Hasta ahora, podemos diferenciar funciones de potencia (\(x^n\)), funciones exponenciales (\(a^x\)), y las dos funciones trigonométricas fundamentales (\(\sin(x)\) y \(\cos(x)\)). Con la regla de la suma y las reglas de múltiplo constante, también podemos calcular la derivada de funciones combinadas.
Example 2.3.1.
Diferencia
\begin{equation*}
f(x) = 7x^{11} - 4 \cdot 9^x + \pi \sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)
\end{equation*}
Debido a que \(f\) es una suma de funciones básicas, ahora podemos decir rápidamente que \(f'(x) = 77x^{10} - 4 \cdot 9^x \ln(9) + \pi \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x)\text{.}\)
¿Qué pasa con un producto o cociente de dos funciones básicas, como
\begin{equation*}
p(z) = z^3 \cos(z)\text{,}
\end{equation*}
o
\begin{equation*}
q(t) = \frac{\sin(t)}{2^t}\text{?}
\end{equation*}
Mientras que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, resulta que las reglas para calcular derivadas de productos y cocientes son más complicadas.
Actividad Introductoria 2.3.1.
Sean \(f\) y \(g\) las funciones definidas por \(f(t) = 2t^2\) y \(g(t) = t^3 + 4t\text{.}\)
Determina \(f'(t)\) y \(g'(t)\text{.}\)
Sea \(p(t) = 2t^2 (t^3 + 4t)\) y observa que \(p(t) = f(t) \cdot g(t)\text{.}\) Reescribe la fórmula para \(p\) distribuyendo el término \(2t^2\text{.}\) Luego, calcula \(p'(t)\) usando las reglas de la suma y del múltiplo constante.
Verdadero o falso: \(p'(t) = f'(t) \cdot g'(t)\text{.}\)
Sea \(q(t) = \frac{t^3 + 4t}{2t^2}\) y observa que \(q(t) = \frac{g(t)}{f(t)}\text{.}\) Reescribe la fórmula para \(q\) dividiendo cada término en el numerador por el denominador y simplifica para escribir \(q\) como una suma de múltiplos constantes de potencias de \(t\text{.}\) Luego, calcula \(q'(t)\) usando las reglas de la suma y del múltiplo constante.
Verdadero o falso: \(q'(t) = \frac{g'(t)}{f'(t)}\text{.}\)
Subsection 2.3.1 La regla del producto
Como muestra la parte (b) de
Actividad de Previsualización 2.3.1, no es cierto en general que la derivada de un producto de dos funciones sea el producto de las derivadas de esas funciones. Para ver por qué este es el caso, consideramos un ejemplo que involucra funciones significativas.
Supón que un inversor está comprando regularmente acciones en una empresa en particular. Sea \(N(t)\) el número de acciones poseídas en el día \(t\text{,}\) donde \(t = 0\) representa el primer día en que se compraron acciones. Sea \(S(t)\) el valor de una acción de la empresa en el día \(t\text{;}\) nota que las unidades de \(S(t)\) son dólares por acción. Para calcular el valor total de las acciones en el día \(t\text{,}\) tomamos el producto
\begin{equation*}
V(t) = N(t) \, \text{acciones} \cdot S(t) \, \text{dólares por acción}\text{.}
\end{equation*}
Observa que con el tiempo, tanto el número de acciones como el valor de una acción dada variarán. La derivada \(N'(t)\) mide la tasa a la que cambia el número de acciones, mientras que \(S'(t)\) mide la tasa a la que cambia el valor por acción. ¿Cómo afectan estas respectivas tasas de cambio a la tasa de cambio de la función de valor total?
Para ayudarnos a entender la relación entre los cambios en \(N\text{,}\) \(S\) y \(V\text{,}\) consideremos algunos datos específicos.
