CA Modelado con ecuaciones diferenciales

Section 7.5 Modelado con ecuaciones diferenciales

Preguntas Motivadoras

¿Cómo podemos usar ecuaciones diferenciales para describir fenómenos en el mundo que nos rodea?
¿Cómo podemos usar ecuaciones diferenciales para entender mejor estos fenómenos?

Hemos visto varias formas en que las ecuaciones diferenciales surgen en el mundo natural, desde el crecimiento de una población hasta la temperatura de una taza de café. En esta sección, miramos más de cerca cómo las ecuaciones diferenciales nos dan una forma natural de describir varios fenómenos. Como veremos, la clave es entender los diferentes factores que causan que una cantidad cambie.

Actividad Introductoria 7.5.1.

Cada vez que la tasa de cambio de una cantidad está relacionada con la cantidad de una cantidad, surge naturalmente una ecuación diferencial. En los siguientes dos problemas, vemos dos de esos escenarios; para cada uno, queremos desarrollar una ecuación diferencial cuya solución sea la cantidad de interés.

Supón que tienes una cuenta bancaria en la que el dinero crece a una tasa anual del 3%.
1. Si tienes $10,000 en la cuenta, ¿a qué tasa está creciendo tu dinero?
2. Supón que también estás retirando dinero de la cuenta a $1,000 por año. ¿Cuál es la tasa de cambio en la cantidad de dinero en la cuenta? ¿Cuáles son las unidades de esta tasa de cambio?
Supón que un tanque de agua contiene 100 galones y que una solución salina, que contiene 20 gramos de sal en cada galón, entra al tanque a 2 galones por minuto.
1. ¿Cuánta sal entra al tanque cada minuto?
2. Supón que inicialmente hay 300 gramos de sal en el tanque. ¿Cuánta sal hay en cada galón en este momento?
3. Finalmente, supón que la solución mezclada uniformemente se bombea fuera del tanque a una tasa de 2 galones por minuto. ¿Cuánta sal sale del tanque cada minuto?
4. ¿Cuál es la tasa total de cambio en la cantidad de sal en el tanque?

Subsection 7.5.1 Desarrollando una ecuación diferencial

Actividad de Previsualización 7.5.1 demuestra el tipo de pensamiento que estaremos haciendo en esta sección. En cada uno de los dos ejemplos que consideramos, hay una cantidad, como la cantidad de dinero en la cuenta bancaria o la cantidad de sal en el tanque, que está cambiando debido a varios factores. La ecuación diferencial gobernante establece que la tasa total de cambio es la diferencia entre la tasa de aumento y la tasa de disminución.

Example 7.5.1.

En la región de los Grandes Lagos, los ríos que fluyen hacia los lagos llevan una gran cantidad de contaminación en forma de pequeños trozos de plástico de un promedio de 1 milímetro de diámetro. Para entender cómo está cambiando la cantidad de plástico en el Lago Michigan, construye un modelo de cómo este tipo de contaminación se ha acumulado en el lago.

Solution.

Primero, algunos datos básicos sobre el Lago Michigan.

El volumen del lago es $5\cdot10^{12}$ metros cúbicos.
El agua fluye hacia el lago a una tasa de $5\cdot10^{10}$ metros cúbicos por año. Sale del lago a la misma tasa.
Cada metro cúbico que fluye hacia el lago contiene aproximadamente $3\cdot10^{-8}$ metros cúbicos de contaminación plástica.

Denotemos la cantidad de contaminación en el lago por $P(t)\text{,}$ donde $P$ se mide en metros cúbicos de plástico y $t$ en años. Nuestro objetivo es describir la tasa de cambio de esta función; así que queremos desarrollar una ecuación diferencial que describa $P(t)\text{.}$

Primero, mediremos cómo $P(t)$ aumenta debido a la contaminación que fluye hacia el lago. Sabemos que $5\cdot10^{10}$ metros cúbicos de agua entran al lago cada año y cada metro cúbico de agua contiene $3\cdot10^{-8}$ metros cúbicos de contaminación. Por lo tanto, la contaminación entra al lago a una tasa de

\begin{equation*} \left(5\cdot 10^{10} \frac{m^3 \text{ agua} }{\text{año} }\right) \left(3\cdot10^{-8} \frac{m^3 \text{ plástico} }{m^3 \text{ agua} } \right) = 1.5\cdot 10^3 \text{metros cúbicos de plástico por año}\text{.} \end{equation*}

