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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 4.2 Sumas de Riemann

En Sección 4.1, aprendimos que si un objeto se mueve con velocidad positiva \(v\text{,}\) el área entre \(y = v(t)\) y el eje \(t\) sobre un intervalo de tiempo dado nos dice la distancia recorrida por el objeto durante ese período de tiempo. Si \(v(t)\) es a veces negativo y vemos el área de cualquier región debajo del eje \(t\) como teniendo un signo negativo asociado, entonces la suma de estas áreas con signo nos dice el cambio en la posición del objeto en movimiento durante un intervalo de tiempo dado.
Por ejemplo, para la función de velocidad dada en Figura 4.2.1, si las áreas de las regiones sombreadas son \(A_1\text{,}\) \(A_2\) y \(A_3\) como se indica, entonces la distancia total \(D\) recorrida por el objeto en movimiento en \([a,b]\) es
\begin{equation*} D = A_1 + A_2 + A_3\text{,} \end{equation*}
mientras que el cambio total en la posición del objeto en \([a,b]\) es
\begin{equation*} s(b) - s(a) = A_1 - A_2 + A_3\text{.} \end{equation*}
Figure 4.2.1. Una función de velocidad que es a veces negativa.
Debido a que el movimiento es en la dirección negativa en el intervalo donde \(v(t) \lt 0\text{,}\) restamos \(A_2\) para determinar el cambio total en la posición del objeto.
Por supuesto, encontrar \(D\) y \(s(b)-s(a)\) para el gráfico en Figura 4.2.1 supone que realmente podemos encontrar las áreas \(A_1\text{,}\) \(A_2\) y \(A_3\text{.}\) Hasta ahora, hemos trabajado con funciones de velocidad que eran constantes o lineales, de modo que el área delimitada por la función de velocidad y el eje horizontal es una combinación de rectángulos y triángulos, y podemos encontrar el área exactamente. Pero cuando la curva delimita una región que no es una forma geométrica familiar, no podemos encontrar su área exactamente. De hecho, este es uno de nuestros mayores objetivos en Capítulo 4: aprender cómo encontrar el área exacta delimitada entre una curva y el eje horizontal para tantos tipos diferentes de funciones como sea posible.
En Actividad 4.1.2, aproximamos el área bajo una función de velocidad no lineal usando rectángulos. En la siguiente actividad de vista previa, consideramos tres opciones diferentes para las alturas de los rectángulos que usaremos.

Actividad Introductoria 4.2.1.

Una persona que camina por un camino recto tiene su velocidad en millas por hora en el tiempo \(t\) dada por la función \(v(t) = 0.25t^3-1.5t^2+3t+0.25\text{,}\) para tiempos en el intervalo \(0 \le t \le 2\text{.}\) El gráfico de esta función también se da en cada uno de los tres diagramas en Figura 4.2.2.
Figure 4.2.2. Tres enfoques para estimar el área bajo \(y = v(t)\) en el intervalo \([0,2]\text{.}\)
Nota que en cada diagrama, usamos cuatro rectángulos para estimar el área bajo \(y = v(t)\) en el intervalo \([0,2]\text{,}\) pero el método por el cual se deciden las alturas respectivas de los cuatro rectángulos varía entre los tres gráficos individuales.
  1. ¿Cómo se eligen las alturas de los rectángulos en el diagrama más a la izquierda? Explica, y por lo tanto determina el valor de
    \begin{equation*} S = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \end{equation*}
    evaluando la función \(y = v(t)\) en valores apropiadamente elegidos y observando el ancho de cada rectángulo. Nota, por ejemplo, que
    \begin{equation*} A_3 = v(1) \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\text{.} \end{equation*}
  2. Explica cómo se eligen las alturas de los rectángulos en el diagrama del medio y encuentra el valor de
    \begin{equation*} T = B_1 + B_2 + B_3 + B_4\text{.} \end{equation*}
  3. De la misma manera, determina el patrón de cómo se eligen las alturas de los rectángulos en el diagrama más a la derecha y determina
    \begin{equation*} U = C_1 + C_2 + C_3 + C_4\text{.} \end{equation*}
  4. De las estimaciones \(S\text{,}\) \(T\text{,}\) y \(U\text{,}\) ¿cuál crees que es la mejor aproximación de \(D\text{,}\) la distancia total que la persona recorrió en \([0,2]\text{?}\) ¿Por qué?

