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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 8.4 Series Alternantes

Hasta ahora, hemos considerado series con términos exclusivamente no negativos. A continuación, consideramos series que tienen algunos términos negativos. Por ejemplo, la serie geométrica
\begin{equation*} 2 - \frac{4}{3} + \frac{8}{9} - \cdots + 2 \left(-\frac{2}{3} \right)^n + \cdots\text{,} \end{equation*}
tiene \(a = 2\) y \(r = -\frac{2}{3}\text{,}\) de modo que cada otro término alterna en signo. Esta serie converge a
\begin{equation*} S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1- \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{6}{5}\text{.} \end{equation*}
En Actividad de Previsualización 8.4.1 y nuestra discusión siguiente, investigamos el comportamiento de series similares donde términos consecutivos tienen signos opuestos.

Actividad Introductoria 8.4.1.

Actividad de Vista Previa 8.3.1 mostró cómo podemos aproximar el número \(e\) con aproximaciones lineales, cuadráticas, y otros polinomios. Usamos un enfoque similar en esta actividad para obtener aproximaciones lineales y cuadráticas a \(\ln(2)\text{.}\) En el camino, encontramos un tipo de serie que es diferente a la mayoría de las que hemos visto hasta ahora. A lo largo de esta actividad, sea \(f(x) = \ln(1+x)\text{.}\)
  1. Encuentra la línea tangente a \(f\) en \(x=0\) y usa esta linealización para aproximar \(\ln(2)\text{.}\) Es decir, encuentra \(L(x)\text{,}\) la aproximación de la línea tangente a \(f(x)\text{,}\) y usa el hecho de que \(L(1) \approx f(1)\) para estimar \(\ln(2)\text{.}\)
  2. La linealización de \(\ln(1+x)\) no proporciona una muy buena aproximación a \(\ln(2)\) ya que \(1\) no está tan cerca de \(0\text{.}\) Para obtener una mejor aproximación, alteramos nuestro enfoque; en lugar de usar una línea recta para aproximar \(\ln(2)\text{,}\) usamos una función cuadrática para tener en cuenta la concavidad de \(\ln(1+x)\) para \(x\) cerca de \(0\text{.}\) Con la linealización, tanto el valor de la función como la pendiente coinciden con el valor y la pendiente de la linealización en \(x=0\text{.}\) Ahora haremos una aproximación cuadrática \(P_2(x)\) a \(f(x) = \ln(1+x)\) centrada en \(x=0\) con la propiedad de que \(P_2(0) = f(0)\text{,}\) \(P'_2(0) = f'(0)\text{,}\) y \(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\)
    1. Sea \(P_2(x) = x - \frac{x^2}{2}\text{.}\) Muestra que \(P_2(0) = f(0)\text{,}\) \(P'_2(0) = f'(0)\text{,}\) y \(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\) Usa \(P_2(x)\) para aproximar \(\ln(2)\) usando el hecho de que \(P_2(1) \approx f(1)\text{.}\)
    2. Podemos seguir aproximando \(\ln(2)\) con polinomios de mayor grado cuyas derivadas coinciden con las de \(f\) en \(0\text{.}\) Esto hace que los polinomios se ajusten mejor al gráfico de \(f\) para más valores de \(x\) alrededor de \(0\text{.}\) Por ejemplo, sea \(P_3(x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\text{.}\) Muestra que \(P_3(0) = f(0)\text{,}\) \(P'_3(0) = f'(0)\text{,}\) \(P''_3(0) = f''(0)\text{,}\) y \(P'''_3(0) = f'''(0)\text{.}\) Tomando un enfoque similar a las preguntas anteriores, usa \(P_3(x)\) para aproximar \(\ln(2)\text{.}\)
    3. Si usamos un polinomio de grado \(4\) o de grado \(5\) para aproximar \(\ln(1+x)\text{,}\) ¿qué aproximaciones de \(\ln(2)\) crees que resultarían? Usa las preguntas anteriores para conjeturar un patrón que se mantenga, y enuncia la aproximación de grado \(4\) y de grado \(5\text{.}\)

