Section2.4Derivadas de otras funciones trigonométricas
Preguntas Motivadoras
¿Cuáles son las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante?
¿Cómo se combinan las derivadas de \(\tan(x)\text{,}\)\(\cot(x)\text{,}\)\(\sec(x)\) y \(\csc(x)\) con otras reglas de derivación que hemos desarrollado para expandir la biblioteca de funciones que podemos diferenciar rápidamente?
Uno de los temas poderosos en trigonometría proviene de una idea muy simple: localizar un punto en el círculo unitario.
Figure2.4.1.El círculo unitario y la definición de las funciones seno y coseno.
Debido a que cada ángulo \(\theta\) en posición estándar corresponde a un único punto \((x,y)\) en el círculo unitario, las coordenadas \(x\) y \(y\) de este punto son funciones de \(\theta\text{.}\) De hecho, esta es la misma definición de \(\cos(\theta)\) y \(\sin(\theta)\text{:}\)\(\cos(\theta)\) es la coordenada \(x\) del punto en el círculo unitario correspondiente al ángulo \(\theta\text{,}\) y \(\sin(\theta)\) es la coordenada \(y\text{.}\) A partir de esta simple definición, se funda toda la trigonometría. Por ejemplo, la Identidad Trigonométrica Fundamental,
es una reafirmación del Teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo rectángulo mostrado en Figura 2.4.1.
Hay otras cuatro funciones trigonométricas, cada una definida en términos de las funciones seno y/o coseno.
La función tangente se define por \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\text{;}\)
la función cotangente es su recíproca: \(\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\text{.}\)
La función secante es la recíproca de la función coseno, \(\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}\text{;}\)
y la función cosecante es la recíproca de la función seno, \(\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}\text{.}\)
Estas seis funciones trigonométricas juntas nos ofrecen una amplia gama de flexibilidad en problemas que involucran triángulos rectángulos.
Debido a que conocemos las derivadas de las funciones seno y coseno, ahora podemos desarrollar reglas de diferenciación abreviadas para las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. En la actividad de vista previa de esta sección, trabajamos los pasos para encontrar la derivada de \(y = \tan(x)\text{.}\)
Actividad Introductoria2.4.1.
Considera la función \(f(x) = \tan(x)\text{,}\) y recuerda que \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\text{.}\)
¿Cuál es el dominio de \(f\text{?}\)
Usa la regla del cociente para mostrar que una expresión para \(f'(x)\) es
¿Cuál es la Identidad Trigonométrica Fundamental? ¿Cómo se puede usar esta identidad para encontrar una forma más simple de \(f'(x)\text{?}\)
Recuerda que \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\text{.}\) ¿Cómo podemos expresar \(f'(x)\) en términos de la función secante?
¿Para qué valores de \(x\) está definida \(f'(x)\text{?}\) ¿Cómo se compara este conjunto con el dominio de \(f\text{?}\)
Subsection2.4.1Derivadas de las funciones cotangente, secante y cosecante
En Actividad de Vista Previa 2.4.1, encontramos que la derivada de la función tangente puede expresarse de varias maneras, pero más simplemente en términos de la función secante. A continuación, desarrollamos la derivada de la función cotangente.
Sea \(g(x) = \cot(x)\text{.}\) Para encontrar \(g'(x)\text{,}\) observamos que \(g(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\) y aplicamos la regla del cociente. Por lo tanto
Por la Identidad Trigonométrica Fundamental, vemos que \(g'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)}\text{,}\) y recordando que \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\text{,}\) se sigue que podemos expresar \(g'\) por la regla
Nota que ni \(g\) ni \(g'\) están definidos cuando \(\sin(x) = 0\text{,}\) lo cual ocurre en cada múltiplo entero de \(\pi\text{.}\) Por lo tanto, tenemos la siguiente regla.
Función Cotangente.
Para todos los números reales \(x\) tales que \(x \ne k\pi\text{,}\) donde \(k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\text{,}\)
En las siguientes dos actividades, desarrollamos las reglas para diferenciar las funciones secante y cosecante.
Activity2.4.2.
Sea \(h(x) = \sec(x)\) y recuerda que \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\text{.}\)
¿Cuál es el dominio de \(h\text{?}\)
Usa la regla del cociente para desarrollar una fórmula para \(h'(x)\) que esté expresada completamente en términos de \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\text{.}\)
¿Cómo puedes usar otras relaciones entre funciones trigonométricas para escribir \(h'(x)\) solo en términos de \(\tan(x)\) y \(\sec(x)\text{?}\)
¿Cuál es el dominio de \(h'\text{?}\) ¿Cómo se compara esto con el dominio de \(h\text{?}\)
Activity2.4.3.