Subsection 4.2.1 Notación Sigma

Hemos usado sumas de áreas de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Intuitivamente, esperamos que usar un mayor número de rectángulos más delgados proporcione una mejor estimación del área. En consecuencia, anticipamos tratar con sumas de un gran número de términos. Para hacerlo, introducimos la notación sigma, nombrada por la letra griega \(\Sigma\text{,}\) que es la letra mayúscula \(S\) en el alfabeto griego.
Por ejemplo, digamos que estamos interesados en la suma
\begin{equation*} 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\text{,} \end{equation*}
la suma de los primeros 100 números naturales. En notación sigma escribimos
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\text{.} \end{equation*}
Leemos el símbolo \(\sum_{k=1}^{100} k\) como “la suma desde \(k\) igual a 1 hasta 100 de \(k\text{.}\)” La variable \(k\) se llama el índice de sumación, y cualquier letra puede ser usada para esta variable. El patrón en los términos de la suma se denota por una función del índice; por ejemplo,
\begin{equation*} \sum_{k=1}^{10} (k^2 + 2k) = (1^2 + 2\cdot 1) + (2^2 + 2\cdot 2) + (3^2 + 2\cdot 3) + \cdots + (10^2 + 2\cdot 10)\text{,} \end{equation*}
y más generalmente,
\begin{equation*} \sum_{k=1}^n f(k) = f(1) + f(2) + \cdots + f(n)\text{.} \end{equation*}
La notación sigma nos permite variar fácilmente la función que se usa para describir los términos en la suma, y ajustar el número de términos en la suma simplemente cambiando el valor de \(n\text{.}\) Probamos nuestra comprensión de esta nueva notación en la siguiente actividad.

Activity 4.2.2.

Para cada suma escrita en notación sigma, escribe la suma en forma extendida y evalúa la suma para encontrar su valor. Para cada suma escrita en forma expandida, escribe la suma en notación sigma.
  1. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (k^2 + 2)\)
  2. \(\displaystyle \sum_{i=3}^{6} (2i-1)\)
  3. \(\displaystyle 3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 27\)
  4. \(\displaystyle 4 + 8 + 16 + 32 + \cdots + 256\)
  5. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{6} \frac{1}{2^i}\)

