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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 3.5 Tasas Relacionadas

En la mayoría de nuestras aplicaciones de la derivada hasta ahora, nos ha interesado la tasa instantánea a la que una variable, digamos \(y\text{,}\) cambia con respecto a otra, digamos \(x\text{,}\) llevándonos a calcular e interpretar \(\frac{dy}{dx}\text{.}\) A continuación consideramos situaciones donde varias cantidades variables están relacionadas, pero donde cada cantidad es implícitamente una función del tiempo, que será representado por la variable \(t\text{.}\) A través de saber cómo están relacionadas las cantidades, nos interesará determinar cómo están relacionadas sus respectivas tasas de cambio con respecto al tiempo.
Por ejemplo, supón que se está bombeando aire en un globo esférico de manera que su volumen aumenta a una tasa constante de 20 pulgadas cúbicas por segundo. Dado que el volumen y el radio del globo están relacionados, al saber qué tan rápido está cambiando el volumen, deberíamos poder descubrir qué tan rápido está cambiando el radio. Nos interesan preguntas como: ¿podemos determinar qué tan rápido está aumentando el radio del globo en el momento en que el diámetro del globo es de 12 pulgadas?

Actividad Introductoria 3.5.1.

Un globo esférico se está inflando a una tasa constante de 20 pulgadas cúbicas por segundo. ¿Qué tan rápido está cambiando el radio del globo en el instante en que el diámetro del globo es de 12 pulgadas? ¿Está cambiando el radio más rápidamente cuando \(d = 12\) o cuando \(d = 16\text{?}\) ¿Por qué?
  1. Dibuja varias esferas con diferentes radios, y observa que a medida que cambia el volumen, el radio, el diámetro y el área de la superficie del globo también cambian.
  2. Recuerda que el volumen de una esfera de radio \(r\) es \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\text{.}\) Nota bien que en el contexto de este problema, tanto \(V\) como \(r\) están cambiando a medida que el tiempo \(t\) cambia, y por lo tanto, tanto \(V\) como \(r\) pueden verse como funciones implícitas de \(t\text{,}\) con sus respectivas derivadas \(\frac{dV}{dt}\) y \(\frac{dr}{dt}\text{.}\) Diferencia ambos lados de la ecuación \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\) con respecto a \(t\) (usando la regla de la cadena en el lado derecho) para encontrar una fórmula para \(\frac{dV}{dt}\) que dependa tanto de \(r\) como de \(\frac{dr}{dt}\text{.}\)
  3. En este punto del problema, al diferenciar hemos “relacionado las tasas” de cambio de \(V\) y \(r\text{.}\) Recuerda que se nos da en el problema que el globo se está inflando a una tasa constante de 20 pulgadas cúbicas por segundo. ¿Es esta tasa el valor de \(\frac{dr}{dt}\) o \(\frac{dV}{dt}\text{?}\) ¿Por qué?
  4. De la parte (c), sabemos el valor de \(\frac{dV}{dt}\) en cada valor de \(t\text{.}\) A continuación, observa que cuando el diámetro del globo es 12, sabemos el valor del radio. En la ecuación \(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\text{,}\) sustituye estos valores por las cantidades relevantes y resuelve la cantidad desconocida restante, que es \(\frac{dr}{dt}\text{.}\) ¿Qué tan rápido está cambiando el radio en el instante \(d = 12\text{?}\)
  5. ¿Cómo es diferente la situación cuando \(d = 16\text{?}\) ¿Cuándo está cambiando el radio más rápidamente, cuando \(d = 12\) o cuando \(d = 16\text{?}\)

Subsection 3.5.1 Problemas de Tasas Relacionadas

En problemas donde dos o más cantidades pueden estar relacionadas entre sí, y todas las variables involucradas son implícitamente funciones del tiempo, \(t\text{,}\) a menudo nos interesa cómo están relacionadas sus tasas; llamamos a estos problemas de tasas relacionadas. Una vez que tenemos una ecuación que establece la relación entre las variables, diferenciamos implícitamente con respecto al tiempo para encontrar conexiones entre las tasas de cambio.

Example 3.5.1.