Subsection 8.4.1 La Prueba de Series Alternantes

Actividad de Previsualización 8.4.1 nos da varias aproximaciones a \(\ln(2)\text{.}\) La aproximación lineal es \(1\text{,}\) y la aproximación cuadrática es \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\text{.}\) Si continuamos este proceso, cúbicos, cuárticos (grado \(4\)), quínticos (grado \(5\)), y polinomios de grado superior nos dan las aproximaciones a \(\ln(2)\) en Tabla 8.4.1.
Table 8.4.1.
lineal \(1\) \(1\)
cuadrática \(1 - \frac{1}{2}\) \(0.5\)
cúbica \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) \(0.8\overline{3}\)
cuártica \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\) \(0.58\overline{3}\)
quíntica \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\) \(0.78\overline{3}\)
El patrón aquí muestra que \(\ln(2)\) puede ser aproximado por las sumas parciales de la serie infinita
\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k}\tag{8.4.1} \end{equation}
donde los signos alternantes están indicados por el factor \((-1)^{k+1}\text{.}\) Llamamos a tal serie una serie alternante.
Usando tecnología computacional, encontramos que la suma de los primeros 100 términos en esta serie es 0.6881721793. Como comparación, \(\ln(2) \approx 0.6931471806\text{.}\) Esto muestra que aunque la serie (8.4.1) converge a \(\ln(2)\text{,}\) debe hacerlo bastante lentamente, ya que la suma de los primeros 100 términos no está particularmente cerca de \(\ln(2)\text{.}\) Investigaremos el tema de qué tan rápido converge una serie alternante más adelante en esta sección.

Definition 8.4.2.

Una serie alternante es una serie de la forma
\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k a_k\text{,} \end{equation*}
donde \(a_k \gt 0\) para cada \(k\text{.}\)
Tenemos cierta flexibilidad en cómo escribimos una serie alternante; por ejemplo, la serie
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k\text{,} \end{equation*}
cuyo índice comienza en \(k = 1\text{,}\) también es alternante. Como veremos pronto, hay varios resultados muy interesantes que se aplican a las series alternantes, mientras que las series alternantes también pueden demostrar un comportamiento inusual.
Es importante recordar que la mayoría de las pruebas de series que hemos visto en secciones anteriores se aplican solo a series con términos no negativos. Las series alternantes requieren una prueba diferente.

Activity 8.4.2.

Recuerda que, por definición, una serie converge si y solo si su correspondiente secuencia de sumas parciales converge.
  1. Calcula las primeras sumas parciales (con 10 decimales) de la serie alternante
    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\text{.} \end{equation*}
    Etiqueta cada suma parcial con la notación \(S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) para una elección apropiada de \(n\text{.}\)
  2. Grafica la secuencia de sumas parciales de la parte (a). ¿Qué notas sobre esta secuencia?
Actividad 8.4.2 ilustra el comportamiento general de cualquier serie alternante convergente. Vemos que las sumas parciales de la serie armónica alternante oscilan alrededor de un número fijo que resulta ser la suma de la serie.
Recuerda que si \(\lim_{k \to \infty} a_k \neq 0\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) diverge por la Prueba de Divergencia. A partir de este punto, solo consideraremos series alternantes
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k \end{equation*}
en las que la secuencia \(a_k\) consiste en números positivos que disminuyen a \(0\text{.}\) La \(n\)-ésima suma parcial \(S_n\) es
\begin{equation*} S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k\text{.} \end{equation*}
Nota que
  • \(S_2 = a_1 - a_2\text{,}\) y como \(a_1 \gt a_2\) tenemos \(0 \lt S_2 \lt S_1 \text{.}\)
  • \(S_3 = S_2+a_3\) y así \(S_2 \lt S_3\text{.}\) Pero \(a_3 \lt a_2\text{,}\) así que \(S_3 \lt S_1\text{.}\) Así, \(0 \lt S_2 \lt S_3 \lt S_1 \text{.}\)
  • \(S_4 = S_3-a_4\) y así \(S_4 \lt S_3\text{.}\) Pero \(a_4 \lt a_3\text{,}\) así que \(S_2 \lt S_4\text{.}\) Así, \(0 \lt S_2 \lt S_4 \lt S_3 \lt S_1 \text{.}\)
  • \(S_5 = S_4+a_5\) y así \(S_4 \lt S_5\text{.}\) Pero \(a_5 \lt a_4\text{,}\) así que \(S_5 \lt S_3\text{.}\) Así, \(0 \lt S_2 \lt S_4 \lt S_5 \lt S_3 \lt S_1 \text{.}\)
Este patrón continúa como se ilustra en Figura 8.4.4 (con \(n\) impar) de modo que cada suma parcial se encuentra entre las dos sumas parciales anteriores.
Figure 8.4.4. Sumas parciales de una serie alternante
Nota además que el valor absoluto de la diferencia entre la \((n-1)\)ava suma parcial \(S_{n-1}\) y la \(n\)ava suma parcial \(S_n\) es
\begin{equation*} \left\lvert S_n - S_{n-1} \right\rvert = a_n\text{.} \end{equation*}
Debido a que la secuencia \(\{a_n\}\) converge a \(0\text{,}\) la distancia entre sumas parciales sucesivas se vuelve tan cercana a cero como queramos, y así la secuencia de sumas parciales converge (aunque no sepamos el valor exacto al que converge).
La discusión anterior ha demostrado la veracidad de la Prueba de Series Alternantes.

