¿Cómo podemos encontrar el valor exacto de una integral definida sin tomar el límite de una suma de Riemann?
¿Cuál es la declaración del Teorema Fundamental del Cálculo, y cómo juegan las antiderivadas de funciones un papel clave en la aplicación del teorema?
¿Cuál es el significado de la integral definida de una tasa de cambio en contextos distintos a cuando la tasa de cambio representa la velocidad?
Gran parte de nuestro trabajo en Capítulo 4 ha sido motivado por el problema de velocidad-distancia: si conocemos la función de velocidad instantánea, \(v(t)\text{,}\) para un objeto en movimiento en un intervalo de tiempo dado \([a,b]\text{,}\) ¿podemos determinar la distancia que recorrió en \([a,b]\text{?}\) Si la función de velocidad es no negativa en \([a,b]\text{,}\) el área delimitada por \(y = v(t)\) y el eje \(t\) en \([a,b]\) es igual a la distancia recorrida. Esta área es también el valor de la integral definida \(\int_a^b v(t) \, dt\text{.}\) Si la velocidad es a veces negativa, el área total delimitada por la función de velocidad aún nos dice la distancia recorrida, mientras que el área neta firmada nos dice el cambio en la posición del objeto.
Por ejemplo, para la función de velocidad en Figura 4.4.1, la distancia total \(D\) recorrida por el objeto en movimiento en \([a,b]\) es
\begin{equation*}
D = A_1 + A_2 + A_3\text{,}
\end{equation*}
Las áreas \(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\) y \(A_3\) son cada una dadas por integrales definidas, que pueden ser calculadas por límites de sumas de Riemann (y en circunstancias especiales por fórmulas geométricas).
Figure4.4.1.Una función de velocidad que es a veces negativa.
Dirigimos nuestra atención a un enfoque alternativo.
Actividad Introductoria4.4.1.
Un estudiante con una ventana del dormitorio en el tercer piso a 32 pies del suelo lanza un globo de agua directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 16 pies por segundo. Resulta que la velocidad instantánea del globo de agua está dada por \(v(t) = -32t + 16\text{,}\) donde \(v\) se mide en pies por segundo y \(t\) se mide en segundos.
Sea \(s(t)\) la altura del globo de agua sobre el suelo en el tiempo \(t\text{,}\) y nota que \(s\) es una antiderivada de \(v\text{.}\) Es decir, \(v\) es la derivada de \(s\text{:}\)\(s'(t) = v(t)\text{.}\) Encuentra una fórmula para \(s(t)\) que satisfaga la condición inicial de que el globo se lanza desde 32 pies sobre el suelo. En otras palabras, haz que tu fórmula para \(s\) satisfaga \(s(0) = 32\text{.}\)
¿Cuándo alcanza el globo de agua su altura máxima? ¿Cuándo aterriza?
Calcula \(s(\frac{1}{2}) - s(0)\text{,}\)\(s(2) - s(\frac{1}{2})\text{,}\) y \(s(2) - s(0)\text{.}\) ¿Qué representan estos valores?
¿Cuál es la distancia vertical total recorrida por el globo de agua desde el momento en que se lanza hasta el momento en que aterriza?
Dibuja un gráfico de la función de velocidad \(y = v(t)\) en el intervalo de tiempo \([0,2]\text{.}\) ¿Cuál es el área neta total firmada delimitada por \(y = v(t)\) y el eje \(t\) en \([0,2]\text{?}\) Responde a esta pregunta de dos maneras: primero usando tu trabajo anterior, y luego usando una fórmula geométrica familiar para calcular áreas de ciertas regiones relevantes.