La arena se está vertiendo desde una cinta transportadora sobre un montón de manera que la arena forma un cono circular recto, como se muestra en Figura 3.5.2. ¿Cómo están relacionadas las tasas instantáneas de cambio del volumen, la altura y el radio de la arena?
Figure 3.5.2. Un montón cónico de arena.
Solution.
A medida que la arena cae desde la cinta transportadora, varias características del montón de arena cambiarán: el volumen del montón crecerá, la altura aumentará y el radio también se hará más grande. Todas estas cantidades están relacionadas entre sí, y la tasa a la que cada una está cambiando está relacionada con la tasa a la que la arena cae desde la cinta transportadora.
Comenzamos identificando qué variables están cambiando y cómo están relacionadas. En este problema, observamos que el radio y la altura del montón están relacionados con su volumen por la ecuación estándar para el volumen de un cono,
\begin{equation*} V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\text{.} \end{equation*}
Viendo cada uno de \(V\text{,}\) \(r\text{,}\) y \(h\) como funciones de \(t\text{,}\) diferenciamos implícitamente para llegar a una ecuación que relacione sus respectivas tasas de cambio. Tomando la derivada de cada lado de la ecuación con respecto a \(t\text{,}\) encontramos
\begin{equation*} \frac{d}{dt}[V] = \frac{d}{dt}\left[\frac{1}{3} \pi r^2 h\right]\text{.} \end{equation*}
A la izquierda, \(\frac{d}{dt}[V]\) es simplemente \(\frac{dV}{dt}\text{.}\) A la derecha, la situación es más complicada, ya que tanto \(r\) como \(h\) son funciones implícitas de \(t\text{.}\) Por lo tanto, necesitamos las reglas del producto y de la cadena. Encontramos que
\begin{align*} \frac{dV}{dt} &= \frac{d}{dt}\left[\frac{1}{3} \pi r^2 h\right]\\ &= \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{d}{dt}[h] + \frac{1}{3} \pi h \frac{d}{dt}[r^2]\\ &= \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{dh}{dt} + \frac{1}{3} \pi h 2r \frac{dr}{dt} \end{align*}
(Nota particularmente cómo estamos usando ideas de Sección 2.7 sobre diferenciación implícita. Allí encontramos que cuando \(y\) es una función implícita de \(x\text{,}\) \(\frac{d}{dx}[y^2] = 2y \frac{dy}{dx}\text{.}\) Los mismos principios se aplican aquí cuando calculamos \(\frac{d}{dt}[r^2] = 2r \frac{dr}{dt}\text{.}\))
La ecuación
\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi r^2 \frac{dh}{dt} + \frac{2}{3} \pi rh \frac{dr}{dt}\text{,} \end{equation*}
relaciona las tasas de cambio de \(V\text{,}\) \(h\text{,}\) y \(r\text{.}\)
Si se nos da suficiente información adicional, entonces podemos encontrar el valor de una o más de estas tasas de cambio en un punto específico en el tiempo.

Example 3.5.3.