La Prueba de Series Alternantes.

Dada una serie alternante \(\sum (-1)^k a_k \text{,}\) si la secuencia \(\{a_k\}\) de términos positivos disminuye a 0 cuando \(k \to \infty\text{,}\) entonces la serie alternante converge.
Nota que si el límite de la secuencia \(\{a_k\}\) no es 0, entonces la serie alternante diverge.

Activity 8.4.3.

¿Qué series convergen y cuáles divergen? Justifica tus respuestas.
  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2+2}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}2k}{k+5}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln(k)}\)

Subsection 8.4.2 Estimando Sumas Alternantes

Si la serie converge, el argumento para la Prueba de Series Alternantes también nos proporciona un método para determinar qué tan cercana está la \(n\)ava suma parcial \(S_n\) a la suma real de la serie. Para ver cómo funciona esto, sea \(S\) la suma de una serie alternante convergente, así que
\begin{equation*} S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k a_k\text{.} \end{equation*}
Recuerda que la secuencia de sumas parciales oscila alrededor de la suma \(S\) de modo que
\begin{equation*} \left|S - S_n \right| \lt \left| S_{n+1} - S_n \right| = a_{n+1}\text{.} \end{equation*}
Por lo tanto, el valor del término \(a_{n+1}\) proporciona una estimación del error de qué tan bien la suma parcial \(S_n\) aproxima la suma real \(S\text{.}\) Resumimos este hecho en la declaración del Teorema de Estimación de Series Alternantes.

Teorema de Estimación de Series Alternantes.

Si la serie alternante \(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}a_k\) tiene términos positivos \(a_k\) que disminuyen a cero cuando \(k \to \infty\text{,}\) y \(S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}a_k\) es la \(n\)ava suma parcial de la serie alternante, entonces
\begin{equation*} \left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}a_k - S_n \right\rvert \leq a_{n+1}\text{.} \end{equation*}

Example 8.4.5.

Determina qué tan bien la \(100\)ava suma parcial \(S_{100}\) de
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{equation*}
aproxima la suma de la serie.
Solution.
Si dejamos que \(S\) sea la suma de la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\text{,}\) entonces sabemos que
\begin{equation*} \left| S_{100} - S \right| \lt a_{101}\text{.} \end{equation*}
Ahora
\begin{equation*} a_{101} = \frac{1}{101} \approx 0.0099\text{,} \end{equation*}
así que la 100ava suma parcial está dentro de 0.0099 de la suma de la serie. Hemos discutido el hecho (y más tarde verificaremos) que
\begin{equation*} S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln(2)\text{,} \end{equation*}
y así \(S \approx 0.693147\) mientras
\begin{equation*} S_{100} = \sum_{k=1}^{100} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \approx 0.6881721793\text{.} \end{equation*}
Vemos que la diferencia real entre \(S\) y \(S_{100}\) es aproximadamente \(0.0049750013\text{,}\) que es de hecho menor que \(0.0099\text{.}\)

Activity 8.4.4.

Determina el número de términos que se necesitan para aproximar la suma de la serie alternante convergente
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} \end{equation*}
a menos de 0.0001.

Subsection 8.4.3 Convergencia Absoluta y Condicional

Una serie como
\begin{equation} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots\tag{8.4.2} \end{equation}
cuyos términos no son ni todos no negativos ni alternantes es diferente de cualquier serie que hayamos considerado hasta ahora. El comportamiento de una serie así puede ser bastante complicado, pero hay una conexión importante entre una serie con algunos términos negativos y series con todos los términos positivos.

