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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Appendix B Answers to Activities

This appendix contains answers to all activities in the text. Answers for preview activities are not included.

1 Entendiendo la Derivada
1.1 ¿Cómo medimos la velocidad?
1.1.1 Posición y velocidad promedio

Activity 1.1.2.

Answer.
  1. \(AV_{[0.4,0.8]} = 12.8\) ft/seg; \(AV_{[0.7,0.8]} = 8\) ft/seg; las otras velocidades medias son, respectivamente, 6.56, 6.416, 0, 4.8, 6.24, 6.384, todas en ft/seg.
  2. \(m = 12.8\) es la velocidad media de la pelota entre \(t = 0.4\) y \(t = 0.8\text{.}\)
  3. Como una línea recta con pendiente de aproximadamente 6.4.
  4. Aproximadamente 6.4 pies por segundo.

1.1.2 Velocidad Instantánea

Activity 1.1.3.

Answer.
  1. \(AV_{[1.5,2]} = -24\) ft/seg, lo cual es negativo.
  2. La velocidad instantánea en \(t = 1.5\) es aproximadamente \(-16\) ft/seg; en \(t = 2\text{,}\) la velocidad instantánea es aproximadamente \(-32\) ft/seg, y \(-16>-32\text{.}\)
  3. Cuando la pelota está subiendo, su velocidad instantánea es positiva, mientras que cuando la pelota está bajando, su velocidad instantánea es negativa.
  4. Cero.

Activity 1.1.4.

Answer.
\(AV_{[2, 2+h]} = -32 - 16h\)

1.2 La noción de límite
1.2.1 La Noción de Límite

Activity 1.2.2.

Answer.
  1. \(2\text{.}\)
  2. \(12\text{.}\)
  3. \(\frac{1}{2}\text{.}\)

1.2.2 Velocidad Instantánea

Activity 1.2.3.

Answer.
  1. \(6 + h\text{.}\)
  2. \(6.2\) metros/min.
  3. \(6\) metros por minuto.

Activity 1.2.4.

Answer.
  1. \(AV_{[0.5,1]} = \frac{1-1}{1-0.5} = 0\text{,}\) \(AV_{[1.5,2.5]} = \frac{3-1}{2.5-1.5} = 2\text{,}\) y \(AV_{[0,5]} = \frac{5-0}{5-0} = 1\text{.}\)
  2. Toma intervalos de tiempo cada vez más cortos y dibuja las líneas cuyas pendientes representan la velocidad promedio. Si las pendientes de esas líneas se acercan a un solo número, ese número representa la velocidad instantánea.
  3. La velocidad instantánea en \(t = 2\) es mayor que la velocidad promedio en \([1.5,2.5]\text{.}\)

1.3 La derivada de una función en un punto
1.3.1 La Derivada de una Función en un Punto

Activity 1.3.2.

Answer.
  1. \(f\) es lineal.
  2. La tasa de cambio promedio en \([1,4]\text{,}\) \([3,7]\text{,}\) y \([5,5+h]\) es \(-2\text{.}\)
  3. \(f'(1)=-2\text{.}\)
  4. \(f'(2)=-2\text{,}\) \(f'(\pi)=-2\text{,}\) y \(f'(-\sqrt{2})=-2\text{,}\) ya que la pendiente de una función lineal es la misma en cada punto.

Activity 1.3.3.

Answer.
  1. El vértice es \((\frac{1}{2},36)\text{.}\)
  2. \(\frac{s(2)-s(1)}{2-1} = -32\) pies por segundo.
  3. \(s'(1) = -16\text{.}\)
  5. \(s'(a)\) es positivo siempre que \(0 \le a \lt \frac{1}{2}\text{;}\) \(s'(a)\) es negativo siempre que \(\frac{1}{2} \lt a \lt 2\text{;}\) \(s'(\frac{1}{2}) = 0\text{.}\)

Activity 1.3.4.

Answer.
  2. \(AV_{[2,4]} \approx 9171\) personas por década se espera que sea la tasa de cambio promedio de la población de la ciudad durante las dos décadas de 2030 a 2050.
  3. \begin{equation*} P'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{P(2+h)-P(2)}{h} = \lim_{h \to 0} 25000e^{2/5}\left( \frac{e^{h/5} - 1}{h}\right) \end{equation*}
    Debido a que no hay manera de eliminar un factor de \(h\) del numerador, no podemos eliminar el \(h\) que está haciendo que el denominador se acerque a cero.
  4. \begin{equation*} P'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{P(2+h)-P(2)}{h} \approx 7458.5 \end{equation*}
    que se mide en personas por década.
  5. Ver el gráfico proporcionado en (a) arriba. La línea magenta tiene una pendiente igual a la tasa de cambio promedio de \(P\) en \([2,4]\text{,}\) mientras que la línea verde es la línea tangente en \((2,P(2))\) con pendiente \(P'(2)\text{.}\)
  6. Parece que la pendiente de la línea tangente en el punto \((a,P(a))\) aumentará a medida que \(a\) aumente.

1.4 La función derivada
1.4.1 Cómo la derivada es en sí misma una función

Activity 1.4.2.

Answer.

Activity 1.4.3.

Answer.
  1. \(f'(x) = 0\text{.}\)
  2. \(g'(t) = 1\text{.}\)
  3. \(p'(z) = 2z\text{.}\)
  4. \(q'(s) = 3s^2\text{.}\)
  5. \(F'(t) = \frac{-1}{t^2}\text{.}\)
  6. \(G'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\text{.}\)

1.5 Interpretando, estimando y usando la derivada
1.5.2 Hacia estimaciones más precisas de la derivada

Activity 1.5.2.

Answer.
  1. \(F'(30) \approx = 3.85\) grados por minuto.
  2. \(F'(60) \approx = 1.56\) grados por minuto.
  3. \(F'(75) \gt F'(90)\text{.}\)
  4. El valor \(F(64) = 330.28\) es la temperatura de la papa en grados Fahrenheit en el tiempo 64, mientras que \(F'(64) = 1.341\) mide la tasa instantánea de cambio de la temperatura de la papa con respecto al tiempo en el instante \(t = 64\text{,}\) y sus unidades son grados por minuto. Porque en el tiempo \(t = 64\) la temperatura de la papa está aumentando a 1.341 grados por minuto, esperamos que en \(t = 65\text{,}\) la temperatura sea aproximadamente 1.341 grados mayor que en \(t = 64\text{,}\) o en otras palabras \(F(65) \approx 330.28 + 1.341 = 331.621\text{.}\) De manera similar, en \(t = 66\text{,}\) han pasado dos minutos desde \(t = 64\text{,}\) así que esperamos un aumento de \(2 \cdot 1.341\) grados: \(F(66) \approx 330.28 + 2 \cdot 1.341 = 332.962\text{.}\)
  5. A lo largo del intervalo de tiempo \([0,90]\text{,}\) la temperatura \(F\) de la papa está aumentando. Pero a medida que pasa el tiempo, la tasa a la que la temperatura está subiendo parece estar disminuyendo. Es decir, mientras los valores de \(F\) continúan aumentando a medida que el tiempo progresa, los valores de \(F'\) están disminuyendo (aunque siguen siendo positivos). Por lo tanto, podríamos decir que “la temperatura de la papa está aumentando, pero a una tasa decreciente.”

Activity 1.5.3.

Answer.
  1. Cuesta $800 hacer 2000 pies de cuerda.
  2. “dólares por pie.”
  3. \(C(2100) \approx = 835\text{,.}\)
  4. O bien \(C'(2000) = C'(3000)\) o \(C'(2000) > C'(3000)\text{.}\)
  5. Imposible. La función de costo total \(C(r)\) nunca puede disminuir.

Activity 1.5.4.

Answer.
  1. \(f'(90) \approx 0.0006\) litros por kilómetro por kilómetro por hora.
  2. A 80 kilómetros por hora, el coche está usando combustible a una tasa de 0.015 litros por kilómetro.
  3. Cuando el coche viaja a 90 kilómetros por hora, su tasa de consumo de combustible por kilómetro está aumentando a una tasa de 0.0006 litros por kilómetro por kilómetro por hora.

1.6 La segunda derivada
1.6.3 Concavidad

Activity 1.6.2.

Answer.
  1. Aumentando: \(0\lt t\lt 2\text{,}\) \(3\lt t\lt 5\text{,}\) \(7\lt t\lt 9\text{,}\) y \(10\lt t\lt 12\text{.}\) Disminuyendo: nunca.
  2. La velocidad está aumentando en \(0\lt t\lt 1\text{,}\) \(3\lt t\lt 4\text{,}\) \(7\lt t\lt 8\text{,}\) y \(10\lt t\lt 11\text{;}\) \(y = v(t)\) está disminuyendo en \(1\lt t\lt 2\text{,}\) \(4\lt t\lt 5\text{,}\) \(8\lt t\lt 9\text{,}\) y \(11\lt t\lt 12\text{.}\) La velocidad es constante en \(2\lt t\lt 3\text{,}\) \(5\lt t\lt 7\text{,}\) y \(9\lt t\lt 10\text{.}\)
  3. \(a(t) = v'(t)\) y \(a(t) = s''(t)\text{.}\)
  4. \(s''(t)\) es positivo ya que \(s'(t)\) está aumentando.
    • aumentando.
    • disminuyendo.
    • constante.
    • aumentando.
    • disminuyendo.
    • constante.
    • cóncavo hacia arriba.
    • cóncavo hacia abajo.
    • lineal.

Activity 1.6.3.

Answer.
  1. Grados Fahrenheit por minuto.
  2. \(F''(30) \approx -0.119\text{.}\)
  3. En el momento \(t = 30\text{,}\) la temperatura de la papa es de 251 grados; su temperatura está subiendo a una tasa de 3.85 grados por minuto; y la tasa a la que la temperatura está subiendo está cayendo a una tasa de 0.119 grados por minuto por minuto.
  4. Aumentando a una tasa decreciente.

Activity 1.6.4.

Answer.

1.7 Límites, Continuidad y Derivabilidad
1.7.1 Tener un límite en un punto

Activity 1.7.2.

Answer.
  1. \(f(-2) = 1\text{;}\) \(f(-1)\) no está definido; \(f(0) = \frac{7}{3}\text{;}\) \(f(1) = 2\text{;}\) \(f(2) = 2\text{.}\)
  2. \begin{equation*} \lim_{x \to -2^-} f(x) = 2 \ \text{y} \lim_{x \to -2^+} f(x) = 1 \end{equation*}
    \begin{equation*} \lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{5}{3} \ \text{y} \lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{5}{3} \end{equation*}
    \begin{equation*} \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{7}{3} \ \text{y} \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{7}{3} \end{equation*}
    \begin{equation*} \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 \ \text{y} \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \end{equation*}
    \begin{equation*} \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 \ \text{y} \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2 \end{equation*}
  3. \(\lim_{x \to -2} f(x)\) no existe. Los valores de los límites como \(x \to a\) para \(a = -1, 0, 1, 2\) son \(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, 3, 2\text{.}\)
  4. \(a = -2\text{,}\) \(a = -1\text{,}\) y \(a = 1\text{.}\)

1.7.2 Ser continuo en un punto

Activity 1.7.3.

Answer.
  1. \(a = -2\text{;}\) \(a = +2\text{.}\)
  2. \(a = 3\text{.}\)
  3. \(a = -1\text{;}\) \(a = 3\text{.}\)
  4. \(a=-2\text{;}\) \(a = 2\text{;}\) \(a = 3\text{;}\) \(a = -1\text{.}\)
  5. “Si \(f\) es continua en \(x = a\text{,}\) entonces \(f\) tiene un límite en \(x = a\text{.}\)”

1.7.3 Ser diferenciable en un punto

Activity 1.7.4.

Answer.
  1. \(g\) es lineal a tramos.
  2. \begin{align*} g'(0) =\mathstrut \amp \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h)-g(0)}{h}\\ =\mathstrut \amp \lim_{h \to 0} \frac{|0+h|-|0|}{h}\\ =\mathstrut \amp \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} \end{align*}
  3. \(\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1 \text{,}\) pero \(\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1 \text{.}\)
  4. \(a = -3, -2, -1, 1, 2, 3\text{.}\)
  5. Verdadero.

1.8 La Aproximación de la Línea Tangente
1.8.2 La linealización local

Activity 1.8.2.

Answer.
  1. \(L(-1) = -2\text{;}\) \(L'(-1) = 3\text{.}\)
  2. \(g(-1) = -2\text{;}\) \(g'(-1) = 3\text{.}\)
  3. Menor.
  4. \(g(-1.03) \approx L(-1.03) = -2.09\text{.}\)
  5. Cóncava hacia arriba.
  6. La ilustración a continuación muestra una posible gráfica de \(y = g(x)\) cerca de \(x = -1\text{,}\) junto con la línea tangente \(y = L(x)\) a través de \((-1, g(-1))\text{.}\)

Activity 1.8.3.