Sea \(p(x) = \csc(x)\) y recuerda que \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\text{.}\)
¿Cuál es el dominio de \(p\text{?}\)
Usa la regla del cociente para desarrollar una fórmula para \(p'(x)\) que esté expresada completamente en términos de \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\text{.}\)
¿Cómo puedes usar otras relaciones entre funciones trigonométricas para escribir \(p'(x)\) solo en términos de \(\cot(x)\) y \(\csc(x)\text{?}\)
¿Cuál es el dominio de \(p'\text{?}\) ¿Cómo se compara esto con el dominio de \(p\text{?}\)
Usando la regla del cociente hemos determinado las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, expandiendo nuestra biblioteca general de funciones que podemos diferenciar. Observa que así como la derivada de cualquier función polinómica es un polinomio, y la derivada de cualquier función exponencial es otra función exponencial, así es que la derivada de cualquier función trigonométrica básica es otra función que consiste en funciones trigonométricas básicas. Esto tiene sentido porque todas las funciones trigonométricas son periódicas, y por lo tanto sus derivadas también serán periódicas.
La derivada conserva todo su significado fundamental como una tasa de cambio instantánea y como la pendiente de la línea tangente a la función en consideración.
Activity2.4.4.
Responde a cada una de las siguientes preguntas. Donde se solicite una derivada, asegúrate de etiquetar la función derivada con su nombre usando la notación adecuada.
Sea \(f(x) = 5 \sec(x) - 2\csc(x)\text{.}\) Encuentra la pendiente de la línea tangente a \(f\) en el punto donde \(x =\frac{\pi}{3}\text{.}\)
Sea \(p(z) = z^2\sec(z) - z\cot(z)\text{.}\) Encuentra la tasa de cambio instantánea de \(p\) en el punto donde \(z = \frac{\pi}{4}\text{.}\)
Sea \(g(r) = \displaystyle \frac{r \sec(r) }{5^r}\text{.}\) Encuentra \(g'(r)\text{.}\)
Cuando una masa cuelga de un resorte y se pone en movimiento, la posición del objeto oscila de manera que el tamaño de las oscilaciones disminuye. Esto se llama usualmente una oscilación amortiguada. Supón que para un objeto en particular, su desplazamiento desde el equilibrio (donde el objeto está en reposo) está modelado por la función
Supón que \(s\) se mide en pulgadas y \(t\) en segundos. Dibuja un gráfico de esta función para \(t \ge 0\) para ver cómo representa la situación descrita. Luego calcula \(ds/dt\text{,}\) indica las unidades de esta función, y explica qué te dice sobre el movimiento del objeto. Finalmente, calcula e interpreta \(s'(2)\text{.}\)
Subsection2.4.2Resumen
Las derivadas de las otras cuatro funciones trigonométricas son
Cada derivada existe y está definida en el mismo dominio que la función original. Por ejemplo, tanto la función tangente como su derivada están definidas para todos los números reales \(x\) tales que \(x \ne \frac{k\pi}{2}\text{,}\) donde \(k = \pm 1, \pm 2, \ldots\text{.}\)
Las cuatro reglas para las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante, y cosecante pueden usarse junto con las reglas para funciones de potencia, funciones exponenciales, y el seno y coseno, así como las reglas de suma, múltiplo constante, producto y cociente, para diferenciar rápidamente una amplia gama de diferentes funciones.
Exercises2.4.3Exercises
1.A sum and product involving \(\tan(x)\).
Find the derivative of \(h(t) = t \tan t + \cos t\)
\(h'(t) =\)
2.A quotient involving \(\tan(t)\).
Let \(f(x) = \displaystyle \frac{5\tan\mathopen{}\left(x\right)}{x}\text{.}\) Find the following:
1.
\(f'(x)\)
\(=\)
2.
\(f'(4)\)
\(=\)
3.A quotient of trigonometric functions.
Let \(f(x) = \displaystyle \frac{\tan\mathopen{}\left(x\right)-2}{\sec\mathopen{}\left(x\right)}\text{.}\) Find the following:
1.
\(f'(x)\)
\(=\)
2.
\(f'(1)\)
\(=\)
4.A quotient that involves a product.
Let \(f(x) = \displaystyle \frac{2x^{2}\tan\mathopen{}\left(x\right)}{\sec\mathopen{}\left(x\right)}\text{.}\) Find the following:
1.
\(f'(x)\)
\(=\)
2.
\(f'(4)\)
\(=\)
5.Finding a tangent line equation.
Find the equation of the tangent line to the curve \(y = 3 \tan x\) at the point \(( \pi/4 , 3)\text{.}\) The equation of this tangent line can be written in the form \(y = mx+b\) where \(m\) is:
and where \(b\) is:
6.
An object moving vertically has its height at time \(t\) (measured in feet, with time in seconds) given by the function \(h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}\text{.}\)
What is the object’s instantaneous velocity when \(t =2\text{?}\)
What is the object’s acceleration at the instant \(t = 2\text{?}\)
Describe in everyday language the behavior of the object at the instant \(t = 2\text{.}\)
7.
Let \(f(x) = \sin(x) \cot(x)\text{.}\)
Use the product rule to find \(f'(x)\text{.}\)
True or false: for all real numbers \(x\text{,}\)\(f(x) = \cos(x)\text{.}\)
Explain why the function that you found in (a) is almost the opposite of the sine function, but not quite. (Hint: convert all of the trigonometric functions in (a) to sines and cosines, and work to simplify. Think carefully about the domain of \(f\) and the domain of \(f'\text{.}\))