Subsection 4.2.2 Sumas de Riemann

Cuando un cuerpo en movimiento tiene una función de velocidad positiva \(y = v(t)\) en un intervalo dado \([a,b]\text{,}\) el área bajo la curva sobre el intervalo da la distancia total que el cuerpo recorre en \([a,b]\text{.}\) También estamos interesados en encontrar el área exacta delimitada por \(y = f(x)\) en un intervalo \([a,b]\text{,}\) independientemente del significado o contexto de la función \(f\text{.}\) Por ahora, seguimos enfocándonos en encontrar una estimación precisa de esta área usando una suma de las áreas de los rectángulos. A menos que se indique lo contrario, asumimos que \(f\) es continua y no negativa en \([a,b]\text{.}\)
La primera elección que hacemos en tal aproximación es el número de rectángulos.
Figure 4.2.3. Subdividiendo el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de igual longitud \(\Delta x\text{.}\)
Si deseamos \(n\) rectángulos de igual ancho para subdividir el intervalo \([a,b]\text{,}\) entonces cada rectángulo debe tener un ancho de \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\) Dejamos que \(x_0 = a\text{,}\) \(x_n = b\text{,}\) y definimos \(x_{i} = a + i\Delta x\text{,}\) de modo que \(x_1 = x_0 + \Delta x\text{,}\) \(x_2 = x_0 + 2 \Delta x\text{,}\) y así sucesivamente, como se muestra en Figura 4.2.3.
Usamos cada subintervalo \([x_i, x_{i+1}]\) como la base de un rectángulo, y luego elegimos la altura del rectángulo en ese subintervalo. Hay tres opciones estándar: podemos usar el extremo izquierdo de cada subintervalo, el extremo derecho de cada subintervalo, o el punto medio de cada uno. Estas son precisamente las opciones encontradas en Actividad de Vista Previa 4.2.1 y vistas en Figura 4.2.2. A continuación exploramos cómo estas opciones pueden ser descritas en notación sigma.
Considera una función positiva arbitraria \(f\) en \([a,b]\) con el intervalo subdividido como se muestra en Figura 4.2.3, y elige usar los extremos izquierdos. Entonces en cada intervalo \([x_{i}, x_{i+1}]\text{,}\) el área del rectángulo formado se da por
\begin{equation*} A_{i+1} = f(x_i) \cdot \Delta x\text{,} \end{equation*}
como se ve en Figura 4.2.4.
Figure 4.2.4. Subdividiendo el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de igual longitud \(\Delta x\) y aproximando el área bajo \(y = f(x)\) sobre \([a,b]\) usando rectángulos izquierdos.
Si dejamos que \(L_n\) denote la suma de las áreas de estos rectángulos, vemos que
\begin{align*} L_n =\mathstrut \amp A_1 + A_2 + \cdots + A_{i+1} + \cdots + A_n\\ =\mathstrut \amp f(x_0) \cdot \Delta x + f(x_1) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_i) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_{n-1}) \cdot \Delta x\text{.} \end{align*}
En la notación sigma más compacta, tenemos
\begin{equation*} L_n = \sum_{i = 0}^{n-1} f(x_i) \Delta x\text{.} \end{equation*}
Nota que dado que el índice de sumación comienza en \(0\) y termina en \(n-1\text{,}\) hay de hecho \(n\) términos en esta suma. Llamamos a \(L_n\) la suma de Riemann izquierda para la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\text{.}\)
Para ver cómo se construyen las sumas de Riemann para los extremos derechos y los puntos medios, consideramos Figura 4.2.5.
Figure 4.2.5. Sumas de Riemann usando extremos derechos y puntos medios.
Para la suma con puntos finales derechos, vemos que el área del rectángulo en un intervalo arbitrario \([x_i, x_{i+1}]\) está dada por \(B_{i+1} = f(x_{i+1}) \cdot \Delta x\text{,}\) y que la suma de todas esas áreas de rectángulos está dada por
