Preguntas Motivadoras
- ¿Qué es una ecuación diferencial y qué tipo de información nos puede dar?
- ¿Cómo surgen las ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea?
- ¿Qué queremos decir con una solución a una ecuación diferencial?
Section 7.1 Una Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
En capítulos anteriores, hemos visto que la derivada de una función nos dice la tasa a la que la función está cambiando. El Teorema Fundamental del Cálculo nos ayudó a determinar el cambio total de una función en un intervalo a partir de la tasa de cambio de la función. Por ejemplo, la velocidad de un objeto nos dice la tasa de cambio de la posición de ese objeto. Al integrar la velocidad en un intervalo de tiempo, podemos determinar cuánto cambia la posición durante ese intervalo de tiempo. Si sabemos dónde está el objeto al comienzo de ese intervalo, tenemos suficiente información para predecir dónde estará al final del intervalo.
En este capítulo, introducimos el concepto de ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación que proporciona una descripción de la derivada de una función, lo que significa que nos dice la tasa de cambio de la función. Usando esta información, nos gustaría aprender tanto como sea posible sobre la función misma. Idealmente, nos gustaría tener una descripción algebraica de la función. Como veremos, esto puede ser demasiado pedir en algunas situaciones, pero aún así podremos hacer aproximaciones precisas.
Actividad Introductoria 7.1.1.
La posición de un objeto en movimiento está dada por la función \(s(t)\text{,}\) donde \(s\) se mide en pies y \(t\) en segundos. Determinamos que la velocidad es \(v(t) = 4t + 1\) pies por segundo.
- ¿Cuánto cambia la posición durante el intervalo de tiempo \([0,4]\text{?}\)
- ¿Esto te da suficiente información para determinar \(s(4)\text{,}\) la posición en el tiempo \(t=4\text{?}\) Si es así, ¿cuál es \(s(4)\text{?}\) Si no, ¿qué información adicional necesitarías saber para determinar \(s(4)\text{?}\)
- Supón que te dicen que la posición inicial del objeto \(s(0) = 7\text{.}\) Determina \(s(2)\text{,}\) la posición del objeto 2 segundos después.
- Si en cambio te dicen que la posición inicial del objeto es \(s(0) = 3\text{,}\) ¿cuál es \(s(2)\text{?}\)
- Si solo sabemos que la velocidad es \(v(t)=4t+1\text{,}\) ¿es posible que la posición del objeto en todo momento sea \(s(t) = 2t^2 + t - 4\text{?}\) Explica cómo lo sabes.
- ¿Hay otras posibilidades para \(s(t)\text{?}\) Si es así, ¿cuáles son?
- Si, además de saber que la función de velocidad es \(v(t) = 4t+1\text{,}\) sabemos la posición inicial \(s(0)\text{,}\) ¿cuántas posibilidades hay para \(s(t)\text{?}\)
Subsection 7.1.1 ¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación diferencial es una ecuación que describe la derivada, o derivadas, de una función que nos es desconocida. Por ejemplo, la ecuación
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx} = x\sin x
\end{equation*}
describe la derivada de una función \(y(x)\) que nos es desconocida.
Como muchos ejemplos importantes de ecuaciones diferenciales involucran cantidades que cambian en el tiempo, la variable independiente en nuestra discusión será frecuentemente el tiempo \(t\text{.}\) En la actividad de vista previa, consideramos la ecuación diferencial
\begin{equation*}
\frac{ds}{dt} = 4t + 1\text{.}
\end{equation*}
Sabiendo la velocidad y la posición inicial de un objeto en movimiento, pudimos encontrar su posición en cualquier momento posterior.
Debido a que las ecuaciones diferenciales describen la derivada de una función, nos dan información sobre cómo cambia esa función. Nuestro objetivo será usar esta información para predecir el valor de la función en el futuro; de esta manera, las ecuaciones diferenciales nos proporcionan algo así como una bola de cristal.
Las ecuaciones diferenciales surgen frecuentemente en nuestro mundo cotidiano. Por ejemplo, puedes escuchar a un banco anunciando:
Tu dinero crecerá a una tasa de interés anual del 3% con nosotros.