Supón que en el día 100, el inversor posee 520 acciones y el valor actual de la acción es $27.50 por acción. Esto nos dice que \(N(100) = 520\) y \(S(100) = 27.50\text{.}\)
En el día 100, el inversor compra 12 acciones adicionales (así que el número de acciones está aumentando a una tasa de 12 acciones por día).
Ese mismo día el precio de la acción está aumentando a una tasa de 0.75 dólares por acción por día.
En notación de cálculo, los dos últimos hechos nos dicen que \(N'(100) = 12\) (acciones por día) y \(S'(100) = 0.75\) (dólares por acción por día). ¿A qué tasa está cambiando el valor total de las tenencias del inversor en el día 100?
Observa que el aumento en el valor total proviene de dos fuentes: el creciente número de acciones, y el aumento del valor de cada acción. Si solo el número de acciones está aumentando (y el valor de cada acción es constante), la tasa a la que aumentaría el valor total es el producto del valor actual de las acciones y la tasa a la que cambia el número de acciones. Es decir, la tasa a la que cambiaría el valor total está dada por
\begin{equation*}
S(100) \cdot N'(100) = 27.50 \, \frac{\text{dólares} }{\text{acción} } \cdot 12 \, \frac{\text{acciones} }{\text{día} } = 330 \, \frac{\text{dólares} }{\text{día} }\text{.}
\end{equation*}
Nota particularmente cómo las unidades tienen sentido y muestran la tasa a la que está cambiando el valor total \(V\text{,}\) medida en dólares por día.
Si en cambio el número de acciones es constante, pero el valor de cada acción está aumentando, la tasa a la que aumentaría el valor total es el producto del número de acciones y la tasa de cambio del valor de la acción. El valor total está aumentando a una tasa de
\begin{equation*}
N(100) \cdot S'(100) = 520 \, \text{acciones} \cdot 0.75 \, \frac{\text{dólares por acción} }{\text{día} } = 390 \, \frac{\text{dólares} }{\text{día} }\text{.}
\end{equation*}
Por supuesto, cuando tanto el número de acciones como el valor de cada acción están cambiando, tenemos que incluir ambas fuentes. En ese caso la tasa a la que está aumentando el valor total es
\begin{equation*}
V'(100) = S(100) \cdot N'(100) + N(100) \cdot S'(100) = 330 + 390 = 720 \, \frac{\text{dólares} }{\text{día} }\text{.}
\end{equation*}
Esperamos que el valor total de las tenencias del inversor aumente en unos $720 en el día 100.
A continuación, ampliamos nuestra perspectiva desde el ejemplo específico anterior al entorno más general y abstracto de un producto \(p\) de dos funciones diferenciables, \(f\) y \(g\text{.}\) Si \(P(x) = f(x) \cdot g(x)\text{,}\) nuestro trabajo anterior sugiere que \(P'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.}\) De hecho, se puede dar una prueba formal usando la definición de límite de la derivada para mostrar que la siguiente regla, llamada la regla del producto, se cumple en general.
Regla del Producto.
Si \(f\) y \(g\) son funciones diferenciables, entonces su producto \(P(x) = f(x) \cdot g(x)\) también es una función diferenciable, y
\begin{equation*}
P'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.}
\end{equation*}
A la luz del ejemplo anterior que involucra acciones, la regla del producto también tiene sentido intuitivamente: la tasa de cambio de \(P\) debería tener en cuenta tanto la rapidez con la que cambian \(f\) y \(g\text{,}\) como el tamaño de \(f\) y \(g\) en el punto de interés. En palabras, la regla del producto dice: si \(P\) es el producto de dos funciones \(f\) (la primera función) y \(g\) (la segunda), entonces “la derivada de \(P\) es la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.” A menudo es un ejercicio mental útil decir esta frase en voz alta al ejecutar la regla del producto.
Example 2.3.2.