Answer.
  1. \(L(x) = -1 + 2(x-2)\text{.}\)
  2. \(f(2.07) \approx L(2.07) = -0.86\text{.}\)
  3. Ver la imagen en parte e.
  4. Ninguna.
  5. Ver la imagen a continuación, que muestra, a la izquierda, un posible gráfico de \(y = f(x)\) cerca de \(x = 2\text{,}\) junto con la línea tangente \(y = L(x)\) a través de \((2, f(2))\text{.}\)
  6. Demasiado grande.

2 Calculando Derivadas
2.1 Reglas elementales de derivadas
2.1.2 Funciones Constantes, de Potencia y Exponenciales

Activity 2.1.2.

Answer.
  1. \(f'(t) = 0\text{.}\)
  2. \(g'(z) = 7^z \ln(7)\text{.}\)
  3. \(h'(w) = \frac{3}{4} w^{-1/4}\text{.}\)
  4. \(\frac{dp}{dx} = 0\text{.}\)
  5. \(r'(t) = (\sqrt{2})^t \ln (\sqrt{2})\text{.}\)
  6. \(\frac{d}{dq}[q^{-1}] = -q^{-2}\text{.}\)
  7. \(\frac{dm}{dt} = -3t^{-4} = -\frac{3}{t^4}\text{.}\)

2.1.3 Múltiplos Constantes y Sumas de Funciones

Activity 2.1.3.

Answer.
  1. \(f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3} - 4 x^3 + 2^x \ln(2)\text{.}\)
  2. \(g'(x) = 14e^x + 3 \cdot 5x^4 - 1\text{.}\)
  3. \(h'(z) = \frac{1}{2}z^{-1/2} - 4z^{-5} + 5^z \ln(5)\text{.}\)
  4. \(\frac{dr}{dt} = \sqrt{53} \cdot 7 t^6 - \pi e^t\text{.}\)
  5. \(\frac{ds}{dy} = 4y^3\text{.}\)
  6. \(q'(x) = 2x - 2x^{-2}\text{.}\)
  7. \(p'(a) = 12a^3 - 6 a^2 + 14a - 1\text{.}\)

Activity 2.1.4.

Answer.
  1. \(h'(4) = \frac{3}{16}\text{.}\)
  2. (i.)\(P'(4) = 2(1.37)^4 \ln(1.37) \approx 2.218\) millones de células por día; (ii.) la población está creciendo a una tasa creciente.
  3. \(y - 25 = -33(a+1)\text{.}\)
  4. La pendiente es un número, mientras que la ecuación es, bueno, una ecuación.

2.2 Las funciones seno y coseno
2.2.1 Las funciones seno y coseno

Activity 2.2.2.

Answer.
  1. Figura 2.2.3.
  2. \(1,0,-1,0,1,0,-1,0,1\text{.}\)
  3. \(f'(0) = f'(-2\pi) = f'(2\pi) = 1\text{.}\)
  4. Figura 2.2.3.
  5. \(\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)\text{.}\)
Figure 2.2.3. A la izquierda, el gráfico de \(y = f(x) = \sin(x)\text{.}\) A la derecha, el gráfico de \(y=f'(x)\text{.}\)

Activity 2.2.3.

Answer.
  1. Figura 2.2.6.
  2. \(0,-1,0,1,0,-1,0,1,0\text{.}\)
  3. \(g'(\frac{\pi}{2})=g'(-\frac{3\pi}{2})=-1\text{.}\)
  4. Figura 2.2.6.
  5. \(\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)\text{.}\)
Figure 2.2.6. A la izquierda, el gráfico de \(y = g(x) = \cos(x)\text{.}\) A la derecha, el gráfico de \(y = g'(x)\)

Activity 2.2.4.

Answer.
  1. \(\frac{dh}{dt} = -3\sin(t) - 4\cos(t)\text{.}\)
  2. \(f'(\frac{\pi}{6}) = 2 + \frac{\sqrt{3}}{4}\text{.}\)
  3. \(y - \frac{\pi^2}{4} = (\pi-2)(x-\frac{\pi}{2})\text{.}\)
  4. \(p'(z) = 4z^3 + 4^z \ln(4) - 4\sin(z)\text{.}\)
  5. \(P'(2) = 8\cos(2) \approx -3.329\) cientos de animales por década.

2.3 Las reglas del producto y del cociente
2.3.1 La regla del producto

Activity 2.3.2.

Answer.
  1. \(m'(w) = 3w^{17} \cdot 4^w \ln(4) + 4^w \cdot 51w^{16}\text{.}\)
  2. \(h'(t) = (\sin(t) + \cos(t)) \cdot 4t^3 + t^4 \cdot (\cos(t) - \sin(t))\text{.}\)
  3. \(f'(1) = e(\cos(1) + \sin(1)) \approx 3.756\text{.}\)
  4. \(L(x) = -\frac{1}{2}(x+1)\text{.}\)

2.3.2 La regla del cociente

Activity 2.3.3.

Answer.
  1. \(r'(z)=\frac{(z^4+1) 3^z \ln(3) - 3^z(4z^3)}{(z^4 + 1)^2}\text{.}\)
  2. \(v'(t) = \frac{(\cos(t) + t^2)\cos(t) - \sin(t)(-\sin(t) + 2t)}{(\cos(t) + t^2)^2}\text{.}\)
  3. \(R'(0) = \frac{2}{9}\text{.}\)
  4. \(I'(0.5) = \frac{50}{e^{0.5}} \approx 30.327\text{,}\) \(I'(2) = \frac{-100}{e^{2}} \approx -13.534\text{,}\) y \(I'(5) = \frac{-400}{e^5} \approx -2.695\text{,}\) cada uno en candelas por milisegundo.

2.3.3 Combinando reglas

Activity 2.3.4.

Answer.
  1. \(f'(r) = (5r^3 + \sin(r))[4^r \ln(4) + 2\sin(r)] + (4^r - 2\cos(r))[15r^2 + \cos(r)]\text{.}\)
  2. \(p'(t) = \frac{t^6 \cdot 6^t [-\sin(t)] - \cos(t) [t^6 \cdot 6^t \ln(6) + 6^t \cdot 6t^5]}{(t^6 \cdot 6^t)^2}\text{.}\)
  3. \(g'(z) = 3 [z^7 e^z + 7z^6e^z] - 2[z^2 \cos(z) + 2z\sin(z)] + \frac{(z^2+1) 1 - z(2z)}{(z^2 + 1)^2}\text{.}\)
  4. \(s'(1) = \frac{-2\sin(1)-4\cos(1)}{e^1} \approx -1.414\) pies por segundo.
  5. \(p'(3) = 30\) y \(q'(3) = \frac{13}{8}\text{.}\)

2.4 Derivadas de otras funciones trigonométricas
2.4.1 Derivadas de las funciones cotangente, secante y cosecante

Activity 2.4.2.

Answer.
  1. Todos los números reales \(x\) tales que \(x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\text{,}\) donde \(k = \pm 1, \pm 2, \ldots\text{.}\)
  2. \(h'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\text{.}\)
  3. \(h'(x) = \sec(x) \tan(x)\text{.}\)
  4. \(h\) y \(h'\) tienen el mismo dominio: todos los números reales \(x\) tales que \(x \ne \frac{\pi}{2}+k\pi\text{,}\) donde \(k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\text{.}\)

Activity 2.4.3.

Answer.
  1. Todos los números reales \(x\) tales que \(x \ne k\pi\text{,}\) donde \(k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\text{.}\)
  2. \(h'(x) = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\text{.}\)
  3. \(h'(x) = -\csc(x) \cot(x)\text{.}\)
  4. \(p\) y \(p'\) tienen el mismo dominio: todos los números reales \(x\) tales que \(x \ne k\pi\text{,}\) donde \(k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\text{.}\)

Activity 2.4.4.

Answer.
  1. \(m = f'(\frac{\pi}{3}) =10\sqrt{3} + \frac{4}{3}\text{.}\)
  2. \(p'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - 1\text{.}\)
  3. \(h'(t) = \frac{(t^2+1) \sec^2(t) - 2t \tan(t)}{(t^2 + 1)^2} + 2e^t \sin(t) - 2 e^t\cos(t)\text{.}\)
  4. \(g'(r) = \frac{r \sec(r) \tan(r) + \sec(r) - r ln(5) \sec(r)}{5^r}\text{.}\)
  5. \(s'(2) = \frac{15\cos(2) - 15\sin(2)}{e^2} \approx -2.69\) pulgadas por segundo.

2.5 La regla de la cadena
2.5.1 La regla de la cadena

Activity 2.5.2.

Answer.
  1. \(h'(x) = -4x^3\sin(x^4)\text{.}\)
  2. \(h'(x) = \frac{\sec^2(x)}{2\sqrt{\tan(x)}}\text{.}\)
  3. \(h'(x) = 2^{\sin(x)}\ln(2)\cos(x)\text{.}\)
  4. \(h'(x) = -5\cot^4(x) \csc^2(x)\text{.}\)
  5. \(h'(x) = 9(\sec(x)+e^x)^8 (\sec(x)\tan(x) + e^x)\text{.}\)

2.5.2 Usando múltiples reglas simultáneamente

Activity 2.5.3.

Answer.
  1. \(p'(r) = \frac{4(6r^5 + 2e^r)}{2\sqrt{r^6 + 2e^r}}\text{.}\)
  2. \(m'(v) = -3v^2 \sin(v^2)\sin(v^3) + 2v \cos(v^3)\cos(v^2)\text{.}\)
  3. \(h'(y) = \frac{(e^{4y}+1) [-10\sin(10y)] - \cos(10y) [4e^{4y}]}{(e^{4y}+1)^2}\text{.}\)
  4. \(s'(z) = 2^{z^2\sec(z)} \ln(2) [z^2 \sec(z)\tan(z) + \sec(z) \cdot 2z]\text{.}\)
  5. \(c'(x) = \cos(e^{x^2}) [e^{x^2}\cdot 2x]\text{.}\)

Activity 2.5.4.

Answer.
  1. \(y - 2 = \frac{1}{4}(x-0)\text{.}\)
  2. \(v(1) = s'(1) = -\frac{3}{8}\) pulgadas por segundo; la partícula se mueve hacia la izquierda en el instante \(t = 1\text{.}\)
  3. \(P'(1000) = 30 e^{-0.0323} (-0.0000323) \approx -0.000938\) pulgadas de mercurio por pie.
  4. \(C'(2) = -10 \text{;}\) \(D'(-1) = -20\text{.}\)

2.6 Derivadas de Funciones Inversas
2.6.2 La derivada de la función del logaritmo natural

Activity 2.6.2.

Answer.
  1. \(h'(x) = x + 2x\ln(x)\text{.}\)
  2. \(p'(t) = \frac{(e^t + 1) \frac{1}{t} - \ln(t) \cdot e^t}{(e^t + 1)^2}\text{.}\)
  3. \(s'(y) = \frac{1}{\cos(y) + 2} \cdot (-\sin(y))\text{.}\)
  4. \(z'(x) = \sec^2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x}\text{.}\)
  5. \(m'(z) = \frac{1}{\ln(z)} \cdot \frac{1}{z}\text{.}\)

2.6.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

Activity 2.6.3.

Answer.
  1. \(\tan(r(x)) = x\text{.}\)
  2. \(r'(x) = \cos^2(r(x))\text{.}\)
  3. \(r'(x) = \cos^2(\arctan(x))\text{.}\)
  4. Con \(\theta = \arctan(x)\text{,}\)
  5. \(\cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\text{.}\)
  6. \(r'(x) = \frac{1}{1+x^2}\text{.}\)

Activity 2.6.4.

Answer.
  1. \(f'(x) = \left[x^3 \cdot \frac{1}{1+x^2} + \arctan(x) \cdot 3x^2 \right] + \left[e^x \cdot \frac{1}{x} + \ln(x) \cdot e^x\right]\text{.}\)
  2. \(p'(t) = 2^{t\arcsin(t)} \ln(2) [t \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} + \arcsin(t) \cdot 1]\text{.}\)
  3. \(h'(z) = 27(\arcsin(5z) + \arctan(4-z))^{26} \left[\frac{1}{\sqrt{1-(5z)^2}} \cdot 5 + \frac{1}{1+(4-z)^2} \cdot (-1) \right]\text{.}\)
  4. \(s'(y) = -\frac{1}{y^2}\text{.}\)
  5. \(m'(v) = \frac{1}{\sin^2(v)+1} \cdot \left[ 2\sin(v)\cos(v) \right]\text{.}\)
  6. \(\displaystyle g'(w) = \frac{1}{1+ \left( \frac{\ln(w)}{1+w^2} \right)^2} \cdot \left[ \frac{(1+w^2) \frac{1}{w} - \ln(w) \cdot 2w}{(1+w^2)^2} \right] \)

2.7 Derivadas de Funciones Dadas Implícitamente
2.7.1 Diferenciación Implícita

Activity 2.7.2.

