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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 6.2 Usando Integrales Definidas para Encontrar Volumen

Así como podemos usar integrales definidas para sumar las áreas de rebanadas rectangulares y encontrar el área exacta que se encuentra entre dos curvas, también podemos usar integrales para encontrar el volumen de regiones cuyas secciones transversales tienen una forma particular.
En particular, podemos determinar el volumen de sólidos cuyas secciones transversales son todos cilindros delgados (o arandelas) sumando los volúmenes de estas rebanadas individuales. Primero consideramos una forma familiar en Actividad de Vista Previa 6.2.1: un cono circular.

Actividad Introductoria 6.2.1.

Considera un cono circular de radio 3 y altura 5, que vemos horizontalmente como se muestra en Figura 6.2.1. Nuestro objetivo en esta actividad es usar una integral definida para determinar el volumen del cono.
Figure 6.2.1. El cono circular descrito en Actividad de Vista Previa 6.2.1
  1. Encuentra una fórmula para la función lineal \(y = f(x)\) que se muestra en Figura 6.2.1.
  2. Para la rebanada representativa de grosor \(\Delta x\) que se encuentra horizontalmente en una ubicación \(x\) (en algún lugar entre \(x = 0\) y \(x = 5\)), ¿cuál es el radio de la rebanada representativa? Nota que el radio depende del valor de \(x\text{.}\)
  3. ¿Cuál es el volumen de la rebanada representativa que encontraste en (b)?
  4. ¿Qué integral definida sumará los volúmenes de las rebanadas delgadas a lo largo de toda la extensión horizontal del cono? ¿Cuál es el valor exacto de esta integral definida?
  5. Compara el resultado de tu trabajo en (d) con el volumen del cono que se obtiene usando la fórmula \(V_{\text{cono} } = \frac{1}{3} \pi r^2 h\text{.}\)

Subsection 6.2.1 El Volumen de un Sólido de Revolución

Un sólido de revolución es un sólido tridimensional que se puede generar girando una o más curvas alrededor de un eje fijo. Por ejemplo, el cono circular en Figura 6.2.1 es el sólido de revolución generado al girar la porción de la línea \(y = 3 - \frac{3}{5}x\) desde \(x = 0\) hasta \(x = 5\) alrededor del eje \(x\text{.}\) Observa que si cortamos un sólido de revolución perpendicular al eje de revolución, la sección transversal resultante es un círculo.
Primero consideramos sólidos cuyas rebanadas son cilindros delgados. Recuerda que el volumen de un cilindro está dado por \(V = \pi r^2 h\text{.}\)

Example 6.2.2.

Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región \(R\) delimitada por \(y = 4-x^2\) y el eje \(x\) se gira alrededor del eje \(x\text{.}\)
Solution.
Primero, observamos que \(y = 4-x^2\) intersecta el eje \(x\) en los puntos \((-2,0)\) y \((2,0)\text{.}\) Cuando giramos la región \(R\) alrededor del eje \(x\text{,}\) obtenemos el sólido tridimensional representado en Figura 6.2.3.
Figure 6.2.3. El sólido de revolución en Ejemplo 6.2.2.
Cortamos el sólido en rebanadas verticales de grosor \(\Delta x\) entre \(x = -2\) y \(x = 2\text{.}\) Una rebanada representativa es un cilindro de altura \(\Delta x\) y radio \(4-x^2\text{.}\) Por lo tanto, el volumen de la rebanada es
\begin{equation*} V_{\text{slice} } = \pi (4-x^2)^2 \Delta x\text{.} \end{equation*}
Usando una integral definida para sumar los volúmenes de las rebanadas representativas, se sigue que
\begin{equation*} V = \int_{-2}^{2} \pi (4-x^2)^2 \, dx\text{.} \end{equation*}
Es sencillo evaluar la integral y encontrar que el volumen es \(V = \frac{512}{15}\pi\text{.}\)
Para un sólido como el del Ejemplo 6.2.2, donde cada rebanada es un disco cilíndrico, primero encontramos el volumen de una rebanada típica (notando particularmente cómo este volumen depende de \(x\)), y luego integramos sobre el rango de valores de \(x\) que delimitan el sólido. A menudo, nos contentamos con simplemente encontrar la integral que representa el volumen; si deseamos un valor numérico para la integral, típicamente usamos una calculadora o un sistema de álgebra computacional para encontrar ese valor.
Este método para encontrar el volumen de un sólido de revolución a menudo se llama el método del disco.