\begin{align*} R_n =\mathstrut \amp B_1 + B_2 + \cdots + B_{i+1} + \cdots + B_n\\ =\mathstrut \amp f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_{i+1}) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_{n}) \cdot \Delta x\\ =\mathstrut \amp \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x\text{.} \end{align*}
Llamamos \(R_n\) la suma de Riemann derecha para la función \(f\) en el intervalo \([a,b]\text{.}\)
Para la suma que usa puntos medios, introducimos la notación
\begin{equation*} \overline{x}_{i+1} = \frac{x_{i} + x_{i+1}}{2} \end{equation*}
de modo que \(\overline{x}_{i+1}\) es el punto medio del intervalo \([x_i, x_{i+1}]\text{.}\) Por ejemplo, para el rectángulo con área \(C_1\) en Figura 4.2.5, ahora tenemos
\begin{equation*} C_1 = f(\overline{x}_1) \cdot \Delta x\text{.} \end{equation*}
Por lo tanto, la suma de todas las áreas de rectángulos que usan puntos medios es
\begin{align*} M_n =\mathstrut \amp C_1 + C_2 + \cdots + C_{i+1} + \cdots + C_n\\ =\mathstrut \amp f(\overline{x_1}) \cdot \Delta x + f(\overline{x_2}) \cdot \Delta x + \cdots + f(\overline{x}_{i+1}) \cdot \Delta x + \cdots + f(\overline{x}_{n}) \cdot \Delta x\\ =\mathstrut \amp \sum_{i=1}^{n} f(\overline{x}_i) \Delta x\text{,} \end{align*}
y decimos que \(M_n\) es la suma de Riemann media para \(f\) en \([a,b]\text{.}\)
Así, tenemos dos variables para explorar: el número de rectángulos y la altura de cada rectángulo. Podemos explorar estas opciones dinámicamente, y este applet
 1 
gvsu.edu/s/a9
es particularmente útil. Allí vemos la imagen mostrada en Figura 4.2.6, pero con la oportunidad de ajustar las barras deslizantes para las alturas y el número de rectángulos.
Figure 4.2.6. Una captura del applet encontrado en gvsu.edu/s/a9.
Moviendo los deslizadores, podemos ver cómo cambian las alturas de los rectángulos al considerar puntos finales izquierdos, puntos medios y puntos finales derechos, así como el impacto que tiene un mayor número de rectángulos más estrechos en la aproximación del área exacta delimitada por la función y el eje horizontal.
Cuando \(f(x) \ge 0\) en \([a,b]\text{,}\) cada una de las sumas de Riemann \(L_n\text{,}\) \(R_n\text{,}\) y \(M_n\) proporciona una estimación del área bajo la curva \(y = f(x)\) sobre el intervalo \([a,b]\text{.}\) También recordamos que en el contexto de una función de velocidad no negativa \(y = v(t)\text{,}\) las sumas de Riemann correspondientes aproximan la distancia recorrida en \([a,b]\) por un objeto en movimiento con función de velocidad \(v\text{.}\)
Hay una forma más general de pensar en las sumas de Riemann, y es permitir cualquier elección de dónde se evalúa la función para determinar las alturas de los rectángulos. En lugar de decir que siempre elegiremos puntos finales izquierdos, o siempre elegiremos puntos medios, simplemente decimos que un punto \(x_{i+1}^*\) será seleccionado al azar en el intervalo \([x_i, x_{i+1}]\) (de modo que \(x_i \le x_{i+1}^* \le x_{i+1}\)). La suma de Riemann está entonces dada por
\begin{equation*} f(x_1^*) \cdot \Delta x + f(x_2^*) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_{i+1}^*) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_n^*) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{.} \end{equation*}
El applet mencionado anteriormente
 2 
gvsu.edu/s/a9
y referenciado en Figura 4.2.6, desmarcando la casilla “relativa” en la parte superior izquierda, y en su lugar marcando “aleatorio,” podemos explorar fácilmente el efecto de usar ubicaciones de puntos aleatorios en subintervalos en una suma de Riemann. En la práctica computacional, usamos más a menudo \(L_n\text{,}\) \(R_n\text{,}\) o \(M_n\text{,}\) mientras que la suma de Riemann aleatoria es útil en discusiones teóricas. En la siguiente actividad, investigamos varias sumas de Riemann diferentes para una función de velocidad particular.

