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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 5.4 Integración por Partes

En Sección 5.3, aprendimos la técnica de sustitución \(u\) para evaluar integrales indefinidas. Por ejemplo, la integral indefinida \(\int x^3 \sin(x^4) \, dx\) es perfectamente adecuada para la sustitución \(u\text{,}\) porque un factor es una función compuesta y el otro factor es la derivada (hasta una constante) de la función interna. Reconocer la estructura algebraica de una función puede ayudarnos a encontrar su antiderivada.
A continuación, consideramos integrandos con una estructura algebraica elemental diferente: un producto de funciones básicas. Por ejemplo, supón que estamos interesados en evaluar la integral indefinida
\begin{equation*} \int x \sin(x) \, dx\text{.} \end{equation*}
El integrando es el producto de las funciones básicas \(f(x) = x\) y \(g(x) = \sin(x)\text{.}\) Sabemos que es relativamente complicado calcular la derivada del producto de dos funciones, por lo que deberíamos esperar que antidiferenciar un producto sea igualmente complicado. Intuitivamente, esperamos que evaluar \(\int x \sin(x) \, dx\) implique de alguna manera revertir la Regla del Producto.
Con ese fin, en Actividad de Previsualización 5.4.1 refrescamos nuestra comprensión de la Regla del Producto y luego investigamos algunas integrales indefinidas que involucran productos de funciones básicas.

Actividad Introductoria 5.4.1.

En Section 2.3, desarrollamos la Regla del Producto y estudiamos cómo se emplea para diferenciar un producto de dos funciones. En particular, recuerda que si \(f\) y \(g\) son funciones diferenciables de \(x\text{,}\) entonces
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)\text{.} \end{equation*}
  1. Para cada una de las siguientes funciones, usa la Regla del Producto para encontrar la derivada de la función. Asegúrate de etiquetar cada derivada por nombre (por ejemplo, la derivada de \(g(x)\) debe ser etiquetada como \(g'(x)\)).
    1. \(\displaystyle g(x) = x\sin(x)\)
    2. \(\displaystyle h(x) = xe^x\)
    3. \(\displaystyle p(x) = x\ln(x)\)
    4. \(\displaystyle q(x) = x^2 \cos(x)\)
    5. \(\displaystyle r(x) = e^x \sin(x)\)
  2. Usa tu trabajo en (a) para ayudarte a evaluar las siguientes integrales indefinidas. Usa la diferenciación para verificar tu trabajo.
    1. \(\displaystyle \int xe^x + e^x \, dx\)
    2. \(\displaystyle \int e^x(\sin(x) + \cos(x)) \, dx\)
    3. \(\displaystyle \int 2x\cos(x) - x^2 \sin(x) \, dx\)
    4. \(\displaystyle \int x\cos(x) + \sin(x) \, dx\)
    5. \(\displaystyle \int 1 + \ln(x) \, dx\)
  3. Observa que los ejemplos en (b) funcionan bien debido a las derivadas que se te pidió calcular en (a). Cada integrando en (b) es precisamente el resultado de diferenciar uno de los productos de funciones básicas encontrados en (a). Para ver qué pasa cuando un integrando sigue siendo un producto pero no necesariamente el resultado de diferenciar un producto elemental, consideramos cómo evaluar
    \begin{equation*} \int x\cos(x) \, dx\text{.} \end{equation*}
    1. Primero, observa que
      \begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ x\sin(x) \right] = x\cos(x) + \sin(x)\text{.} \end{equation*}
      Integrando ambos lados indefinidamente y usando el hecho de que la integral de una suma es la suma de las integrales, encontramos que
      \begin{equation*} \int \left(\frac{d}{dx} \left[ x\sin(x) \right] \right) \, dx = \int x\cos(x) \, dx + \int \sin(x) \, dx\text{.} \end{equation*}
      En esta última ecuación, evalúa la integral indefinida en el lado izquierdo así como la integral indefinida más a la derecha en el lado derecho.
    2. En la ecuación más reciente de (i.), resuelve la ecuación para la expresión \(\int x \cos(x) \, dx\text{.}\)
    3. ¿Para qué producto de funciones básicas has encontrado ahora la antiderivada?