Segundo, mediremos cómo $P(t)$ disminuye debido a la contaminación que fluye fuera del lago. Si la cantidad total de contaminación es $P$ metros cúbicos y el volumen del Lago Michigan es $5\cdot 10^{12}$ metros cúbicos, entonces la concentración de contaminación plástica en el Lago Michigan es

\begin{equation*} \frac{P}{5\cdot10^{12}} \text{metros cúbicos de plástico por metro cúbico de agua}\text{.} \end{equation*}

Dado que $5\cdot10^{10}$ metros cúbicos de agua fluyen fuera cada año

y asumimos que cada metro cúbico de agua que fluye fuera lleva consigo la contaminación plástica que contiene

, entonces la contaminación plástica sale del lago a una tasa de

\begin{equation*} \left(\frac{P}{5\cdot10^{12}} \frac{m^3 \text{ plástico} }{m^3 \text{ agua} } \right) \left(5\cdot10^{10} \frac{m^3 \text{ agua} }{\text{año} } \right)=\frac{P}{100} \text{metros cúbicos de plástico por año}\text{.} \end{equation*}

La tasa total de cambio de $P$ es así la diferencia entre la tasa a la que la contaminación entra al lago y la tasa a la que la contaminación sale del lago; es decir,

\begin{align*} \frac{dP}{dt} =\mathstrut \amp 1.5\cdot10^{3}-\frac{P}{100}\\ =\mathstrut \amp \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P)\text{.} \end{align*}

Ahora hemos encontrado una ecuación diferencial que describe la tasa a la que está cambiando la cantidad de contaminación. Para entender el comportamiento de $P(t)\text{,}$ aplicamos algunas de las técnicas que hemos desarrollado recientemente.

Debido a que la ecuación diferencial es autónoma, podemos esbozar $dP/dt$ como una función de $P$ y luego construir un campo de pendientes, como se muestra en Figura 7.5.2 y Figura 7.5.3.

Figure 7.5.2. Gráfico de $\frac{dP}{dt}$ vs. $P$ para $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P)\text{.}$

Figure 7.5.3. Gráfico del campo de pendientes para $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P)\text{.}$

Estos gráficos muestran que $P=1.5\cdot10^5$ es un equilibrio estable. Por lo tanto, deberíamos esperar que la cantidad de contaminación en el Lago Michigan se estabilice cerca de $1.5\cdot10^5$ metros cúbicos de contaminación.

A continuación, suponiendo que inicialmente no hay contaminación en el lago, resolveremos el problema de valor inicial

\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P), \ P(0) = 0\text{.} \end{equation*}

Separando variables, encontramos que

\begin{equation*} \frac1{1.5\cdot10^5-P} \frac{dP}{dt} = \frac1{100}\text{.} \end{equation*}

Integrando con respecto a $t\text{,}$ tenemos

\begin{equation*} \int \frac1{1.5\cdot10^5-P} \frac{dP}{dt}~dt = \int \frac1{100}~dt\text{,} \end{equation*}

y así cambiando variables a la izquierda y antidiferenciando en ambos lados, encontramos que

\begin{align*} \int \frac{dP}{1.5\cdot10^5-P} =\mathstrut \amp \int \frac1{100}~dt\\ -\ln|1.5\cdot10^5 - P| =\mathstrut \amp \frac1{100}t + C \end{align*}

Finalmente, multiplicando ambos lados por $-1$ y usando la definición del logaritmo, encontramos que

\begin{equation} 1.5\cdot10^5 - P = C e^{-t/100}\text{.}\tag{7.5.1} \end{equation}

Este es un buen momento para determinar la constante $C\text{.}$ Dado que $P = 0$ cuando $t=0\text{,}$ tenemos

\begin{equation*} 1.5\cdot 10^5 - 0 = Ce^0 = C\text{,} \end{equation*}

así que $C=1.5\cdot10^5\text{.}$

Usando este valor de $C$ en la Ecuación (7.5.1) y resolviendo para $P\text{,}$ llegamos a la solución

\begin{equation*} P(t) = 1.5\cdot10^5(1-e^{-t/100})\text{.} \end{equation*}

Superponiendo el gráfico de $P$ en el campo de pendientes que vimos en Figura 7.5.3, vemos, como se muestra en Figura 7.5.4

Vemos que, como se esperaba, la cantidad de contaminación plástica se estabiliza alrededor de $1.5\cdot10^5$ metros cúbicos.

Figure 7.5.4. La solución $P(t)$ y el campo de pendientes para la ecuación diferencial $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{100}(1.5\cdot10^{5} - P)\text{.}$

Hay muchas lecciones importantes que aprender del Ejemplo 7.5.1. La principal es cómo podemos desarrollar una ecuación diferencial pensando en el “tasa total = tasa de entrada - tasa de salida” modelo. Además, notamos cómo podemos reunir todo nuestro entendimiento disponible (graficando $\frac{dP}{dt}$ vs. $P\text{,}$ creando un campo de pendientes, resolviendo la ecuación diferencial) para ver cómo la ecuación diferencial describe el comportamiento de una cantidad cambiante.

