¿Cuáles son las diferencias entre encontrar valores extremos relativos y valores extremos globales de una función?
¿Cómo es diferente el proceso de encontrar el máximo o mínimo global de una función en todo el dominio de la función en comparación con determinar el máximo o mínimo global en un dominio restringido?
Para una función que garantiza tener tanto un máximo global como un mínimo global en un intervalo cerrado y acotado, ¿cuáles son los posibles puntos en los que ocurren estos valores extremos?
Hemos visto que podemos usar la primera derivada de una función para determinar dónde la función está aumentando o disminuyendo, y la segunda derivada para saber dónde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Esta información nos ayuda a determinar la forma y el comportamiento general del gráfico, así como si la función tiene extremos relativos.
Recuerda la diferencia entre un máximo relativo y un máximo global: hay un máximo relativo de \(f\) en \(x = p\) si \(f(p) \ge f(x)\) para todo \(x\)cerca de \(p\text{,}\) mientras que hay un máximo global en \(p\) si \(f(p) \ge f(x)\) para todos\(x\) en el dominio de \(f\text{.}\)
Por ejemplo, en Figura 3.3.1, vemos una función \(f\) que tiene un máximo global en \(x = c\) y un máximo relativo en \(x = a\text{,}\) ya que \(f(c)\) es mayor que \(f(x)\) para cada valor de \(x\text{,}\) mientras que \(f(a)\) es solo mayor que el valor de \(f(x)\) para \(x\) cerca de \(a\text{.}\) Dado que la función parece disminuir sin límite, \(f\) no tiene un mínimo global, aunque claramente \(f\) tiene un mínimo relativo en \(x = b\text{.}\)
Figure3.3.1.Una función \(f\) con un máximo global, pero sin un mínimo global.
Nuestro énfasis en esta sección es encontrar los valores extremos globales de una función (si existen), ya sea en todo su dominio o en alguna porción restringida.
Actividad Introductoria3.3.1.
Sea \(f(x) = 2 + \frac{3}{1+(x+1)^2}\text{.}\)
Determina todos los números críticos de \(f\text{.}\)
Construye un gráfico de signos de la primera derivada para \(f\) y así determina todos los intervalos en los que \(f\) está aumentando o disminuyendo.
¿Tiene \(f\) un máximo global? Si es así, ¿por qué?, ¿cuál es su valor y dónde se alcanza el máximo? Si no, explica por qué.
Determina \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) y \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\text{.}\)
Explica por qué \(f(x) \gt 2\) para cada valor de \(x\text{.}\)
¿Tiene \(f\) un mínimo global? Si es así, ¿por qué?, ¿cuál es su valor y dónde se alcanza el mínimo? Si no, explica por qué.
Subsection3.3.1Optimización Global
En Figura 3.3.1 y Actividad de Previsualización 3.3.1, estábamos interesados en encontrar el mínimo global y el máximo global para \(f\) en todo su dominio. En otras ocasiones, podríamos enfocarnos en alguna restricción del dominio.
Por ejemplo, en lugar de considerar \(f(x) = 2 + \frac{3}{1+(x+1)^2}\) para cada valor de \(x\text{,}\) tal vez en su lugar solo estamos interesados en aquellos \(x\) para los cuales \(0 \le x \le 4\text{,}\) y nos gustaría saber qué valores de \(x\) en el intervalo \([0,4]\) producen los valores más grandes y más pequeños posibles de \(f\text{.}\) Estamos acostumbrados a que los números críticos jueguen un papel clave en la determinación de la ubicación de los valores extremos de una función; ahora, al restringir el dominio a un intervalo, tiene sentido que los extremos del intervalo también sean importantes a considerar, como vemos en la siguiente actividad. Al limitarnos a un intervalo particular, a menudo nos referiremos al valor absoluto máximo o mínimo, en lugar del máximo o mínimo global.
Activity3.3.2.