Subsection 5.4.1 Revirtiendo la Regla del Producto: Integración por Partes

El problema (c) en Actividad de Previsualización 5.4.1 proporciona una pista sobre la técnica general conocida como Integración por Partes, que proviene de revertir la Regla del Producto. Recuerda que la Regla del Producto establece que
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ f(x) g(x) \right] = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.} \end{equation*}
Integrando ambos lados de esta ecuación indefinidamente con respecto a \(x\text{,}\) encontramos
\begin{equation} \int \frac{d}{dx} \left[ f(x) g(x) \right] \, dx = \int f(x) g'(x) \, dx + \int g(x) f'(x) \, dx\text{.}\tag{5.4.1} \end{equation}
En el lado izquierdo de Ecuación (5.4.1), tenemos la integral indefinida de la derivada de una función. Omitiendo temporalmente la constante que puede surgir, tenemos
\begin{equation} f(x) g(x) = \int f(x) g'(x) \, dx + \int g(x) f'(x) \, dx\text{.}\tag{5.4.2} \end{equation}
Resolvemos la primera integral indefinida en la izquierda para generar la regla
\begin{equation} \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x) \, dx\text{.}\tag{5.4.3} \end{equation}
A menudo expresamos Ecuación (5.4.3) en términos de las variables \(u\) y \(v\text{,}\) donde \(u = f(x)\) y \(v = g(x)\text{.}\) En notación diferencial, \(du = f'(x) \, dx\) y \(dv = g'(x) \, dx\text{,}\) por lo que podemos enunciar la regla para la Integración por Partes en su forma más común de la siguiente manera:
\begin{equation*} \int u \, dv = uv - \int v \, du\text{.} \end{equation*}
Para aplicar la integración por partes, buscamos un producto de funciones básicas que podamos identificar como \(u\) y \(dv\text{.}\) Si podemos antidiferenciar \(dv\) para encontrar \(v\text{,}\) y evaluar \(\int v \, du\) no es más difícil que evaluar \(\int u \, dv\text{,}\) entonces esta sustitución generalmente resulta ser fructífera. Para demostrarlo, consideramos el siguiente ejemplo.

Example 5.4.1.

Evalúa la integral indefinida
\begin{equation*} \int x\cos(x) \, dx \end{equation*}
usando integración por partes.
Solution.
Cuando usamos integración por partes, tenemos una elección para \(u\) y \(dv\text{.}\) En este problema, podemos dejar que \(u = x\) y \(dv = \cos(x) \, dx\text{,}\) o dejar que \(u = \cos(x)\) y \(dv = x \, dx\text{.}\) Aunque no hay una regla universal para cómo elegir \(u\) y \(dv\text{,}\) una buena pauta es esta: hazlo de manera que \(\int v \, du\) sea al menos tan simple como el problema original \(\int u \, dv\text{.}\)
Esto nos lleva a elegir
 1 
Observa que si consideramos la elección alternativa, y dejamos que \(u = \cos(x)\) y \(dv = x \, dx\text{,}\) entonces \(du = -\sin(x) \, dx\) y \(v = \frac{1}{2}x^2\text{,}\) de lo cual escribiríamos \(\int x\cos(x) \, dx = \frac{1}{2}x^2 \cos(x) - \int \frac{1}{2}x^2 (-\sin(x)) \, dx\text{.}\) Así hemos reemplazado el problema de integrar \(x \cos(x)\) con el de integrar \(\frac{1}{2}x^2 \sin(x)\text{;}\) este último es claramente más complicado, lo que muestra que esta elección alternativa no es tan útil como la primera elección.
\(u = x\) y \(dv = \cos(x) \, dx\text{,}\) de lo cual se sigue que \(du = 1 \, dx\) y \(v = \sin(x)\text{.}\) Con esta sustitución, la regla para la integración por partes nos dice que
\begin{equation*} \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \cdot 1 \, dx\text{.} \end{equation*}
Todo lo que queda por hacer es evaluar la integral (más simple) \(\int \sin(x) \cdot 1 \, dx\text{.}\) Haciéndolo, encontramos
\begin{equation*} \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - (-\cos(x)) + C = x\sin(x) + \cos(x) + C\text{.} \end{equation*}
Observa que cuando llegamos a la etapa final de evaluar la última antiderivada restante, es en este paso donde incluimos la constante de integración, \(+C\text{.}\)
La técnica general de integración por partes implica intercambiar el problema de integrar el producto de dos funciones por el problema de integrar el producto de dos funciones relacionadas. Es decir, convertimos el problema de evaluar \(\int u \, dv\) en el de evaluar \(\int v \, du\text{.}\) Esto claramente moldea nuestra elección de \(u\) y \(v\text{.}\) En Ejemplo 5.4.1, la integral original a evaluar era \(\int x \cos(x) \,dx\text{,}\) y a través de la sustitución proporcionada por la integración por partes, en su lugar pudimos evaluar \(\int \sin(x) \cdot 1 \, dx\text{.}\) Nota que la función original \(x\) fue reemplazada por su derivada, mientras que \(\cos(x)\) fue reemplazada por su antiderivada.