Answer.
  1. El gráfico de la curva no pasa la prueba de la línea vertical.
  2. \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5y^4 - 15y^2 + 4}\text{.}\)
  3. \(y = -\frac{1}{6}x + 1\text{.}\)
  4. \((1.418697,0.543912)\text{,}\) \((-1.418697,-0.543912)\text{,}\) \((-3.63143, 1.64443)\text{,}\) y \((3.63143, -1.64443)\text{.}\)

Activity 2.7.3.

Answer.
  1. Horizontal en \(x \approx 0.42265\text{,}\) así \((0.42265, -1.05782); (0.42265, 0.229478); (0.42265, 0.770522); (0.42265, 2.05782)\text{.}\) Hay cuatro puntos más donde \(x \approx 1.57735\text{.}\)
  2. Cuando \(y = \frac{1}{2}, \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\text{,}\) así que un punto es \((2.21028, \frac{1}{2})\text{.}\)
  3. \(y - 1 = \frac{1}{2}(x-1)\text{.}\)

Activity 2.7.4.

Answer.
  1. \(\frac{dy}{dx}(-3y^2 - 6x) = 6y-3x^2 \) y la línea tangente tiene la ecuación \(y - 3 = 1(x+3)\text{.}\)
  2. \(\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 1}{\cos(y) + 1}\) y la línea tangente tiene la ecuación \(y = \frac{1}{2}x\text{.}\)
  3. \(\frac{dy}{dx} = \frac{3e^{-xy} - 3xye^{-xy}}{3x^2e^{-xy}+2y}\) y la línea tangente es \(y - 1 = 0.234950(x - 0.619061)\text{.}\)

2.8 Usando Derivadas para Evaluar Límites
2.8.1 Usando derivadas para evaluar límites indeterminados de la forma \(\frac{0}{0}\text{.}\)

Activity 2.8.2.

Answer.
  1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\text{.}\)
  2. \(\lim_{x \to \pi} \frac{\cos(x)}{x} = -\frac{1}{\pi}\text{.}\)
  3. \(\lim_{x \to 1} \frac{2 \ln(x)}{1-e^{x-1}} = -2\text{.}\)
  4. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{\cos(2x)-1} = 0\text{.}\)

Activity 2.8.3.

Answer.
  1. \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{8}\text{.}\)
  2. \(\lim_{x \to 2} \frac{p(x)}{q(x)} = 1\text{.}\)
  3. \(\lim_{x \to 2} \frac{r(x)}{s(x)} \lt 0\text{.}\)

2.8.2 Límites que involucran \(\infty\)

Activity 2.8.4.

Answer.
  1. \(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln(x)} = \infty\text{.}\)
  2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} + x}{2e^{x} + x^2} = \frac{1}{2}\text{.}\)
  3. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = 0\text{.}\)
  4. \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{\tan(x)}{x-\frac{\pi}{2}} = -\infty\text{.}\)
  5. \(\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0\text{.}\)

3 Usando Derivadas
3.1 Usando derivadas para identificar valores extremos
3.1.1 Números críticos y la prueba de la primera derivada

Activity 3.1.2.

Answer.
  1. \(x = -4\) o \(x = 1\text{.}\)
  2. \(g\) tiene un máximo local en \(x = -4\) y ni un máximo ni un mínimo en \(x = 1\text{.}\)
  3. \(g\) no tiene un mínimo global; no está claro (en este punto de nuestro trabajo) si \(g\) aumenta sin límite, así que no podemos decir con certeza si \(g\) tiene un máximo global.
  4. \(\lim_{x \to \infty} g'(x) = \infty\text{.}\)
  5. Un posible gráfico de \(g\) es el siguiente.

3.1.2 La prueba de la segunda derivada

Activity 3.1.3.

Answer.
  1. \(x = -1\) es un punto de inflexión de \(g\text{.}\)
  2. \(g\) es cóncava hacia arriba para \(x \lt -1\text{,}\) cóncava hacia abajo para \(-1 \lt x \lt 2\text{,}\) y cóncava hacia abajo para \(x \gt 2\text{.}\)
  3. \(g\) tiene un mínimo local en \(x = -1.67857351\text{.}\)
  4. \(g\) es un polinomio de grado 5.

Activity 3.1.4.

Answer.
  1. En la gráfica de abajo, \(h(x) = x^2 + \cos(3x)\) se muestra en azul oscuro, mientras que \(h(x) = x^2 + \cos(1.6x)\) se muestra en azul claro.
  2. Si \(\frac{2}{k^2} \gt 1\text{,}\) entonces la ecuación \(\cos(kx) = \frac{2}{k^2}\) no tiene solución. Por lo tanto, siempre que \(k^2 \lt 2\text{,}\) o \(k \lt \sqrt{2} \approx 1.414\text{,}\) se sigue que la ecuación \(\cos(kx) = \frac{2}{k^2}\) no tiene soluciones \(x\text{,}\) lo que significa que \(h''(x)\) nunca es cero (de hecho, para estos valores de \(k\text{,}\) \(h''(x)\) es siempre positivo, por lo que \(h\) es siempre cóncavo hacia arriba). Por otro lado, si \(k \ge \sqrt{2}\text{,}\) entonces \(\frac{2}{k^2} \le 1\text{,}\) lo que garantiza que \(\cos(kx) = \frac{2}{k^2}\) tiene infinitas soluciones, debido a la periodicidad de la función coseno. En cada uno de esos puntos, \(h''(x) = 2 - k^2 \cos(kx)\) cambia de signo, y por lo tanto \(h\) tiene infinitos puntos de inflexión siempre que \(k \ge \sqrt{2}\text{.}\)
  3. Para ver por qué \(h\) solo puede tener un número finito de números críticos sin importar el valor de \(k\text{,}\) considera la ecuación
    \begin{equation*} 0 = h'(x) = 2x - k\sin(kx)\text{,} \end{equation*}
    lo que implica que \(2x = k\sin(kx)\text{.}\) Dado que \(-1 \le \sin(kx) \le 1\text{,}\) sabemos que \(-k \le k\sin(kx) \le k\text{.}\) Una vez que \(|x|\) es suficientemente grande, estamos seguros de que \(|2x| \gt k\text{,}\) lo que significa que para valores grandes de \(x\text{,}\) \(2x\) y \(k\sin(kx)\) no pueden intersectar. Además, para valores relativamente pequeños de \(x\text{,}\) las funciones \(2x\) y \(k\sin(kx)\) solo pueden intersectar un número finito de veces ya que \(k\sin(kx)\) oscila un número finito de veces. Esta es la razón por la que \(h\) solo puede tener un número finito de números críticos, sin importar el valor de \(k\text{.}\)

3.2 Usando derivadas para describir familias de funciones
3.2.1 Describiendo familias de funciones en términos de parámetros

Activity 3.2.2.

Answer.
  1. \(p\) tiene dos números críticos (\(x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}\)) siempre que \(a \gt 0\) y no tiene números críticos cuando \(a \lt 0\text{.}\)
  2. Cuando \(a \lt 0\text{,}\) \(p\) siempre está aumentando y no tiene valores extremos relativos. Cuando \(a\gt 0\text{,}\) \(p\) tiene un máximo relativo en \(x = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) y un mínimo relativo en \(x = +\sqrt{\frac{a}{3}}\text{.}\)
  3. \(p\) es cóncava hacia abajo para \(x \lt 0\) y \(p\) es cóncava hacia arriba para \(x\gt 0\text{,}\) haciendo de \(x = 0\) un punto de inflexión.

Activity 3.2.3.

Answer.
  1. \(h\) es una función siempre creciente.
  2. \(h\) es siempre cóncava hacia abajo.
  3. \(\lim_{x \to \infty} a(1-e^{-bx}) = a\text{,}\) y \(\lim_{x \to \infty} a(1-e^{-bx}) = -\infty\text{.}\)
  4. Si \(b\) es grande y \(x\) está cerca de cero, \(h'(x)\) es relativamente grande cerca de \(x = 0\text{,}\) y la pendiente de la curva se acercará rápidamente a cero a medida que \(x\) aumente. Si \(b\) es pequeño, el gráfico es menos empinado cerca de \(x = 0\) y su pendiente se acerca a cero menos rápidamente a medida que \(x\) aumenta.

Activity 3.2.4.

Answer.
  1. \(L\) es una función siempre creciente.
  2. \(L\) es cóncava hacia arriba para todos \(t \lt -\frac{1}{k} \ln \left(\frac{1}{c}\right)\) y cóncava hacia arriba para todos los demás valores de \(t\text{.}\)
  3. \(\lim_{t \to \infty} \frac{A}{1+ce^{-kt}} = A\text{,}\) y
    \begin{equation*} \lim_{t \to \infty} \frac{A}{1+ce^{-kt}} = 0\text{.} \end{equation*}
  4. El punto de inflexión en el gráfico de \(L\) es \(( -\frac{1}{k} \ln \left(\frac{1}{c}\right), \frac{A}{2})\text{.}\)

3.3 Optimización Global
3.3.1 Optimización Global

Activity 3.3.2.

Answer.
  1. \(x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1.414\text{.}\)
  3. En \([-2,3]\text{,}\) \(g\) tiene un máximo global en \(x = 3\) y un mínimo global en \(x = \sqrt{2}\text{.}\)
  4. En \([-2,2]\text{,}\) \(g\) tiene un máximo global en \(x = -\sqrt{2}\) y un mínimo global en \(x = \sqrt{2}\text{.}\)
  5. En \([-2,1]\text{,}\) \(g\) tiene un máximo global en \(x = -\sqrt{2}\) y un mínimo global en \(x = 1\text{.}\)

Activity 3.3.3.

Answer.
  1. Máximo absoluto: \(e^{-1}\text{;}\) mínimo absoluto: \(0\text{.}\)
  2. Máximo absoluto: \(\sqrt{2}\text{;}\) mínimo absoluto: \(-1\text{.}\)
  3. Máximo absoluto: 9.8; mínimo absoluto: 8.
  4. Mínimo absoluto 3; sin máximo absoluto.
  5. Mínimo absoluto \(0\text{;}\) máximo absoluto \(\frac{1}{a}e^{-1}\text{.}\)
  6. Mínimo absoluto \(b-1\text{;}\) sin máximo absoluto.

3.3.2 Avanzando hacia aplicaciones

Activity 3.3.4.

Answer.
  2. \(V(x) = x (10-2x) (15-2x) = 4x^3 - 50x^2 + 150x\text{.}\)
  3. \(1 \le x \le 3\text{.}\)
  4. \(x = \frac{25 \pm 5\sqrt{7}}{6} \approx 6.371459426, 1.961873908\text{.}\)
    • \(\displaystyle V(1.961873908) = 132.0382370\)
    • \(\displaystyle V(1) = 104\)
    • \(\displaystyle V(3) = 108\)
  6. Máximo absoluto: 132.0382370; mínimo absoluto: 104.

3.4 Optimización Aplicada
3.4.1 Más problemas de optimización aplicada

Activity 3.4.2.

Answer.
  1. Sea la lata de radio \(r\) y altura \(h\text{.}\)
  2. \(V = \pi r^2 h\text{;}\) \(S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h\text{;}\) \(C = 2 \pi r^2 \cdot 0.027 + 2 \pi r h \cdot 0.015\text{.}\)
  3. \(C(r) = 0.054 \pi r^2 + 0.48 \frac{1}{r}\text{,}\) \(r \gt 0\text{.}\)
  4. \(r = \sqrt[3]{ \frac{0.48}{0.108 \pi} } \approx 1.12259\text{;}\) \(h \approx 4.041337\text{;}\) costo mínimo \(C(1.12259) \approx 0.64137\text{.}\)

Activity 3.4.3.

Answer.
El tiempo mínimo absoluto que el excursionista puede lograr es \(0.99302\) horas, que se alcanza caminando unos 2.2 km desde \(P\) hasta \(Q\) y luego girando hacia el bosque para el resto del viaje.

Activity 3.4.4.

Answer.
Área máxima: \(A(\frac{5}{\sqrt{3}}) = \frac{500}{9}\sqrt{3} \approx 96.225\text{.}\) Perímetro máximo: \(P(1) = 52\text{.}\) En \(x = \frac{\sqrt{82}-1}{3}\) ocurre el máximo absoluto de la combinación de perímetro y área.

Activity 3.4.5.