En el contexto de Ejemplo 3.5.1, supón que también sabemos lo siguiente: (a) la arena cae de la cinta transportadora de manera que la altura del montón es siempre la mitad del radio, y (b) la arena cae de la cinta transportadora a una tasa constante de 10 pies cúbicos por minuto. ¿Qué tan rápido está cambiando la altura del montón de arena en el momento en que el radio es de 4 pies?
Solution.
La información de que la altura es siempre la mitad del radio nos dice que para todos los valores de \(t\text{,}\) \(h = \frac{1}{2}r\text{.}\) Diferenciando con respecto a \(t\text{,}\) se sigue que \(\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dr}{dt}\text{.}\) Estas relaciones nos permiten relacionar \(\frac{dV}{dt}\) con solo una de \(r\) o \(h\text{.}\) Sustituyendo las expresiones que involucran \(r\) y \(\frac{dr}{dt}\) por \(h\) y \(\frac{dh}{dt}\text{,}\) ahora tenemos que
\begin{equation} \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} \frac{dr}{dt} + \frac{2}{3} \pi r \cdot \frac{1}{2}r \cdot \frac{dr}{dt}\text{.}\tag{3.5.1} \end{equation}
Dado que la arena cae de la cinta transportadora a una tasa constante de 10 pies cúbicos por minuto, el valor de \(\frac{dV}{dt}\text{,}\) la tasa a la que cambia el volumen del montón de arena, es \(\frac{dV}{dt} = 10\) ft\(^3\)/min. Nos interesa qué tan rápido está cambiando la altura del montón en el instante en que \(r = 4\text{,}\) así que sustituimos \(r = 4\) y \(\frac{dV}{dt} = 10\) en la Ecuación (3.5.1), para encontrar
\begin{equation*} 10 = \frac{1}{3} \pi 4^2 \cdot \frac{1}{2} \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} + \frac{2}{3} \pi 4 \cdot \frac{1}{2}4 \cdot \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} = \frac{8}{3}\pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} + \frac{16}{3} \pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.} \end{equation*}
Solo queda desconocido el valor de \(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.}\) Combinamos términos semejantes en el lado derecho de la ecuación anterior para obtener \(10 = 8 \pi \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{,}\) y resolvemos para \(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\) para encontrar
\begin{equation*} \left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4} = \frac{10}{8\pi} \approx 0.39789 \end{equation*}
pies por minuto. Como nos interesaba qué tan rápido estaba cambiando la altura del montón en este instante, queremos saber \(\frac{dh}{dt}\) cuando \(r = 4\text{.}\) Dado que \(\frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dr}{dt}\) para todos los valores de \(t\text{,}\) se sigue
\begin{equation*} \left. \frac{dh}{dt} \right|_{r=4} = \frac{5}{8\pi} \approx 0.19894 \ \text{ft/min}\text{.} \end{equation*}
Nota la diferencia entre las notaciones \(\frac{dr}{dt}\) y \(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.}\) La primera representa la tasa de cambio de \(r\) con respecto a \(t\) en un valor arbitrario de \(t\text{,}\) mientras que la segunda es la tasa de cambio de \(r\) con respecto a \(t\) en un momento particular, el momento cuando \(r = 4\text{.}\)
Si hubiéramos sabido que \(h = \frac{1}{2}r\) al principio del Ejemplo 3.5.1, podríamos haber simplificado nuestro trabajo inmediatamente escribiendo \(V\) únicamente en términos de \(r\) para tener
\begin{equation*} V = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{1}{2}r\right) = \frac{1}{6} \pi r^3\text{.} \end{equation*}
A partir de esta última ecuación, diferenciar con respecto a \(t\) implica
\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = \frac{1}{2} \pi r^2 \frac{dr}{dt}\text{,} \end{equation*}
de lo cual se pueden sacar las mismas conclusiones.
Nuestro trabajo con el problema del montón de arena arriba es similar en muchos aspectos a nuestro enfoque en la Actividad de Vista Previa 3.5.1, y estos pasos son típicos de la mayoría de los problemas de tasas relacionadas. De ciertas maneras, también se asemejan al trabajo que hacemos en problemas de optimización aplicada, y aquí resumimos el enfoque principal para su consideración en problemas posteriores.

Note 3.5.4.

  • Identifica las cantidades en el problema que están cambiando y elige nombres de variables claramente definidos para ellas. Dibuja una o más figuras que representen claramente la situación.
  • Determina todas las tasas de cambio que se conocen o se dan y identifica la(s) tasa(s) de cambio que se deben encontrar.
  • Encuentra una ecuación que relacione las variables cuyas tasas de cambio se conocen con aquellas variables cuyas tasas de cambio se deben encontrar.
  • Diferencia implícitamente con respecto a \(t\) para relacionar las tasas de cambio de las cantidades involucradas.
  • Evalúa las derivadas y variables en la información relevante al instante en que se busca una cierta tasa de cambio. Usa la notación adecuada para identificar cuándo se está evaluando una derivada en un instante particular, como \(\left. \frac{dr}{dt} \right|_{r=4}\text{.}\)
Al identificar variables y dibujar una imagen, es importante pensar en las formas dinámicas en que las cantidades cambian. A veces una secuencia de imágenes puede ser útil; para algunas imágenes que se pueden modificar fácilmente como applets construidos en Geogebra, consulta los siguientes enlaces,
 1 
Nuevamente nos referimos al trabajo del Prof. Marc Renault de la Universidad de Shippensburg, encontrado en gvsu.edu/s/5p.
que representan
Dibujar diagramas bien etiquetados e imaginar cómo cambian las diferentes partes de la figura es una parte clave para entender los problemas de tasas relacionadas y tener éxito al resolverlos.