Esta declaración inocua es realmente una ecuación diferencial. Vamos a traducir: \(A(t)\) será la cantidad de dinero que tienes en tu cuenta en el tiempo \(t\text{.}\) La tasa a la que tu dinero crece es la derivada \(dA/dt\text{,}\) y se nos dice que esta tasa es \(0.03 A\text{.}\) Esto lleva a la ecuación diferencial
\begin{equation*}
\frac{dA}{dt} = 0.03 A\text{.}
\end{equation*}
Esta ecuación diferencial tiene una sensación ligeramente diferente a la ecuación anterior \(\frac{ds}{dt} = 4t+1\text{.}\) En el ejemplo anterior, la tasa de cambio depende solo de la variable independiente \(t\text{,}\) y podemos encontrar \(s(t)\) integrando la velocidad \(4t+1\text{.}\) En el ejemplo del banco, sin embargo, la tasa de cambio depende de la variable dependiente \(A\text{,}\) por lo que necesitaremos algunas técnicas nuevas para encontrar \(A(t)\text{.}\)
Activity 7.1.2.
Expresa las siguientes afirmaciones como ecuaciones diferenciales. En cada caso, necesitarás introducir notación para describir las cantidades importantes en la afirmación, así que asegúrate de declarar claramente lo que significa tu notación.
- La población de un pueblo crece continuamente a una tasa anual de 1.25%.
- Una muestra radiactiva pierde masa a una tasa de 5.6% de su masa cada día.
- Tienes una cuenta bancaria que gana continuamente un 4% de interés cada año. Al mismo tiempo, retiras dinero continuamente de la cuenta a una tasa de $1000 por año.
- Una taza de chocolate caliente está en una habitación a 70\(^\circ\text{.}\) La temperatura del chocolate caliente se enfría continuamente en un 10% de la diferencia entre la temperatura del chocolate caliente y la temperatura de la habitación cada minuto.
- Una lata de refresco frío está en una habitación a 70\(^\circ\text{.}\) La temperatura del refresco se calienta continuamente a una tasa del 10% de la diferencia entre la temperatura del refresco y la temperatura de la habitación cada minuto.
Subsection 7.1.2 Ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea
Las ecuaciones diferenciales dan una forma natural de describir los fenómenos que vemos en el mundo real. Por ejemplo, los principios físicos se expresan frecuentemente como una descripción de cómo cambia una cantidad. Un buen ejemplo es la Segunda Ley de Newton, que dice:
El producto de la masa de un objeto y su aceleración es igual a la fuerza aplicada a él.
Por ejemplo, cuando la gravedad actúa sobre un objeto cerca de la superficie de la tierra, ejerce una fuerza igual a \(mg\text{,}\) la masa del objeto por el constante gravitacional \(g\text{.}\) Por lo tanto, tenemos
\begin{align*}
ma =\mathstrut \amp mg, \ \text{or}\\
\frac{dv}{dt} =\mathstrut \amp g\text{,}
\end{align*}
donde \(v\) es la velocidad del objeto, y \(g = 9.8\) metros por segundo al cuadrado. Nota que este principio físico no nos dice cuál es la velocidad del objeto, sino cómo cambia la velocidad del objeto.
Activity 7.1.3.
A continuación se muestran dos gráficos que representan la velocidad de objetos en caída. A la izquierda está la velocidad de un paracaidista, mientras que a la derecha está la velocidad de un meteorito entrando en la atmósfera terrestre.
-
Comienza con la velocidad del paracaidista y usa el gráfico dado para medir la tasa de cambio \(dv/dt\) cuando la velocidad es \(v=0.5, 1.0, 1.5, 2.0\text{,}\) y \(2.5\text{.}\) Traza tus valores en el gráfico de abajo. Querrás pensar cuidadosamente sobre esto: estás trazando la derivada \(dv/dt\) como una función de la velocidad.
- Ahora haz lo mismo con la velocidad del meteorito: usa el gráfico dado para medir la tasa de cambio \(dv/dt\) cuando la velocidad es \(v=3.5,4.0,4.5\text{,}\) y \(5.0\text{.}\) Traza tus valores en el gráfico de arriba.
