integral definida cuyo valor sea la masa de este cono de densidad no uniforme. Hazlo primero pensando en la masa de una rebanada dada del cono a \(x\) unidades de la base; recuerda que en tal rebanada, la densidad será esencialmente constante.
- Supón que una varilla delgada con un área de sección transversal constante de 1 cm\(^2\) y una longitud de 12 cm tiene su masa distribuida según la función de densidad \(\rho(x) = \frac{1}{25}(x-15)^2\text{,}\) medida en g/cm. Encuentra la ubicación exacta \(z\) en la que cortar la barra para que las dos piezas tengan masas idénticas.
Subsection 6.3.2 Promedios Ponderados
El concepto de un promedio es algo natural, y uno que hemos usado repetidamente como parte de nuestra comprensión del significado de la integral definida. Si tenemos \(n\) valores \(a_1\text{,}\) \(a_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(a_n\text{,}\) sabemos que su promedio se da por
\begin{equation*}
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\text{,}
\end{equation*}
y para una cantidad medida por una función \(f\) en un intervalo \([a,b]\text{,}\) el valor promedio de la cantidad en \([a,b]\) es
\begin{equation*}
\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\text{.}
\end{equation*}
A medida que seguimos pensando en problemas que involucran la distribución de masa, es natural considerar la idea de un promedio ponderado, donde ciertas cantidades involucradas cuentan más en el promedio.
Un uso común de los promedios ponderados es en el cálculo del GPA de un estudiante, donde las calificaciones se ponderan según las horas de crédito. Consideremos el escenario en Table 6.3.3.
| clase | calificación | puntos de calificación | créditos |
| química | B+ | 3.3 | 5 |
| cálculo | A- | 3.7 | 4 |
| historia | B- | 2.7 | 3 |
| psicología | B- | 2.7 | 3 |
Si todas las clases tuvieran el mismo peso (es decir, el mismo número de créditos), el GPA del estudiante se calcularía simplemente tomando el promedio
\begin{equation*}
\frac{3.3 + 3.7 + 2.7 + 2.7}{4} = 3.1\text{.}
\end{equation*}
Pero dado que los cursos de química y cálculo tienen pesos más altos (de 5 y 4 créditos respectivamente), en realidad calculamos el GPA según el promedio ponderado
\begin{equation*}
\frac{3.3 \cdot 5 + 3.7 \cdot 4 + 2.7 \cdot 3 + 2.7 \cdot 3}{5 + 4 + 3 + 3} = 3.1\overline{6}\text{.}
\end{equation*}
El promedio ponderado refleja el hecho de que química y cálculo, como cursos con más créditos, tienen un mayor impacto en el promedio de calificaciones del estudiante. Nota particularmente que en el promedio ponderado, cada calificación se multiplica por su peso, y dividimos por la suma de los pesos.
En la siguiente actividad, exploramos más a fondo cómo se pueden usar los promedios ponderados para encontrar el punto de equilibrio de un sistema físico.
Activity 6.3.3.
Para cantidades de igual peso, como dos niños en un sube y baja, el punto de equilibrio se encuentra tomando el promedio de sus ubicaciones. Cuando los pesos de las cantidades difieren, usamos un promedio ponderado de sus respectivas ubicaciones para encontrar el punto de equilibrio.
- Supón que un estante mide 6 pies de largo, con su extremo izquierdo situado en \(x = 0\text{.}\) Si un libro de 1 libra se coloca en \(x_1 = 0\text{,}\) y otro libro de 1 libra se coloca en \(x_2 = 6\text{,}\) ¿cuál es la ubicación de \(\overline{x}\text{,}\) el punto en el que el estante (teóricamente) se equilibraría en un fulcro?
- Ahora, digamos que colocamos cuatro libros en el estante, cada uno pesando 1 libra: en \(x_1 = 0\text{,}\) en \(x_2 = 2\text{,}\) en \(x_3 = 4\text{,}\) y en \(x_4 = 6\text{.}\) Encuentra \(\overline{x}\text{,}\) el punto de equilibrio del estante.