Answer.
\(A(1.19606) \approx 2.2018\) es el área máxima absoluta de la sección transversal, lo que lleva al volumen máximo absoluto.

3.5 Tasas Relacionadas
3.5.1 Problemas de Tasas Relacionadas

Activity 3.5.2.

Answer.
  2. \(r = \frac{3}{4}h\text{.}\)
  3. \(V = \frac{3}{16} \pi h^3\text{.}\)
  4. \(\frac{dV}{dt} = \frac{9}{16} \pi h^2 \frac{dh}{dt} \text{.}\)
  5. \(\left. \frac{dh}{dt} \right|_{h=3} = \frac{64}{81\pi} \approx 0.2515\) pies por minuto.
  6. Más rápidamente cuando \(h = 3\text{.}\)

Activity 3.5.3.

Answer.
  2. \(\frac{dh}{dt} = 4000 \sec^2 (\theta) \frac{d\theta}{dt}\text{.}\)
  3. \(h \frac{dh}{dt} = z \frac{dz}{dt}\text{.}\)
  4. \(\left. \frac{dz}{dt} \right|_{h=3000} = 360 \ \text{feet/sec}; \) \(\left. \frac{d\theta}{dt} \right|_{h=3000} = \frac{12}{125} \) radianes por segundo.
  5. mayor.

Activity 3.5.4.

Answer.
  2. \(3s = 2x\text{.}\)
  3. \(3 \frac{ds}{dt} = 2\frac{dx}{dt}\text{.}\)
  4. \(\left. \frac{ds}{dt} \right|_{x=8} = 2\) pies por segundo.
  5. a una tasa constante.
  6. Deja que \(y\) represente la ubicación de la punta de la sombra; \(\frac{dy}{dt} = 5\) pies/seg.

Activity 3.5.5.

Answer.
Sea \(x\) la posición de la pelota en el tiempo \(t\) y \(z\) la distancia desde la pelota hasta la primera base, como se muestra a continuación.
\(\left. \frac{dz}{dt} \right|_{x = 45} = \frac{100}{\sqrt{5}} \approx 44.7214 \ \text{feet/sec} \text{.}\)
Sea \(r\) la posición del corredor en el tiempo \(t\) y sea \(s\) la distancia entre el corredor y la pelota, como se muestra.
\(\left. \frac{ds}{dt} \right|_{x = 45} = \frac{430}{\sqrt{17}} \approx 104.2903 \ \text{feet/sec} \text{.}\)

4 La Integral Definida
4.1 Determinando la distancia recorrida a partir de la velocidad
4.1.1 Área bajo la gráfica de la función de velocidad

Activity 4.1.2.

Answer.
  1. \begin{align*} A =\mathstrut \amp v(0.0) \cdot 0.5 + v(0.5) \cdot 0.5 + v(1.0) \cdot 0.5 + v(1.5) \cdot 0.5\\ =\mathstrut \amp 1.500 \cdot 0.5 + 1.9375 \cdot 0.5 + 2.000 \cdot 0.5 + 2.0625 \cdot 0.5\\ =\mathstrut \amp 3.75 \end{align*}
    Así, \(D \approx 3.75\) millas.
  2. Usando 8 rectángulos de ancho \(0.25\text{,}\) \(D \approx 3.875\text{.}\)
  3. \(s(t) = \frac{1}{8}t^4 - \frac{1}{2} t^3 + \frac{3}{4} t^2 + \frac{3}{2}t\text{.}\)
  4. \(s(2) - s(0) = \frac{1}{8}2^4 - \frac{1}{2}2^3 + \frac{3}{4}2^2 + \frac{3}{2} 2 = 4\text{.}\)

4.1.2 Dos enfoques: área y antidiferenciación

Activity 4.1.3.

Answer.
  1. En \((0,1)\text{,}\) \(s\) está aumentando porque la velocidad es positiva.
  2. \(s(t) = 32t - 16t^2\text{.}\)
  3. \(s(1) - s(\frac{1}{2}) = 4\text{.}\)
  4. \(A = 4\) pies es la distancia total que la pelota viajó verticalmente en \([\frac{1}{2},1]\text{.}\)
  5. \(s(1) - s(0) = 16\) es la distancia vertical que la pelota viajó en el intervalo \([0,1]\text{.}\) De manera equivalente, el área entre la curva de velocidad y el eje \(t\) en \([0,1]\) es \(A = 16\) pies.
  6. \(s(2) - s(0) = 0\text{,}\) así que la pelota no tiene cambio en su posición en el intervalo \([0,2]\text{.}\)

4.1.3 Cuando la velocidad es negativa

Activity 4.1.4.

Answer.
  1. La distancia total recorrida es \(2\text{;}\) el cambio en la posición es \(0\text{.}\)
  2. \(0 \lt t \lt 1\) y \(4 \lt t \lt 8 \text{.}\)
  3. \(s(8) - s(0) = 5 \ \mbox{m} \text{,}\) mientras que la distancia recorrida en \([0,8]\) es \(D = 13\text{,}\) y por lo tanto estas dos cantidades son diferentes.
  4. Ver la figura abajo.

4.2 Sumas de Riemann
4.2.1 Notación Sigma

Activity 4.2.2.

Answer.
  1. \(\displaystyle 65 \)
  2. \(\displaystyle 32 \)
  3. \begin{equation*} 3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 27 = \sum_{k=1}^{7} 4k-1\text{.} \end{equation*}
  4. \begin{equation*} 4 + 8 + 16 + 32 + \cdots + 256 = \sum_{i=2}^{8} 2^i\text{.} \end{equation*}
  5. \begin{equation*} \sum_{i=1}^{6} \frac{1}{2^i} = \frac{63}{64}\text{.} \end{equation*}

4.2.2 Sumas de Riemann

Activity 4.2.3.

Answer.
  2. \(L_4 = \frac{311}{48} \approx 6.47917\text{,}\) \(R_4 = \frac{335}{48} \approx 6.97917\text{,}\) y \(M_4 = \frac{637}{96} \approx 6.63542\text{.}\)
  3. \begin{equation*} \frac{L_4 + M_4}{2} = \frac{646}{96} \ne \frac{637}{96} = M_4\text{.} \end{equation*}
  4. \(L_n\) es una subestimación; \(R_n\) es una sobreestimación.

4.2.3 Cuando la función es a veces negativa

Activity 4.2.4.

Answer.
  1. \(\displaystyle M_5 = -\frac{36}{25} = -1.44\)
  2. El cambio en la posición es aproximadamente \(-1.44\) pies.
  3. \(D \approx 2.336\text{.}\)
  4. \(-\frac{4}{3}\) es el cambio total en la posición del objeto en \([1,5]\text{.}\)

4.3 La Integral Definida
4.3.1 La definición de la integral definida

Activity 4.3.2.

Answer.
  1. \(\int_0^1 3x \, dx = \frac{3}{2}\text{.}\)
  2. \(\int_{-1}^4 (2-2x) \, dx = -5\text{.}\)
  3. \(\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}\text{.}\)
  4. \(\int_{-3}^4 g(x) \, dx = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}\text{.}\)

4.3.2 Algunas propiedades de la integral definida

Activity 4.3.3.

Answer.
  1. \(\int_5^2 f(x) \,dx = -2\text{.}\)
  2. \(\int_0^5 g(x) \,dx = 3\text{.}\)
  3. \(\int_0^5 (f(x) + g(x))\, dx = 2\text{.}\)
  4. \(\int_2^5 (3x^2 - 4x^3) \, dx = -492\text{.}\)
  5. \(\int_5^0 (2x^3 - 7g(x)) \, dx = -\frac{583}{2}\text{.}\)

4.3.3 Cómo la integral definida está conectada con el valor promedio de una función

Activity 4.3.4.

Answer.
  1. \(y = v(t) = \sqrt{4-(t-2)^2}\) es la mitad superior del círculo \((t-2)^2 + y^2 = 4\text{,}\) que tiene radio 2 y está centrado en \((2,0)\text{.}\)
  2. \(\int_0^4 v(t) \, dt = 2\pi\text{.}\)
  3. El objeto se movió \(2 \pi\) metros en 4 minutos.
  4. \(v_{\text{AVG} }[0,4] = \frac{\pi}{2}\text{,}\) metros por minuto.
  5. La altura del rectángulo es el valor promedio de \(v\text{,}\) \(v_{\text{AVG} }[0,4] = \frac{\pi}{2} \approx 1.57\text{.}\)
  6. \(D = 2\pi\text{.}\)

4.4 El Teorema Fundamental del Cálculo
4.4.1 El Teorema Fundamental del Cálculo

Activity 4.4.2.

Answer.
  1. \(\int_{-1}^4 (2-2x) \, dx = -5\text{.}\)
  2. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx = 1\text{.}\)
  3. \(\int_0^1 e^x \, dx = e-1\text{.}\)
  4. \(\int_{-1}^{1} x^5 \, dx = 0\text{.}\)
  5. \(\int_0^2 (3x^3 - 2x^2 - e^x) \, dx = \frac{23}{3} - e^2\text{.}\)

4.4.2 Antiderivadas básicas

Activity 4.4.3.

Answer.
función dada, \(f(x)\) antiderivada, \(F(x)\)  
\(k\text{,}\) (\(k \ne 0\)) \(kx\)
\(x^n\text{,}\) \(n \ne -1\) \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)
\(\frac{1}{x}\text{,}\) \(x \gt 0\) \(\ln(x)\)
\(\sin(x)\) \(-\cos(x)\)
\(\cos(x)\) \(\sin(x)\)
\(\sec(x) \tan(x)\) \(\sec(x)\)
\(\csc(x) \cot(x)\) \(-\csc(x)\)
\(\sec^2 (x)\) \(\tan(x)\)
\(\csc^2 (x)\) \(-\cot(x)\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(a^x\) \((a \gt 1)\) \(\frac{1}{\ln(a)} a^x\)
\(\frac{1}{1+x^2}\) \(\arctan(x)\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\arcsin(x)\)
  1. \(\int_0^1 \left(x^3 - x - e^x + 2\right) \,dx = \frac{11}{4} - e\text{.}\)
  2. \(\int_0^{\pi/3} (2\sin (t) - 4\cos(t) + \sec^2(t) - \pi) \, dt = 1 - \sqrt{3} - \frac{\pi^2}{3}\text{.}\)
  3. \(\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \, dx = \frac{1}{3}\text{.}\)

4.4.3 El teorema del cambio total

Activity 4.4.4.

Answer.
  1. La persona quemó exactamente \(\frac{400}{3}\) calorías en los primeros 10 minutos del entrenamiento.
  2. \(C(40) - C(0) = \int_0^{40} C'(t) \, dt = \int_0^{40} c(t) \, dt\) son las calorías totales quemadas en \([0,40]\text{.}\)
  3. La tasa promedio exacta a la que la persona quemó calorías en \(0 \le t \le 40\) es
    \begin{equation*} c_{\operatorname{AVG} [0,40]} = \frac{1}{40-0} \int_0^{40} c(t) \, dt = \frac{1}{40} \cdot \frac{1700}{3} = \frac{1700}{120} \approx 14.17 \ \text{cal/min}\text{.} \end{equation*}
  4. Un momento en el que la tasa instantánea a la que se queman calorías es igual a la tasa promedio en \([0,40]\) es \(t = \frac{5}{3}(6 - \sqrt{6}) \approx 5.918\text{.}\)

5 Evaluando Integrales
5.1 Construyendo Gráficos Precisos de Antiderivadas
5.1.1 Construyendo el gráfico de una antiderivada

Activity 5.1.2.

Answer.
  1. \(F\) está aumentando en \((0,2)\) y \((5,7)\text{;}\) \(F\) está disminuyendo en \((2,5)\text{.}\)
  2. \(F\) es cóncava hacia arriba en \((0,1)\text{,}\) \((4,6)\text{;}\) cóncava hacia abajo en \((1,3)\text{,}\) \((6,7)\text{;}\) ninguna en \((3,4)\text{.}\)
  3. Un máximo relativo en \(x = 2\text{;}\) un mínimo relativo en \(x = 5\text{.}\)
  4. \(F(1) = -\frac{1}{2}\text{;}\) \(F(2) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\text{;}\) \(F(3) = \frac{\pi}{4} - 1\text{;}\) \(F(4) = \frac{\pi}{4}-2\text{;}\) \(F(5) = \frac{\pi}{4} - \frac{5}{2}\text{;}\) \(F(6) = \frac{\pi}{2} - \frac{5}{2}\text{;}\) \(F(7) = \frac{3\pi}{4} - \frac{5}{2}\text{;}\) \(F(8) = \frac{3\pi}{4} - \frac{5}{2}\text{;}\) y \(F(-1) = -1\text{.}\)
  5. Usa los valores de la función encontrados en (d) y la información anterior sobre la forma de \(F\text{.}\)
  6. \(G(x) = F(x) + 1\text{.}\)

5.1.2 Múltiples antiderivadas de una sola función

Activity 5.1.3.