Subsection4.4.1El Teorema Fundamental del Cálculo
Supón que conocemos la función de posición \(s(t)\) y la función de velocidad \(v(t)\) de un objeto que se mueve en línea recta, y por el momento supongamos que \(v(t)\) es positiva en \([a,b]\text{.}\) Entonces, como se muestra en Figura 4.4.2, conocemos dos formas diferentes de calcular la distancia, \(D\text{,}\) que recorre el objeto: una es que \(D = s(b) - s(a)\text{,}\) el cambio en la posición del objeto. La otra es el área bajo la curva de velocidad, que se da por la integral definida, así que \(D = \int_a^b v(t) \, dt\text{.}\)
Figure4.4.2.Encontrando la distancia recorrida cuando conocemos una función de velocidad \(v\text{.}\)
Dado que ambas expresiones nos dicen la distancia recorrida, se deduce que son iguales, así que
Ecuación (4.4.1) se mantiene incluso cuando la velocidad es a veces negativa, porque \(s(b) - s(a)\text{,}\) el cambio en la posición del objeto, también se mide por el área neta firmada en \([a,b]\) que se da por \(\int_a^b v(t) \, dt\text{.}\)
Quizás el hecho más poderoso que Ecuación (4.4.1) revela es que podemos calcular el valor de la integral si podemos encontrar una fórmula para \(s\text{.}\) Recuerda, \(s\) y \(v\) están relacionados por el hecho de que \(v\) es la derivada de \(s\text{,}\) o equivalentemente que \(s\) es una antiderivada de \(v\text{.}\)
Example4.4.3.
Determina la distancia exacta recorrida en \([1,5]\) por un objeto con función de velocidad \(v(t) = 3t^2 + 40\) pies por segundo. La distancia recorrida en el intervalo \([1,5]\) se da por
donde \(s\) es una antiderivada de \(v\text{.}\) Ahora, la derivada de \(t^3\) es \(3t^2\) y la derivada de \(40t\) es \(40\text{,}\) así que se deduce que \(s(t) = t^3 + 40t\) es una antiderivada de \(v\text{.}\) Por lo tanto,
Nota la lección clave de Ejemplo 4.4.3: para encontrar la distancia recorrida, necesitamos calcular el área bajo una curva, que se da por la integral definida. Pero para evaluar la integral, podemos encontrar una antiderivada, \(s\text{,}\) de la función de velocidad, y luego calcular el cambio total en \(s\) en el intervalo. En particular, podemos evaluar la integral sin calcular el límite de una suma de Riemann.
Figure4.4.4.El área exacta de la región encerrada por \(v(t) = 3t^2 + 40\) en \([1,5]\text{.}\)
Será conveniente tener un símbolo abreviado para la antiderivada de una función. Para una función continua \(f\text{,}\) a menudo denotaremos una antiderivada de \(f\) por \(F\text{,}\) de modo que \(F'(x) = f(x)\) para todos los \(x\) relevantes. Usando la notación \(V\) en lugar de \(s\) (de modo que \(V\) es una antiderivada de \(v\)) en la Ecuación (4.4.1), podemos escribir
Ahora, para evaluar la integral definida \(\int_a^b f(x) \, dx\) para una función continua arbitraria \(f\text{,}\) ciertamente podríamos pensar en \(f\) como representando la velocidad de algún objeto en movimiento, y \(x\) como la variable que representa el tiempo. Pero Ecuaciones (4.4.1) y (4.4.2) se mantienen para cualquier función de velocidad continua, incluso cuando \(v\) es a veces negativa. Así que Ecuación (4.4.2) ofrece una ruta abreviada para evaluar cualquier integral definida, siempre que podamos encontrar una antiderivada del integrando. El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) resume estas observaciones.
Teorema Fundamental del Cálculo.
Si \(f\) es una función continua en \([a,b]\text{,}\) y \(F\) es cualquier antiderivada de \(f\text{,}\) entonces \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\text{.}\)
Una notación alternativa común para \(F(b) - F(a)\) es
El TFC abre la puerta a evaluar una amplia gama de integrales si podemos encontrar una antiderivada \(F\) para el integrando \(f\text{.}\) Por ejemplo, dado que \(\frac{d}{dx}[\frac{1}{3}x^3] = x^2\text{,}\) el TFC nos dice que
Pero encontrar una antiderivada puede estar lejos de ser simple; a menudo es difícil o incluso imposible. Mientras que podemos diferenciar casi cualquier función, incluso algunas funciones relativamente simples no tienen una antiderivada elemental. Una parte significativa del cálculo integral (que es el enfoque principal del cálculo universitario del segundo semestre) se dedica al problema de encontrar antiderivadas.
Activity4.4.2.
Usa el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar exactamente cada una de las siguientes integrales. Para cada una, dibuja un gráfico del integrando en el intervalo relevante y escribe una oración que explique el significado del valor de la integral en términos del (área neta firmada) delimitada por la curva.