Activity 8.4.5.

  1. Explica por qué la serie
    \begin{equation*} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \end{equation*}
    debe tener una suma que es menor que la serie
    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{.} \end{equation*}
  2. Explica por qué la serie
    \begin{equation*} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \end{equation*}
    debe tener una suma que es mayor que la serie
    \begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} -\frac{1}{k^2}\text{.} \end{equation*}
  3. Dado que los términos en la serie
    \begin{equation*} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \end{equation*}
    convergen a 0, ¿qué crees que nos dicen los dos resultados anteriores sobre el estado de convergencia de esta serie?
Como sugiere el ejemplo en Actividad 8.4.5, si una serie \(\sum a_k\) tiene algunos términos negativos pero \(\sum |a_k|\) converge, entonces la serie original, \(\sum a_k\text{,}\) también debe converger. Es decir, si \(\sum | a_k |\) converge, entonces también debe \(\sum a_k\text{.}\)
Como acabamos de observar, este es el caso para la serie (8.4.2), porque la serie correspondiente de los valores absolutos de sus términos es la serie \(p\) convergente \(\sum \frac{1}{k^2}\text{.}\) Pero hay series, como la serie armónica alternante \(\sum (-1)^{k+1} \frac{1}{k}\text{,}\) que convergen mientras que la serie correspondiente de valores absolutos, \(\sum \frac{1}{k}\text{,}\) diverge. Distinguimos entre estos comportamientos introduciendo el siguiente lenguaje.

Definition 8.4.6.

Considera una serie \(\sum a_k\text{.}\)
  1. La serie \(\sum a_k\) converge absolutamente (o es absolutamente convergente) siempre que \(\sum | a_k |\) converja.
  2. La serie \(\sum a_k\) converge condicionalmente (o es condicionalmente convergente) siempre que \(\sum | a_k |\) diverja y \(\sum a_k\) converja.
En esta terminología, la serie (8.4.2) converge absolutamente mientras que la serie armónica alternante es condicionalmente convergente.

Activity 8.4.6.

  1. Considera la serie \(\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k}\text{.}\)
    1. ¿Converge esta serie? Explica.
    2. ¿Converge esta serie absolutamente? Explica qué prueba usas para determinar tu respuesta.
  2. Considera la serie \(\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k^2}\text{.}\)
    1. ¿Converge esta serie? Explica.
    2. ¿Converge esta serie absolutamente? Pista: Usa el hecho de que \(\ln(k) \lt \sqrt{k}\) para valores grandes de \(k\) y luego compárala con una serie \(p\) apropiada.
Las series condicionalmente convergentes resultan ser muy interesantes. Si la secuencia \(\{a_n\}\) disminuye a 0, pero la serie \(\sum a_k\) diverge, la serie condicionalmente convergente \(\sum (-1)^k a_k\) está justo en el límite de ser una serie divergente. Como resultado, cualquier serie condicionalmente convergente converge muy lentamente. Además, pueden ocurrir cosas muy extrañas con las series condicionalmente convergentes, como se ilustra en algunos de los ejercicios.