Answer.
  2. \(H(x) = -\cos(x) + 2\text{.}\)

5.1.3 Funciones definidas por integrales

Activity 5.1.4.

Answer.
  1. \(A\) está aumentando en \((0,1.5)\text{,}\) \((4,6)\text{;}\) \(A\) está disminuyendo en \((1.5,4)\text{.}\)
  2. \(A\) es cóncava hacia arriba en \((0,1)\) y \((3,5)\text{;}\) \(A\) es cóncava hacia abajo en \((1,3)\) y \((5,6)\text{.}\)
  3. En \(x = 1.5\text{,}\) \(A\) tiene un máximo relativo; \(A\) tiene un mínimo relativo en \(x = 4\text{.}\)
  4. \(A(0) = -\frac{1}{2}\text{;}\) \(A(1) = 0\text{;}\) \(A(2) = 0\text{;}\) \(A(3) = -2\text{;}\) \(A(4) = -3.5\text{,}\) \(A(5) = -2\text{,}\) \(A(6) = -0.5\text{.}\)
  5. Usa tu trabajo en (a)-(d) apropiadamente.
  6. \(B(x) = A(x) + \frac{1}{2}\text{.}\)

5.2 El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
5.2.1 El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Activity 5.2.2.

Answer.
  1. \(A'(x) = f(x)\text{.}\)
  2. \(A(1) = -\frac{\pi}{4}\text{.}\)
  3. \(A\) está aumentando donde \(f\) es positivo; \(A\) es cóncava hacia arriba donde \(f\) está aumentando. \(A(2) = 0\text{,}\) \(A(3) = -0.5\text{,}\) \(A(4) = -1.5\text{,}\) \(A(5) = -2\text{,}\) \(A(6) = -2 + \frac{\pi}{4}\text{,}\) y \(A(7) = -2 + \frac{\pi}{2}\text{.}\)
  4. \(F\) y \(A\) difieren por la constante \(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\text{.}\)
  5. \(B\) y \(C\) tienen la misma forma que \(A\) y \(F\text{,}\) y difieren de \(A\) por una constante. Observa que \(B(3) = 0\) y \(C(1) = 0\text{.}\)

5.2.2 Entendiendo las Funciones Integrales

Activity 5.2.3.

Answer.
  1. Ve el gráfico abajo a la izquierda.
  2. \(F' = f\text{.}\)
  3. \(F\) está aumentando para todo \(x \gt 0\text{;}\) \(F\) está disminuyendo para \(x \lt 0\)
  4. \(F\) es cóncava hacia arriba en \(-1 \lt x \lt 1\) y cóncava hacia abajo para \(x \lt -1\) y \(x \gt 1\text{.}\)
  5. \(F(5) \approx 1.64038\text{;}\) \(F(10) \approx 2.35973\text{.}\)
  6. Ve el gráfico abajo a la derecha.

5.2.3 Diferenciando una Función Integral

Activity 5.2.4.

Answer.
  1. \(\frac{d}{dx} \left[ \int_4^x e^{t^2} \, dt \right] = e^{x^2}\text{.}\)
  2. \(\int_{-2}^x \frac{d}{dt} \left[ \frac{t^4}{1+t^4} \right] \, dt = \frac{x^4}{1+x^4} - \frac{16}{17}\text{.}\)
  3. \(\frac{d}{dx} \left[ \int_{x}^1 \cos(t^3) \, dt \right] = -\cos(x^3)\text{.}\)
  4. \(\int_{3}^x \frac{d}{dt} \left[ \ln(1+t^2) \right] \, dt = \ln(1+x^2)-\ln(10)\text{.}\)
  5. \(\frac{d}{dx} \left[ \int_4^{x^3} \sin(t^2) \, dt \right] = \sin(x^6) \cdot 3x^2\text{.}\)

5.3 Integración por Sustitución
5.3.1 Revirtiendo la Regla de la Cadena: Primeros Pasos

Activity 5.3.2.

Answer.
  1. \(\int \sin(8-3x) \, dx = -\frac{1}{3} (-\cos(8-3x)) + C\text{.}\)
  2. \(\int \sec^2 (4x) \, dx = \frac{1}{4} \tan(4x) + C\text{.}\)
  3. \(\int \frac{1}{11x - 9} \, dx = \frac{1}{11} \ln|11x - 9| + C\text{.}\)
  4. \(\int \csc(2x+1) \cot(2x+1) \, dx = -\frac{1}{2}\csc(2x+1) + C\text{.}\)
  5. \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}}\, dx = \frac{1}{4} \arcsin(4x) + C\)
  6. \(\int 5^{-x}\, dx = -\frac{1}{\ln(5)}5^{-x} + C\text{.}\)

5.3.2 Revirtiendo la Regla de la Cadena: \(u\)-sustitución

Activity 5.3.3.

Answer.
  1. \(\int \frac{x^2}{5x^3+1} \, dx = \frac{1}{15} \ln(5x^3 + 1) + C\text{.}\)
  2. \(\int e^x \sin(e^x) \, dx = -\cos(e^x) + C\text{.}\)
  3. \(\int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sin(\sqrt{x}) + C\text{.}\)

5.3.3 Evaluando Integrales Definidas mediante sustitución \(u\)

Activity 5.3.4.

Answer.
  1. \(\int_{x=1}^{x=2} \frac{x}{1 + 4x^2} \, dx = \frac{1}{8} (\ln(17) - \ln(5))\text{.}\)
  2. \(\int_0^1 e^{-x} (2e^{-x}+3)^{9} \, dx = -\frac{1}{20}(2e^{-1}+3)^{10} + \frac{1}{20}(2e^{0}+3)^{10}\text{.}\)
  3. \(\int_{2/\pi}^{4/\pi} \frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} \,dx = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}\)

5.4 Integración por Partes
5.4.1 Revirtiendo la Regla del Producto: Integración por Partes

Activity 5.4.2.

Answer.
  1. \(\int t e^{-t} dt = -te^{-t} - e^{-t} + c\text{.}\)
  2. \(\int 4x \sin(3x) dx = -\dfrac{4}{3} x \cos(3x) + \frac{4}{9} \sin(3x) + c \text{.}\)
  3. \(\int z \sec^2(z) dz = z \tan(z) + \ln |\cos(z)| + c \text{.}\)
  4. \(\int x\ln(x) dx = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2 + c \text{.}\)

5.4.2 Algunas Sutilezas con la Integración por Partes

Activity 5.4.3.

Answer.
  1. \(\int{\arctan(x) dx} = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln \left( | 1 + x^2 | \right) + c \text{.}\)
  2. \(\int \ln(z) dz = z \ln(z) - z + c \text{.}\)
  3. \(\int t^3 \sin(t^2) dt = \frac{1}{2} \left( -t^2 \cos\left(t^2 \right) + \sin\left(t^2\right) \right) \text{.}\)
  4. \(\int s^5 e^{s^3} ds = \frac{1}{3} \left( s^3 e^{s^3} - e^{s^3} \right) + c \text{.}\)
  5. \(\int e^{2t} \cos\left( e^t \right) dt = e^t \sin \left( e^t \right) + \cos \left( e^t \right) + c \text{.}\)

5.4.3 Usando Integración por Partes Múltiples Veces

Activity 5.4.4.

Answer.
  1. \(\int x^2 \sin(x) dx = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) + c \text{.}\)
  2. \(\int t^3 \ln(t) dt = \frac{1}{4} t^4 \ln(t) - \frac{1}{16} t^4 + c \text{.}\)
  3. \(\int e^z \sin(z) dz = -\frac{1}{2}e^z \cos(z) + \frac{1}{2}e^z \sin(z) + c \text{.}\)
  4. \(\int s^2 e^{3s} ds = \frac{1}{3}s^2 e^{3s} - \frac{2}{9}s e^{3s} + \frac{2}{27} e^{3s} + c \text{.}\)
  5. \(\int t \arctan(t) dt = \frac{1}{2}t^2 \arctan(t) - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \arctan(t) + c \text{.}\)

5.5 Otras Opciones para Encontrar Antiderivadas Algebraicas
5.5.1 El Método de Fracciones Parciales

Activity 5.5.2.

Answer.
  1. \(\int \frac{1}{x^2 - 2x - 3} \, dx = \frac{1}{4}\ln|x-3| - \frac{1}{4}\ln|x+1| + C\text{.}\)
  2. \(\int \frac{x^2+1}{x^3 - x^2} \, dx = -\ln|x| + x^{-1} + 2\ln|x-1| + C\text{.}\)
  3. \(\int \frac{x-2}{x^4 + x^2}\, dx = \ln|x| + 2x^{-1} - \frac{1}{2} \ln|1+x^2| + 2\arctan(x) + C\text{.}\)

5.5.2 Usando una Tabla de Integrales

Activity 5.5.3.

Answer.
  1. \(\int \sqrt{x^2 + 4} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+4} + 2 \ln | x + \sqrt{x^2+4}| + C\text{.}\)
  2. \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 +4}} \, dx = \sqrt{x^2 + 4} + C\text{.}\)
  3. \(\int \frac{2}{\sqrt{16+25x^2}}\, dx = \frac{2}{5} \ln| 5x + \sqrt{16+25x^2} | + C\text{.}\)
  4. \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{49-36x^2}} \, dx = - \frac{\sqrt{49-36x^2}}{49x} + C\text{.}\)

5.6 Integración Numérica
5.6.1 La Regla del Trapecio

Activity 5.6.2.

Answer.
  1. \(\int_1^2 \dfrac{1}{x^2} dx = \dfrac{1}{2}\text{.}\)
  2. La tabla a continuación da valores de la regla del trapecio y errores correspondientes para diferentes valores de \(n\text{.}\)
    \(n\) \(T_n\) \(E_{T,n}\)
    \(4\) \(0.50899\) \(0.00899\)
    \(8\) \(0.50227\) \(0.00227\)
    \(16\) \(0.50057\) \(0.00057\)
  3. La tabla a continuación da valores de la regla del punto medio y errores correspondientes para diferentes valores de \(n\text{.}\)
    \(n\) \(M_n\) \(E_{M,n}\)
    \(4\) \(0.49555\) \(-0.00445\)
    \(8\) \(0.49887\) \(-0.00113\)
    \(16\) \(0.49972\) \(-0.00028\)
  4. La regla del trapecio sobreestima; la regla del punto medio subestima.
  5. \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\) es cóncava hacia arriba en \([1, 2]\text{.}\)

5.6.3 Regla de Simpson

Activity 5.6.3.

Answer.
  1. Grafica los datos.
  2. \(\int_0^{1.8} v(t) dt\text{.}\)
  3. \begin{align*} L_3 \amp = 165.6 \text{ ft } \amp R_3 \amp = 105.6 \text{ ft } \amp T_3 \amp = 135.6 \text{ ft}\text{.} \end{align*}
    \(R_3\) y \(T_3\) son subestimaciones.
  4. \(M_3 = 143.4 \text{ ft}\text{;}\) sobreestimación.
  5. \(S_6 = 140.8 \text{ ft}\text{.}\)
  6. La regla de Simpson da la mejor aproximación de la distancia recorrida, \(\int_0^{1.8} v(t) dt \approx 140.8 \text{ ft}\text{,}\) lo que lleva a \(AV_{[0,1.8]} \approx \frac{140.8}{1.8} \approx 78.22 \text{ ft/seg}\text{.}\)

5.6.4 Observaciones generales sobre \(L_n\text{,}\) \(R_n\text{,}\) \(T_n\text{,}\) \(M_n\) y \(S_{2n}\text{.}\)

Activity 5.6.4.