El Método del Disco.

Si \(y = r(x)\) es una función continua no negativa en \([a,b]\text{,}\) entonces el volumen del sólido de revolución generado al girar la curva alrededor del eje \(x\) sobre este intervalo está dado por
\begin{equation*} V = \int_a^b \pi r(x)^2 \, dx\text{.} \end{equation*}
Un tipo diferente de sólido puede surgir cuando se involucran dos curvas, como vemos en el siguiente ejemplo.

Example 6.2.4.

Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región finita \(R\) que se encuentra entre \(y = 4-x^2\) y \(y = x+2\) se gira alrededor del eje \(x\text{.}\)
Solution.
Primero, debemos determinar dónde se intersectan las curvas \(y = 4-x^2\) y \(y = x+2\text{.}\) Sustituyendo la expresión para \(y\) de la segunda ecuación en la primera ecuación, encontramos que \(x + 2 = 4-x^2\text{.}\) Reordenando, se sigue que
\begin{equation*} x^2 + x - 2 = 0\text{,} \end{equation*}
y las soluciones a esta ecuación son \(x = -2\) y \(x = 1\text{.}\) Por lo tanto, las curvas se cruzan en \((-2,0)\) y \((1,3)\text{.}\)
Cuando giramos la región \(R\) alrededor del eje \(x\text{,}\) obtenemos el sólido tridimensional representado a la izquierda en Figura 6.2.5.
Figure 6.2.5. A la izquierda, el sólido de revolución en Ejemplo 6.2.4. A la derecha, una rebanada típica con radio interior \(r(x)\) y radio exterior \(R(x)\text{.}\)
Inmediatamente vemos una gran diferencia entre el sólido en este ejemplo y el del Ejemplo 6.2.2: aquí, el sólido tridimensional de revolución no es “sólido” porque tiene espacio abierto en su centro a lo largo del eje de revolución. Si cortamos el sólido perpendicular al eje de revolución, observamos que la rebanada resultante no es un disco sólido, sino más bien una arandela, como se muestra a la derecha en Figura 6.2.5. En una ubicación dada \(x\) entre \(x = -2\) y \(x = 1\text{,}\) el radio pequeño \(r(x)\) del círculo interior está determinado por la curva \(y = x+2\text{,}\) por lo que \(r(x) = x+2\text{.}\) De manera similar, el radio grande \(R(x)\) proviene de la función \(y = 4-x^2\text{,}\) y por lo tanto \(R(x) = 4-x^2\text{.}\)
Para encontrar el volumen de una rebanada representativa, calculamos el volumen del disco exterior y restamos el volumen del disco interior. Dado que
\begin{equation*} \pi R(x)^2 \Delta x - \pi r(x)^2 \Delta x = \pi [ R(x)^2 - r(x)^2] \Delta x\text{,} \end{equation*}
se sigue que el volumen de una rebanada típica es
\begin{equation*} V_{\text{slice} } = \pi [ (4-x^2)^2 - (x+2)^2 ] \Delta x\text{.} \end{equation*}
Usando una integral definida para sumar los volúmenes de las respectivas rebanadas a lo largo del intervalo, encontramos que
\begin{equation*} V = \int_{-2}^1 \pi[ (4-x^2)^2 - (x+2)^2 ] \, dx\text{.} \end{equation*}
Evaluando la integral, encontramos que el volumen del sólido de revolución es \(V = \frac{108}{5}\pi\text{.}\)
Este método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado por dos curvas se llama a menudo el método del disco.

El Método del Disco.

Si \(y = R(x)\) y \(y = r(x)\) son funciones continuas no negativas en \([a,b]\) que satisfacen \(R(x) \ge r(x)\) para todo \(x\) en \([a,b]\text{,}\) entonces el volumen del sólido de revolución generado al girar la región entre ellas alrededor del eje \(x\) sobre este intervalo se da por
\begin{equation*} V = \int_a^b \pi [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx\text{.} \end{equation*}

Activity 6.2.2.