- ¿Cómo cambia \(\overline{x}\) si cambiamos la ubicación del tercer libro? Digamos que las ubicaciones de los libros de 1 libra son \(x_1 = 0\text{,}\) \(x_2 = 2\text{,}\) \(x_3 = 3\text{,}\) y \(x_4 = 6\text{.}\)
- A continuación, supón que colocamos cuatro libros en el estante, pero de pesos variados: en \(x_1 = 0\) un libro de 2 libras, en \(x_2 = 2\) un libro de 3 libras, en \(x_3 = 4\) un libro de 1 libra, y en \(x_4 = 6\) un libro de 1 libra. Usa un promedio ponderado de las ubicaciones para encontrar \(\overline{x}\text{,}\) el punto de equilibrio del estante. ¿Cómo se compara el punto de equilibrio en este escenario con el encontrado en (b)?
- ¿Qué pasa si cambiamos la ubicación de uno de los libros? Digamos que mantenemos todo igual que en (d), excepto que \(x_3 = 5\text{.}\) ¿Cómo cambia \(\overline{x}\text{?}\)
- ¿Qué pasa si cambiamos el peso de uno de los libros? Digamos que mantenemos todo igual que en (d), excepto que el libro en \(x_3 = 4\) ahora pesa 2 libras. ¿Cómo cambia \(\overline{x}\text{?}\)
- Experimenta con un par de escenarios diferentes de tu elección donde muevas uno de los libros hacia la izquierda, o disminuyas el peso de uno de los libros.
- Escribe un par de oraciones para explicar cómo ajustar la ubicación de uno de los libros o el peso de uno de los libros afecta la ubicación del punto de equilibrio del estante. Piensa cuidadosamente aquí sobre cómo tus cambios deben ser considerados en relación con la ubicación del punto de equilibrio \(\overline{x}\) del escenario actual.
Subsection 6.3.3 Centro de Masa
En Activity 6.3.3, vimos que el punto de equilibrio de un sistema de masas puntuales (como libros en un estante) se encuentra tomando un promedio ponderado de sus respectivas ubicaciones. En la actividad, estábamos calculando el centro de masa de un sistema de masas distribuidas a lo largo de un eje, que es el punto de equilibrio del eje en el que descansan las masas.
1
En la actividad, en realidad usamos peso en lugar de masa. Dado que el peso es proporcional a la masa, los cálculos para el punto de equilibrio resultan en la misma ubicación independientemente de si usamos peso o masa. La constante gravitacional está presente tanto en el numerador como en el denominador del promedio ponderado.
Centro de Masa (masas puntuales).
Para una colección de \(n\) masas \(m_1\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(m_n\) que están distribuidas a lo largo de un solo eje en las ubicaciones \(x_1\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(x_n\text{,}\) el centro de masa se da por
\begin{equation*}
\overline{x} = \frac{x_1 m_1 + x_2 m_2 + \cdots + x_n m_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n}\text{.}
\end{equation*}
Ahora considera una barra delgada sobre la cual la densidad se distribuye continuamente. Si la densidad es constante, es obvio que el punto de equilibrio de la barra es su punto medio. Pero si la densidad no es constante, debemos calcular un promedio ponderado. Digamos que la función \(\rho(x)\) nos dice la distribución de densidad a lo largo de la barra, medida en g/cm. Si cortamos la barra en secciones pequeñas, podemos pensar en la barra como si contuviera una colección de masas puntuales adyacentes. La masa \(m_i\) de una sección de grosor \(\Delta x\) en la ubicación \(x_i\text{,}\) es \(m_i \approx \rho(x_i) \Delta x\text{.}\)
Si cortamos la barra en \(n\) piezas, podemos aproximar su centro de masa por
\begin{equation*}
\overline{x} \approx \frac{x_1 \cdot \rho(x_1) \Delta x + x_2 \cdot \rho(x_2) \Delta x + \cdots + x_n \cdot \rho(x_n) \Delta x }{\rho(x_1) \Delta x + \rho(x_2) \Delta x + \cdots + \rho(x_n) \Delta x}\text{.}
\end{equation*}
Reescribiendo las sumas en notación sigma, tenemos
\begin{equation}
\overline{x} \approx \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_i \cdot \rho(x_i) \Delta x}{\sum_{i = 1}^{n} \rho(x_i) \Delta x}\text{.}\tag{6.3.1}
\end{equation}
Cuanto mayor sea el número de cortes, más precisa será nuestra estimación del punto de equilibrio. Las sumas en Equation (6.3.1) pueden verse como sumas de Riemann, así que en el límite cuando \(n \to \infty\text{,}\) encontramos que el centro de masa se da por el cociente de dos integrales.