Activity 5.4.2.

Evalúa cada una de las siguientes integrales indefinidas. Verifica cada antiderivada que encuentres diferenciando.
  1. \(\displaystyle \int te^{-t} \, dt\)
  2. \(\displaystyle \int 4x \sin(3x) \, dx\)
  3. \(\displaystyle \int z \sec^2(z) \,dz\)
  4. \(\displaystyle \int x \ln(x) \, dx\)

Subsection 5.4.2 Algunas Sutilezas con la Integración por Partes

A veces la integración por partes no es una elección obvia, pero la técnica es apropiada de todos modos. La integración por partes nos permite reemplazar una función en un producto con su derivada mientras reemplazamos la otra con su antiderivada. Por ejemplo, considera evaluar
\begin{equation*} \int \arctan(x) \, dx\text{.} \end{equation*}
Inicialmente, este problema parece poco adecuado para la integración por partes, ya que no parece haber un producto de funciones presente. Pero si notamos que \(\arctan(x) = \arctan(x) \cdot 1\text{,}\) y nos damos cuenta de que conocemos la derivada de \(\arctan(x)\) así como la antiderivada de \(1\text{,}\) vemos la posibilidad de la sustitución \(u = \arctan(x)\) y \(dv = 1 \, dx\text{.}\) Exploramos esta sustitución más a fondo en Actividad 5.4.3.
En un problema relacionado, considera \(\int t^3 \sin(t^2) \, dt\text{.}\) Observa que hay una función compuesta presente en \(\sin(t^2)\text{,}\) pero no hay un par obvio de función-derivada, ya que tenemos \(t^3\) (en lugar de simplemente \(t\)) multiplicando \(\sin(t^2)\text{.}\) En este problema usamos tanto la sustitución \(u\) como la integración por partes. Primero escribimos \(t^3 = t \cdot t^2\) y consideramos la integral indefinida
\begin{equation*} \int t \cdot t^2 \cdot \sin(t^2) \, dt\text{.} \end{equation*}
Dejamos que \(z = t^2\) para que \(dz = 2t \, dt\text{,}\) y así \(t \, dt = \frac{1}{2} \, dz\text{.}\) (Estamos usando la variable \(z\) para realizar una “\(z\)-sustitución” primero para que luego podamos aplicar la integración por partes.) Bajo esta sustitución \(z\text{,}\) ahora tenemos
\begin{equation*} \int t \cdot t^2 \cdot \sin(t^2) \, dt = \int z \cdot \sin(z) \cdot \frac{1}{2} \, dz\text{.} \end{equation*}
La integral resultante puede ser evaluada por partes. Esto también se explora más a fondo en Actividad 5.4.3.
Estos problemas muestran que a veces debemos pensar creativamente al elegir las variables para la sustitución en la integración por partes, y que podemos necesitar usar la sustitución para un cambio adicional de variables.

Activity 5.4.3.

Evalúa cada una de las siguientes integrales indefinidas, usando las pistas proporcionadas.
  1. Evalúa \(\int \arctan(x) \, dx\) usando Integración por Partes con la sustitución \(u = \arctan(x)\) y \(dv = 1 \, dx\text{.}\)
  2. Evalúa \(\int \ln(z) \,dz\text{.}\) Considera una sustitución similar a la de (a).
  3. Usa la sustitución \(z = t^2\) para transformar la integral \(\int t^3 \sin(t^2) \, dt\) a una nueva integral en la variable \(z\text{,}\) y evalúa esa nueva integral por partes.
  4. Evalúa \(\int s^5 e^{s^3} \, ds\) usando un enfoque similar al descrito en (c).
  5. Evalúa \(\int e^{2t} \cos(e^t) \, dt\text{.}\) Te será útil notar que \(e^{2t} = e^t \cdot e^t\text{.}\)

Subsection 5.4.3 Usando Integración por Partes Múltiples Veces

La integración por partes es muy adecuada para integrar el producto de funciones básicas, permitiéndonos intercambiar un integrando dado por uno nuevo donde una función en el producto es reemplazada por su derivada, y la otra es reemplazada por su antiderivada. El objetivo en este intercambio de \(\int u \, dv\) por \(\int v \, du\) es que el nuevo integral sea más sencillo de evaluar que el original. A veces es necesario aplicar la integración por partes más de una vez para evaluar un integral dado.