Activity 4.2.3.

Supón que un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta tiene su velocidad en pies por segundo en el tiempo \(t\) en segundos dada por \(v(t) = \frac{2}{9}(t-3)^2 + 2\text{.}\)
  1. Dibuja cuidadosamente la región cuya área exacta te dirá el valor de la distancia que el objeto recorrió en el intervalo de tiempo \(2 \le t \le 5\text{.}\)
  2. Estima la distancia recorrida en \([2,5]\) calculando \(L_4\text{,}\) \(R_4\text{,}\) y \(M_4\text{.}\)
  3. ¿El promedio de \(L_4\) y \(R_4\) resulta en el mismo valor que \(M_4\text{?}\) Si no, ¿qué crees que mide el promedio de \(L_4\) y \(R_4\text{?}\)
  4. Para esta pregunta, piensa en una función arbitraria \(f\text{,}\) en lugar de la función particular \(v\) dada arriba. Si \(f\) es positiva y creciente en \([a,b]\text{,}\) ¿\(L_n\) sobreestimará o subestimará el área exacta bajo \(f\) en \([a,b]\text{?}\) ¿\(R_n\) sobreestimará o subestimará el área exacta bajo \(f\) en \([a,b]\text{?}\) Explica.

Subsection 4.2.3 Cuando la función es a veces negativa

Para una suma de Riemann como
\begin{equation*} L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x\text{,} \end{equation*}
por supuesto podemos calcular la suma incluso cuando \(f\) toma valores negativos. Sabemos que cuando \(f\) es positiva en \([a,b]\text{,}\) una suma de Riemann estima el área delimitada entre \(f\) y el eje horizontal sobre el intervalo.
Figure 4.2.7. A la izquierda y en el centro, dos sumas de Riemann izquierdas para una función \(f\) que a veces es negativa; a la derecha, las áreas delimitadas por \(f\) en el intervalo \([a,d]\text{.}\)
Para la función representada en el primer gráfico de Figura 4.2.7, se muestra una suma de Riemann izquierda con 12 subintervalos sobre \([a,d]\text{.}\) La función es negativa en el intervalo \(b \le x \le c\text{,}\) por lo que en los cuatro puntos finales izquierdos que caen en \([b,c]\text{,}\) los términos \(f(x_i) \Delta x\) son negativos. Esto significa que esos cuatro términos en la suma de Riemann producen una estimación del opuesto del área delimitada por \(y = f(x)\) y el eje \(x\) en \([b,c]\text{.}\)
En el gráfico del medio de Figura 4.2.7, vemos que al aumentar el número de rectángulos la aproximación del área (o el opuesto del área) delimitada por la curva parece mejorar.
En general, cualquier suma de Riemann de una función continua \(f\) en un intervalo \([a,b]\) aproxima la diferencia entre el área que se encuentra por encima del eje horizontal en \([a,b]\) y bajo \(f\) y el área que se encuentra por debajo del eje horizontal en \([a,b]\) y sobre \(f\text{.}\) En la notación de Figura 4.2.7, podemos decir que
\begin{equation*} L_{24} \approx A_1 - A_2 + A_3\text{,} \end{equation*}
donde \(L_{24}\) es la suma de Riemann izquierda usando 24 subintervalos mostrados en el gráfico del medio. \(A_1\) y \(A_3\) son las áreas de las regiones donde \(f\) es positiva, y \(A_2\) es el área donde \(f\) es negativa. Llamaremos a la cantidad \(A_1 - A_2 + A_3\) el área neta firmada delimitada por \(f\) sobre el intervalo \([a,d]\text{,}\) donde con la frase “área firmada” indicamos que estamos adjuntando un signo menos a las áreas de las regiones que caen por debajo del eje horizontal.
Finalmente, recordamos que si la función \(f\) representa la velocidad de un objeto en movimiento, la suma de las áreas delimitadas por la curva nos dice la distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo relevante, mientras que el área neta firmada delimitada por la curva calcula el cambio de posición del objeto en el intervalo.

Activity 4.2.4.

Supón que un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta tiene su velocidad \(v\) (en pies por segundo) en el tiempo \(t\) (en segundos) dada por
\begin{equation*} v(t) = \frac{1}{2}t^2 - 3t + \frac{7}{2}\text{.} \end{equation*}
  1. Calcula \(M_5\text{,}\) la suma de Riemann media, para \(v\) en el intervalo de tiempo \([1,5]\text{.}\) Asegúrate de identificar claramente el valor de \(\Delta t\) así como las ubicaciones de \(t_0\text{,}\) \(t_1\text{,}\) \(\cdots\text{,}\) \(t_5\text{.}\) Además, proporciona un dibujo cuidadoso de la función y los rectángulos correspondientes que se están usando en la suma.
  2. Basándote en tu trabajo en (a), estima el cambio total en la posición del objeto en el intervalo \([1,5]\text{.}\)
  3. Basándote en tu trabajo en (a) y (b), estima la distancia total recorrida por el objeto en \([1,5]\text{.}\)
  4. Usa tecnología de computación adecuada
     3 
    Por ejemplo, considera el applet y cambia la función y ajusta las ubicaciones de los puntos azules que representan los extremos del intervalo \(a\) y \(b\text{.}\)
    para calcular \(M_{10}\) y \(M_{20}\text{.}\) ¿Qué valor exacto crees que la suma media eventualmente se aproxima a medida que \(n\) aumenta sin límite? ¿Qué representa ese número en el contexto físico del problema general?

Subsection 4.2.4 Resumen

  • Una suma de Riemann es simplemente una suma de productos de la forma \(f(x_i^*) \Delta x\) que estima el área entre una función positiva y el eje horizontal sobre un intervalo dado. Si la función es a veces negativa en el intervalo, la suma de Riemann estima la diferencia entre las áreas que se encuentran por encima del eje horizontal y las que se encuentran por debajo del eje.
  • Los tres tipos más comunes de sumas de Riemann son las sumas izquierda, derecha, y media, pero también podemos trabajar con una suma de Riemann más general. La única diferencia entre estas sumas es la ubicación del punto en el que se evalúa la función para determinar la altura del rectángulo cuya área se está calculando. Para una suma de Riemann izquierda, evaluamos la función en el punto final izquierdo de cada subintervalo, mientras que para las sumas derecha y media, usamos puntos finales derechos y puntos medios, respectivamente.
  • Las sumas de Riemann izquierda, derecha, y media se denotan \(L_n\text{,}\) \(R_n\text{,}\) y \(M_n\text{,}\) con fórmulas
    \begin{align*} L_n = f(x_0) \Delta x + f(x_1) \Delta x + \cdots + f(x_{n-1}) \Delta x \amp= \sum_{i = 0}^{n-1} f(x_i) \Delta x,\\ R_n = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + \cdots + f(x_{n}) \Delta x \amp= \sum_{i = 1}^{n} f(x_i) \Delta x,\\ M_n = f(\overline{x}_1) \Delta x + f(\overline{x}_2) \Delta x + \cdots + f(\overline{x}_{n}) \amp= \sum_{i = 1}^{n} f(\overline{x}_i) \Delta x\text{,} \end{align*}
    donde \(x_0 = a\text{,}\) \(x_i = a + i\Delta x\text{,}\) y \(x_n = b\text{,}\) usando \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\) Para la suma de puntos medios, \(\overline{x}_{i} = (x_{i-1} + x_i)/2\text{.}\)