El problema general de encontrar una antiderivada es difícil. En parte, esto se debe al hecho de que estamos tratando de deshacer el proceso de diferenciar, y deshacer es mucho más difícil que hacer. Por ejemplo, aunque es evidente que una antiderivada de \(f(x) = \sin(x)\) es \(F(x) = -\cos(x)\) y que una antiderivada de \(g(x) = x^2\) es \(G(x) = \frac{1}{3} x^3\text{,}\) las combinaciones de \(f\) y \(g\) pueden ser mucho más complicadas. Considera las funciones
¿Qué implica tratar de encontrar una antiderivada para cada una? Por nuestra experiencia con las reglas de derivadas, sabemos que las derivadas de sumas y múltiplos constantes de funciones básicas son simples de ejecutar, pero las derivadas que involucran productos, cocientes, y compuestos de funciones familiares son más complicadas. Por lo tanto, es razonable pensar que antidiferenciar productos, cocientes, y compuestos de funciones básicas puede ser aún más desafiante. Dejamos nuestro estudio de todas menos las antiderivadas más elementales para más adelante en el texto.
Notamos que siempre que conocemos la derivada de una función, tenemos un par función-derivada, por lo que también conocemos la antiderivada de una función. Por ejemplo, dado que sabemos que
también sabemos que \(F(x) = -\cos(x)\) es una antiderivada de \(f(x) = \sin(x)\text{.}\)\(F\) y \(f\) juntos forman un par función-derivada. Claramente, cada regla básica de derivadas nos lleva a tal par, y así a una antiderivada conocida.
En Actividad 4.4.3, construiremos una lista de las antiderivadas básicas que conocemos en este momento. Esas reglas nos ayudarán a antidiferenciar sumas y múltiplos constantes de funciones básicas. Por ejemplo, dado que \(-\cos(x)\) es una antiderivada de \(\sin(x)\) y \(\frac{1}{3}x^3\) es una antiderivada de \(x^2\text{,}\) se sigue que
es una antiderivada de \(f(x) = 5\sin(x) - 4x^2\text{,}\) por las reglas de suma y múltiplo constante para la diferenciación.
Finalmente, antes de proceder a construir una lista de funciones comunes cuyas antiderivadas conocemos, recordamos que cada función tiene más de una antiderivada. Debido a que la derivada de cualquier constante es cero, podemos agregar una constante de nuestra elección a cualquier antiderivada. Por ejemplo, sabemos que \(G(x) = \frac{1}{3}x^3\) es una antiderivada de \(g(x) = x^2\text{.}\) Pero también podríamos haber elegido \(G(x) = \frac{1}{3}x^3 + 7\text{,}\) ya que en este caso también, \(G'(x) = x^2\text{.}\) Si \(g(x) = x^2\text{,}\) decimos que la antiderivada general de \(g\) es
donde \(C\) representa una constante real arbitraria. Independientemente de la fórmula para \(g\text{,}\) incluir \(+C\) en la fórmula para su antiderivada \(G\) resulta en la antiderivada más general posible.
Nuestro interés actual en las antiderivadas es para que podamos evaluar integrales definidas por el Teorema Fundamental del Cálculo. Para esa tarea, la constante \(C\) es irrelevante, y usualmente la omitimos. Para ver por qué, considera la integral definida
Para el integrando \(g(x) = x^2\text{,}\) supón que encontramos y usamos la antiderivada general \(G(x) = \frac{1}{3} x^3 + C\text{.}\) Entonces, por el TFC,
\begin{align*}
\int_0^1 x^2 \, dx &= \left. \frac{1}{3} x^3 + C \right|_0^1\\
&= \left(\frac{1}{3} (1)^3 + C \right) - \left(\frac{1}{3} (0)^3 + C \right)\\
&= \frac{1}{3} + C - 0 - C\\
&= \frac{1}{3}\text{.}
\end{align*}
Observa que los valores de \(C\) aparecen como opuestos en la evaluación de la integral y por lo tanto no afectan el valor de la integral definida.
En la siguiente actividad, trabajamos para construir una lista de funciones básicas cuyas antiderivadas ya conocemos.
Activity4.4.3.