- Deberías encontrar que todos tus puntos están en una línea. Escribe la ecuación de esta línea teniendo cuidado de usar la notación adecuada para las cantidades en los ejes horizontal y vertical.
- La relación que acabas de encontrar es una ecuación diferencial. Escribe una oración completa que explique su significado.
- Al observar la ecuación diferencial, determina los valores de la velocidad para los cuales la velocidad aumenta.
- Al observar la ecuación diferencial, determina los valores de la velocidad para los cuales la velocidad disminuye.
- Al observar la ecuación diferencial, determina los valores de la velocidad para los cuales la velocidad permanece constante.
El objetivo de esta actividad es demostrar cómo las ecuaciones diferenciales modelan procesos en el mundo real. En este ejemplo, dos factores influyen en las velocidades: la gravedad y la resistencia del viento. La ecuación diferencial describe cómo estos factores influyen en la tasa de cambio de las velocidades.
Subsection 7.1.3 Resolviendo una ecuación diferencial
Una ecuación diferencial describe la derivada, o derivadas, de una función que nos es desconocida. Por una solución a una ecuación diferencial, nos referimos simplemente a una función que satisface esta descripción.
Por ejemplo, la primera ecuación diferencial que vimos es
\begin{equation*}
\frac{ds}{dt} = 4t+1\text{,}
\end{equation*}
que describe una función desconocida \(s(t)\text{.}\) Podemos comprobar que \(s(t) =
2t^2+t\) es una solución porque satisface esta descripción. Nota que \(s(t) = 2t^2+t+4\) también es una solución.
Si tenemos un candidato para una solución, es sencillo comprobar si es una solución o no. Antes de demostrarlo, sin embargo, consideremos el mismo problema en un contexto más simple. Supón que nos dan la ecuación \(2x^2 - 2x = 2x+6\) y nos preguntan si \(x=3\) es una solución. Para responder a esta pregunta, podríamos reescribir la variable \(x\) en la ecuación con el símbolo \(\Box\text{:}\)
\begin{equation*}
2\Box^2 - 2\Box = 2\Box + 6\text{.}
\end{equation*}
Para determinar si \(x=3\) es una solución, podemos investigar el valor de cada lado de la ecuación por separado cuando el valor \(3\) se coloca en \(\Box\) y ver si efectivamente los dos valores resultantes son iguales. Haciendo esto, observamos que
\begin{equation*}
2\Box^2 - 2\Box = 2\cdot3^2 - 2\cdot3 = 12\text{,}
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
2\Box + 6 = 2\cdot3 + 6 = 12\text{.}
\end{equation*}
Por lo tanto, \(x=3\) es efectivamente una solución.
Haremos lo mismo con las ecuaciones diferenciales. Considera la ecuación diferencial
\begin{align*}
\frac{dv}{dt} =\mathstrut \amp 1.5 - 0.5v, \ \text{or}\\
\frac{d\Box}{dt} =\mathstrut \amp 1.5 - 0.5\Box\text{.}
\end{align*}
Preguntemos si \(v(t) = 3 - 2e^{-0.5t}\) es una solución. Usando esta fórmula para \(v\text{,}\) observa primero que
1
En este momento, no te preocupes por por qué elegimos esta función; pronto aprenderemos técnicas para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales.
\begin{equation*}
\frac{dv}{dt} = \frac{d\Box}{dt} = \frac{d}{dt}[3 - 2e^{-0.5t}] = -2e^{-0.5t} \cdot (-0.5) = e^{-0.5t}
\end{equation*}
y
\begin{equation*}
1.5 - 0.5v = 1.5 - 0.5\Box= 1.5 - 0.5(3 - 2e^{-0.5t}) = 1.5 - 1.5 + e^{-0.5t} = e^{-0.5t}\text{.}
\end{equation*}
Dado que \(\frac{dv}{dt}\) y \(1.5 - 0.5v\) coinciden para todos los valores de \(t\) cuando \(v = 3-2e^{-0.5t}\text{,}\) hemos encontrado efectivamente una solución a la ecuación diferencial.
Activity 7.1.4.