En cada una de las siguientes preguntas, dibuja un boceto cuidadoso y etiquetado de la región descrita, así como el sólido resultante que se obtiene al girar la región sobre el eje indicado. Además, dibuja una rebanada representativa y establece el volumen de esa rebanada, junto con una integral definida cuyo valor es el volumen de todo el sólido. No es necesario evaluar las integrales que encuentres.
  1. La región \(S\) delimitada por el eje \(x\text{,}\) la curva \(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea \(x = 4\text{;}\) gira \(S\) sobre el eje \(x\text{.}\)
  2. La región \(S\) delimitada por el eje \(y\text{,}\) la curva \(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea \(y = 2\text{;}\) gira \(S\) sobre el eje \(x\text{.}\)
  3. La región finita \(S\) delimitada por las curvas \(y = \sqrt{x}\) y \(y = x^3\text{;}\) gira \(S\) sobre el eje \(x\text{.}\)
  4. La región finita \(S\) delimitada por las curvas \(y = 2x^2 + 1\) y \(y = x^2 + 4\text{;}\) gira \(S\) sobre el eje \(x\text{.}\)
  5. La región \(S\) delimitada por el eje \(y\text{,}\) la curva \(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea \(y = 2\text{;}\) gira \(S\) sobre el eje \(y\text{.}\) ¿Cómo es este problema diferente del planteado en la parte (b)?

Subsection 6.2.2 Girando alrededor del eje \(y\)

Cuando giramos una región dada alrededor del eje \(y\text{,}\) las rebanadas representativas ahora tienen un grosor de \(\Delta y\text{,}\) lo que significa que debemos integrar con respecto a \(y\text{.}\)

Example 6.2.6.

Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región \(R\) que se encuentra entre \(y = \sqrt{x}\) y \(y = x^4\) se gira alrededor del eje \(y\text{.}\)
Solution.
Estas dos curvas se intersectan cuando \(x = 1\text{,}\) por lo tanto en el punto \((1,1)\text{.}\) Cuando giramos la región \(R\) alrededor del eje \(y\text{,}\) obtenemos el sólido tridimensional que se muestra a la izquierda en Figura 6.2.7.
Figure 6.2.7. A la izquierda, el sólido de revolución en Ejemplo 6.2.6. A la derecha, una rebanada típica con radio interior \(r(y)\) y radio exterior \(R(y)\text{.}\)
Nota que las rebanadas son discos cilíndricos solo si se toman perpendiculares al eje \(y\text{.}\) Cortamos el sólido horizontalmente, comenzando en \(y = 0\) y avanzando hasta \(y = 1\text{.}\) El grosor de una rebanada representativa es \(\Delta y\text{,}\) por lo que debemos expresar el integrando en términos de \(y\text{.}\) El radio interior está determinado por la curva \(y = \sqrt{x}\text{,}\) así que resolvemos para \(x\) y obtenemos \(x = y^2 = r(y)\text{.}\) De la misma manera, resolvemos la curva \(y = x^4\) (que gobierna el radio exterior) para \(x\) en términos de \(y\text{,}\) y por lo tanto \(x = \sqrt[4]{y}\text{.}\) Por lo tanto, el volumen de una rebanada típica es
\begin{equation*} V_{\text{slice} } = \pi [R(y)^2 - r(y)^2] = \pi[(\sqrt[4]{y})^2 - (y^2)^2] \Delta y\text{.} \end{equation*}
Usamos una integral definida para sumar los volúmenes de todas las rebanadas desde \(y = 0\) hasta \(y = 1\text{.}\) El volumen total es
\begin{equation*} V = \int_{y=0}^{y=1} \pi \left[ (\sqrt[4]{y})^2 - (y^2)^2 \right] \, dy\text{.} \end{equation*}
Es sencillo evaluar la integral y encontrar que \(V = \frac{7}{15} \pi\text{.}\)

Activity 6.2.3.

En cada una de las siguientes preguntas, dibuja un boceto cuidadoso y etiquetado de la región descrita, así como el sólido resultante que se obtiene al girar la región alrededor del eje indicado. Además, dibuja una rebanada representativa y establece el volumen de esa rebanada, junto con una integral definida cuyo valor es el volumen de todo el sólido. No es necesario evaluar las integrales que encuentres.
  1. La región \(S\) delimitada por el eje \(y\text{,}\) la curva \(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea \(y = 2\text{;}\) gira \(S\) alrededor del eje \(y\text{.}\)
  2. La región \(S\) delimitada por el eje \(x\text{,}\) la curva \(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea \(x = 4\text{;}\) gira \(S\) alrededor del eje \(y\text{.}\)
  3. La región finita \(S\) en el primer cuadrante delimitada por las curvas \(y = 2x\) y \(y = x^3\text{;}\) gira \(S\) alrededor del eje \(x\text{.}\)
  4. La región finita \(S\) en el primer cuadrante delimitada por las curvas \(y = 2x\) y \(y = x^3\text{;}\) gira \(S\) alrededor del eje \(y\text{.}\)
  5. La región finita \(S\) delimitada por las curvas \(x = (y-1)^2\) y \(y = x-1\text{;}\) gira \(S\) alrededor del eje \(y\text{.}\)