Si \(P(z) = z^3 \cdot \cos(z)\text{,}\) podemos usar la regla del producto para diferenciar \(P\text{.}\) La primera función es \(z^3\) y la segunda función es \(\cos(z)\text{.}\) Por la regla del producto, \(P'\) estará dada por la primera, \(z^3\text{,}\) por la derivada de la segunda, \(-\sin(z)\text{,}\) más la segunda, \(\cos(z)\text{,}\) por la derivada de la primera, \(3z^2\text{.}\) Es decir,
\begin{equation*}
P'(z) = z^3(-\sin(z)) + \cos(z) 3z^2 = -z^3 \sin(z) + 3z^2 \cos(z)\text{.}
\end{equation*}
Activity 2.3.2.
Usa la regla del producto para responder a cada una de las preguntas a continuación. A lo largo, asegúrate de etiquetar cuidadosamente cualquier derivada que encuentres por nombre. No es necesario simplificar algebraicamente ninguna de las derivadas que calcules.
Sea \(m(w)=3w^{17} 4^w\text{.}\) Encuentra \(m'(w)\text{.}\)
Sea \(h(t) = (\sin(t) + \cos(t))t^4\text{.}\) Encuentra \(h'(t)\text{.}\)
Determina la pendiente de la línea tangente a la curva \(y = f(x)\) en el punto \((1, f(1))\) si \(f\) está dada por la regla \(f(x) = e^x \sin(x)\text{.}\)
Encuentra la aproximación de la línea tangente \(L(x)\) a la función \(y = g(x)\) en el punto \((-1,g(-1))\) si \(g\) está dada por la regla \(g(x) = (x^2 + x) 2^x\text{.}\)
Subsection 2.3.2 La regla del cociente
Debido a que los cocientes y los productos están estrechamente vinculados, podemos usar la regla del producto para entender cómo tomar la derivada de un cociente. Sea \(Q(x)\) definido por \(Q(x) = f(x)/g(x)\text{,}\) donde \(f\) y \(g\) son funciones diferenciables. Resulta que \(Q\) es diferenciable en todas partes donde \(g(x) \ne 0\text{.}\) Nos gustaría una fórmula para \(Q'\) en términos de \(f\text{,}\) \(g\text{,}\) \(f'\) y \(g'\text{.}\) Multiplicando ambos lados de la fórmula \(Q = f/g\) por \(g\text{,}\) observamos que
\begin{equation*}
f(x) = Q(x) \cdot g(x)\text{.}
\end{equation*}
Ahora podemos usar la regla del producto para diferenciar \(f\text{.}\)
\begin{equation*}
f'(x) = Q(x) g'(x) + g(x) Q'(x)\text{.}
\end{equation*}
Queremos saber una fórmula para \(Q'\text{,}\) así que resolvemos esta ecuación para \(Q'(x)\text{.}\)
\begin{equation*}
Q'(x) g(x) = f'(x) - Q(x) g'(x)
\end{equation*}
y dividiendo ambos lados por \(g(x)\text{,}\) tenemos
\begin{equation*}
Q'(x) = \frac{f'(x) - Q(x) g'(x)}{g(x)}\text{.}
\end{equation*}
Finalmente, recordamos que \(Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{.}\) Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior, tenemos
\begin{align*}
Q'(x) =\mathstrut \amp \frac{f'(x) - \frac{f(x)}{g(x)} g'(x)}{g(x)}\\
=\mathstrut \amp \frac{f'(x) - \frac{f(x)}{g(x)} g'(x)}{g(x)} \cdot \frac{g(x)}{g(x)}\\
=\mathstrut \amp \frac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2}\text{.}
\end{align*}
Este cálculo nos da la regla del cociente.
Regla del Cociente.
Si \(f\) y \(g\) son funciones diferenciables, entonces su cociente \(Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) también es una función diferenciable para todo \(x\) donde \(g(x) \ne 0\) y
\begin{equation*}
Q'(x) = \frac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2}\text{.}
\end{equation*}
Al igual que con la regla del producto, puede ser útil pensar en la regla del cociente verbalmente. Si una función \(Q\) es el cociente de una función superior \(f\) y una función inferior \(g\text{,}\) entonces \(Q'\) se da por “el inferior por la derivada del superior, menos el superior por la derivada del inferior, todo sobre el inferior al cuadrado.”