Considera la ecuación diferencial
\begin{equation*}
\frac{dv}{dt} = 1.5 - 0.5v\text{.}
\end{equation*}
¿Cuál de las siguientes funciones son soluciones de esta ecuación diferencial?
- \(v(t) = 1.5t - 0.25t^2\text{.}\)
- \(v(t) = 3 + 2e^{-0.5t}\text{.}\)
- \(v(t) = 3\text{.}\)
- \(v(t) = 3 + Ce^{-0.5t}\) donde \(C\) es cualquier constante.
Esta actividad nos muestra algo interesante. Nota que la ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, que están parametrizadas por la constante \(C\) en \(v(t) = 3+Ce^{-0.5t}\text{.}\) En Figura 7.1.3, vemos los gráficos de estas soluciones para algunos valores de \(C\text{,}\) como se indica.
Nota que el valor de \(C\) está conectado al valor inicial de la velocidad \(v(0)\text{,}\) ya que \(v(0) = 3+C\text{.}\) En otras palabras, mientras que la ecuación diferencial describe cómo cambia la velocidad como una función de la propia velocidad, esto no es suficiente información para determinar la velocidad de manera única: también necesitamos conocer la velocidad inicial. Por esta razón, las ecuaciones diferenciales típicamente tendrán infinitas soluciones, una correspondiente a cada valor inicial. Hemos visto este fenómeno antes: dada la velocidad de un objeto en movimiento \(v(t)\text{,}\) no podemos determinar de manera única la función de posición del objeto a menos que también conozcamos su posición inicial.
Si nos dan una ecuación diferencial y un valor inicial para la función desconocida, decimos que tenemos un problema de valor inicial. Por ejemplo,
\begin{equation*}
\frac{dv}{dt} = 1.5-0.5v, \ v(0) = 0.5
\end{equation*}
es un problema de valor inicial. En este problema, conocemos el valor de \(v\) en un momento y sabemos cómo \(v\) está cambiando. En consecuencia, debería haber exactamente una función \(v\) que satisfaga el problema de valor inicial.
Esto demuestra la siguiente propiedad general importante de los problemas de valor inicial.
Los problemas de valor inicial que son “bien comportados” tienen exactamente una solución, que existe en algún intervalo alrededor del punto inicial.
No nos preocuparemos por lo que significa “bien comportados” —es una condición técnica que será satisfecha por todas las ecuaciones diferenciales que consideremos.
Para cerrar esta sección, notamos que las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según ciertas características que pueden poseer. Puedes ver muchos tipos diferentes de ecuaciones diferenciales en un curso posterior de ecuaciones diferenciales. Por ahora, nos gustaría introducir algunos términos que se usan para describir ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial de primer orden es aquella en la que solo aparece la primera derivada de la función. Por esta razón,
\begin{equation*}
\frac{dv}{dt} = 1.5-0.5v
\end{equation*}
es una ecuación de primer orden mientras que
\begin{equation*}
\frac{d^2 y}{dt^2} = -10y
\end{equation*}
es una ecuación de segundo orden.
Una ecuación diferencial es autónoma si la variable independiente no aparece en la descripción de la derivada. Por ejemplo,
\begin{equation*}
\frac{dv}{dt} = 1.5-0.5v
\end{equation*}
es autónoma porque la descripción de la derivada \(dv/dt\) no depende del tiempo. La ecuación
\begin{equation*}
\frac{dy}{dt} = 1.5t - 0.5y\text{,}
\end{equation*}
sin embargo, no es autónoma.
Subsection 7.1.4 Resumen
- Una ecuación diferencial es simplemente una ecuación que describe la(s) derivada(s) de una función desconocida.
- Los principios físicos, así como algunas situaciones cotidianas, a menudo describen cómo cambia una cantidad, lo que lleva a ecuaciones diferenciales.
- Una solución a una ecuación diferencial es una función cuyas derivadas satisfacen la descripción de la ecuación. Las ecuaciones diferenciales típicamente tienen infinitas soluciones, parametrizadas por los valores iniciales.
Exercises 7.1.5 Exercises
1. Matching solutions with equations.
Match the solutions to the differential equations. If there is more than one solution to an equation, select the answer that includes all solutions.