Subsection 8.4.4 Resumen de Pruebas para la Convergencia de Series

Hemos discutido varias pruebas para la convergencia/divergencia de series en nuestras secciones y en ejercicios. Cerramos esta sección del texto con un resumen de todas las pruebas que hemos encontrado, seguido de una actividad que te desafía a decidir qué prueba de convergencia aplicar a varias series diferentes.
Serie Geométrica
La serie geométrica \(\sum ar^k\) con razón \(r\) converge para \(-1 \lt r \lt 1\) y diverge para \(|r| \geq 1\text{.}\)
La suma de la serie geométrica convergente \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} ar^k\) es \(\frac{a}{1-r}\text{.}\)
Prueba de Divergencia
Si la secuencia \(a_n\) no converge a 0, entonces la serie \(\sum a_k\) diverge.
Esta es la primera prueba a aplicar porque la conclusión es simple. Sin embargo, si \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\text{,}\) no se puede sacar ninguna conclusión.
Prueba Integral
Sea \(f\) una función positiva, decreciente en un intervalo \([c,\infty)\) y sea \(a_k = f(k)\) para cada entero positivo \(k \geq c\text{.}\)
  • Si \(\int_c^{\infty} f(t) \ dt\) converge, entonces \(\sum a_k\) converge.
  • Si \(\int_c^{\infty} f(t) \ dt\) diverge, entonces \(\sum a_k\) diverge.
Usa esta prueba cuando \(f(x)\) sea fácil de integrar.
Prueba de Comparación Directa
Sea \(0 \leq a_k \leq b_k\) para cada entero positivo \(k\text{.}\)
  • Si \(\sum b_k\) converge, entonces \(\sum a_k\) converge.
  • Si \(\sum a_k\) diverge, entonces \(\sum b_k\) diverge.
Usa esta prueba cuando tengas una serie con comportamiento conocido que puedas comparar — esta prueba puede ser difícil de aplicar.
Prueba de Comp. de Límite
Sea \(a_n\) y \(b_n\) secuencias de términos positivos. Si
\begin{equation*} \displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = L \end{equation*}
para algún número positivo finito \(L\text{,}\) entonces las dos series \(\sum a_k\) y \(\sum b_k\) o ambas convergen o ambas divergen.
Más fácil de aplicar en general que la prueba de comparación, pero debes tener una serie con comportamiento conocido para comparar. Útil para aplicar a series de funciones racionales.
Prueba del Cociente
Sea \(a_k \neq 0\) para cada \(k\) y supón
\begin{equation*} \displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} = r\text{.} \end{equation*}
  • Si \(r \lt 1\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) converge absolutamente.
  • Si \(r \gt 1\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) diverge.
  • Si \(r=1\text{,}\) entonces la prueba es inconclusa.
Esta prueba es útil cuando una serie involucra factoriales y potencias.
Prueba de la Raíz
Sea \(a_k \geq 0\) para cada \(k\) y supón
\begin{equation*} \displaystyle \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_k} = r\text{.} \end{equation*}
  • Si \(r \lt 1\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) converge.
  • Si \(r \gt 1\text{,}\) entonces la serie \(\sum a_k\) diverge.
  • Si \(r=1\text{,}\) entonces la prueba es inconclusa.
En general, la Prueba del Cociente usualmente puede ser usada en lugar de la Prueba de la Raíz. Sin embargo, la Prueba de la Raíz puede ser rápida de usar cuando \(a_k\) involucra potencias \(k\)-ésimas.
Prueba de Series Alternas
Si \(a_n\) es una secuencia positiva, decreciente de modo que \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0\text{,}\) entonces la serie alternante \(\sum (-1)^{k+1} a_k\) converge.
Esta prueba se aplica solo a series alternantes — asumimos que los términos \(a_n\) son todos positivos y que la secuencia \(\{a_n\}\) es decreciente.
Estimación de Series Alternas
Sea \(S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k\) la \(n\)-ésima suma parcial de la serie alternante \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k\text{.}\) Supón \(a_n \gt 0\) para cada número entero positivo \(n\text{,}\) la secuencia \(a_n\) decrece a 0 y \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = S\text{.}\) Entonces se sigue que \(|S - S_n| \lt a_{n+1}\text{.}\)
Este límite puede ser usado para determinar la precisión de la suma parcial \(S_n\) como una aproximación de la suma de una serie alternante convergente.

Activity 8.4.7.

Para (a)-(j), usa pruebas apropiadas para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series. A lo largo, si una serie es una serie geométrica convergente, encuentra su suma.
  1. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=3}^{\infty} \ \frac{2}{\sqrt{k-2}}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{k}{1+2k}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \ \frac{2k^2+1}{k^3+k+1}\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \ \frac{100^k}{k!}\)
  5. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{2^k}{5^k}\)
  6. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{k^3-1}{k^5+1}\)
  7. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{3^{k-1}}{7^k}\)
  8. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{1}{k^k}\)
  9. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k+1}}\)
  10. \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{1}{k \ln(k)}\)
  11. Determina un valor de \(n\) para que la \(n\)-ésima suma parcial \(S_n\) de la serie alternante \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(n)}\) aproxime la suma dentro de 0.001.