Activity 3.5.2.

Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido (punta hacia abajo) con una base de radio de 6 pies y una profundidad de 8 pies. Supón que se está bombeando agua al tanque a una tasa instantánea constante de 4 pies cúbicos por minuto.
  1. Dibuja una imagen del tanque cónico, incluyendo un boceto del nivel del agua en un momento en que el tanque aún no está lleno. Introduce variables que midan el radio de la superficie del agua y la profundidad del agua en el tanque, y etiquétalas en tu figura.
  2. Supón que \(r\) es el radio y \(h\) la profundidad del agua en un momento dado, \(t\text{.}\) ¿Qué ecuación relaciona el radio y la altura del agua, y por qué?
  3. Determina una ecuación que relacione el volumen de agua en el tanque en el tiempo \(t\) con la profundidad \(h\) del agua en ese momento.
  4. A través de la diferenciación, encuentra una ecuación que relacione la tasa instantánea de cambio del volumen de agua con respecto al tiempo con la tasa instantánea de cambio de la profundidad del agua en el tiempo \(t\text{.}\)
  5. Encuentra la tasa instantánea a la que el nivel del agua está subiendo cuando el agua en el tanque tiene una profundidad de 3 pies.
  6. ¿Cuándo está subiendo el agua más rápidamente: a \(h = 3\text{,}\) \(h = 4\text{,}\) o \(h = 5\text{?}\)
Reconocer qué relaciones geométricas son relevantes en un problema dado es a menudo la clave para encontrar la función a optimizar. Por ejemplo, aunque el problema en la Actividad 3.5.2 es sobre un tanque cónico, el hecho más importante es que hay dos triángulos rectángulos similares involucrados. En otro contexto, podríamos usar el Teorema de Pitágoras para relacionar los catetos del triángulo. Pero en el tanque cónico, el hecho de que el agua llena el tanque de manera que la proporción del radio a la profundidad es constante resulta ser la relación importante. En otras situaciones donde está involucrado un ángulo cambiante, las funciones trigonométricas pueden proporcionar los medios para encontrar relaciones entre varias partes del triángulo.

Activity 3.5.3.

