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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 7.4 Ecuaciones diferenciales separables

En Sections 7.2 y 7.3, hemos visto varias formas de aproximar la solución a un problema de valor inicial. Dada la frecuencia con la que surgen ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea, nos gustaría tener algunas técnicas para encontrar soluciones algebraicas explícitas de ciertos problemas de valor inicial. En esta sección, nos enfocamos en una clase particular de ecuaciones diferenciales (llamadas separables) y desarrollamos un método para encontrar fórmulas algebraicas para sus soluciones.
Una ecuación diferencial separable es una ecuación diferencial cuya estructura algebraica permite que las variables se separen de una manera particular. Por ejemplo, considera la ecuación
\begin{equation*} \frac{dy}{dt} = ty\text{.} \end{equation*}
Nos gustaría separar las variables \(t\) y \(y\) de modo que todas las ocurrencias de \(t\) aparezcan en el lado derecho, y todas las ocurrencias de \(y\) aparezcan en el lado izquierdo, multiplicadas por \(dy/dt\text{.}\) Para este ejemplo, dividimos ambos lados por \(y\) de modo que
\begin{equation*} \frac1y \frac{dy}{dt} = t\text{.} \end{equation*}
Nota que cuando intentamos separar las variables en una ecuación diferencial, requerimos que un lado sea un producto en el que la derivada \(dy/dt\) sea un factor y el otro factor sea únicamente una expresión que involucre \(y\text{.}\)
No todas las ecuaciones diferenciales son separables. Por ejemplo, si consideramos la ecuación
\begin{equation*} \frac{dy}{dt} = t-y\text{,} \end{equation*}
puede parecer natural separarla escribiendo
\begin{equation*} y + \frac{dy}{dt} = t\text{.} \end{equation*}
Como veremos, esto no será útil, ya que el lado izquierdo no es un producto de una función de \(y\) con \(\frac{dy}{dt}\text{.}\)

Actividad Introductoria 7.4.1.

En esta actividad de vista previa, exploramos si ciertas ecuaciones diferenciales son separables o no, y luego revisamos algunas ideas clave de trabajos anteriores en cálculo integral.
  1. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones diferenciales son separables? Si la ecuación es separable, escribe la ecuación en la forma revisada \(g(y) \frac{dy}{dt} = h(t)\text{.}\)
    1. \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = -3y\text{.}\)
    2. \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = ty - y\text{.}\)
    3. \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = t + 1\text{.}\)
    4. \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = t^2 - y^2\text{.}\)
  2. Explica por qué cualquier ecuación diferencial autónoma está garantizada a ser separable.
  3. ¿Por qué incluimos el término “\(+C\)” en la expresión
    \begin{equation*} \int x~dx = \frac{x^2}{2} + C? \end{equation*}
  4. Supón que sabemos que una cierta función \(f\) satisface la ecuación
    \begin{equation*} \int f'(x)~dx = \int x~dx\text{.} \end{equation*}
    ¿Qué puedes concluir sobre \(f\text{?}\)

Subsection 7.4.1 Resolviendo ecuaciones diferenciales separables

Antes de discutir un enfoque general para resolver una ecuación diferencial separable, es instructivo considerar un ejemplo.

Example 7.4.1.