Answer.
  1. Para \(L_1\) y \(T_1\text{:}\)
    Table 5.6.10. Reglas de Izquierda y Trapecio.
    \(f\) \(g\) \(h\)
    \(L_1=2\) \(L_1=2\) \(L_1=2\)
    \(R_1=1\) \(R_1=1\) \(R_1=1\)
    Los valores de \(L_1\) y \(R_1\) son los mismos para los tres.
  2. Para el \(M_1\text{,}\)
    Table 5.6.11. Regla del Punto Medio.
    \(f\) \(g\) \(h\)
    \(M_1=\frac{7}{4}\) \(M_1=\frac{15}{8}\) \(M_1=\frac{31}{16}\)
  3. Para \(T_1\) y \(S_2\text{,}\)
    Table 5.6.12. Regla del Trapecio y de Simpson.
    \(f\) \(g\) \(h\)
    \(T_1=\frac{3}{2}\) \(T_1=\frac{3}{2}\) \(T_1=\frac{3}{2}\)
    \(S_2=\frac{5}{3} \approx 1.6667\) \(S_2=\frac{7}{4}\) \(S_2=\frac{43}{24} \approx 1.79167\)
  4. \begin{align*} \int_0^1 f(x) dx \amp = \frac{5}{3} \amp \int_0^1 g(x) dx \amp = \frac{7}{4} \amp \int_0^1 h(x) dx \amp = \frac{9}{5} \end{align*}
  5. Los resultados de la regla del extremo izquierdo son sobreestimaciones; las reglas del extremo derecho son subestimaciones; las reglas del punto medio son sobreestimaciones; las reglas del trapecio son subestimaciones. La regla de Simpson es exacta para ambas \(f\) y \(g\text{,}\) mientras que es una ligera subestimación de \(\int_0^1 h(x) dx\text{.}\)

6 Usando Integrales Definidas
6.1 Usando Integrales Definidas para Encontrar Área y Longitud
6.1.1 El Área Entre Dos Curvas

Activity 6.1.2.

Answer.
  1. \(A = \int_{0}^{16} (\sqrt{x} - \frac{1}{4}x) \, dx = \frac{32}{3}\text{.}\)
  2. \(A = \int_{-\sqrt{20}/3}^{\sqrt{20}/3} ((12-2x^2)-(x^2-8)) \, dx \frac{160 \sqrt{\frac{5}{3}}}{3} \approx 68.853\text{.}\)
  3. \(A = \int_0^\frac{\pi}{4} \left( \cos(x) - \sin(x) \right) dx = \sqrt{2} - 1\text{.}\)
  4. La región de la izquierda tiene un área de
    \begin{equation*} A_1 = \int_{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}}^0 \left( \left(x^3 - x \right) - x^2\right) dx = \dfrac{13 - 5\sqrt{5}}{24} \approx 0.075819\text{.} \end{equation*}
    La región de la derecha tiene un área de
    \begin{equation*} A_2 = \int_0^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \left( x^2 - \left(x^3 - x \right) \right) dx = \dfrac{13 + 5\sqrt{5}}{24} \approx 1.007514 \text{.} \end{equation*}

6.1.2 Encontrar el Área con Cortes Horizontales

Activity 6.1.3.

Answer.
  1. \(A = \int_{y=-\sqrt{2}}^{y=\sqrt{2}} (6-2y^2 - y^2) \, dy = 8\sqrt{2} \approx 11.314\text{.}\)
  2. \(A = \int_{y=-1}^{y=1} (2-2y^2-(1-y^2)) \, dy = \frac{4}{3}\text{.}\)
  3. \(\displaystyle A = \int_{y=0}^{y=1} \left(2-y - \sqrt{y} \right) \, dy = \frac{5}{6} \)
  4. \(A = \int_{0}^{3} (y - (y^2 - 2y)) \, dy = \frac{9}{2}\text{.}\)

6.1.3 Encontrar la longitud de una curva

Activity 6.1.4.

Answer.
  1. \(L \approx 2.95789\text{.}\)
  2. \(L = \int_{-2}^{2} \sqrt{\frac{4}{4-x^2}} \, dx = 2\pi\text{.}\)
  3. \(L = \int_0^1 \sqrt{1 + e^{6x}(9x^2 + 6x + 1)} \, dx \approx 20.1773\text{.}\)
  4. Usualmente tendremos que estimar el valor de \(\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx\) usando tecnología computacional.
  5. Aproximadamente \((14.9165,f(14.9165)) = (14.9165, 23.2502)\text{.}\)

6.2 Usando Integrales Definidas para Encontrar Volumen
6.2.1 El Volumen de un Sólido de Revolución

Activity 6.2.2.

Answer.
  1. \(V = \int_0^4 \pi (\sqrt{x})^2 \, dx = \int_0^4 \pi x \, dx = 8\pi\text{.}\)
  2. \(V = \int_0^4 \pi (4-(\sqrt{x})^2) \, dx = \int_0^4 \pi (4-x) \, dx = 8\pi\text{.}\)
  3. \(V = \int_0^1 \pi(x - x^6) \, dx = \frac{5}{14}\pi\text{.}\)
  4. \(V = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \pi( (x^2 + 4)^2 - (2x^2 + 1)^2) \, dx = \frac{136\sqrt{3}}{5}\pi\text{.}\)
  5. \(V = \int_0^2 \pi y^4 \, dy = \frac{32}{5}\pi\text{.}\)

6.2.2 Girando alrededor del eje \(y\)

Activity 6.2.3.

Answer.
  1. \(V = \int_0^2 \pi y^4 \Delta \, dy\text{.}\)
  2. \(V = \int_0^2 \pi (16 - y^4) \, dy\text{.}\)
  3. \(V = int_0^{\sqrt{2}} \pi ( 4x^2 - x^6 ) \, dx\text{.}\)
  4. \(V = \int_0^{2\sqrt{2}} \pi( y^{2/3} - y^2/4 ) \, dy\text{.}\)
  5. \(V = \int_0^3 \pi( (y+1)^2 - (y-1)^4 ) \, dy\text{.}\)

6.2.3 Girando alrededor de líneas horizontales y verticales distintas de los ejes coordenados

Activity 6.2.4.

Answer.
  1. \begin{equation*} V = \int_{0}^{\sqrt{2}} \pi ( (2x+2)^2 - (x^3 + 2)^2 ) \, dx = \frac{4}{21}(21+8\sqrt{2}) \pi \approx 19.336\text{.} \end{equation*}
  2. \begin{equation*} V = \int_{0}^{\sqrt{2}} \pi ( (4 - x^3)^2 - (4-2x)^2 ) \, dx = \left( 8-\frac{32\sqrt{2}}{21} \right)\pi \approx 18.3626\text{.} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} V = \int_{0}^{2\sqrt{2}} \pi( (y^{1/3} + 1)^2 - (\frac{1}{2}y + 1)^2 ) \, dy = \frac{2}{15}(15 + 8\sqrt{2}) \pi \approx 11.022\text{.} \end{equation*}
  4. \begin{equation*} V = \int_{0}^{2\sqrt{2}} \pi( (5 - \frac{1}{2}y)^2 - (5 - y^{1/3})^2 ) \, dy = \frac{2}{15}(75-8\sqrt{2})\pi \approx 26.677\text{.} \end{equation*}

6.3 Densidad, Masa y Centro de Masa
6.3.1 Densidad

Activity 6.3.2.

Answer.
  1. \(M = 10 - 10e^{-2} \approx 8.64665\) gramos.
    1. \(V = \int_{0}^{5} \pi (4 - \frac{4}{5}x)^2 \, dx = \frac{80\pi}{3} \approx 83.7758 \mbox{m}^3\text{.}\)
    2. \(M = \frac{64000\pi}{3} \approx 67020.6433 \mbox{kg} \text{.}\)
    3. \(\displaystyle M = \int_{0}^{5} (400 + \frac{200}{1+x^2}) \cdot \pi (4-\frac{4}{5}x)^2 \, dx = 128 \pi (\frac{265}{3} + 24 \arctan(5) - 5 \ln(26)) \approx 42224.8024 \mbox{kg}\)
  3. \(b \approx 3.0652\text{.}\)

6.3.2 Promedios Ponderados

Activity 6.3.3.

Answer.
  1. \(\overline{x} = \frac{x_1 + x_2}{2} = 3\text{.}\)
  2. \(\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = 3\text{.}\)
  3. \(\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = 2.75\text{.}\)
  4. \(\overline{x} = \frac{2x_1 + 3x_2 + 1x_3 + 1x_4}{7} = \frac{16}{7}\text{.}\)
  5. \(\overline{x} = \frac{2x_1 + 3x_2 + 1x_3 + 1x_4}{7} = \frac{17}{7}\text{.}\)
  6. \(\overline{x} = \frac{2x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 1x_4}{8} = \frac{20}{8}\text{.}\)
  7. Las respuestas variarán.
  8. Si tenemos una disposición y un punto de equilibrio existentes, mover una de las ubicaciones hacia la izquierda moverá el punto de equilibrio hacia la izquierda; de manera similar, mover una de las ubicaciones hacia la derecha moverá el punto de equilibrio hacia la derecha. Si en cambio agregamos peso a una ubicación existente, si esa ubicación está a la izquierda del punto de equilibrio, el punto de equilibrio se moverá hacia la izquierda; el comportamiento es similar si está a la derecha.

6.3.3 Centro de Masa

Activity 6.3.4.

Answer.
  1. \(M = \int_{0}^{20} 4 + 0.1x \, dx = 100\) g.
  2. Mayor que 10.
  3. \(\overline{x} = \frac{\int_{0}^{20} x (4 + 0.1x)) \, dx}{\int_{0}^{20} 4 + 0.1x \, dx} = \frac{32}{3}\text{.}\)
  4. 5 g/cm.
  5. Ligeramente a la derecha del centro de masa para \(\rho(x)\text{.}\)
  6. \(\overline{x} = \frac{\int_{0}^{20} x 4e^{0.020732x} \, dx}{\int_{0}^{20} 4e^{0.020732x} \, dx} \approx 10.6891\text{,}\)

6.4 Aplicaciones de Física: Trabajo, Fuerza y Presión
6.4.1 Trabajo

Activity 6.4.2.

Answer.
  1. \(W = \int_0^{200} 0.3(200-h) \, dh = 6000 \text{ foot-pounds}\text{.}\)
  2. \(W = \int_0^{100} (40-0.1h) \, dh = 3500 \text{foot-pounds}\text{.}\)
  3. \(B_{\text{AVG} [0,100]} \approx 25.9798 \text{ pounds}\text{.}\)
  4. Para el resorte dado,
    1. \(k = 15\text{.}\)
    2. \(W = \int_0^1 15x \, dx = \frac{15}{2} \text{ foot-pounds}\text{.}\)
    3. \(W = \int_1^{1.5} 15x \, dx = 9.375 \text{ foot-pounds}\text{.}\)

6.4.2 Trabajo: Bombear Líquido de un Tanque

Activity 6.4.3.

Answer.
  1. \begin{equation*} W = \int_{2}^{3} 9.81 \cdot 4000\pi \cdot x \, dx = 308~190 \, \text{newton-meters}\text{.} \end{equation*}
  2. \begin{equation*} W = \int_{3}^{8} 62.4 \pi (100-x^2)(x+5) \, dx \approx 673593 \, \text{foot-pounds}\text{.} \end{equation*}
  3. \begin{equation*} W = \int_{1}^{3} 62.4 (50 - \frac{25}{2}x) x \, dx = 5720 \, \text{foot-pounds}\text{.} \end{equation*}

6.4.3 Fuerza debida a la Presión Hidrostática

Activity 6.4.4.

Answer.
  1. \(F = \int_{x = 0}^{x=50} (6240 x) dx = 7~800~000 \text{ pounds } \text{.}\)
  2. \(F = \int_{x=10}^{x=30} 124.8 (x - 10)\sqrt{900 - x^2} dx = 800~244 \text{ pounds } \text{.}\)
  3. \(F = \int_{x=1}^{x=4} 62.4 (x - 1)(5 - 1.25x) dx = 351 \text{ pounds } \text{.}\)

6.5 Integrales Impropias
6.5.1 Integrales Impropias que Involucran Intervalos Ilimitados

Activity 6.5.2.

Answer.
    1. \(\int_1^{10} \frac{1}{x} dx = \ln(10)\) \(\int_1^{1000} \frac{1}{x} dx = \ln(1000)\) \(\int_1^{100000} \frac{1}{x} dx = \ln(100000)\)
    2. \(\int_1^b \frac{1}{x} dx = \ln(b)\text{.}\)
    3. \(\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to \infty} \ln(b) = \infty\)
    1. \(\int_1^{10} \frac{1}{x^{3/2}} dx = 2 - \frac{2}{\sqrt{10}}\) \(\int_1^{1000} \frac{1}{x^{3/2}} dx = 2 - \frac{2}{\sqrt{1000}}\) \(\int_1^{100000} \frac{1}{x^{3/2}} dx = 2 - \frac{2}{\sqrt{100000}}\)
    2. \(\int_1^b \frac{1}{x^{3/2}} dx = 2 - \frac{2}{\sqrt{b}}\text{.}\)
    3. \(\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^{3/2}} dx = \lim_{b \to \infty} \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{b}} \right) = 2\)
  3. Ambas gráficas tienen una asíntota vertical en \(x = 0\) y para ambas gráficas, el eje \(x\) es una asíntota horizontal. Sin embargo, la gráfica de \(y = \frac{1}{x^{3/2}}\) ’’se acercará al eje \(x\) más rápido’’ que la gráfica de \(y = \frac{1}{x}\text{.}\)
  4. El área delimitada por la gráfica de \(y = \frac{1}{x}\text{,}\) el eje \(x\text{,}\) y la línea vertical \(x = 1\) es infinita o ilimitada. Sin embargo, el área delimitada por la gráfica de \(y = \frac{1}{x^{3/2}}\text{,}\) el eje \(x\text{,}\) y la línea vertical \(x = 1\) es igual a 2.