Sea \(g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x + 2\text{.}\)
Encuentra todos los números críticos de \(g\) que se encuentran en el intervalo \(-2 \le x \le 3\text{.}\)
Usa una herramienta de graficación para construir la gráfica de \(g\) en el intervalo \(-2 \le x \le 3\text{.}\)
A partir de la gráfica, determina los valores de \(x\) en los que ocurren el mínimo absoluto y el máximo absoluto de \(g\) en el intervalo \([-2,3]\text{.}\)
¿Cómo cambian tus respuestas si en lugar de eso consideramos el intervalo \(-2 \le x \le 2\text{?}\)
¿Y si en lugar de eso consideramos el intervalo \(-2 \le x \le 1\text{?}\)
En Actividad 3.3.2, vimos cómo el máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\text{,}\) dependen no solo de los números críticos de la función, sino también de los valores de \(a\) y \(b\text{.}\) Estas observaciones demuestran varios hechos importantes que se aplican de manera más general. Primero, enunciamos un resultado importante llamado el Teorema del Valor Extremo.
El Teorema del Valor Extremo.
Si \(f\) es una función continua en un intervalo cerrado \([a,b]\text{,}\) entonces \(f\) alcanza tanto un mínimo absoluto como un máximo absoluto en \([a,b]\text{.}\)
El Teorema del Valor Extremo nos dice que en cualquier intervalo cerrado \([a,b]\text{,}\) una función continua tiene que alcanzar tanto un mínimo absoluto como un máximo absoluto. El teorema no nos dice dónde ocurren estos valores extremos, sino solo que deben existir. Como vimos en Actividad 3.3.2, las únicas ubicaciones posibles para los extremos relativos son en los extremos del intervalo o en un número crítico.
Note3.3.2.
Por lo tanto, tenemos el siguiente enfoque para encontrar el máximo y mínimo absoluto de una función continua \(f\) en el intervalo \([a,b]\text{:}\)
encuentra todos los números críticos de \(f\) que se encuentran en el intervalo;
evalúa la función \(f\) en cada número crítico en el intervalo y en cada extremo del intervalo;
de entre esos valores de la función, el más pequeño es el mínimo absoluto de \(f\) en el intervalo, mientras que el más grande es el máximo absoluto.
Activity3.3.3.
Encuentra el máximo y mínimo absoluto exacto de cada función en el intervalo indicado.
\(f(x) = b - e^{-(x-a)^2}\text{,}\)\((-\infty, \infty)\text{,}\)\(a, b \gt 0\)
El intervalo que elegimos tiene casi la misma influencia en los valores extremos que la función en consideración. Considera, por ejemplo, la función representada en Figura 3.3.3.
Figure3.3.3.Una función \(g\) considerada en tres intervalos diferentes.
En secuencia, de izquierda a derecha, el intervalo considerado cambia de \([-2,3]\) a \([-2,2]\) a \([-2,1]\text{.}\)
En el intervalo \([-2,3]\text{,}\) hay dos números críticos, con el mínimo absoluto en un número crítico y el máximo absoluto en el extremo derecho.
En el intervalo \([-2,2]\text{,}\) ambos números críticos están en el intervalo, con el mínimo absoluto y el máximo absoluto en los dos números críticos.
En el intervalo \([-2,1]\text{,}\) solo un número crítico se encuentra en el intervalo, con el máximo absoluto en un número crítico y el mínimo absoluto en un extremo.
Recuerda considerar solo los números críticos que se encuentran dentro del intervalo.
Subsection3.3.2Avanzando hacia aplicaciones
Concluimos esta sección con un ejemplo de un problema de optimización aplicada. Destaca el papel que puede jugar un dominio cerrado y acotado en encontrar extremos absolutos.
Example3.3.4.
Un trozo de alambre de 20 cm se corta en dos piezas. Una pieza se usa para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo se debe cortar el alambre para maximizar el área total encerrada por el cuadrado y el triángulo? ¿Para minimizar el área?
Solution.
