Al resolver la segunda ecuación para \(x\) y escribir \(x = y + 1\text{,}\) encontramos que \(y+1 = y^2 - 1\text{.}\) Por lo tanto, las curvas se intersectan donde \(y^2 - y - 2 = 0\text{.}\) Así, encontramos \(y = -1\) o \(y = 2\text{,}\) por lo que los puntos de intersección de las dos curvas son \((0,-1)\) y \((3,2)\text{.}\)
Si intentamos usar rectángulos verticales para cortar el área (como en el gráfico central de
Figura 6.1.6), vemos que desde
\(x = -1\) hasta
\(x = 0\) las curvas que delimitan la parte superior e inferior del rectángulo son las mismas. Esto sugiere, como se muestra en el gráfico más a la derecha en la figura, que intentemos usar rectángulos horizontales.
Nota que el ancho de un rectángulo horizontal depende de \(y\text{.}\) Entre \(y = -1\) y \(y = 2\text{,}\) el extremo derecho de un rectángulo representativo está determinado por la línea \(x = y+1\text{,}\) y el extremo izquierdo está determinado por la parábola, \(x = y^2-1\text{.}\) El grosor del rectángulo es \(\Delta y\text{.}\)
Por lo tanto, el área del rectángulo es
\begin{equation*}
A_{\text{rect} } = [(y+1) - (y^2-1)] \Delta y\text{,}
\end{equation*}
y el área entre las dos curvas en el intervalo \(y\) \([-1,2]\) se aproxima mediante la suma de Riemann
\begin{equation*}
A \approx \sum_{i=1}^{n} [(y_i+1)-(y_i^2-1)] \Delta y\text{.}
\end{equation*}
Tomando el límite de la suma de Riemann, se sigue que el área de la región es
\begin{equation}
A = \int_{y=-1}^{y=2} [(y+1) - (y^2-1)] \, dy\text{.}\tag{6.1.3}
\end{equation}
Enfatizamos que estamos integrando con respecto a
\(y\text{;}\) esto es porque elegimos usar rectángulos horizontales cuyos anchos dependen de
\(y\) y cuyo grosor se denota
\(\Delta y\text{.}\) Es un ejercicio sencillo evaluar la integral en
Ecuación (6.1.3) y encontrar que
\(A = \frac{9}{2}\text{.}\)