Encuentra todas las funciones \(y\) que son soluciones a la ecuación diferencial
\begin{equation*} \frac{dy}{dt}= \frac{t}{y^2}\text{.} \end{equation*}
Solution.
Comenzamos separando las variables y escribiendo
\begin{equation*} y^2\frac{dy}{dt} = t\text{.} \end{equation*}
Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente \(t\) muestra que
\begin{equation*} \int y^2\frac{dy}{dt}~dt = \int t~dt\text{.} \end{equation*}
A continuación, notamos que el lado izquierdo nos permite cambiar la variable de antiderivación
 1 
Esta es la razón por la que requerimos que el lado izquierdo se escriba como un producto en el que \(dy/dt\) es uno de los términos.
de \(t\) a \(y\text{.}\) En particular, \(dy = \frac{dy}{dt}~dt\text{,}\) así que ahora tenemos
\begin{equation*} \int y^2 ~dy = \int t~dt\text{.} \end{equation*}
Esta ecuación dice que dos familias de antiderivadas son iguales entre sí. Por lo tanto, cuando encontramos antiderivadas representativas de ambos lados, sabemos que deben diferir por una constante arbitraria \(C\text{.}\) Antiderivando e incluyendo la constante de integración \(C\) en el lado derecho, encontramos que
\begin{equation*} \frac{y^3}{3} = \frac{t^2}{2} + C\text{.} \end{equation*}
No es necesario incluir una constante arbitraria en ambos lados de la ecuación; sabemos que \(y^3/3\) y \(t^2/2\) están en la misma familia de antiderivadas y, por lo tanto, deben diferir por una sola constante.
Finalmente, resolvemos la última ecuación anterior para \(y\) como una función de \(t\text{,}\) lo que da
\begin{equation*} y(t) = \sqrt[3]{\frac 32 \, t^2 + 3C}\text{.} \end{equation*}
Por supuesto, el término \(3C\) en el lado derecho representa 3 veces una constante desconocida. Por lo tanto, sigue siendo una constante desconocida, que reescribiremos como \(C\text{.}\) Concluimos así que la función
\begin{equation*} y(t) = \sqrt[3]{\frac 32 \, t^2 + C} \end{equation*}
es una solución a la ecuación diferencial original para cualquier valor de \(C\text{.}\)
Nota que debido a que esta solución depende de la constante arbitraria \(C\text{,}\) hemos encontrado una familia infinita de soluciones. Esto tiene sentido porque esperamos encontrar una solución única que corresponda a cualquier valor inicial dado.
Por ejemplo, si queremos resolver el problema de valor inicial
\begin{equation*} \frac{dy}{dt} = \frac{t}{y^2}, \ y(0) = 2\text{,} \end{equation*}
sabemos que la solución tiene la forma \(y(t) = \sqrt[3]{\frac32\, t^2 + C}\) para alguna constante \(C\text{.}\) Por lo tanto, debemos encontrar el valor apropiado para \(C\) que dé el valor inicial \(y(0)=2\text{.}\) Por lo tanto,
\begin{equation*} 2 = y(0) = \sqrt[3]{\frac 32 \, 0^2 + C} = \sqrt[3]{C}\text{,} \end{equation*}
lo que muestra que \(C = 2^3 = 8\text{.}\) La solución al problema de valor inicial es entonces
\begin{equation*} y(t) = \sqrt[3]{\frac32\, t^2+8}\text{.} \end{equation*}
La estrategia del Ejemplo 7.4.1 puede aplicarse a cualquier ecuación diferencial de la forma \(\frac{dy}{dt} = g(y) \cdot h(t)\text{,}\) y cualquier ecuación diferencial de esta forma se dice que es separable. Trabajamos para resolver una ecuación diferencial separable escribiendo
\begin{equation*} \frac{1}{g(y)} \frac{dy}{dt} = h(t)\text{,} \end{equation*}
y luego integrando ambos lados con respecto a \(t\text{.}\) Después de integrar, intentamos resolver algebraicamente para \(y\) con el fin de escribir \(y\) como una función de \(t\text{.}\)

Example 7.4.2.

Resuelve la ecuación diferencial
\begin{equation*} \frac{dy}{dt} =3y\text{.} \end{equation*}
Solution.
Siguiendo la misma estrategia que en el Ejemplo 7.4.1, tenemos
\begin{equation*} \frac 1y \frac{dy}{dt} = 3\text{.} \end{equation*}
Integrando ambos lados con respecto a \(t\text{,}\)
\begin{equation*} \int \frac 1y\frac{dy}{dt}~dt = \int 3~dt\text{,} \end{equation*}
y así
\begin{equation*} \int \frac 1y~dy = \int 3~dt\text{.} \end{equation*}
Antiderivando e incluyendo la constante de integración, encontramos que
\begin{equation*} \ln|y| = 3t + C\text{.} \end{equation*}
Finalmente, necesitamos resolver para \(y\text{.}\) Aquí, un punto merece atención cuidadosa. Por la definición de la función logaritmo natural, se sigue que
\begin{equation*} |y| = e^{3t+C} = e^{3t}e^C\text{.} \end{equation*}
Dado que \(C\) es una constante desconocida, \(e^C\) también lo es, aunque sabemos que es positiva (porque \(e^x\) es positivo para cualquier \(x\)). Sin embargo, cuando eliminamos el valor absoluto para resolver para \(y\text{,}\) esta constante puede ser positiva o negativa. Para tener en cuenta un posible \(+\) o \(-\text{,}\) denotamos esta constante actualizada por \(C\) para obtener
\begin{equation*} y(t) = Ce^{3t}\text{.} \end{equation*}
Hay un punto técnico más que hacer. Nota que \(y=0\) es una solución de equilibrio para esta ecuación diferencial. Al resolver la ecuación anterior, comenzamos dividiendo ambos lados por \(y\text{,}\) lo cual no está permitido si \(y=0\text{.}\) Para ser perfectamente cuidadosos, por lo tanto, deberíamos considerar las soluciones de equilibrio por separado. En este caso, nota que la forma final de nuestra solución captura la solución de equilibrio al permitir \(C=0\text{.}\)