También podemos explorar qué sucede cuando ciertos aspectos del problema cambian. Por ejemplo, supón que estamos en un momento en que la contaminación plástica que entra en el Lago Michigan se ha estabilizado en $1.5\cdot10^5$ metros cúbicos, y que se aprueba una nueva legislación para evitar que este tipo de contaminación entre en el lago. Entonces, ya no hay entrada de contaminación plástica al lago. ¿Cómo cambia ahora la cantidad de contaminación plástica en el Lago Michigan? Por ejemplo, ¿cuánto tiempo tarda en reducirse a la mitad la cantidad de contaminación plástica en el lago?

Reiniciando $t=0$ en este momento, ahora tenemos el problema de valor inicial

\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = -\frac{1}{100}P, \ P(0) = 1.5\cdot10^5\text{.} \end{equation*}

Es un ejercicio sencillo y familiar encontrar que la solución a esta ecuación es $P(t) = 1.5\cdot10^5 e^{-t/100}\text{.}$ El tiempo que tarda en salir la mitad de la contaminación del lago está dado por $T$ donde $P(T) = 0.75\cdot10^5\text{.}$ Así, debemos resolver la ecuación

\begin{equation*} 0.75\cdot10^5 = 1.5\cdot10^5e^{-T/100}\text{,} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac12 = e^{-T/100}\text{.} \end{equation*}

Se sigue que

\begin{equation*} T = -100\,\ln\left(\frac12\right) \approx 69.3 \text{años.} \end{equation*}

En las próximas actividades, exploramos otros entornos naturales en los que las ecuaciones diferenciales modelan cantidades cambiantes.

Activity 7.5.2.

Supón que tienes una cuenta bancaria que crece un 5% cada año. Sea $A(t)$ la cantidad de dinero en la cuenta en el año $t\text{.}$

¿Cuál es la tasa de cambio de $A$ con respecto a $t\text{?}$
Supón que también estás retirando $10,000 por año. Escribe una ecuación diferencial que exprese la tasa total de cambio de $A\text{.}$
Dibuja un campo de pendientes para esta ecuación diferencial, encuentra cualquier solución de equilibrio, e identifícalas como estables o inestables. Escribe una o dos frases que describan la importancia de la estabilidad de la solución de equilibrio.
Supón que inicialmente depositas $100,000 en la cuenta. ¿Cuánto tiempo te lleva agotar la cuenta?
¿Cuál es la cantidad mínima de dinero que necesitarías tener en la cuenta para garantizar que nunca agotes el dinero en la cuenta?
Si tu depósito inicial es de $300,000, ¿cuánto podrías retirar cada año sin agotar la cuenta?

Activity 7.5.3.

Una dosis de morfina es absorbida del torrente sanguíneo de un paciente a una tasa proporcional a la cantidad en el torrente sanguíneo.

Escribe una ecuación diferencial para $M(t)\text{,}$ la cantidad de morfina en el torrente sanguíneo del paciente, usando $k$ como la constante de proporcionalidad.
Suponiendo que la dosis inicial de morfina es $M_0\text{,}$ resuelve el problema de valor inicial para encontrar $M(t)\text{.}$ Usa el hecho de que la vida media para la absorción de morfina es de dos horas para encontrar la constante $k\text{.}$
Supón que a un paciente se le administra morfina por vía intravenosa a una tasa de 3 miligramos por hora. Escribe una ecuación diferencial que combine la administración intravenosa de morfina con la absorción natural del cuerpo.
Encuentra cualquier solución de equilibrio y determina su estabilidad.
Suponiendo que inicialmente no hay morfina en el torrente sanguíneo del paciente, resuelve el problema de valor inicial para determinar $M(t)\text{.}$ ¿Qué pasa con $M(t)$ después de mucho tiempo?
¿A qué tasa debería un doctor reducir la tasa intravenosa para que eventualmente haya 7 miligramos de morfina en el torrente sanguíneo del paciente?

Subsection 7.5.2 Resumen

Las ecuaciones diferenciales surgen en una situación cuando entendemos cómo varios factores causan que una cantidad cambie.
Podemos usar las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora—campos de pendientes, métodos de Euler, y nuestro método para resolver ecuaciones separables—para entender una cantidad descrita por una ecuación diferencial.

Exercises 7.5.3 Exercises

1. Mixing problem.

A tank contains $1060$ L of pure water. A solution that contains $0.09$ kg of sugar per liter enters the tank at the rate $7$ L/min. The solution is mixed and drains from the tank at the same rate.