6.5.2 Convergencia y Divergencia

Activity 6.5.3.

Answer.
  1. \(\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1 \)
  2. \(\displaystyle \int_0^\infty e^{-x/4} dx = 4 \)
  3. \(\displaystyle \int_2^\infty \frac{9}{(x+5)^{2/3}} dx = \infty \)
  4. \(\displaystyle \int_4^\infty \frac{3}{(x+2)^{5/4}} dx = \frac{12}{6^{1/4}} \)
  5. \(\displaystyle \int_0^\infty x e^{-x/4} dx = 16 \)
  6. Si \(0 \lt p \lt 1\text{,}\) \(\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx\) diverge, mientras que si \(p \gt 1\text{,}\) la integral converge.

6.5.3 Integrales Impropias con Integrandos No Acotados

Activity 6.5.4.

Answer.
  1. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^{1/3}}dx = \frac{3}{2} \)
  2. \(\displaystyle \int_0^2 e^{-x} dx = 1 - e^{-2} \)
  3. \(\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{4-x}} dx = 2\sqrt{3} \)
  4. \(\int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} \, dx\) diverge.
  5. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \tan(x) dx = \infty \)
  6. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2} \)

7 Ecuaciones Diferenciales
7.1 Una Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
7.1.1 ¿Qué es una ecuación diferencial?

Activity 7.1.2.

Answer.
  1. Sea \(P\) la población \(t\) el tiempo en años; \(\frac{dP}{dt} = 0.0125P\text{.}\)
  2. Sea \(m\) la masa \(t\) el tiempo en días; \(\frac{dm}{dt} = -0.056m\text{.}\)
  3. Sea \(B\) el saldo \(t\) el tiempo en años; \(\frac{dB}{dt} = 0.04B - 1000\text{.}\)
  4. Sea \(t\) el tiempo en minutos \(H\) la temperatura del chocolate caliente; \(\frac{dH}{dt} = -0.1(H - 70)\text{.}\)
  5. Sea \(t\) el tiempo en minutos y \(H\) la temperatura del refresco;
    \begin{equation*} \frac{dH}{dt} = 0.1(70 - H) = -0.1(H - 70)\text{.} \end{equation*}

7.1.2 Ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea

Activity 7.1.3.

Answer.
  1. Para el paracaidista:
    \begin{align*} \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 0.5)} \amp \approx 1.5 \amp \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 1)} \amp \approx 1.2 \amp \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 1.5 )} \amp \approx 0.9\\ \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 2)} \amp \approx 0.6 \amp \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 2.5)} \amp \approx 0.3 \end{align*}
  2. Para el meteorito:
    \begin{align*} \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 3.5)} \amp \approx -0.3 \amp \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 4)} \amp \approx -0.6\\ \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 4.5)} \amp \approx -0.9 \amp \left. \frac{dv}{dt}\right|_{(v = 5)} \amp \approx -1.2 \end{align*}
    Un gráfico de los puntos de las partes (a) y (b) se muestra en el siguiente diagrama:
  3. \(\frac{dv}{dt} = -0.6v + 1.8\text{.}\)
  4. La tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo es una función lineal de la velocidad.
  5. \(0 \lt v \lt 3\text{.}\)
  6. \(3 \lt v \lt 5\text{.}\)
  7. \(v = 3\text{.}\)

7.1.3 Resolviendo una ecuación diferencial

Activity 7.1.4.

Answer.
  1. \(v(t) = 1.5t - 0.25t^2\) no es una solución a la DE dada.
  2. \(v(t) = 3 + 2e^{-0.5t}\) es una solución a la DE dada.
  3. \(v(t) = 3\) es una solución a la DE dada.
  4. \(v(t) = 3 + Ce^{-0.5t}\) es una solución a la DE dada para cualquier elección de \(C\text{.}\)

7.2 Comportamiento cualitativo de las soluciones a las EDO
7.2.1 Campos de pendientes

Activity 7.2.2.

Answer.
  1. Cuando \(y \lt 4\text{,}\) \(y\) es una función creciente de \(t\text{.}\) Cuando \(y \gt 4\text{,}\) \(y\) es una función decreciente de \(t\text{.}\)
  4. \begin{equation*} \frac{dy}{dt} = 2 \left( -\frac{1}{2} e^{-t/2} \right) = -e^{-t/2} \end{equation*}
    y
    \begin{equation*} -\frac{1}{2}( y - 4 ) = -\frac{1}{2} \left( 4 + 2e^{-t/2} \right) = -e^{-t/2} \end{equation*}
    Además, \(y(0) = 4 + 2e^0 = 6\text{.}\)
  5. Una función constante.

7.2.2 Soluciones de equilibrio y estabilidad

Activity 7.2.3.

Answer.
  1. Cuando \(y \lt 0\) y cuando \(y \gt 4\text{,}\) \(y\) es una función decreciente de \(t\text{.}\) Cuando \(0 \lt y \lt 4\text{,}\) \(y\) es una función creciente de \(t\text{.}\)
  2. \(y = 0\) y \(y = 4\text{.}\)
  5. \(y = 4\) es estable; \(y = 0\) es inestable.
  6. Tienden a 4.
  7. Figura 7.2.12 es para un equilibrio inestable; Figura 7.2.13 es para un equilibrio estable.

7.3 Método de Euler
7.3.1 Método de Euler

Activity 7.3.2.

Answer.
  1. \(t_i\) \(y_i\) \(dy/dt\) \(\Delta y\)
    \(0\) \(0\) \(-1\) \(-0.2\)
    \(0.2\) \(-0.2\) \(-0.6\) \(-0.12\)
    \(0.4\) \(-0.32\) \(-0.2\) \(-0.04\)
    \(0.6\) \(-0.36\) \(0.2\) \(0.04\)
    \(0.8\) \(-0.32\) \(0.6\) \(0.12\)
    \(1.0\) \(-0.2\) \(1\) \(0.2\)
  2. \(y = t^2 - t\text{,}\) con errores \(e_1 = 0.04\text{,}\) \(e_2 = 0.08\text{,}\) \(e_3 = 0.12\text{,}\) \(e_4 = 0.16\text{,}\) \(e_5 = 0.2\text{.}\)
  3. Si primero pensamos en cómo se genera \(y_1\) para el problema de valor inicial \(\frac{dy}{dt} = f(t) = 2t-1, \ y(0) = 0\text{,}\) vemos que \(y_1 = y_0 + \Delta t \cdot f(t_0)\text{.}\) Dado que \(y_0 = 0\text{,}\) tenemos \(y_1 = \Delta t \cdot f(t_0)\text{.}\) A partir de ahí, sabemos que \(y_2\) se da por \(y_2 = y_1 + \Delta t f(t_1)\text{.}\) Sustituyendo nuestro resultado anterior para \(y_1\text{,}\) vemos que \(y_2 = \Delta t \cdot f(t_0) + \Delta t f(t_1)\text{.}\) Continuando este proceso hasta \(y_5\text{,}\) obtenemos
    \begin{equation*} y_5 = \Delta t \cdot f(t_0) + \Delta t f(t_1) + \Delta t f(t_2) + \Delta t f(t_3) + \Delta t f(t_4) \end{equation*}
    Esto es precisamente la suma de Riemann a la izquierda con cinco subintervalos para la integral definida \(\int_0^1 (2t-1)~dt\text{.}\)
  4. Las soluciones a esta ecuación diferencial difieren solo por una constante.

Activity 7.3.3.

Answer.
  2. \(y = 0\) o \(y = 6\text{;}\) \(y = 0\) es inestable, \(y = 6\) es estable.
  3. La solución tenderá a \(y = 6\text{.}\)
  4. \(t_i\) \(y_i\) \(dy/dt\) \(\Delta y\)
    \(0.0\) \(1.0000\) \(5.0000\) \(1.0000\)
    \(0.2\) \(2.0000\) \(8.0000\) \(1.6000\)
    \(0.4\) \(3.6000\) \(8.6400\) \(1.7280\)
    \(0.6\) \(5.3280\) \(3.5804\) \(0.7161\)
    \(0.8\) \(6.0441\) \(-0.2664\) \(-0.0533\)
    \(1.0\) \(5.9908\) \(0.0551\) \(0.0110\)
  5. El valor de \(y_i = 6\) para cada valor de \(i\text{.}\)

7.4 Ecuaciones diferenciales separables
7.4.1 Resolviendo ecuaciones diferenciales separables

Activity 7.4.2.

Answer.
  1. \(\displaystyle \frac{dP}{dt} = 0.03 P\)
  2. \(P = Ce^{0.03t}\text{.}\)
  3. \(P = 10000 e^{0.03t}\text{.}\)
  4. El tiempo de duplicación es \(t = \frac{\ln(2)}{0.03} \approx 23.105\) años.
  5. El tiempo de duplicación es \(t = \frac{1}{k} \ln(2)\text{.}\)

Activity 7.4.3.

Answer.
  1. \(\displaystyle k = \frac{1}{30}\)
  2. \(\displaystyle T = 75 + Ce^{-t/30}\)
  3. La temperatura del café tiende a 75 grados.
  4. \(T(20) = 75 + 30e^{-2/3} \approx 90.4^\circ\)F.
  5. \(t = -30 \ln \left( \frac{1}{6} \right) \approx 53.75\) minutos.

Activity 7.4.4.

Answer.
  1. \(y = -1 + C e^{\left(2t - \frac{t^2}{2} \right)}\text{.}\)
  2. \(y = \frac{1}{2} \ln \left( e^{t^2} + C \right)\text{.}\)
  3. \(y = -1 + 3 e^{2t}\text{.}\)
  4. \(y = -\frac{1}{2t + \frac{3}{2}} = -\frac{2}{4t + 3}\text{.}\)
  5. \(y = \frac{4}{t^2 + 1}\text{.}\)

7.5 Modelado con ecuaciones diferenciales
7.5.1 Desarrollando una ecuación diferencial

Activity 7.5.2.

Answer.
  1. \(\frac{dA}{dt} = 0.05A\text{.}\)
  2. \(\frac{dA}{dt} = 0.05A - 10000\text{.}\)
  3. La única solución de equilibrio es \(A = 200000\text{.}\)
  4. \(t = 20 \ln(2) \approx 13.86\) años.
  5. Al menos $200000.
  6. Hasta $15000 cada año.

Activity 7.5.3.

Answer.
  1. \(\frac{dM}{dt} = -kM\text{,}\) donde \(k\) es una constante positiva.
  2. \(k = -\frac{1}{2} \ln \left( \frac{1}{2} \right) \approx 0.34657\text{.}\)
  3. \(\frac{dM}{dt} = 3 - kM\text{,}\) donde \(k\) es una constante positiva.
  4. La solución de equilibrio \(mM = \frac{3}{k}\) es estable.
  5. \(M = \frac{3}{k} \left( 1 - e^{-kt} \right)\text{.}\)
  6. Aproximadamente 2.426 miligramos por hora.

7.6 Crecimiento de la Población y la Ecuación Logística
7.6.1 La población de la tierra

Activity 7.6.2.

Answer.
  1. \(P'(0) \approx 0.0755\text{.}\)
  2. \(P(0) = 6.084\text{.}\)
  3. \(k \approx 0.012041\text{.}\)
  4. \(P(t) = 6.084 e^{0.012041t}\text{.}\)
  5. \(P(10) \approx 6.8878\text{.}\)
  6. \(t = \frac{1}{0.012041} \ln \left( \frac{12}{6.084}\right) \approx 56.41\text{,}\) o en el año 2056.
  7. \(P(500) \approx 3012.3\) mil millones.

7.6.2 Resolviendo la ecuación diferencial logística

Activity 7.6.3.

Answer.
  1. Cuando \(P = \frac{N}{2}\text{.}\)
  2. Cuando la población es de 6.125 mil millones.
  3. \(P = \frac{12.5}{1.0546e^{-0.025t} + 1} \text{;}\) \(P(100) = 11.504\) mil millones.
  4. \(t = \frac{1}{-0.025} \ln \left( \frac{\left( \frac{12.5}{9} - 1 \right)}{1.0546}\right) \approx 39.9049\) (así que en el año \(2040\) aproximadamente).
  5. \(\lim_{t \to \infty} P(t) = N\text{.}\)

8 Sucesiones y Series
8.1 Secuencias
8.1.1 Secuencias

Activity 8.1.2.