Una cámara de televisión está posicionada a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar a la velocidad correcta para mantener el cohete a la vista. Además, el autoenfoque de la cámara tiene que tener en cuenta la distancia creciente entre la cámara y el cohete. Suponemos que el cohete se eleva verticalmente. (Un problema similar se discute y se ilustra dinámicamente
 7 
gvsu.edu/s/9t
. Explorar el applet en el enlace te será útil para responder las preguntas que siguen.)
  1. Dibuja una figura que resuma la situación dada. ¿Qué partes de la imagen están cambiando? ¿Qué partes son constantes? Introduce variables apropiadas para representar las cantidades que están cambiando.
  2. Encuentra una ecuación que relacione el ángulo de elevación de la cámara con la altura del cohete, y luego encuentra una ecuación que relacione la tasa instantánea de cambio del ángulo de elevación de la cámara con la tasa instantánea de cambio de la altura del cohete (donde todas las tasas de cambio son con respecto al tiempo).
  3. Encuentra una ecuación que relacione la distancia desde la cámara hasta el cohete con la altura del cohete, así como una ecuación que relacione la tasa instantánea de cambio de la distancia desde la cámara hasta el cohete con la tasa instantánea de cambio de la altura del cohete (donde todas las tasas de cambio son con respecto al tiempo).
  4. Supón que la velocidad del cohete es de 600 pies/seg en el instante en que ha subido 3000 pies. ¿A qué velocidad está cambiando la distancia desde la cámara de televisión hasta el cohete en ese momento? Si la cámara está siguiendo al cohete, ¿a qué velocidad está cambiando el ángulo de elevación de la cámara en ese mismo momento?
  5. Si desde una elevación de 3000 pies en adelante el cohete continúa subiendo a 600 pies/seg, ¿será la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo mayor cuando la elevación sea de 4000 pies que cuando era de 3000 pies, o menor? ¿Por qué?
Además de encontrar tasas de cambio instantáneas en puntos particulares en el tiempo, a menudo podemos hacer observaciones más generales sobre cómo cambiarán las tasas particulares con el tiempo. Por ejemplo, cuando un tanque cónico se llena de agua a una tasa constante, parece obvio que la profundidad del agua debería aumentar más lentamente con el tiempo. Nota cuán cuidadosamente debemos expresar la relación: queremos decir que mientras la profundidad, \(h\text{,}\) del agua está aumentando, su tasa de cambio, \(\frac{dh}{dt}\text{,}\) está disminuyendo (tanto como función de \(t\) como función de \(h\)). Hacemos esta observación resolviendo la ecuación que relaciona las diversas tasas para una tasa particular, sin sustituir ningún valor particular para las variables o tasas conocidas. Por ejemplo, en el problema del tanque cónico en la Actividad 3.5.2, establecimos que
\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = \frac{1}{16} \pi h^2 \frac{dh}{dt}\text{,} \end{equation*}
y por lo tanto
\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \frac{16}{\pi h^2} \frac{dV}{dt}\text{.} \end{equation*}
Siempre que \(\frac{dV}{dt}\) sea constante, es inmediatamente aparente que a medida que \(h\) se hace más grande, \(\frac{dh}{dt}\) se hará más pequeño pero seguirá siendo positivo. Por lo tanto, la profundidad del agua está aumentando a una tasa decreciente.

Activity 3.5.4.

Como se muestra en el applet
 8 
gvsu.edu/s/9q
, un skater de 6 pies de altura pasa por debajo de un poste de luz de 15 pies de altura a una velocidad constante de 3 pies por segundo. Nos interesa entender qué tan rápido está cambiando su sombra en varios puntos en el tiempo.
  1. Dibuja un triángulo rectángulo apropiado que represente un instante en el tiempo del skater, el poste de luz, y su sombra. Deja que \(x\) denote la distancia horizontal desde la base del poste de luz hasta el skater y \(s\) represente la longitud de su sombra. Etiqueta estas cantidades, así como la altura del skater y la altura del poste de luz en el diagrama.
  2. Observa que el skater y el poste de luz representan segmentos de línea paralelos en el diagrama, y por lo tanto hay triángulos similares presentes. Usa triángulos similares para establecer una ecuación que relacione \(x\) y \(s\text{.}\)
  3. Usa tu trabajo en (b) para encontrar una ecuación que relacione \(\frac{dx}{dt}\) y \(\frac{ds}{dt}\text{.}\)
  4. ¿A qué velocidad está aumentando la longitud de la sombra del skater en el instante en que el skater está a 8 pies del poste de luz?
  5. A medida que la distancia del skater al poste de luz aumenta, ¿está aumentando la longitud de su sombra a una tasa creciente, a una tasa decreciente, o a una tasa constante?
  6. ¿Qué se está moviendo más rápido: el skater o la punta de su sombra? Explica y justifica tu respuesta.
En las primeras tres actividades de esta sección, proporcionamos instrucciones guiadas para construir una solución de manera paso a paso. Para la actividad de cierre y los ejercicios siguientes, la mayor parte del trabajo detallado se deja al lector.

Activity 3.5.5.

Un diamante de béisbol es un cuadrado de \(90'\text{.}\) Un bateador golpea una pelota a lo largo de la línea de tercera base y corre hacia la primera base. ¿A qué velocidad está cambiando la distancia entre la pelota y la primera base cuando la pelota está a mitad de camino hacia la tercera base, si en ese instante la pelota viaja a \(100\) pies/seg? ¿A qué velocidad está cambiando la distancia entre la pelota y el corredor en el mismo instante, si en ese mismo instante el corredor está a \(1/8\) del camino hacia la primera base corriendo a \(30\) pies/seg?

