Primero observamos que \(h\) es el producto de dos funciones: \(h(t) = a(t) \cdot b(t)\text{,}\) donde \(a(t) = 3^{t^2 + 2t}\) y \(b(t) = \sec^4(t)\text{.}\) Necesitaremos usar la regla del producto para diferenciar \(h\text{.}\) Y dado que \(a\) y \(b\) son funciones compuestas, necesitaremos la regla de la cadena. Por lo tanto, comenzamos calculando \(a'(t)\) y \(b'(t)\text{.}\)
Escribiendo \(a(t) = f(g(t)) = 3^{t^2 + 2t}\text{,}\) y encontrando las derivadas de \(f\) y \(g\text{,}\) tenemos
| \(f(t) = 3^t\) |
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\(g(t) = t^2 + 2t\) |
| \(f'(t) = 3^t \ln(3)\) |
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\(g'(t) = 2t+2\) |
| \(f'(g(t)) = 3^{t^2 + 2t}\ln(3)\) |
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Así, por la regla de la cadena, se sigue que \(a'(t) = f'(g(t))g'(t) = 3^{t^2 + 2t}\ln(3) (2t+2)\text{.}\)
Pasando a \(b\text{,}\) escribimos \(b(t) = r(s(t)) = \sec^4(t)\) y encontramos las derivadas de \(r\) y \(s\text{.}\)
| \(r(t) = t^4\) |
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\(s(t) = \sec(t)\) |
| \(r'(t) = 4t^3\) |
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\(s'(t) = \sec(t)\tan(t)\) |
| \(r'(s(t)) = 4\sec^3(t)\) |
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Por la regla de la cadena,
\begin{equation*}
b'(t) = r'(s(t))s'(t) = 4\sec^3(t)\sec(t)\tan(t) = 4 \sec^4(t) \tan(t)\text{.}
\end{equation*}
Ahora finalmente estamos listos para calcular la derivada de la función \(h\text{.}\) Recordando que \(h(t) = 3^{t^2 + 2t}\sec^4(t)\text{,}\) por la regla del producto tenemos
\begin{equation*}
h'(t) = 3^{t^2 + 2t} \frac{d}{dt}[\sec^4(t)] + \sec^4(t) \frac{d}{dt}[3^{t^2 + 2t}]\text{.}
\end{equation*}
De nuestro trabajo anterior con \(a\) y \(b\text{,}\) conocemos las derivadas de \(3^{t^2 + 2t}\) y \(\sec^4(t)\text{,}\) y por lo tanto
\begin{equation*}
h'(t) = 3^{t^2 + 2t} 4\sec^4(t) \tan(t) + \sec^4(t) 3^{t^2 + 2t}\ln(3) (2t+2)\text{.}
\end{equation*}