Subsection 6.2.3 Girando alrededor de líneas horizontales y verticales distintas de los ejes coordenados

Es posible girar una región alrededor de cualquier línea horizontal o vertical. Hacerlo ajusta los radios de los cilindros o discos involucrados por un valor constante. Un gráfico cuidadoso y bien etiquetado del sólido de revolución generalmente revelará cómo el diferente eje de revolución afecta la integral definida.

Example 6.2.8.

Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región finita \(S\) que se encuentra entre \(y = x^2\) y \(y = x\) se gira alrededor de la línea \(y = -1\text{.}\)
Solution.
Graficando la región entre las dos curvas en el primer cuadrante entre sus puntos de intersección (\((0,0)\) y \((1,1)\)) y luego girando la región alrededor de la línea \(y = -1\text{,}\) vemos el sólido mostrado en Figura 6.2.9. Cada rebanada del sólido perpendicular al eje de revolución es un disco, y los radios de cada disco están gobernados por las curvas \(y = x^2\) y \(y = x\text{.}\) Pero también vemos que hay un cambio adicional: el eje de revolución añade una longitud fija a cada radio. El radio interior de una rebanada típica, \(r(x)\text{,}\) se da por \(r(x) = x^2 + 1\text{,}\) mientras que el radio exterior es \(R(x) = x+1\text{.}\)
Figure 6.2.9. El sólido de revolución descrito en Ejemplo 6.2.8.
Por lo tanto, el volumen de una rebanada típica es
\begin{equation*} V_{\text{slice} } = \pi[ R(x)^2 - r(x)^2 ] \Delta x = \pi \left[ (x+1)^2 - (x^2 + 1)^2 \right] \Delta x\text{.} \end{equation*}
Finalmente, integramos para encontrar el volumen total, y
\begin{equation*} V = \int_0^1 \pi \left[ (x+1)^2 - (x^2 + 1)^2 \right] \, dx = \frac{7}{15} \pi\text{.} \end{equation*}

Activity 6.2.4.

En cada una de las siguientes preguntas, haz un dibujo cuidadoso y etiquetado de la región descrita, así como del sólido resultante que se obtiene al girar la región alrededor del eje indicado. Además, dibuja una rebanada representativa y da el volumen de esa rebanada, junto con una integral definida cuyo valor es el volumen de todo el sólido. No es necesario evaluar las integrales que encuentres. Para cada indicación, usa la región finita \(S\) en el primer cuadrante delimitada por las curvas \(y = 2x\) y \(y = x^3\text{.}\)
  1. Gira \(S\) alrededor de la línea \(y = -2\text{.}\)
  2. Gira \(S\) alrededor de la línea \(y = 4\text{.}\)
  3. Gira \(S\) alrededor de la línea \(x=-1\text{.}\)
  4. Gira \(S\) alrededor de la línea \(x = 5\text{.}\)

Subsection 6.2.4 Resumen

  • Podemos usar una integral definida para encontrar el volumen de un sólido tridimensional de revolución que resulta de girar una región bidimensional alrededor de un eje particular tomando rebanadas perpendiculares al eje de revolución que serán entonces discos o discos cilíndricos.
  • Si giramos alrededor de una línea vertical y cortamos perpendicular a esa línea, entonces nuestras rebanadas son horizontales y de grosor \(\Delta y\text{.}\) Esto nos lleva a integrar con respecto a \(y\text{,}\) en lugar de con respecto a \(x\) cuando cortamos un sólido verticalmente.
  • Si giramos alrededor de una línea distinta del eje \(x\) o \(y\text{,}\) necesitamos tener en cuenta cuidadosamente el desplazamiento que ocurre en el radio de una rebanada típica. Normalmente, este desplazamiento implica tomar una suma o diferencia de la función junto con la constante conectada a la ecuación para la línea horizontal o vertical; un diagrama bien etiquetado es generalmente la mejor manera de decidir la nueva expresión para el radio.