Subsection 3.5.2 Resumen

  • Cuando dos o más cantidades relacionadas están cambiando como funciones implícitas del tiempo, sus tasas de cambio se pueden relacionar diferenciando implícitamente la ecuación que relaciona las cantidades mismas. Por ejemplo, si los lados de un triángulo rectángulo están cambiando como funciones del tiempo, digamos que tienen longitudes \(x\text{,}\) \(y\) y \(z\text{,}\) entonces estas cantidades están relacionadas por el Teorema de Pitágoras: \(x^2 + y^2 = z^2\text{.}\) Se sigue al diferenciar implícitamente con respecto a \(t\) que sus tasas están relacionadas por la ecuación
    \begin{equation*} 2x \frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z \frac{dz}{dt}\text{,} \end{equation*}
    de modo que si conocemos los valores de \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) y \(z\) en un momento particular, así como dos de las tres tasas, podemos deducir el valor de la tercera.

Exercises 3.5.3 Exercises

1. Height of a conical pile of gravel.

Gravel is being dumped from a conveyor belt at a rate of \(10\) cubic feet per minute. It forms a pile in the shape of a right circular cone whose base diameter and height are always the same. How fast is the height of the pile increasing when the pile is \(23\) feet high? Recall that the volume of a right circular cone with height \(h\) and radius of the base \(r\) is given by \(V= \frac{1}{3}\pi r^2h\text{.}\)
When the pile is \(23\) feet high, its height is increasing at feet per minute.

2. Movement of a shadow.

A street light is at the top of a 13 foot tall pole. A 6 foot tall woman walks away from the pole with a speed of 6 ft/sec along a straight path. How fast is the tip of her shadow moving when she is 30 feet from the base of the pole?
The tip of the shadow is moving at ft/sec.

3. A leaking conical tank.

Water is leaking out of an inverted conical tank at a rate of \(9600.0\) \(\textrm{cm}^3/\textrm{min}\) at the same time that water is being pumped into the tank at a constant rate. The tank has height \(7.0 \ \textrm{m}\) and the the diameter at the top is \(5.0 \ \textrm{m}\text{.}\) If the water level is rising at a rate of \(22.0 \ \textrm{cm}/\textrm{min}\) when the height of the water is \(1.5 \ \textrm{m}\text{,}\) find the rate at which water is being pumped into the tank in cubic centimeters per minute.
Answer: \(\textrm{cm}^3/\textrm{min}\)

4.

A sailboat is sitting at rest near its dock. A rope attached to the bow of the boat is drawn in over a pulley that stands on a post on the end of the dock that is 5 feet higher than the bow. If the rope is being pulled in at a rate of 2 feet per second, how fast is the boat approaching the dock when the length of rope from bow to pulley is 13 feet?

5.

A swimming pool is \(60\) feet long and \(25\) feet wide. Its depth varies uniformly from \(3\) feet at the shallow end to \(15\) feet at the deep end, as shown in the Figure 3.5.5.
Figure 3.5.5. The swimming pool.
Suppose the pool has been emptied and is now being filled with water at a rate of \(800\) cubic feet per minute. At what rate is the depth of water (measured at the deepest point of the pool) increasing when it is \(5\) feet deep at that end? Over time, describe how the depth of the water will increase: at an increasing rate, at a decreasing rate, or at a constant rate. Explain.

6.

A baseball diamond is a square with sides \(90\) feet long. Suppose a baseball player is advancing from second to third base at the rate of \(24\) feet per second, and an umpire is standing on home plate. Let \(\theta\) be the angle between the third baseline and the line of sight from the umpire to the runner. How fast is \(\theta\) changing when the runner is \(30\) feet from third base?

7.

Sand is being dumped off a conveyor belt onto a pile in such a way that the pile forms in the shape of a cone whose radius is always equal to its height. Assuming that the sand is being dumped at a rate of \(10\) cubic feet per minute, how fast is the height of the pile changing when there are \(1000\) cubic feet on the pile?
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