Example 2.3.3.
Si \(Q(t) = \sin(t)/2^t\text{,}\) llamamos a \(\sin(t)\) la función superior y \(2^t\) la función inferior. Por la regla del cociente, \(Q'\) se da por el inferior, \(2^t\text{,}\) por la derivada del superior, \(\cos(t)\text{,}\) menos el superior, \(\sin(t)\text{,}\) por la derivada del inferior, \(2^t \ln(2)\text{,}\) todo sobre el inferior al cuadrado, \((2^t)^2\text{.}\) Es decir,
\begin{equation*}
Q'(t) = \frac{2^t \cos(t) - \sin(t) 2^t \ln(2)}{(2^t)^2}\text{.}
\end{equation*}
En este ejemplo particular, es posible simplificar \(Q'(t)\) eliminando un factor de \(2^t\) tanto del numerador como del denominador, de modo que
\begin{equation*}
Q'(t) = \frac{\cos(t) - \sin(t) \ln(2)}{2^t}\text{.}
\end{equation*}
En general, debemos tener cuidado al hacer cualquier simplificación de este tipo, ya que no queremos ejecutar la regla del cociente correctamente pero luego cometer un error algebraico.
Activity 2.3.3.
Usa la regla del cociente para responder cada una de las preguntas a continuación. A lo largo del ejercicio, asegúrate de etiquetar cuidadosamente cualquier derivada que encuentres por nombre. Es decir, si te dan una fórmula para \(f(x)\text{,}\) etiqueta claramente la fórmula que encuentres para \(f'(x)\text{.}\) No es necesario simplificar algebraicamente ninguna de las derivadas que calcules.
Sea \(r(z)=\frac{3^z}{z^4 + 1}\text{.}\) Encuentra \(r'(z)\text{.}\)
Sea \(v(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t) + t^2}\text{.}\) Encuentra \(v'(t)\text{.}\)
Determina la pendiente de la línea tangente a la curva \(\displaystyle R(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9}\) en el punto donde \(x = 0\text{.}\)
Cuando una cámara destella, la intensidad \(I\) de la luz vista por el ojo está dada por la función
\begin{equation*}
I(t) = \frac{100t}{e^t}\text{,}
\end{equation*}
donde \(I\) se mide en candelas y \(t\) se mide en milisegundos. Calcula \(I'(0.5)\text{,}\) \(I'(2)\text{,}\) y \(I'(5)\text{;}\) incluye las unidades apropiadas en cada valor; y discute el significado de cada uno.
Subsection 2.3.3 Combinando reglas
Para aplicar correctamente las reglas de atajo de derivadas, debemos reconocer la estructura fundamental de una función.
Example 2.3.4.
Determina la derivada de la función
\begin{equation*}
f(x) = x\sin(x) + \frac{x^2}{\cos(x) + 2}\text{.}
\end{equation*}
¿Cómo decidimos qué reglas aplicar? Nuestra primera tarea es reconocer la estructura de la función. Esta función \(f\) es una suma de dos funciones ligeramente menos complicadas, por lo que podemos aplicar la regla de la suma para obtener
\begin{align*}
f'(x) =\mathstrut \amp \frac{d}{dx} \left[ x\sin(x) + \frac{x^2}{\cos(x) + 2} \right]\\
=\mathstrut \amp \frac{d}{dx} \left[ x\sin(x) \right] + \frac{d}{dx}\left[ \frac{x^2}{\cos(x) + 2} \right]
\end{align*}
Ahora, el término de la izquierda arriba es un producto, por lo que se necesita la regla del producto allí, mientras que el término de la derecha es un cociente, por lo que se requiere la regla del cociente. Aplicando estas reglas respectivamente, encontramos que
\begin{align*}
f'(x) =\mathstrut \amp \left( x \cos(x) + \sin(x) \right) + \frac{(\cos(x) + 2) 2x - x^2(-\sin(x))}{(\cos(x) + 2)^2}\\
=\mathstrut \amp x \cos(x) + \sin(x) + \frac{2x\cos(x) + 4x + x^2\sin(x)}{(\cos(x) + 2)^2}\text{.}
\end{align*}
Example 2.3.5.