Exercises 4.2.5 Exercises

1. Evaluating Riemann sums for a quadratic function.

The rectangles in the graph below illustrate a left endpoint Riemann sum for \(\displaystyle f(x) = \frac{-x^{2}}{4}+2x\) on the interval \(\lbrack 3, 7 \rbrack\text{.}\)
The value of this left endpoint Riemann sum is , and this Riemann sum is
  • [select an answer]
  • an overestimate of
  • equal to
  • an underestimate of
  • there is ambiguity
the area of the region enclosed by \(\displaystyle y = f(x)\text{,}\) the x-axis, and the vertical lines x = 3 and x = 7.
Left endpoint Riemann sum for \(y = \frac{-x^{2}}{4}+2x\) on \(\lbrack 3, 7 \rbrack\)
The rectangles in the graph below illustrate a right endpoint Riemann sum for \(\displaystyle f(x) = \frac{-x^{2}}{4}+2x\) on the interval \(\lbrack 3, 7 \rbrack\text{.}\)
The value of this right endpoint Riemann sum is , and this Riemann sum is
  • [select an answer]
  • an overestimate of
  • equal to
  • an underestimate of
  • there is ambiguity
the area of the region enclosed by \(\displaystyle y = f(x)\text{,}\) the x-axis, and the vertical lines x = 3 and x = 7.
Right endpoint Riemann sum for \(y = \frac{-x^{2}}{4}+2x\) on \(\lbrack 3, 7 \rbrack\)

2. Estimating distance traveled with a Riemann sum from data.

Your task is to estimate how far an object traveled during the time interval \(0 \leq t \leq 8\text{,}\) but you only have the following data about the velocity of the object.
time (sec) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
velocity (feet/sec) -4 -2 -3 1 2 3 2 3 4
To get an idea of what the velocity function might look like, you pick up a black pen, plot the data points, and connect them by curves. Your sketch looks something like the black curve in the graph below.
Left endpoint approximation
You decide to use a left endpoint Riemann sum to estimate the total displacement. So, you pick up a blue pen and draw rectangles whose height is determined by the velocity measurement at the left endpoint of each one-second interval. By using the left endpoint Riemann sum as an approximation, you are assuming that the actual velocity is approximately constant on each one-second interval (or, equivalently, that the actual acceleration is approximately zero on each one-second interval), and that the velocity and acceleration have discontinuous jumps every second. This assumption is probably incorrect because it is likely that the velocity and acceleration change continuously over time. However, you decide to use this approximation anyway since it seems like a reasonable approximation to the actual velocity given the limited amount of data.
(A) Using the left endpoint Riemann sum, find approximately how far the object traveled. Your answers must include the correct help (units)
 4 
/pg_files/helpFiles/Units.html
.
Total displacement =
Total distance traveled =
Using the same data, you also decide to estimate how far the object traveled using a right endpoint Riemann sum. So, you sketch the curve again with a black pen, and draw rectangles whose height is determined by the velocity measurement at the right endpoint of each one-second interval.
Right endpoint approximation
(B) Using the right endpoint Riemann sum, find approximately how far the object traveled. Your answers must include the correct help (units)
 5 
/pg_files/helpFiles/Units.html
.
Total displacement =
Total distance traveled =

3. Writing basic Riemann sums.

On a sketch of \(y = e^{x}\text{,}\) represent the left Riemann sum with \(n = 2\) approximating \(\int_{0}^{1}\,e^{x}\,dx\text{.}\) Write out the terms of the sum, but do not evaluate it:
Sum = +
On another sketch, represent the right Riemann sum with \(n = 2\) approximating \(\int_{0}^{1}\,e^{x}\,dx\text{.}\) Write out the terms of the sum, but do not evaluate it:
Sum = +
Which sum is an overestimate?
  • the left Riemann sum
  • the right Riemann sum
  • neither sum
Which sum is an underestimate?
  • the right Riemann sum
  • the left Riemann sum
  • neither sum

4.