Usa tu conocimiento de derivadas de funciones básicas para completar la Tabla 4.4.5 de antiderivadas. Para cada entrada, tu tarea es encontrar una función \(F\) cuya derivada sea la función dada \(f\text{.}\) Cuando termines, usa el TFC y los resultados en la tabla para evaluar las tres integrales definidas dadas.
Table4.4.5.Funciones básicas familiares y sus antiderivadas.
Revisemos tres interpretaciones de la integral definida.
Para un objeto en movimiento con velocidad instantánea \(v(t)\text{,}\) el cambio en la posición del objeto en el intervalo de tiempo \([a,b]\) está dado por \(\int_a^b v(t) \, dt\text{,}\) y siempre que \(v(t) \ge 0\) en \([a,b]\text{,}\)\(\int_a^b v(t) \, dt\) nos dice la distancia total recorrida por el objeto en \([a,b]\text{.}\)
Para cualquier función continua \(f\text{,}\) su integral definida \(\int_a^b f(x) \, dx\) representa el área neta firmada delimitada por \(y = f(x)\) y el eje \(x\) en \([a,b]\text{,}\) donde las regiones que se encuentran por debajo del eje \(x\) tienen un signo menos asociado con su área.
El valor de una integral definida está vinculado al valor promedio de una función: para una función continua \(f\) en \([a,b]\text{,}\) su valor promedio \(f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\) está dado por
El Teorema Fundamental del Cálculo ahora nos permite evaluar exactamente (sin tomar un límite de sumas de Riemann) cualquier integral definida para la cual podamos encontrar una antiderivada del integrando.
Un pequeño cambio de perspectiva nos permite obtener aún más información sobre el significado de la integral definida. Recuerda Ecuación (4.4.2), donde escribimos el Teorema Fundamental del Cálculo para una función de velocidad \(v\) con antiderivada \(V\) como
Si en lugar de eso reemplazamos \(V\) con \(s\) (que representa posición) y reemplazamos \(v\) con \(s'\) (ya que la velocidad es la derivada de la posición), Ecuación (4.4.2) entonces se lee como
En palabras, esta versión del TFC nos dice que el cambio total en la función de posición de un objeto en un intervalo particular está dado por la integral definida de la derivada de la función de posición sobre ese intervalo.
Por supuesto, este resultado no se limita solo al contexto de posición y velocidad. Escribiendo el resultado en términos de una función más general \(f\text{,}\) tenemos el Teorema del Cambio Total.
Teorema del Cambio Total.
Si \(f\) es una función continuamente diferenciable en \([a,b]\) con derivada \(f'\text{,}\) entonces \(f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) \, dx\text{.}\) Es decir, la integral definida de la tasa de cambio de una función en \([a,b]\) es el cambio total de la función misma en \([a,b]\text{.}\)
El Teorema del Cambio Total nos dice más sobre la relación entre el gráfico de una función y el de su derivada. Recuerda que las alturas en el gráfico de la función derivada son iguales a las pendientes en el gráfico de la función misma. Si en lugar de eso conocemos \(f'\) y estamos buscando información sobre \(f\text{,}\) podemos decir lo siguiente:
las diferencias en alturas en \(f\) corresponden a áreas netas firmadas delimitadas por \(f'\text{.}\)
Figure4.4.6.Los gráficos de \(f'(x) = 4 - 2x\) (a la izquierda) y una antiderivada \(f(x) = 4x - x^2\) a la derecha. Las diferencias en alturas en \(f\) corresponden a áreas netas firmadas delimitadas por \(f'\text{.}\)
Para ver por qué es así, considera la diferencia \(f(1) - f(0)\text{.}\) Este valor es 3, porque \(f(1) = 3\) y \(f(0) = 0\text{,}\) pero también porque el área neta firmada delimitada por \(y = f'(x)\) en \([0,1]\) es 3. Es decir,
Además de esta observación sobre el área, el Teorema del Cambio Total nos permite responder preguntas sobre una función cuya tasa de cambio conocemos.
Example4.4.7.