Diferencia
\begin{equation*}
s(y) = \frac{y \cdot 7^y}{y^2 + 1}\text{.}
\end{equation*}
La función \(s\) es un cociente de dos funciones más simples, por lo que se necesitará la regla del cociente. Para empezar, configuramos la regla del cociente y usamos la notación \(\frac{d}{dy}\) para indicar las derivadas del numerador y el denominador. Así,
\begin{equation*}
s'(y) = \frac{(y^2 + 1) \cdot \frac{d}{dy}\left[ y \cdot 7^y \right] - y \cdot 7^y \cdot \frac{d}{dy}\left[y^2 + 1 \right]}{(y^2 + 1)^2}\text{.}
\end{equation*}
Ahora, quedan dos derivadas por calcular. La primera, \(\frac{d}{dy}\left[ y \cdot 7^y \right]\) requiere el uso de la regla del producto, mientras que la segunda, \(\frac{d}{dy}\left[y^2 + 1 \right]\) solo necesita la regla de la suma. Aplicando estas reglas, ahora tenemos
\begin{equation*}
s'(y) = \frac{(y^2 + 1) [y \cdot 7^y \ln(7) + 7^y \cdot 1] - y \cdot 7^y [2y]}{(y^2 + 1)^2}\text{.}
\end{equation*}
Aunque es posible alguna simplificación, estamos contentos de dejar \(s'(y)\) en su forma actual.
El éxito en la aplicación de las reglas de derivadas comienza con reconocer la estructura de la función, seguido de la aplicación cuidadosa y diligente de las reglas de derivadas relevantes. La mejor manera de volverse competente en este proceso es hacer un gran número de ejemplos.
Activity 2.3.4.
Usa reglas de derivadas relevantes para responder cada una de las preguntas a continuación. A lo largo, asegúrate de usar la notación adecuada y etiqueta cuidadosamente cualquier derivada que encuentres por nombre.
Sea \(f(r) = (5r^3 + \sin(r))(4^r - 2\cos(r))\text{.}\) Encuentra \(f'(r)\text{.}\)
Sea \(\displaystyle p(t) = \frac{\cos(t)}{t^6 \cdot 6^t}\text{.}\) Encuentra \(p'(t)\text{.}\)
Sea \(g(z) = 3z^7 e^z - 2z^2 \sin(z) + \frac{z}{z^2 + 1}\text{.}\) Encuentra \(g'(z)\text{.}\)
Una partícula en movimiento tiene su posición en pies en el tiempo \(t\) en segundos dada por la función \(s(t) = \frac{3\cos(t) - \sin(t)}{e^t}\text{.}\) Encuentra la velocidad instantánea de la partícula en el momento \(t = 1\text{.}\)
Supón que \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones diferenciables y se sabe que \(f(3) = -2\text{,}\) \(f'(3) = 7\text{,}\) \(g(3) = 4\text{,}\) y \(g'(3) = -1\text{.}\) Si \(p(x) = f(x) \cdot g(x)\) y \(\displaystyle q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{,}\) calcula \(p'(3)\) y \(q'(3)\text{.}\)
A medida que la complejidad algebraica de las funciones que podemos diferenciar continúa aumentando, es importante recordar que todo el significado de la derivada sigue siendo válido. Independientemente de la estructura de la función \(f\text{,}\) el valor de \(f'(a)\) nos dice la tasa de cambio instantánea de \(f\) con respecto a \(x\) en el momento \(x = a\text{,}\) así como la pendiente de la línea tangente a \(y = f(x)\) en el punto \((a,f(a))\text{.}\)