Consider the function \(f(x) = 3x + 4\text{.}\)
  1. Compute \(M_4\) for \(y=f(x)\) on the interval \([2,5]\text{.}\) Be sure to clearly identify the value of \(\Delta x\text{,}\) as well as the locations of \(x_0, x_1, \ldots, x_4\text{.}\) Include a careful sketch of the function and the corresponding rectangles being used in the sum.
  2. Use a familiar geometric formula to determine the exact value of the area of the region bounded by \(y = f(x)\) and the \(x\)-axis on \([2,5]\text{.}\)
  3. Explain why the values you computed in (a) and (b) turn out to be the same. Will this be true if we use a number different than \(n = 4\) and compute \(M_n\text{?}\) Will \(L_4\) or \(R_4\) have the same value as the exact area of the region found in (b)?
  4. Describe the collection of functions \(g\) for which it will always be the case that \(M_n\text{,}\) regardless of the value of \(n\text{,}\) gives the exact net signed area bounded between the function \(g\) and the \(x\)-axis on the interval \([a,b]\text{.}\)

5.

Let \(S\) be the sum given by
\begin{equation*} S = ((1.4)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((1.8)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.2)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.6)^2 + 1) \cdot 0.4 +((3.0)^2 + 1) \cdot 0.4\text{.} \end{equation*}
  1. Assume that \(S\) is a right Riemann sum. For what function \(f\) and what interval \([a,b]\) is \(S\) this function’s Riemann sum? Why?
  2. How does your answer to (a) change if \(S\) is a left Riemann sum? a middle Riemann sum?
  3. Suppose that \(S\) really is a right Riemann sum. What is geometric quantity does \(S\) approximate?
  4. Use sigma notation to write a new sum \(R\) that is the right Riemann sum for the same function, but that uses twice as many subintervals as \(S\text{.}\)

6.

A car traveling along a straight road is braking and its velocity is measured at several different points in time, as given in the following table.
Table 4.2.8. Data for the braking car.
seconds, \(t\) \(0\) \(0.3\) \(0.6\) \(0.9\) \(1.2\) \(1.5\) \(1.8\)
Velocity in ft/sec, \(v(t)\) \(100\) \(88\) \(74\) \(59\) \(40\) \(19\) \(0\)
  1. Plot the given data on a set of axes with time on the horizontal axis and the velocity on the vertical axis.
  2. Estimate the total distance traveled during the car the time brakes using a middle Riemann sum with 3 subintervals.
  3. Estimate the total distance traveled on \([0,1.8]\) by computing \(L_6\text{,}\) \(R_6\text{,}\) and \(\frac{1}{2}(L_6 + R_6)\text{.}\)
  4. Assuming that \(v(t)\) is always decreasing on \([0,1.8]\text{,}\) what is the maximum possible distance the car traveled before it stopped? Why?

7.

The rate at which pollution escapes a scrubbing process at a manufacturing plant increases over time as filters and other technologies become less effective. For this particular example, assume that the rate of pollution (in tons per week) is given by the function \(r\) that is pictured in Figure 4.2.9.
  1. Use the graph to estimate the value of \(M_4\) on the interval \([0,4]\text{.}\)
  2. What is the meaning of \(M_4\) in terms of the pollution discharged by the plant?
  3. Suppose that \(r(t) = 0.5 e^{0.5t}\text{.}\) Use this formula for \(r\) to compute \(L_5\) on \([0,4]\text{.}\)
  4. Determine an upper bound on the total amount of pollution that can escape the plant during the pictured four week time period that is accurate within an error of at most one ton of pollution.
Figure 4.2.9. The rate, \(r(t)\text{,}\) of pollution in tons per week.
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