Subsection 8.4.5 Resumen

  • Una serie alternante es una serie cuyos términos alternan en signo. Tiene la forma
    \begin{equation*} \sum (-1)^ka_k \end{equation*}
    donde \(a_k\) es un número real positivo para cada \(k\text{.}\)
  • La secuencia de sumas parciales de una serie alternante convergente oscila alrededor de la suma de la serie si la secuencia de términos \(n\)-ésimos converge a 0. Es por eso que la Prueba de Series Alternantes muestra que la serie alternante \(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k\) converge siempre que la secuencia \(\{a_n\}\) de términos \(n\)-ésimos decrece a 0.
  • La diferencia entre la \(n-1\)-ésima suma parcial \(S_{n-1}\) y la \(n\)-ésima suma parcial \(S_n\) de una serie alternante convergente \(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k\) es \(|S_n - S_{n-1}| = a_n\text{.}\) Dado que las sumas parciales oscilan alrededor de la suma \(S\) de la serie, se sigue que
    \begin{equation*} |S - S_n| \lt a_n\text{.} \end{equation*}
    Así que la \(n\)-ésima suma parcial de una serie alternante convergente \(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k\) aproxima la suma real de la serie dentro de \(a_n\text{.}\)

Exercises 8.4.6 Exercises

1. Testing convergence for an alternating series.

(a) Carefully determine the convergence of the series \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} {(-1)^n\over 3 n}\text{.}\) The series is
  • absolutely convergent
  • conditionally convergent
  • divergent
(b) Carefully determine the convergence of the series \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} {(-1)^n\over 3^n}\text{.}\) The series is
  • absolutely convergent
  • conditionally convergent
  • divergent

2. Estimating the sum of an alternating series.

For the following alternating series,
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = 0.5 - \frac{(0.5)^3}{3!} + \frac{(0.5)^5}{5!} - \frac{(0.5)^7}{7!} + ...\)
how many terms do you have to compute in order for your approximation (your partial sum) to be within 0.0000001 from the convergent value of that series?

3. Estimating the sum of a different alternating series.

For the following alternating series,
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = 1 - \frac{(0.4)^2}{2!} + \frac{(0.4)^4}{4!} - \frac{(0.4)^6}{6!} + \frac{(0.4)^8}{8!} - ...\)
how many terms do you have to go for your approximation (your partial sum) to be within 0.0000001 from the convergent value of that series?

4. Estimating the sum of one more alternating series.

For the following alternating series,
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = 1 - \frac{1}{10} + \frac{1}{100} - \frac{1}{1000} + ...\)
how many terms do you have to go for your approximation (your partial sum) to be within 1e-08 from the convergent value of that series?

5.

Conditionally convergent series converge very slowly. As an example, consider the famous formula
 1 
We will derive this formula in upcoming work.
\begin{equation} \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{1}{2k+1}\text{.}\tag{8.4.3} \end{equation}
In theory, the partial sums of this series could be used to approximate \(\pi\text{.}\)
  1. Show that the series in (8.4.3) converges conditionally.
  2. Let \(S_n\) be the \(n\)th partial sum of the series in (8.4.3). Calculate the error in approximating \(\frac{\pi}{4}\) with \(S_{100}\) and explain why this is not a very good approximation.
  3. Determine the number of terms it would take in the series (8.4.3) to approximate \(\frac{\pi}{4}\) to 10 decimal places. (The fact that it takes such a large number of terms to obtain even a modest degree of accuracy is why we say that conditionally convergent series converge very slowly.)

6.

We have shown that if \(\sum (-1)^{k+1} a_k\) is a convergent alternating series, then the sum \(S\) of the series lies between any two consecutive partial sums \(S_n\text{.}\) This suggests that the average \(\frac{S_n+S_{n+1}}{2}\) is a better approximation to \(S\) than is \(S_n\text{.}\)
  1. Show that \(\frac{S_n+S_{n+1}}{2} = S_n + \frac{1}{2}(-1)^{n+2} a_{n+1}\text{.}\)
  2. Use this revised approximation in (a) with \(n = 20\) to approximate \(\ln(2)\) given that
    \begin{equation*} \ln(2) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k}\text{.} \end{equation*}
    Compare this to the approximation using just \(S_{20}\text{.}\) For your convenience, \(S_{20} = \frac{155685007}{232792560}\text{.}\)

7.