Answer.
  1. \(s_n = n\text{.}\) Aquí se muestra un gráfico de los primeros 50 puntos en la secuencia.
    Esta secuencia no tiene un límite cuando \(n\) tiende a infinito.
  2. \(s_n\) es \(s_n = \frac{1}{n}\text{.}\) Aquí se muestra un gráfico de los primeros 50 puntos en la secuencia.
    Esta secuencia tiene un límite de 0 cuando \(n\) tiende a infinito.
  3. \(s_n = \frac{n+1}{n}\text{.}\) Aquí se muestra un gráfico de los primeros 50 puntos en la secuencia.
    Esta secuencia tiene un límite de 1 cuando \(n\) tiende a infinito.

Activity 8.1.4.

Answer.
  1. La secuencia \(\left\{\frac{1+2n}{3n-2}\right\}\) converge a \(\frac{2}{3}\text{.}\)
  2. La secuencia \(\left\{\frac{5+3^n}{10+2^n}\right\}\) diverge al infinito.
  3. \(\frac{10^n}{n!} \to 0\) cuando \(n \to \infty\text{.}\)

8.2 Series Geométricas
8.2.1 Series Geométricas

Activity 8.2.2.

Answer.
  1. \(rS_n = ar+ar^2+ar^3 + \cdots + ar^n \text{.}\)
  2. \(S_n - rS_n = a - ar^n\text{.}\)
  3. \(S_n = a\frac{1-r^n}{1-r}\text{.}\)

Activity 8.2.3.

Answer.
  1. Observa que
    \begin{equation*} S = \lim_{n \to \infty} S_n\text{.} \end{equation*}
  2. Si \(r \gt 1\text{,}\) entonces \(\lim_{n \to \infty} r^n = \infty\text{.}\) Si \(0 \lt r \lt 1\text{,}\) entonces \(\lim_{n \to \infty} r^n = 0\text{.}\)
  3. Dado que
    \begin{equation*} S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a\frac{1-r^n}{1-r} \end{equation*}
    y
    \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} r^n = 0 \end{equation*}
    para \(0 \lt r \lt 1\text{,}\) concluimos que
    \begin{equation*} S = \lim_{n \to \infty} a\frac{1-r^n}{1-r} = \frac{a}{1-r} \end{equation*}
    cuando \(0 \lt r \lt 1\text{.}\)

Activity 8.2.4.

Answer.
  1. \((2)\left(\frac{1}{3}\right) \left[1 + \left(\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cdots \right] \text{.}\)
  2. \(ar^3+ar^4+ar^5 + \cdots = \frac{ar^3}{1-r}\text{.}\)
  3. \(r^n+ar^{n+1}+ar^{n+2} + \cdots = \frac{ar^n}{1-r}\text{.}\)

8.3 Series de Números Reales
8.3.1 Series Infinitas

Activity 8.3.2.

Answer.
  1. Ve la tabla en parte c.
  2. Ve la tabla en parte c.
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{1} \frac{1}{k^2}=1\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{2} \frac{1}{k^2}=1.25\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k^2}=1.361111111\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{k^2}=1.423611111\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{5} \frac{1}{k^2}=1.463611111\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{6} \frac{1}{k^2}=1.491388889\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{7} \frac{1}{k^2}=1.511797052\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k^2}=1.527422052\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k^2}=1.539767731\)
    • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} =1.549767731 \phantom{1.54976773}\)
  4. Parece que \(\{S_n\}\) converge a algo un poco mayor que 1.5.

8.3.2 La Prueba de Divergencia

Activity 8.3.3.

Answer.
  1. \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k \text{.}\)
  2. \(S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} a_k \text{.}\)
  3. \(\sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = a_{n} \text{.}\)
  4. \(\lim_{n \to \infty} S_n = L\) y \(\lim_{n \to \infty} S_{n-1} = L\text{.}\)
  5. Tenemos \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(S_n - S_{n-1}\right) = 0 \text{.}\)

Activity 8.3.4.

Answer.
  1. \(\sum \frac{k}{k+1}\) diverge.
  2. \(\sum (-1)^k\) diverge.
  3. La Prueba de Divergencia no se aplica.

8.3.3 La Prueba del Integral

Activity 8.3.5.

Answer.
  1. La \(n\)-ésima suma parcial de la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) es la suma de Riemann por la izquierda de \(f(x)\) en el intervalo \([1,n]\text{.}\)
  2. \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \gt \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \ dx \text{.}\)
  3. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \gt \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \ dx \text{.}\)
  4. \(\int_{1}^{\infty} f(x) \ dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} \ dx \infty \) así que la serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) diverge.

Activity 8.3.6.

Answer.
  1. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\) converge.
  2. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) converge cuando \(p \gt 1\text{.}\)
  3. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) diverge cuando \(p \lt 1\text{.}\)
  4. La serie \(p\) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) converge si y solo si \(p \gt 1\text{.}\)

8.3.4 La Prueba de Comparación de Límites

Activity 8.3.7.

Answer.
  1. \(\frac{k+1}{k^3+2}\) se parece a \(\frac{k}{k^3}\) cuando \(k\) es grande.
  2. \(\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = 1\) así que \(a_k \approx b_k\) para valores grandes de \(k\text{.}\)
  3. \(\sum \frac{k+1}{k^3+2}\) converge.

Activity 8.3.8.

Answer.
\(\sum \frac{k^2+1}{k^4+2k+2}\) converge.

8.3.5 La Prueba del Cociente

Activity 8.3.9.

Answer.
  1. \(k\) \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\)
    \(5\) 0.6583679115
    \(10\) 0.6665951585
    \(20\) 0.6666666642
    \(21\) 0.6666666658
    \(22\) 0.6666666664
    \(23\) 0.6666666666
    \(24\) 0.6666666666
    \(25\) 0.6666666667
  2. \(\frac{a_{k+1}}{a_k} \approx \frac{2}{3}\) cuando \(k\) es grande.
  3. \(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\) converge.

Activity 8.3.10.

Answer.
  1. \(\sum \frac{n}{2^n}\) converge.
  2. \(\sum \frac{k^3+2}{k^2+1}\) diverge.
  3. \(\sum \frac{10^k}{k!}\) converge.
  4. \(\sum \frac{k^3-2k^2+1}{k^6+4}\) converge.

8.4 Series Alternantes
8.4.1 La Prueba de Series Alternantes

Activity 8.4.2.

Answer.
  1. \(\sum_{k=1}^{1} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(1\) \(\sum_{k=1}^{6} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.6166666667\)
    \(\sum_{k=1}^{2} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.5\) \(\sum_{k=1}^{7} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.7595238095\)
    \(\sum_{k=1}^{3} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.8333333333\) \(\sum_{k=1}^{8} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.6345238095\)
    \(\sum_{k=1}^{4} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.5833333333\) \(\sum_{k=1}^{9} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.7456349206\)
    \(\sum_{k=1}^{5} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.7833333333\) \(\sum_{k=1}^{10} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\) \(0.6456349206\)
  2. Parece haber un límite para la secuencia de sumas parciales.

Activity 8.4.3.

Answer.
  1. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2+2}\) converge.
  2. \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}k}{k+5}\) diverge.
  3. \(\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln(k)}\) converge.

8.4.2 Estimando Sumas Alternantes

Activity 8.4.4.

Answer.
\(S_{10} \approx 0.9469925924\text{;}\) \(\frac{7}{720} \pi^4 \approx 0.9470328299\text{.}\)

8.4.3 Convergencia Absoluta y Condicional

Activity 8.4.5.

Answer.
  1. \(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \lt \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \text{.}\)
  2. \(1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \gt \sum_{k=1}^{\infty} -\frac{1}{k^2} \text{.}\)
  3. Esperamos que esta serie converja a algún número finito entre \(\sum_{k=1}^{\infty} -\frac{1}{k^2}\) y \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{.}\)

Activity 8.4.6.

Answer.
    1. \(\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k}\) converge.
    2. \(\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k}\) converge condicionalmente.
    1. \(\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k^2}\) converge.
    2. \(\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k^2}\) converge absolutamente.

8.4.4 Resumen de Pruebas para la Convergencia de Series

Activity 8.4.7.

Answer.
  1. \(\sum_{k=3}^{\infty} \ \frac{2}{\sqrt{k-2}}\) diverge.
  2. \(\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{k}{1+2k}\) diverge.
  3. \(\sum_{k=0}^{\infty} \ \frac{2k^2+1}{k^3+k+1}\) diverge.
  4. \(\sum_{k=0}^{\infty} \ \frac{100^k}{k!}\) converge.
  5. \(\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{2^k}{5^k}\) es una serie geométrica con razón \(\frac{2}{5}\) y suma \(\frac{2}{3}\text{.}\)
  6. \(\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{k^3-1}{k^5+1}\) converge.
  7. \(\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{3^{k-1}}{7^k}\) es una serie geométrica convergente con \(a = \frac{3}{49}\) y \(r = \frac{3}{7}\) y suma \(\frac{3}{28}\text{.}\)
  8. \(\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{1}{k^k}\) converge.
  9. \(\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k+1}}\) converge.
  10. \(\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{1}{k \ln(k)}\) diverge.
  11. \(\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\ln(k)}\) converge muy lentamente.

8.5 Polinomios de Taylor y Series de Taylor
8.5.1 Polinomios de Taylor

Activity 8.5.2.

Answer.
    1. \(f^{(k)}(0) = k! \text{.}\)
    2. \begin{equation*} P_n(x) = \sum_{k=0}^n x^k\text{.} \end{equation*}
    1. \(f^{(k)}(0) = 0 \text{ si } k \text{ es impar, y } f^{(2k)}(0) = (-1)^k \text{.}\)
    2. \(P_n(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{n/2}\frac{x^n}{n!}\) si \(n\) es par y \(P_n(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{(n-1)/2}\frac{x^(n-1)}{(n-1)!}\) si \(n\) es impar.
    1. \(f^{(k)}(0) = 0 \text{ si } k \text{ es par } \ \ \ \text{ y } \ \ \ f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k \text{.}\)
    2. \(P_n(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{(n-1)/2}\frac{x^n}{n!}\) si \(n\) es impar y \(P_n(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{n/2+1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\) si \(n\) es par.

8.5.2 Series de Taylor

Activity 8.5.3.

Answer.
  1. \(\displaystyle P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots\)
  2. \(P(x) = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \cdots + (-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}x^{2n} + \cdots \text{.}\)
  3. \(P(x) = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \cdots + (-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1} + \cdots \text{.}\)
  4. \(\displaystyle P_n(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n\)

Activity 8.5.4.

Answer.
  1. Parece que a medida que aumentamos el orden de los polinomios de Taylor, se ajustan mejor y mejor al gráfico de \(f\) en intervalos más grandes.
  2. Parece que a medida que aumentamos el orden de los polinomios de Taylor, se ajustan mejor y mejor al gráfico de \(f\) en intervalos más grandes.
  3. Los polinomios de Taylor convergen a \(\frac{1}{1-x}\) solo en el intervalo \((-1,1)\text{.}\)

8.5.3 El Intervalo de Convergencia de una Serie de Taylor

Activity 8.5.5.

Answer.
  1. El intervalo \((-1,1)\text{.}\)
  2. \((-\infty, \infty)\text{.}\)
  3. \((-\infty, \infty)\text{.}\)

8.5.4 Aproximaciones de Error para Polinomios de Taylor

Activity 8.5.6.

Answer.
\(n \ge 27\text{.}\)

Activity 8.5.7.

Answer.
  1. Compara Example 8.5.6.
    1. Usa el hecho de que \(|f^{(n)}(x)| \le e^c\) en el intervalo \([0,c]\) para cualquier valor positivo fijo de \(c\text{.}\)
    2. Repite el argumento en (a) pero reemplaza \(e^c\) con \(1\text{,}\) y todo lo demás se mantiene igual.
    3. Combina los resultados de (a) y (b)
  3. \(n = 28\text{.}\)

8.6 Series de Potencias
8.6.1 Series de Potencias

Activity 8.6.2.

Answer.
  1. \([0,2)\text{.}\)
  2. \((-1,1)\text{.}\)
  3. \((-5,3)\text{.}\)
  4. \((-\infty, \infty)\text{.}\)
  5. \(\{0\}\text{.}\)

8.6.2 Manipulando Series de Potencias

Activity 8.6.3.

Answer.
  1. \(\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k\) para \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)
  2. \(f(x) = g(-x^2) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^{2k}\text{.}\)
  3. \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)

Activity 8.6.4.

Answer.
  1. \(f'(x) = - x + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^k \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} + \cdots \text{.}\)
  2. \(\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x) \text{.}\)
  3. \(f''(x) = - 1 + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots \text{.}\)

Activity 8.6.5.

Answer.
\(\ln(1+x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} \text{.}\) para \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)
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