Comenzamos dibujando una imagen que ilustra la situación. La variable en el problema es dónde decidimos cortar el alambre. Así, etiquetamos el punto de corte a una distancia \(x\) de un extremo del alambre, y notamos que la porción restante del alambre tiene entonces una longitud de \(20-x\text{.}\)
Como se muestra en Figura 3.3.5, vemos que los \(x\) cm de alambre se usan para formar el triángulo equilátero con tres lados de longitud \(\frac{x}{3}\text{.}\) Para los \(20-x\) cm restantes de alambre, el cuadrado resultante tendrá cada lado de longitud \(\frac{20-x}{4}\text{.}\)
Figure3.3.5.Un trozo de alambre de 20 cm cortado en dos piezas, una de las cuales forma un triángulo equilátero, la otra forma un cuadrado.
En este punto, notamos que hay restricciones obvias en \(x\text{:}\) en particular, \(0 \le x \le 20\text{.}\) En los casos extremos, todo el alambre se usa para hacer solo una figura. Por ejemplo, si \(x = 0\text{,}\) entonces los 20 cm de alambre se usan para hacer un cuadrado de \(5 \times 5\text{.}\)
Ahora, nuestro objetivo general es encontrar las áreas mínima y máxima que se pueden encerrar. Debido a que la altura de un triángulo equilátero es \(\sqrt{3}\) veces la mitad de la longitud de la base, el área del triángulo es
Cuando establecemos \(A'(x) = 0\text{,}\) encontramos que \(x = \frac{180}{4\sqrt{3}+9} \approx 11.3007\) es el único número crítico de \(A\) en el intervalo \([0,20]\text{.}\)
Evaluando \(A\) en el número crítico y en los extremos, vemos que
Así, el mínimo absoluto ocurre cuando \(x \approx 11.3007\) y resulta en un área mínima de aproximadamente \(10.8741\) centímetros cuadrados. El máximo absoluto ocurre cuando invertimos todo el alambre en el cuadrado (y nada en el triángulo), resultando en 25 centímetros cuadrados de área. Estos resultados se confirman con una gráfica de \(y = A(x)\) en el intervalo \([0,20]\text{,}\) como se muestra en Figura 3.3.6.
Figure3.3.6.Una gráfica de la función del área del Ejemplo 3.3.4.
Activity3.3.4.
Un pedazo de cartón que mide \(10 \times 15\) (cada medida en pulgadas) se está convirtiendo en una caja sin tapa. Para hacerlo, se cortan cuadrados de cada esquina de la caja y los lados restantes se pliegan hacia arriba. Si la caja necesita tener al menos 1 pulgada de profundidad y no más de 3 pulgadas de profundidad, ¿cuál es el volumen máximo posible de la caja? ¿cuál es el volumen mínimo? Justifica tus respuestas usando cálculo.
Dibuja un diagrama etiquetado que muestre la información dada. ¿Qué variable deberíamos introducir para representar la elección que hacemos al crear la caja? Etiqueta el diagrama adecuadamente con la variable, y escribe una oración para indicar lo que representa la variable.
Determina una fórmula para la función \(V\) (que depende de la variable en (a)) que nos diga el volumen de la caja.
¿Cuál es el dominio de la función \(V\text{?}\) Es decir, ¿qué valores de \(x\) tienen sentido como entrada? ¿Hay restricciones adicionales proporcionadas en el problema?
Determina todos los números críticos de la función \(V\text{.}\)
Evalúa \(V\) en cada uno de los extremos del dominio y en cualquier número crítico que se encuentre en el dominio.
¿Cuál es el volumen máximo posible de la caja? ¿el mínimo?
Ejemplo 3.3.4 y Actividad 3.3.4 ilustran los pasos estándar que seguimos en casi todos los problemas de optimización aplicada: dibujamos una imagen para demostrar la situación, introducimos una o más variables para representar cantidades que están cambiando, encontramos una función que modela la cantidad a optimizar, y luego decidimos un dominio apropiado para esa función. Una vez hecho esto, estamos en la situación familiar de encontrar el mínimo y máximo absolutos de una función sobre un dominio particular, así que aplicamos las ideas de cálculo que hemos estado estudiando hasta este punto en Capítulo 3.