In this exercise, we examine one of the conditions of the Alternating Series Test. Consider the alternating series
\begin{equation*} 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - \frac{1}{16} + \cdots\text{,} \end{equation*}
where the terms are selected alternately from the sequences \(\left\{\frac{1}{n}\right\}\) and \(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\text{.}\)
  1. Explain why the \(n\)th term of the given series converges to 0 as \(n\) goes to infinity.
  2. Rewrite the given series by grouping terms in the following manner:
    \begin{equation*} (1 - 1) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) + \cdots\text{.} \end{equation*}
    Use this regrouping to determine if the series converges or diverges.
  3. Explain why the condition that the sequence \(\{a_n\}\) decreases to a limit of 0 is included in the Alternating Series Test.

8.

Conditionally convergent series exhibit interesting and unexpected behavior. In this exercise we examine the conditionally convergent alternating harmonic series \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) and discover that addition is not commutative for conditionally convergent series. We will also encounter Riemann’s Theorem concerning rearrangements of conditionally convergent series. Before we begin, we remind ourselves that
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln(2)\text{,} \end{equation*}
a fact which will be verified in a later section.
  1. First we make a quick analysis of the positive and negative terms of the alternating harmonic series.
    1. Show that the series \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k}\) diverges.
    2. Show that the series \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k+1}\) diverges.
    3. Based on the results of the previous parts of this exercise, what can we say about the sums \(\sum_{k=C}^{\infty} \frac{1}{2k}\) and \(\sum_{k=C}^{\infty} \frac{1}{2k+1}\) for any positive integer \(C\text{?}\) Be specific in your explanation.
  2. Recall addition of real numbers is commutative; that is
    \begin{equation*} a + b = b + a \end{equation*}
    for any real numbers \(a\) and \(b\text{.}\) This property is valid for any sum of finitely many terms, but does this property extend when we add infinitely many terms together?
    The answer is no, and something even more odd happens. Riemann’s Theorem (after the nineteenth-century mathematician Georg Friedrich Bernhard Riemann) states that a conditionally convergent series can be rearranged to converge to any prescribed sum. More specifically, this means that if we choose any real number \(S\text{,}\) we can rearrange the terms of the alternating harmonic series \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) so that the sum is \(S\text{.}\) To understand how Riemann’s Theorem works, let’s assume for the moment that the number \(S\) we want our rearrangement to converge to is positive. Our job is to find a way to order the sum of terms of the alternating harmonic series to converge to \(S\text{.}\)
    1. Explain how we know that, regardless of the value of \(S\text{,}\) we can find a partial sum \(P_1\)
      \begin{equation*} P_1 = \sum_{k=1}^{n_1} \frac{1}{2k+1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n_1+1} \end{equation*}
      of the positive terms of the alternating harmonic series that equals or exceeds \(S\text{.}\) Let
      \begin{equation*} S_1 = P_1\text{.} \end{equation*}
    2. Explain how we know that, regardless of the value of \(S_1\text{,}\) we can find a partial sum \(N_1\)
      \begin{equation*} N_1 = -\sum_{k=1}^{m_1} \frac{1}{2k} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \cdots - \frac{1}{2m_1} \end{equation*}
      so that
      \begin{equation*} S_2 = S_1 + N_1 \leq S\text{.} \end{equation*}
    3. Explain how we know that, regardless of the value of \(S_2\text{,}\) we can find a partial sum \(P_2\)
      \begin{equation*} P_2 = \sum_{k=n_1+1}^{n_2} \frac{1}{2k+1} = \frac{1}{2(n_1+1)+1} + \frac{1}{2(n_1+2)+1} + \cdots + \frac{1}{2n_2+1} \end{equation*}
      of the remaining positive terms of the alternating harmonic series so that
      \begin{equation*} S_3 = S_2 + P_2 \geq S\text{.} \end{equation*}
    4. Explain how we know that, regardless of the value of \(S_3\text{,}\) we can find a partial sum
      \begin{equation*} N_2 = -\sum_{k=m_1+1}^{m_2} \frac{1}{2k} = -\frac{1}{2(m_1+1)} - \frac{1}{2(m_1+2)} - \cdots - \frac{1}{2m_2} \end{equation*}
      of the remaining negative terms of the alternating harmonic series so that
      \begin{equation*} S_4 = S_3 + N_2 \leq S\text{.} \end{equation*}
    5. Explain why we can continue this process indefinitely and find a sequence \(\{S_n\}\) whose terms are partial sums of a rearrangement of the terms in the alternating harmonic series so that \(\lim_{n \to \infty} S_n = S\text{.}\)
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