Centro de Masa (distribución continua de masa).
Para una barra delgada de densidad \(\rho(x)\) distribuida a lo largo de un eje desde \(x = a\) hasta \(x = b\text{,}\) el centro de masa de la barra se da por
\begin{equation*}
\overline{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{\int_a^b \rho(x) \, dx}\text{.}
\end{equation*}
Nota que el denominador de \(\overline{x}\) es la masa de la barra, y que este cociente de integrales es simplemente la versión continua del promedio ponderado de ubicaciones, \(x\text{,}\) a lo largo de la barra.
Activity 6.3.4.
Considera una barra delgada de longitud 20 cm cuya densidad está distribuida según la función \(\rho(x) = 4 + 0.1x\text{,}\) donde \(x = 0\) representa el extremo izquierdo de la barra. Supón que \(\rho\) se mide en g/cm y \(x\) se mide en cm.
- Encuentra la masa total, \(M\text{,}\) de la barra.
- Sin hacer ningún cálculo, ¿esperas que el centro de masa de la barra sea igual a 10, menor que 10 o mayor que 10? ¿Por qué?
- Calcula \(\overline{x}\text{,}\) el centro exacto de masa de la barra.
- ¿Cuál es la densidad promedio de la barra?
- Ahora considera una función de densidad diferente, dada por \(p(x) = 4e^{0.020732x}\text{,}\) también para una barra de longitud 20 cm cuyo extremo izquierdo está en \(x = 0\text{.}\) Grafica tanto \(\rho(x)\) como \(p(x)\) en los mismos ejes. Sin hacer ningún cálculo, ¿cuál barra esperas que tenga el mayor centro de masa? ¿Por qué?
- Calcula el centro exacto de masa de la barra descrita en (e) cuya función de densidad es \(p(x) = 4e^{0.020732x}\text{.}\) Verifica el resultado con la predicción que hiciste en (e).
Subsection 6.3.4 Resumen
- Para un objeto de densidad constante \(D\text{,}\) con volumen \(V\) y masa \(m\text{,}\) sabemos que \(m = D \cdot V\text{.}\)
- Si un objeto con área de sección transversal constante (como una barra delgada) tiene su densidad distribuida a lo largo de un eje según la función \(\rho(x)\text{,}\) entonces podemos encontrar la masa del objeto entre \(x = a\) y \(x = b\) por\begin{equation*} m = \int_a^b \rho(x) \, dx\text{.} \end{equation*}
- Para un sistema de masas puntuales distribuidas a lo largo de un eje, digamos \(m_1, \ldots, m_n\) en ubicaciones \(x_1, \ldots, x_n\text{,}\) el centro de masa, \(\overline{x}\text{,}\) se da por el promedio ponderado\begin{equation*} \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i m_i}{\sum_{i=1}^n m_i}\text{.} \end{equation*}Si en cambio tenemos masa distribuida continuamente a lo largo de un eje, como por una función de densidad \(\rho(x)\) para una barra delgada de área de sección transversal constante, el centro de masa de la porción de la barra entre \(x = a\) y \(x = b\) se da por\begin{equation*} \overline{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{\int_a^b \rho(x) \, dx}\text{.} \end{equation*}En cada situación, \(\overline{x}\) representa el punto de equilibrio del sistema de masas o de la porción de la barra.
Exercises 6.3.5 Exercises
1. Center of mass for a linear density function.
A rod has length 4 meters. At a distance \(x\) meters from its left end, the density of the rod is given by \(\delta(x)=5 + 2 x\) g/m.