Supón que los contaminantes están filtrándose de un tanque de almacenamiento subterráneo a una tasa de \(r(t)\) galones/día, donde \(t\) se mide en días. Se conjetura que \(r(t)\) está dado por la fórmula \(r(t) = 0.0069t^3 -0.125t^2+11.079\) durante un cierto período de 12 días. El gráfico de \(y=r(t)\) se muestra en Figura 4.4.8. ¿Cuál es el significado de \(\int_4^{10} r(t) \, dt\) y cuál es su valor? ¿Cuál es la tasa promedio a la que los contaminantes están saliendo del tanque en el intervalo de tiempo \(4 \le t \le 10\text{?}\)
Figure4.4.8.La tasa \(r(t)\) de contaminación que se filtra de un tanque, medida en galones por día.
Solution.
Dado que \(r(t) \ge 0\text{,}\) el valor de \(\int_4^{10} r(t) \, dt\) es el área bajo la curva en el intervalo \([4,10]\text{.}\) Una suma de Riemann para esta área tendrá rectángulos con alturas medidas en galones por día y anchuras medidas en días, por lo que el área de cada rectángulo tendrá unidades de
Así, la integral definida nos dice el número total de galones de contaminante que se filtran del tanque desde el día 4 hasta el día 10. El Teorema del Cambio Total nos dice lo mismo: si dejamos que \(R(t)\) denote el número total de galones de contaminante que se han filtrado del tanque hasta el día \(t\text{,}\) entonces \(R'(t) = r(t)\text{,}\) y
el número de galones que se han filtrado desde el día 4 hasta el día 10.
Para calcular el valor exacto de la integral, usamos el Teorema Fundamental del Cálculo. Antidiferenciando \(r(t) = 0.0069t^3 -0.125t^2+11.079\text{,}\) encontramos que
Así, aproximadamente 44.282 galones de contaminante se filtraron durante el período de seis días.
Para encontrar la tasa promedio a la que el contaminante se filtró del tanque en \(4 \le t \le 10\text{,}\) calculamos el valor promedio de \(r\) en \([4,10]\text{.}\) Así,
Durante un entrenamiento de 40 minutos, una persona que usa una máquina de ejercicios quema calorías a una tasa de \(c\) calorías por minuto, donde la función \(y = c(t)\) se muestra en Figure 4.4.9. En el intervalo \(0 \le t \le 10\text{,}\) la fórmula para \(c\) es \(c(t) = -0.05t^2 + t + 10\text{,}\) mientras que en \(30 \le t \le 40\text{,}\) su fórmula es \(c(t) = -0.05t^2 + 3t - 30\text{.}\)
Figure4.4.9.La tasa \(c(t)\) a la que una persona que hace ejercicio quema calorías, medida en calorías por minuto.
¿Cuál es el número exacto de calorías que la persona quema durante los primeros 10 minutos de su entrenamiento?
Sea \(C(t)\) una antiderivada de \(c(t)\text{.}\) ¿Cuál es el significado de \(C(40) - C(0)\) en el contexto de la persona que hace ejercicio? Incluye unidades en tu respuesta.
Determina la tasa promedio exacta a la que la persona quemó calorías durante el entrenamiento de 40 minutos.
¿En qué momento(s), si es que hay alguno, la tasa instantánea a la que la persona está quemando calorías es igual a la tasa promedio a la que quema calorías, en el intervalo de tiempo \(0 \le t \le 40\text{?}\)
Subsection4.4.4Resumen
Podemos encontrar el valor exacto de una integral definida sin tomar el límite de una suma de Riemann o usar una fórmula de área conocida encontrando la antiderivada del integrando, y por lo tanto aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo.
El Teorema Fundamental del Cálculo dice que si \(f\) es una función continua en \([a,b]\) y \(F\) es una antiderivada de \(f\text{,}\) entonces
Por lo tanto, si podemos encontrar una antiderivada para el integrando \(f\text{,}\) evaluar la integral definida se reduce a simplemente calcular el cambio en \(F\) en \([a,b]\text{.}\)
Una perspectiva ligeramente diferente sobre el TFC nos permite reformularlo como el Teorema del Cambio Total, que dice que
para cualquier función continuamente diferenciable \(f\text{.}\) Esto significa que la integral definida de la tasa de cambio instantánea de una función \(f\) en un intervalo \([a,b]\) es igual al cambio total en la función \(f\) en \([a,b]\text{.}\)
Exercises4.4.5Exercises
1.Finding exact displacement.
The velocity function is \(v(t) = - t^2 + 4 t - 3\) for a particle moving along a line. Find the displacement (net distance covered) of the particle during the time interval \([-1,5]\text{.}\)
displacement =
2.Evaluating the definite integral of a rational function.