Example 5.4.2.

Evalúa \(\int t^2 e^t \, dt\text{.}\)
Solution.
Sea \(u = t^2\) y \(dv = e^t \, dt\text{.}\) Entonces \(du = 2t \, dt\) y \(v = e^t\text{,}\) y así
\begin{equation*} \int t^2 e^t \, dt = t^2 e^t - \int 2t e^t \, dt\text{.} \end{equation*}
El integral en el lado derecho es más sencillo de evaluar que el del lado izquierdo, pero aún requiere integración por partes. Ahora, dejando \(u = 2t\) y \(dv = e^t \, dt\text{,}\) tenemos \(du = 2\, dt\) y \(v = e^t\text{,}\) así que
\begin{equation*} \int t^2 e^t \, dt = t^2 e^t - \left( 2t e^t - \int 2 e^t \, dt \right)\text{.} \end{equation*}
(Nota los paréntesis, que nos recuerdan distribuir el signo menos a todo el valor del integral \(\int 2t e^t \, dt\text{.}\)) El integral final en el lado derecho es uno básico; evaluando ese integral y distribuyendo el signo menos, encontramos
\begin{equation*} \int t^2 e^t \, dt = t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t + C\text{.} \end{equation*}
Por supuesto, puede ser necesario aplicar la integración por partes más de dos veces. En el ejemplo anterior, si el integrando hubiera sido \(t^3e^t\text{,}\) habríamos tenido que usar la integración por partes tres veces.
A continuación, consideramos un escenario ligeramente diferente.

Example 5.4.3.

Evalúa \(\int e^t \cos(t) \, dt\text{.}\)
Solution.
Podemos elegir dejar que \(u\) sea \(e^t\) o \(\cos(t)\text{;}\) elegimos \(u = \cos(t)\text{,}\) y así \(dv = e^t \, dt\text{.}\) Con \(du = -\sin(t) \, dt\) y \(v = e^t\text{,}\) la integración por partes nos dice que
\begin{equation*} \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) - \int e^t (-\sin(t))\, dt\text{,} \end{equation*}
o equivalentemente que
\begin{equation} \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) + \int e^t \sin(t) \, dt\text{.}\tag{5.4.4} \end{equation}
El nuevo integral tiene la misma estructura algebraica que el original. Aunque la situación general no es necesariamente mejor que con la que empezamos, no ha empeorado. Así que procedemos a integrar por partes de nuevo. Esta vez dejamos \(u = \sin(t)\) y \(dv = e^t \, dt\text{,}\) así que \(du = \cos(t) \, dt\) y \(v = e^t\text{,}\) lo que implica
\begin{equation} \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) + \left( e^t \sin(t) - \int e^t \cos(t) \, dt \right)\text{.}\tag{5.4.5} \end{equation}
Parecemos estar de vuelta donde empezamos, ya que dos aplicaciones de integración por partes nos han llevado de vuelta al problema original, \(\int e^t \cos(t) \, dt\text{.}\) Pero si miramos de cerca la Ecuación (5.4.5), vemos que podemos usar álgebra para resolver el valor del integral deseado. Sumando \(\int e^t \cos(t) \, dt\) a ambos lados de la ecuación, tenemos
\begin{equation*} 2 \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) + e^t \sin(t)\text{,} \end{equation*}
y por lo tanto
\begin{equation*} \int e^t \cos(t) \, dt = \frac{1}{2} \left( e^t \cos(t) + e^t \sin(t) \right) + C\text{.} \end{equation*}
Nota que como nunca encontramos un integral que pudiéramos evaluar directamente, no tuvimos la oportunidad de agregar la constante de integración \(C\) hasta el paso final.

Activity 5.4.4.

Evalúa cada una de las siguientes integrales indefinidas.
  1. \(\displaystyle \int x^2 \sin(x) \, dx\)
  2. \(\displaystyle \int t^3 \ln(t) \, dt\)
  3. \(\displaystyle \int e^z \sin(z) \, dz\)
  4. \(\displaystyle \int s^2 e^{3s} \, ds\)
  5. \(\int t \arctan(t) \,dt\) (Pista: En cierto punto de este problema, es muy útil notar que \(\frac{t^2}{1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2}\text{.}\))

Subsection 5.4.4 Evaluando Integrales Definidos Usando Integración por Partes

Podemos usar la técnica de integración por partes para evaluar un integral definido.