Activity 7.4.2.

Supón que la población de un pueblo está creciendo continuamente a una tasa anual del 3% por año.
  1. Sea \(P(t)\) la población del pueblo en el año \(t\text{.}\) Escribe una ecuación diferencial que describa la tasa de crecimiento anual.
  2. Encuentra las soluciones de esta ecuación diferencial.
  3. Si sabes que la población del pueblo en el año 0 es 10,000, encuentra la población \(P(t)\text{.}\)
  4. ¿Cuánto tiempo tarda la población en duplicarse? Este tiempo se llama el tiempo de duplicación.
  5. Trabajando de manera más general, encuentra el tiempo de duplicación si la tasa de crecimiento anual es \(k\) veces la población.

Activity 7.4.3.

Supón que una taza de café está inicialmente a una temperatura de \(105^\circ\) F y se coloca en una habitación de \(75^\circ\) F. Si \(T\) es la temperatura del café en grados Fahrenheit en el tiempo \(t\) en minutos, la ley de enfriamiento de Newton dice que
\begin{equation*} \frac{dT}{dt} = -k(T-75)\text{,} \end{equation*}
donde \(k\) es una constante de proporcionalidad.
  1. Supón que mides que el café se está enfriando a un grado por minuto en el momento en que el café se lleva a la habitación. Usa la ecuación diferencial para determinar el valor de la constante \(k\text{.}\)
  2. Encuentra todas las soluciones de esta ecuación diferencial.
  3. ¿Qué pasa con todas las soluciones cuando \(t\to\infty\text{?}\) Explica cómo esto concuerda con tu intuición.
  4. ¿Cuál es la temperatura de la taza de café después de 20 minutos?
  5. ¿Cuánto tiempo tarda el café en enfriarse a \(80^\circ\text{?}\)

Activity 7.4.4.

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales o problemas de valor inicial.
  1. \(\displaystyle \frac{dy}{dt} - (2-t) y = 2-t\)
  2. \(\displaystyle \frac{1}{t}\frac{dy}{dt} = e^{t^2-2y}\)
  3. \(y' = 2y+2\text{,}\)  \(y(0)=2\)
  4. \(y' = 2y^2\text{,}\)  \(y(-1) = 2\)
  5. \(\frac{dy}{dt} = \frac{-2ty}{t^2 + 1}\text{,}\)   \(y(0) = 4\)

Subsection 7.4.2 Resumen

  • Una ecuación diferencial separable es aquella que puede reescribirse con todas las ocurrencias de la variable dependiente multiplicando la derivada y todas las ocurrencias de la variable independiente en el otro lado de la ecuación.
  • Podemos encontrar las soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales separables separando variables, integrando con respecto a \(t\text{,}\) y finalmente resolviendo la ecuación algebraica resultante para \(y\text{.}\)
  • Esta técnica nos permite resolver muchas ecuaciones diferenciales importantes que surgen en el mundo que nos rodea. Por ejemplo, preguntas de crecimiento y decaimiento y la Ley de Enfriamiento de Newton dan lugar a ecuaciones diferenciales separables. Más adelante, aprenderemos en Sección 7.6 que la importante ecuación diferencial logística también es separable.