The value of \(\displaystyle \int_{2}^{4} \frac{1}{ x^2 } dx\) is
3.Evaluating the definite integral of a linear function.
The instantaneous velocity (in meters per minute) of a moving object is given by the function \(v\) as pictured in Figure 4.4.10. Assume that on the interval \(0 \le t \le 4\text{,}\)\(v(t)\) is given by \(v(t) = -\frac{1}{4}t^3 + \frac{3}{2}t^2 + 1\text{,}\) and that on every other interval \(v\) is piecewise linear, as shown.
Figure4.4.10.The velocity function of a moving body.
Determine the exact distance traveled by the object on the time interval \(0 \le t \le 4\text{.}\)
What is the object’s average velocity on \([12,24]\text{?}\)
At what time is the object’s acceleration greatest?
Suppose that the velocity of the object is increased by a constant value \(c\) for all values of \(t\text{.}\) What value of \(c\) will make the object’s total distance traveled on \([12,24]\) be 210 meters?
8.
A function \(f\) is given piecewise by the formula
Determine the exact value of the net signed area enclosed by \(f\) and the \(x\)-axis on the interval \([2,5]\text{.}\)
Compute the exact average value of \(f\) on \([0,5]\text{.}\)
Find a formula for a function \(g\) on \(5 \le x \le 7\) so that if we extend the above definition of \(f\) so that \(f(x) = g(x)\) if \(5 \le x \le 7\text{,}\) it follows that \(\int_0^7 f(x) \, dx = 0\text{.}\)
9.
When an aircraft attempts to climb as rapidly as possible, its climb rate (in feet per minute) decreases as altitude increases, because the air is less dense at higher altitudes. Given below is a table showing performance data for a certain single engine aircraft, giving its climb rate at various altitudes, where \(c(h)\) denotes the climb rate of the airplane at an altitude \(h\text{.}\)
\(h\) (feet)
\(0\)
\(1000\)
\(2000\)
\(3000\)
\(4000\)
\(5000\)
\(6000\)
\(7000\)
\(8000\)
\(9000\)
\(10{,}000\)
\(c\) (ft/min)
\(925\)
\(875\)
\(830\)
\(780\)
\(730\)
\(685\)
\(635\)
\(585\)
\(535\)
\(490\)
\(440\)
Let a new function called \(m(h)\) measure the number of minutes required for a plane at altitude \(h\) to climb the next foot of altitude.
Determine a similar table of values for \(m(h)\) and explain how it is related to the table above. Be sure to explain the units.
Give a careful interpretation of a function whose derivative is \(m(h)\text{.}\) Describe what the input is and what the output is. Also, explain in plain English what the function tells us.
Determine a definite integral whose value tells us exactly the number of minutes required for the airplane to ascend to 10,000 feet of altitude. Clearly explain why the value of this integral has the required meaning.
Use the Riemann sum \(M_5\) to estimate the value of the integral you found in (c). Include units on your result.
10.
In Chapter 1, we showed that for an object moving along a straight line with position function \(s(t)\text{,}\) the object’s “average velocity on the interval \([a,b]\)” is given by
More recently in Chapter 4, we found that for an object moving along a straight line with velocity function \(v(t)\text{,}\) the object’s “average value of its velocity function on \([a,b]\)” is
Are the “average velocity on the interval \([a,b]\)” and the “average value of the velocity function on \([a,b]\)” the same thing? Why or why not? Explain.
11.
In Table 4.4.5 in Activity 4.4.3, we noted that for \(x \gt 0\text{,}\) the antiderivative of \(f(x) = \frac{1}{x}\) is \(F(x) = \ln(x)\text{.}\) Here we observe that a key difference between \(f(x)\) and \(F(x)\) is that \(f\) is defined for all \(x \ne 0\text{,}\) while \(F\) is only defined for \(x \gt 0\text{,}\) and see how we can actually define the antiderivative of \(f\) for all values of \(x\text{.}\)
Suppose that \(x \lt 0\text{,}\) and let \(G(x) = \ln(-x)\text{.}\) Compute \(G'(x)\text{.}\)
Explain why \(G\) is an antiderivative of \(f\) for \(x \lt 0\text{.}\)