Example 5.4.4.

Evalúa
\begin{equation*} \int_0^{\pi/2} t\sin(t) \, dt\text{.} \end{equation*}
Solution.
Una opción es encontrar una antiderivada (usando notación de integral indefinida) y luego aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar que
\begin{align*} \int_0^{\pi/2} t\sin(t) \, dt =\mathstrut \amp \left( -t \cos(t) + \sin(t) \right) \bigg\vert_0^{\pi/2}\\ =\mathstrut \amp \left( -\frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi/2}) \right) - \left( -0 \cos(0) + \sin(0) \right)\\ =\mathstrut \amp 1\text{.} \end{align*}
Alternativamente, podemos aplicar la integración por partes y trabajar con integrales definidos a lo largo de todo el proceso. Con este método, debemos recordar evaluar el producto \(uv\) sobre los límites dados de integración. Usando la sustitución \(u = t\) y \(dv = \sin(t) \, dt\text{,}\) así que \(du = dt\) y \(v = -\cos(t)\text{,}\) escribimos
\begin{align*} \int_0^{\pi/2} t\sin(t) \, dt =\mathstrut \amp -t \cos(t) \bigg\vert_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} (-\cos(t)) \, dt\\ =\mathstrut \amp -t \cos(t) \bigg\vert_0^{\pi/2} + \sin(t) \bigg\vert_0^{\pi/2}\\ =\mathstrut \amp \left( -\frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi/2}) + \sin(\frac{\pi/2}) \right) - \left( -0 \cos(0) + \sin(0) \right)\\ =\mathstrut \amp 1\text{.} \end{align*}
Como con cualquier técnica de sustitución, es importante usar la notación con cuidado y completamente, y asegurarse de que el resultado final tenga sentido.

Subsection 5.4.5 Cuando la \(u\)-sustitución y la Integración por Partes No Ayudan

Ambas técnicas de integración que hemos discutido se aplican en circunstancias relativamente limitadas. No es difícil encontrar ejemplos de funciones para las cuales ninguna técnica produce una antiderivada; de hecho, hay muchas, muchas funciones que parecen elementales pero que no tienen una antiderivada algebraica elemental. Por ejemplo, ni la \(u\)-sustitución ni la integración por partes resultan fructíferas para los integrales indefinidos
\begin{equation*} \int e^{x^2} \, dx \ \ \text{y} \ \ \int x \tan(x) \, dx\text{.} \end{equation*}
Aunque hay otras técnicas de integración, algunas de las cuales consideraremos brevemente, ninguna de ellas nos permite encontrar una antiderivada algebraica para \(e^{x^2}\) o \(x \tan(x)\text{.}\) Sabemos por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo que podemos construir una antiderivada integral para cada función; \(F(x) = \int_0^x e^{t^2} \, dt\) es una antiderivada de \(f(x) = e^{x^2}\text{,}\) y \(G(x) = \int_0^{x} t \tan(t) \, dt\) es una antiderivada de \(g(x) = x \tan(x)\text{.}\) Pero encontrar una fórmula algebraica elemental que no involucre integrales para \(F\) o \(G\) resulta no solo imposible a través de \(u\)-sustitución o integración por partes, sino de hecho imposible en general. La antiderivación es mucho más difícil en general que la diferenciación.

Subsection 5.4.6 Resumen

  • A través del método de integración por partes, podemos evaluar integrales indefinidos que involucran productos de funciones básicas como \(\int x \sin(x) \, dx\) y \(\int x \ln(x) \, dx\text{.}\) Usar una sustitución nos permite intercambiar una de las funciones en el producto por su derivada, y la otra por su antiderivada, en un esfuerzo por encontrar un producto diferente de funciones que sea más fácil de integrar.
  • Si la estructura algebraica de un integrando es un producto de funciones básicas en la forma \(\int f(x) g'(x) \, dx\text{,}\) podemos usar la sustitución \(u = f(x)\) y \(dv = g'(x) \,dx\) y aplicar la regla
    \begin{equation*} \int u \, dv = uv - \int v \, du \end{equation*}
    para evaluar el integral original \(\int f(x) g'(x) \, dx\) evaluando en su lugar
    \begin{equation*} \int v \, du = \int f'(x) g(x) \, dx\text{.} \end{equation*}
  • Al decidir integrar por partes, tenemos que seleccionar tanto \(u\) como \(dv\text{.}\) Esa selección está guiada por el principio general de que el nuevo integral \(\int v \, du\) no sea más difícil que el integral original \(\int u \, dv\text{.}\) Además, a menudo es útil reconocer si una de las funciones presentes es mucho más fácil de diferenciar que de antidiferenciar (como \(\ln(x)\)), en cuyo caso esa función a menudo es mejor asignada a la variable \(u\text{.}\) Además, \(dv\) debe ser una función que podamos antidiferenciar.