(a) How much sugar is in the tank at the beginning?

$y(0) =$ (include units)

(b) With $S$ representing the amount of sugar (in kg) at time t (in minutes) write a differential equation which models this situation.

$S' = f(t,S) =$ .

Note: Make sure you use a capital S, (and don’t use S(t), it confuses the computer). Don’t enter units for this function.

$S(t) =$ (function of t)

(d) Find the amount of the sugar after 30 minutes.

$S(30)=$ (include units)

2. Mixing problem.

A tank contains $50$ kg of salt and $2000$ L of water. A solution of a concentration $0.0125$ kg of salt per liter enters a tank at the rate $5$ L/min. The solution is mixed and drains from the tank at the same rate.

(a) What is the concentration of our solution in the tank initially?

concentration = (kg/L)

(b) Find the amount of salt in the tank after 4 hours.

amount = (kg)

concentration = (kg/L)

3. Population growth problem.

A bacteria culture starts with $320$ bacteria and grows at a rate proportional to its size. After $3$ hours there will be $960$ bacteria.

(a) Express the population after $t$ hours as a function of $t\text{.}$

population: (function of t)

(b) What will be the population after $6$ hours?

4. Radioactive decay problem.

An unknown radioactive element decays into non-radioactive substances. In $420$ days the radioactivity of a sample decreases by $30$ percent.

(a) What is the half-life of the element?

half-life: (days)

(b) How long will it take for a sample of $100$ mg to decay to $98$ mg?

time needed: (days)

5. Investment problem.

A young person with no initial capital invests $k$ dollars per year in a retirement account at an annual rate of return $0.06\text{.}$ Assume that investments are made continuously and that the return is compounded continuously.

Determine a formula for the sum $S(t)$ -- (this will involve the parameter $k$):

$S(t) =$

What value of $k$ will provide $2513000$ dollars in $50$ years?

$k =$

6.

Congratulations, you just won the lottery! In one option presented to you, you will be paid one million dollars a year for the next 25 years. You can deposit this money in an account that will earn 5% each year.

Set up a differential equation that describes the rate of change in the amount of money in the account. Two factors cause the amount to grow—first, you are depositing one millon dollars per year and second, you are earning 5% interest.
If there is no amount of money in the account when you open it, how much money will you have in the account after 25 years?
The second option presented to you is to take a lump sum of 10 million dollars, which you will deposit into a similar account. How much money will you have in that account after 25 years?
Do you prefer the first or second option? Explain your thinking.
At what time does the amount of money in the account under the first option overtake the amount of money in the account under the second option?

7.

When a skydiver jumps from a plane, gravity causes her downward velocity to increase at the rate of $g\approx 9.8$ meters per second squared. At the same time, wind resistance causes her velocity to decrease at a rate proportional to the velocity.

Using $k$ to represent the constant of proportionality, write a differential equation that describes the rate of change of the skydiver’s velocity.
Find any equilibrium solutions and decide whether they are stable or unstable. Your result should depend on $k\text{.}$
Suppose that the initial velocity is zero. Find the velocity $v(t)\text{.}$
A typical terminal velocity for a skydiver falling face down is 54 meters per second. What is the value of $k$ for this skydiver?
How long does it take to reach 50% of the terminal velocity?

8.

During the first few years of life, the rate at which a baby gains weight is proportional to the reciprocal of its weight.

Express this fact as a differential equation.
Suppose that a baby weighs 8 pounds at birth and 9 pounds one month later. How much will he weigh at one year?
Do you think this is a realistic model for a long time?

9.

Suppose that you have a water tank that holds 100 gallons of water. A briny solution, which contains 20 grams of salt per gallon, enters the tank at the rate of 3 gallons per minute.

At the same time, the solution is well mixed, and water is pumped out of the tank at the rate of 3 gallons per minute.

Since 3 gallons enters the tank every minute and 3 gallons leaves every minute, what can you conclude about the volume of water in the tank.
How many grams of salt enters the tank every minute?
Suppose that $S(t)$ denotes the number of grams of salt in the tank in minute $t\text{.}$ How many grams are there in each gallon in minute $t\text{?}$
Since water leaves the tank at 3 gallons per minute, how many grams of salt leave the tank each minute?
Write a differential equation that expresses the total rate of change of $S\text{.}$
Identify any equilibrium solutions and determine whether they are stable or unstable.
Suppose that there is initially no salt in the tank. Find the amount of salt $S(t)$ in minute $t\text{.}$
What happens to $S(t)$ after a very long time? Explain how you could have predicted this only knowing how much salt there is in each gallon of the briny solution that enters the tank.

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