Subsection3.3.3Resumen
Para encontrar valores extremos relativos de una función, usamos un gráfico de signos de la primera derivada y clasificamos todos los números críticos de la función. Si en cambio estamos interesados en valores extremos absolutos, primero decidimos si estamos considerando todo el dominio de la función o un intervalo particular.
En el caso de encontrar extremos globales sobre todo el dominio de la función, nuevamente usamos un gráfico de signos de la primera o segunda derivada. Si estamos trabajando para encontrar extremos absolutos en un intervalo restringido, entonces primero identificamos todos los números críticos de la función que se encuentran en el intervalo.
Para una función continua en un intervalo cerrado y acotado, los únicos puntos posibles en los que ocurren valores extremos absolutos son los números críticos y los extremos. Así, simplemente evaluamos la función en cada extremo y en cada número crítico en el intervalo, y comparamos los resultados para decidir cuál es el mayor (el máximo absoluto) y cuál es el menor (el mínimo absoluto).
Exercises3.3.4Exercises
1.
Based on the given information about each function, decide whether the function has global maximum, a global minimum, neither, both, or that it is not possible to say without more information. Assume that each function is twice differentiable and defined for all real numbers, unless noted otherwise. In each case, write one sentence to explain your conclusion.
\(f\) is a function such that \(f''(x) \lt 0\) for every \(x\text{.}\)
\(g\) is a function with two critical numbers \(a\) and \(b\) (where \(a \lt b\)), and \(g'(x) \lt 0\) for \(x \lt a\text{,}\)\(g'(x) \lt 0\) for \(a \lt x \lt b\text{,}\) and \(g'(x) \gt 0\) for \(x \gt b\text{.}\)
\(h\) is a function with two critical numbers \(a\) and \(b\) (where \(a \lt b\)), and \(h'(x) \lt 0\) for \(x \lt a\text{,}\)\(h'(x) \gt 0\) for \(a \lt x \lt b\text{,}\) and \(h'(x) \lt 0\) for \(x \gt b\text{.}\) In addition, \(\lim_{x \to \infty} h(x) = 0\) and \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0\text{.}\)
\(p\) is a function differentiable everywhere except at \(x = a\) and \(p''(x) \gt 0\) for \(x \lt a\) and \(p''(x) \lt 0\) for \(x \gt a\text{.}\)
2.
For each family of functions that depends on one or more parameters, determine the function’s absolute maximum and absolute minimum on the given interval.
For each of the functions described below (each continuous on \([a,b]\)), state the location of the function’s absolute maximum and absolute minimum on the interval \([a,b]\text{,}\) or say there is not enough information provided to make a conclusion. Assume that any critical numbers mentioned in the problem statement represent all of the critical numbers the function has in \([a,b]\text{.}\) In each case, write one sentence to explain your answer.
\(f'(x) \le 0\) for all \(x\) in \([a,b]\)
\(g\) has a critical number at \(c\) such that \(a \lt c\lt b\) and \(g'(x) \gt 0\) for \(x \lt c\) and \(g'(x) \lt 0\) for \(x \gt c\)
\(h(a) = h(b)\) and \(h''(x) \lt 0\) for all \(x\) in \([a,b]\)
\(p(a) \gt 0\text{,}\)\(p(b) \lt 0\text{,}\) and for the critical number \(c\) such that \(a \lt c \lt b\text{,}\)\(p'(x) \lt 0\) for \(x \lt c\) and \(p'(x) \gt 0\) for \(x \gt c\)
4.
Let \(s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5\text{.}\) Find the exact absolute maximum and minimum of \(s\) on the provided intervals by testing the endpoints and finding and evaluating all relevant critical numbers of \(s\text{.}\)