Exercises 5.4.7 Exercises

1. Choose which method to use.

For each of the following integrals, indicate whether integration by substitution or integration by parts is more appropriate, or if neither method is appropriate. Do not evaluate the integrals.
1. \(\int\,x\sin x\,dx\)
  • integration by parts
  • substitution
  • neither
2. \(\int\,{x\over 1 + x^{2}}\,dx\)
  • substitution
  • neither
  • integration by parts
3. \(\int\,x e^{x^{2}}\,dx\)
  • neither
  • integration by parts
  • substitution
4. \(\int\,x \cos(x^{2})\,dx\)
  • integration by parts
  • neither
  • substitution
5. \(\int\,{1\over\sqrt{4 x + 1}}\,dx\)
  • integration by parts
  • neither
  • substitution
(Note that because this is multiple choice, you will not be able to see which parts of the problem you got correct.)

2. Product involving \(\cos(5 x)\).

Use integration by parts to evaluate the integral.
\(\displaystyle\int 3 x \cos (4 x)\, dx =\) \(+C\)

3. Product involving \(e^{8 z}\).

Find the integral
\(\int\, \left(z+1\right)e^{5z} dz =\)

4. Definite integral of \(t e^{-t}\).

Evaluate the definite integral.
\(\displaystyle\int_{0}^{5} t e^{-t} dt =\)

5.

Let \(f(t) = te^{-2t}\) and \(F(x) = \int_0^x f(t) \, dt\text{.}\)
  1. Determine \(F'(x)\text{.}\)
  2. Use the First FTC to find a formula for \(F\) that does not involve an integral.
  3. Is \(F\) an increasing or decreasing function for \(x \gt 0\text{?}\) Why?

6.

Consider the indefinite integral given by \(\int e^{2x} \cos(e^x) \, dx\text{.}\)
  1. Noting that \(e^{2x} = e^x \cdot e^x\text{,}\) use the substitution \(z = e^{x}\) to determine a new, equivalent integral in the variable \(z\text{.}\)
  2. Evaluate the integral you found in (a) using an appropriate technique.
  3. How is the problem of evaluating \(\int e^{2x} \cos(e^{2x}) \, dx\) different from evaluating the integral in (a)? Do so.
  4. Evaluate each of the following integrals as well, keeping in mind the approach(es) used earlier in this problem:
    • \(\displaystyle \int e^{2x} \sin(e^x) \, dx\)
    • \(\displaystyle \int e^{3x} \sin(e^{3x}) \, dx\)
    • \(\displaystyle \int xe^{x^2} \cos(e^{x^2}) \sin(e^{x^2}) \, dx\)

7.

For each of the following indefinite integrals, determine whether you would use \(u\)-substitution, integration by parts, neither*, or both to evaluate the integral. In each case, write one sentence to explain your reasoning, and include a statement of any substitutions used. (That is, if you decide in a problem to let \(u = e^{3x}\text{,}\) you should state that, as well as that \(du = 3e^{3x} \, dx\text{.}\)) Finally, use your chosen approach to evaluate each integral. (* one of the following problems does not have an elementary antiderivative and you are not expected to actually evaluate this integral; this will correspond with a choice of “neither” among those given.)
  1. \(\displaystyle \int x^2 \cos(x^3) \, dx\)
  2. \(\int x^5 \cos(x^3) \, dx\)  (Hint: \(x^5 = x^2 \cdot x^3\))
  3. \(\displaystyle \int x\ln(x^2) \, dx\)
  4. \(\displaystyle \int \sin(x^4) \, dx\)
  5. \(\displaystyle \int x^3 \sin(x^4) \, dx\)
  6. \(\displaystyle \int x^7 \sin(x^4) \, dx\)
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