Exercises 7.4.3 Exercises

1. Initial value problem for \(dy/dx=x^8 y\).

Find the equation of the solution to \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = x^{6} y\) through the point \((x,y) = (1,3)\text{.}\)
help (equations)
 2 
/pg_files/helpFiles/Entering-Equations.html

2. Initial value problem for \(dy/dt=0.9(y-300)\).

Find the solution to the differential equation
\begin{equation*} \frac{dy}{dt} = 0.6 (y - 150) \end{equation*}
if \(y=25\) when \(t=0\text{.}\)
\(y =\)

3. Initial value problem for \(dy/dt=y^2(8+t)\).

Find the solution to the differential equation
\begin{equation*} \frac{dy}{dt} = y^2(6 + t), \end{equation*}
\(y=8\) when \(t=1\text{.}\)
\(y =\)

4. Initial value problem for \(du/dt=e^{6u+10t}\).

Solve the separable differential equation for \(u\)
\begin{equation*} \frac{du}{dt} = e^{5 u + 9 t}. \end{equation*}
Use the following initial condition: \(u(0) = 16.\)
\(u =\) .

5. Initial value problem for \(dy/dx=170yx^{16}\).

Find an equation of the curve that satisfies
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 70 yx^{6} \end{equation*}
and whose \(y\)-intercept is \(3\text{.}\)
\(y(x) =\) .

6.

The mass of a radioactive sample decays at a rate that is proportional to its mass.
  1. Express this fact as a differential equation for the mass \(M(t)\) using \(k\) for the constant of proportionality.
  2. If the initial mass is \(M_0\text{,}\) find an expression for the mass \(M(t)\text{.}\)
  3. The half-life of the sample is the amount of time required for half of the mass to decay. Knowing that the half-life of Carbon-14 is 5730 years, find the value of \(k\) for a sample of Carbon-14.
  4. How long does it take for a sample of Carbon-14 to be reduced to one-quarter its original mass?
  5. Carbon-14 naturally occurs in our environment; any living organism takes in Carbon-14 when it eats and breathes. Upon dying, however, the organism no longer takes in Carbon-14. Suppose that you find remnants of a pre-historic firepit. By analyzing the charred wood in the pit, you determine that the amount of Carbon-14 is only 30% of the amount in living trees. Estimate the age of the firepit.
     3 
    This approach is the basic idea behind radiocarbon dating.

7.

Consider the initial value problem
\begin{equation*} \frac{dy}{dt} = -\frac ty, \ y(0) = 8 \end{equation*}
  1. Find the solution of the initial value problem and sketch its graph.
  2. For what values of \(t\) is the solution defined?
  3. What is the value of \(y\) at the last time that the solution is defined?
  4. By looking at the differential equation, explain why we should not expect to find solutions with the value of \(y\) you noted in (c).

8.

Suppose that a cylindrical water tank with a hole in the bottom is filled with water. The water, of course, will leak out and the height of the water will decrease. Let \(h(t)\) denote the height of the water. A physical principle called Torricelli’s Law implies that the height decreases at a rate proportional to the square root of the height.
  1. Express this fact using \(k\) as the constant of proportionality.
  2. Suppose you have two tanks, one with \(k=-1\) and another with \(k=-10\text{.}\) What physical differences would you expect to find?
  3. Suppose you have a tank for which the height decreases at \(20\) inches per minute when the water is filled to a depth of \(100\) inches. Find the value of \(k\text{.}\)
  4. Solve the initial value problem for the tank in part (c), and graph the solution you determine.
  5. How long does it take for the water to run out of the tank?
  6. Is the solution that you found valid for all time \(t\text{?}\) If so, explain how you know this. If not, explain why not.

9.

The Gompertz equation is a model that is used to describe the growth of certain populations. Suppose that \(P(t)\) is the population of some organism and that
\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = -P\ln\left(\frac P3\right) = -P(\ln P - \ln 3)\text{.} \end{equation*}
  1. Sketch a slope field for \(P(t)\) over the range \(0\leq P\leq 6\text{.}\)
  2. Identify any equilibrium solutions and determine whether they are stable or unstable.
  3. Find the population \(P(t)\) assuming that \(P(0) = 1\) and sketch its graph. What happens to \(P(t)\) after a very long time?
  4. Find the population \(P(t)\) assuming that \(P(0) = 6\) and sketch its graph. What happens to \(P(t)\) after a very long time?
  5. Verify that the long-term behavior of your solutions agrees with what you predicted by looking at the slope field.
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