(a) Complete the Riemann sum for the total mass of the rod (use \(Dx\) in place of \(\Delta x\)):
mass = \(\Sigma\)
(b) Convert the Riemann sum to an integral and find the exact mass.
mass =
(include help (units))
2
/pg_files/helpFiles/Units.html2. Center of mass for a nonlinear density function.
A rod with uniform density (mass/unit length) \(\delta(x) = 8+\sin\mathopen{}\left(x\right)\) lies on the \(x\)-axis between \(x= 0\) and \(x= \pi.\) Find the mass and center of mass of the rod.
mass =
center of mass =
3. Interpreting the density of cars on a road.
Suppose that the density of cars (in cars per mile) down a 20-mile stretch of the Pennsylvania Turnpike is approximated by \(\delta(x) = 250 \left(2+\sin\left(4\sqrt{x + 0.125}\right)\right),\) at a distance \(x\) miles from the Breezewood toll plaza. Sketch a graph of this function for \(0\leq x\leq 20\text{.}\)
(a) Complete the Riemann sum that approximates the total number of cars on this 20-mile stretch (use \(Dx\) instead of \(\Delta x\)):
Number = \(\Sigma\)
(b) Find the total number of cars on the 20-mile stretch.
Number =
4. Center of mass in a point-mass system.
A point mass of 1 grams located 7 centimeters to the left of the origin and a point mass of 4 grams located 8 centimeters to the right of the origin are connected by a thin, light rod. Find the center of mass of the system.
Center of Mass =
- to the left of the origin
- to the right of the origin
- (at the origin)
(include help (units) in your center of mass)
3
/pg_files/helpFiles/Units.html5.
Let a thin rod of length \(a\) have density distribution function \(\rho(x) = 10e^{-0.1x}\text{,}\) where \(x\) is measured in cm and \(\rho\) in grams per centimeter.
- If the mass of the rod is 30 g, what is the value of \(a\text{?}\)
- For the 30g rod, will the center of mass lie at its midpoint, to the left of the midpoint, or to the right of the midpoint? Why?
- For the 30g rod, find the center of mass, and compare your prediction in (b).
- At what value of \(x\) should the 30g rod be cut in order to form two pieces of equal mass?
6.
Consider two thin bars of constant cross-sectional area, each of length 10 cm, with respective mass density functions \(\rho(x) = \frac{1}{1+x^2}\) and \(p(x) = e^{-0.1x}\text{.}\)
- Find the mass of each bar.
- Find the center of mass of each bar.
-
Now consider a new 10 cm bar whose mass density function is \(f(x) = \rho(x) + p(x)\text{.}\)
- Explain how you can easily find the mass of this new bar with little to no additional work.
- Similarly, compute \(\int_0^{10} xf(x) \, dx\) as simply as possible, in light of earlier computations.
- True or false: the center of mass of this new bar is the average of the centers of mass of the two earlier bars. Write at least one sentence to say why your conclusion makes sense.
7.
Consider the curve given by \(y = f(x) = 2xe^{-1.25x} + (30-x) e^{-0.25(30-x)}\text{.}\)
- Plot this curve in the window \(x = 0 \ldots 30\text{,}\) \(y = 0 \ldots 3\) (with constrained scaling so the units on the \(x\) and \(y\) axis are equal), and use it to generate a solid of revolution about the \(x\)-axis. Explain why this curve could generate a reasonable model of a baseball bat.
- Let \(x\) and \(y\) be measured in inches. Find the total volume of the baseball bat generated by revolving the given curve about the \(x\)-axis. Include units on your answer.
- Suppose that the baseball bat has constant weight density, and that the weight density is \(0.6\) ounces per cubic inch. Find the total weight of the bat whose volume you found in (b).
- Because the baseball bat does not have constant cross-sectional area, we see that the amount of weight concentrated at a location \(x\) along the bat is determined by the volume of a slice at location \(x\text{.}\) Explain why we can think about the function \(\rho(x) = 0.6 \pi f(x)^2\) (where \(f\) is the function given at the start of the problem) as being the weight density function for how the weight of the baseball bat is distributed from \(x = 0\) to \(x = 30\text{.}\)
- Compute the center of mass of the baseball bat.
