Cálculo Activo

A continuación, para aplicar la prueba de la primera derivada, nos gustaría conocer el signo de \(f'(x)\) en entradas cercanas a los números críticos. Dado que los números críticos son las únicas ubicaciones en las que \(f'\) puede cambiar de signo, se sigue que el signo de la derivada es el mismo en cada uno de los intervalos creados por los números críticos: por ejemplo, el signo de \(f'\) debe ser el mismo para cada \(x \lt -1\text{.}\) Creamos un diagrama de signos de la primera derivada para resumir el signo de \(f'\) en los intervalos relevantes, junto con el comportamiento correspondiente de \(f\text{.}\)

Para producir el diagrama de signos de la primera derivada en Figura 3.1.8, identificamos el signo de cada factor de \(f'(x)\) en un punto seleccionado en cada intervalo. Por ejemplo, para \(x \lt -1\text{,}\) podríamos determinar el signo de \(e^{-2x}\text{,}\) \((3-x)\) y \((x+1)^2\) en el valor \(x = -2\text{.}\) Notamos que tanto \(e^{-2x}\) como \((x+1)^2\) son positivos sin importar el valor de \(x\text{,}\) mientras que \((3-x)\) también es positivo en \(x = -2\text{.}\) Por lo tanto, cada uno de los tres términos en \(f'\) es positivo, lo que indicamos escribiendo “\(+++\text{.}\)” Tomar el producto de tres términos positivos resulta en un valor positivo para \(f'\text{,}\) lo que denotamos con el “\(+\)” en el intervalo a la izquierda de \(x = -1\text{.}\) Y, dado que \(f'\) es positivo en ese intervalo, sabemos que \(f\) está aumentando, por lo que escribimos “INC” para representar el comportamiento de \(f\text{.}\) De manera similar, encontramos que \(f'\) es positivo y \(f\) está aumentando en \(-1 \lt x \lt 3\text{,}\) y \(f'\) es negativo y \(f\) está disminuyendo para \(x \gt 3\text{.}\)

Ahora buscamos números críticos en los que \(f'\) cambie de signo. En este ejemplo, \(f'\) cambia de signo solo en \(x = 3\text{,}\) de positivo a negativo, por lo que \(f\) tiene un máximo relativo en \(x = 3\text{.}\) Aunque \(f\) tiene un número crítico en \(x = -1\text{,}\) dado que \(f\) está aumentando tanto antes como después de \(x = -1\text{,}\) \(f\) no tiene ni un mínimo ni un máximo en \(x = -1\text{.}\)

Vemos que \(f\) está aumentando en los intervalos \((-\infty, -\sqrt{3})\) y \((\sqrt{3}, \infty)\text{,}\) y \(f\) está disminuyendo en \((-\sqrt{3},0)\) y \((0, \sqrt{3})\text{.}\) Según la prueba de la primera derivada, esta información nos dice que \(f\) tiene un máximo local en \(x = -\sqrt{3}\) y un mínimo local en \(x = \sqrt{3}\text{.}\) Aunque \(f\) también tiene un número crítico en \(x = 0\text{,}\) no ocurre ni un máximo ni un mínimo allí ya que \(f'\) no cambia de signo en \(x = 0\text{.}\)

Por lo tanto, \(f\) es cóncava hacia abajo en los intervalos \((-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}})\) y \((0, \sqrt{\frac{3}{2}})\text{,}\) y cóncava hacia arriba en \((-\sqrt{\frac{3}{2}},0)\) y \((\sqrt{\frac{3}{2}}, \infty)\text{.}\)

Juntando toda esta información, ahora vemos un gráfico completo y preciso posible de \(f\) en Figura 3.1.13.

El punto \(A = (-\sqrt{3}, f(-\sqrt{3}))\) es un máximo local, porque \(f\) está aumentando antes de \(A\) y disminuyendo después; de manera similar, el punto \(E = (\sqrt{3}, f(\sqrt{3})\) es un mínimo local. Nota también que \(f\) es cóncava hacia abajo en \(A\) y cóncava hacia arriba en \(B\text{,}\) lo cual es consistente tanto con nuestro gráfico de signos de la segunda derivada como con la prueba de la segunda derivada. En los puntos \(B\) y \(D\text{,}\) la concavidad cambia, como vimos en los resultados del gráfico de signos de la segunda derivada en Figura 3.1.12. Finalmente, en el punto \(C\text{,}\) \(f\) tiene un punto crítico con una línea tangente horizontal, pero no ocurre ni un máximo ni un mínimo allí, ya que \(f\) está disminuyendo tanto antes como después de \(C\text{.}\) También es el caso que la concavidad cambia en \(C\text{.}\)

Aunque entendemos completamente dónde \(f\) está aumentando y disminuyendo, dónde \(f\) es cóncava hacia arriba y hacia abajo, y dónde \(f\) tiene extremos relativos, no sabemos ninguna información específica sobre las coordenadas \(y\) de los puntos en la curva. Por ejemplo, aunque sabemos que \(f\) tiene un máximo local en \(x = -\sqrt{3}\text{,}\) no sabemos el valor de ese máximo porque no conocemos \(f(-\sqrt{3})\text{.}\) Cualquier traslación vertical de nuestro boceto de \(f\) en Figura 3.1.13 satisfaría los criterios dados para \(f\text{.}\)