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=4 y\)
- \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=16 y\)
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-4 y\)
- \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=-16 y\)
- \(y = \sin(4 x)\) or \(y = 4\sin(x)\)
- \(\displaystyle y = \sin(4 x)\)
- \(y = e^{-4 x}\) or \(y = e^{4 x}\)
- \(\displaystyle y = e^{4 x}\)
- \(\displaystyle y = e^{-4 x}\)
- \(\displaystyle y = 4\sin(x)\)
2. Finding constant to complete solution.
Find a positive value of \(k\) for which \(y = \sin(k t)\) satisfies
\begin{equation*}
\frac{d^2y}{dt^2} + 9 y = 0.
\end{equation*}
\(k =\)
3. Choosing solution of \(dy/dt=k(1-Ay)\).
Let \(A\) and \(k\) be positive constants.
Which of the given functions is a solution to \(\frac{dy}{dt}=-k(y+A)\text{?}\)
- \(\displaystyle y = -A + C e^{-kt}\)
- \(\displaystyle y = A + C e^{-kt}\)
- \(\displaystyle y = -A + C e^{kt}\)
- \(\displaystyle y = A^{-1} + C e^{Akt}\)
- \(\displaystyle y = A + C e^{kt}\)
- \(\displaystyle y = A^{-1} + C e^{-Akt}\)
4.
Suppose that \(T(t)\) represents the temperature of a cup of coffee set out in a room, where \(T\) is expressed in degrees Fahrenheit and \(t\) in minutes. A physical principle known as Newton’s Law of Cooling tells us that
\begin{equation*}
\frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5\text{.}
\end{equation*}
- Supposes that \(T(0)=105\text{.}\) What does the differential equation give us for the value of \(\frac{dT}{dt}\vert_{T=105}\text{?}\) Explain in a complete sentence the meaning of these two facts.
- Is \(T\) increasing or decreasing at \(t=0\text{?}\)
- What is the approximate temperature at \(t=1\text{?}\)
-
On the graph below, make a plot of \(dT/dt\) as a function of \(T\text{.}\)
- For which values of \(T\) does \(T\) increase? For which values of \(T\) does \(T\) decrease?
- What do you think is the temperature of the room? Explain your thinking.
- Verify that \(T(t) = 75 + 30e^{-t/15}\) is the solution to the differential equation with initial value \(T(0) = 105\text{.}\) What happens to this solution after a long time?
5.
Suppose that the population of a particular species is described by the function \(P(t)\text{,}\) where \(P\) is expressed in millions. Suppose further that the population’s rate of change is governed by the differential equation
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = f(P)
\end{equation*}
where \(f(P)\) is the function graphed below.
- For which values of the population \(P\) does the population increase?
- For which values of the population \(P\) does the population decrease?
- If \(P(0) = 3\text{,}\) how will the population change in time?
- If the initial population satisfies \(0\lt P(0)\lt 1\text{,}\) what will happen to the population after a very long time?
- If the initial population satisfies \(1\lt P(0)\lt 3\text{,}\) what will happen to the population after a very long time?
- If the initial population satisfies \(3\lt P(0)\text{,}\) what will happen to the population after a very long time?
- This model for a population’s growth is sometimes called “growth with a threshold.” Explain why this is an appropriate name.
6.
In this problem, we test further what it means for a function to be a solution to a given differential equation.
- Consider the differential equation\begin{equation*} \frac{dy}{dt} = y - t\text{.} \end{equation*}Determine whether the following functions are solutions to the given differential equation.
- \(\displaystyle y(t) = t + 1 + 2e^t\)
- \(\displaystyle y(t) = t + 1\)
- \(\displaystyle y(t) = t + 2\)
- When you weigh bananas in a scale at the grocery store, the height \(h\) of the bananas is described by the differential equation\begin{equation*} \frac{d^2h}{dt^2} = -kh \end{equation*}where \(k\) is the spring constant, a constant that depends on the properties of the spring in the scale. After you put the bananas in the scale, you (cleverly) observe that the height of the bananas is given by \(h(t) = 4\sin(3t)\text{.}\) What is the value of the spring constant?