Exercises 6.2.5 Exercises

1. Solid of revolution from one function about the \(x\)-axis.

The region bounded by \(y=e^{ x},y=0,x=-2,x=-1\) is rotated around the \(x\)-axis. Find the volume.
volume =

2. Solid of revolution from one function about the \(y\)-axis.

Find the volume of the solid obtained by rotating the region in the first quadrant bounded by \(y=x^{5}\text{,}\) \(y=1\text{,}\) and the \(y\)-axis around the \(y\)-axis.
Volume =

3. Solid of revolution from two functions about the \(x\)-axis.

Find the volume of the solid obtained by rotating the region in the first quadrant bounded by \(y=x^{5}\text{,}\) \(y=1\text{,}\) and the \(y\)-axis around the \(x\)-axis.
Volume =

4. Solid of revolution from two functions about a horizontal line.

Find the volume of the solid obtained by rotating the region in the first quadrant bounded by \(y=x^{5}\text{,}\) \(y=1\text{,}\) and the \(y\)-axis about the line \(y=-2\text{.}\)
Volume =

5. Solid of revolution from two functions about a different horizontal line.

Find the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the curves
\begin{equation*} y = x^{6}, \quad y = 1 \end{equation*}
about the line \(y=5\) .
Answer:

6. Solid of revolution from two functions about a vertical line.

Find the volume of the solid obtained by rotating the region bounded by the given curves about the line \(x = -6\)
\begin{equation*} y=x^2, \ x = y^2 \end{equation*}
Answer:

7.

Consider the curve \(f(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})\) and the portion of its graph that lies in the first quadrant between the \(y\)-axis and the first positive value of \(x\) for which \(f(x) = 0\text{.}\) Let \(R\) denote the region bounded by this portion of \(f\text{,}\) the \(x\)-axis, and the \(y\)-axis.
  1. Set up a definite integral whose value is the exact arc length of \(f\) that lies along the upper boundary of \(R\text{.}\) Use technology appropriately to evaluate the integral you find.
  2. Set up a definite integral whose value is the exact area of \(R\text{.}\) Use technology appropriately to evaluate the integral you find.
  3. Suppose that the region \(R\) is revolved around the \(x\)-axis. Set up a definite integral whose value is the exact volume of the solid of revolution that is generated. Use technology appropriately to evaluate the integral you find.
  4. Suppose instead that \(R\) is revolved around the \(y\)-axis. If possible, set up an integral expression whose value is the exact volume of the solid of revolution and evaluate the integral using appropriate technology. If not possible, explain why.

8.

Consider the curves given by \(y = \sin(x)\) and \(y = \cos(x)\text{.}\) For each of the following problems, you should include a sketch of the region/solid being considered, as well as a labeled representative slice.
  1. Sketch the region \(R\) bounded by the \(y\)-axis and the curves \(y = \sin(x)\) and \(y = \cos(x)\) up to the first positive value of \(x\) at which they intersect. What is the exact intersection point of the curves?
  2. Set up a definite integral whose value is the exact area of \(R\text{.}\)
  3. Set up a definite integral whose value is the exact volume of the solid of revolution generated by revolving \(R\) about the \(x\)-axis.
  4. Set up a definite integral whose value is the exact volume of the solid of revolution generated by revolving \(R\) about the \(y\)-axis.
  5. Set up a definite integral whose value is the exact volume of the solid of revolution generated by revolving \(R\) about the line \(y = 2\text{.}\)
  6. Set up a definite integral whose value is the exact volume of the solid of revolution generated by revolving \(R\) about the line \(x = -1\text{.}\)

9.

Consider the finite region \(R\) that is bounded by the curves \(y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2\text{,}\) \(y=\frac{1}{2}x^2\text{,}\) and \(x = 0\text{.}\)
  1. Determine a definite integral whose value is the area of the region enclosed by the two curves.
  2. Find an expression involving one or more definite integrals whose value is the volume of the solid of revolution generated by revolving the region \(R\) about the line \(y = -1\text{.}\)
  3. Determine an expression involving one or more definite integrals whose value is the volume of the solid of revolution generated by revolving the region \(R\) about the \(y\)-axis.
  4. Find an expression involving one or more definite integrals whose value is the perimeter of the region \(R\text{.}\)
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