Preguntas Motivadoras
- ¿Cómo podemos usar ecuaciones diferenciales para modelar de manera realista el crecimiento de una población?
- ¿Cómo podemos evaluar la precisión de nuestros modelos?
Section 7.6 Crecimiento de la Población y la Ecuación Logística
El crecimiento de la población de la tierra es uno de los problemas urgentes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? ¿O tal vez se estabilizará en algún momento, y si es así, cuándo? En esta sección, veremos dos formas en las que podemos usar ecuaciones diferenciales para ayudarnos a abordar estas preguntas.
Antes de comenzar, consideremos nuevamente dos ecuaciones diferenciales importantes que hemos visto en trabajos anteriores de este capítulo.
Actividad Introductoria 7.6.1.
Recuerda que un modelo para el crecimiento de la población dice que una población crece a una tasa proporcional a su tamaño.
-
Comenzamos con la ecuación diferencial\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = \frac12 P\text{.} \end{equation*}Dibuja un campo de pendientes a continuación, así como algunas soluciones típicas en los ejes proporcionados.
- Encuentra todas las soluciones de equilibrio de la ecuación \(\frac{dP}{dt} = \frac12 P\) y clasifícalas como estables o inestables.
- Si \(P(0)\) es positivo, describe el comportamiento a largo plazo de la solución a \(\frac{dP}{dt} = \frac12 P\text{.}\)
-
Ahora consideremos una ecuación diferencial modificada dada por\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = \frac 12 P(3-P)\text{.} \end{equation*}Como antes, dibuja un campo de pendientes así como algunas soluciones típicas en los siguientes ejes proporcionados.
- Encuentra cualquier solución de equilibrio y clasifícalas como estables o inestables.
- Si \(P(0)\) es positivo, describe el comportamiento a largo plazo de la solución.
Subsection 7.6.1 La población de la tierra
Ahora comenzaremos a estudiar la población de la tierra. Para empezar, en Table 7.6.1 hay algunos datos sobre la población de la tierra en años recientes que usaremos en nuestras investigaciones.
| Año | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
| Población (miles de millones) |
\(5.932\) | \(6.008\) | \(6.084\) | \(6.159\) | \(6.234\) | \(6.456\) | \(6.531\) | \(6.606\) | \(6.681\) | \(6.756\) | \(6.831\) |
Activity 7.6.2.
Nuestro primer modelo se basará en la siguiente suposición:
La tasa de cambio de la población es proporcional a la población.
A primera vista, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y muertes, por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando hay un mayor número de personas, habrá más nacimientos y muertes, por lo que esperamos una mayor tasa de cambio.
Si \(P(t)\) es la población \(t\) años después del año 2000, podemos expresar esta suposición como
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = kP
\end{equation*}
donde \(k\) es una constante de proporcionalidad.
- Usa los datos de la tabla para estimar la derivada \(P'(0)\) usando una diferencia central. Supón que \(t=0\) corresponde al año 2000.
- ¿Cuál es la población \(P(0)\text{?}\)
- Usa tus resultados de (a) y (b) para estimar la constante de proporcionalidad \(k\) en la ecuación diferencial.
- Ahora que sabemos el valor de \(k\text{,}\) tenemos el problema de valor inicial\begin{equation*} \frac{dP}{dt} = kP, \ P(0) = 6.084\text{.} \end{equation*}Encuentra la solución a este problema de valor inicial.
- ¿Qué predice tu solución para la población en el año 2010? ¿Está esto cerca de la población real dada en la tabla?
- ¿Cuándo predice tu solución que la población alcanzará los 12 mil millones?
- ¿Qué predice tu solución para la población en el año 2500?
- ¿Crees que este es un modelo razonable para la población de la Tierra? ¿Por qué o por qué no? Explica tu pensamiento usando un par de oraciones completas.
Nuestro trabajo en Activity 7.6.2 muestra que el modelo exponencial es bastante preciso para años relativamente cercanos al 2000. Sin embargo, si vamos demasiado lejos en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca arbitrariamente. Esto no tiene mucho sentido ya que es poco realista esperar que la tierra pueda soportar una población tan grande.
La constante \(k\) en la ecuación diferencial tiene una interpretación importante. Reescribamos la ecuación diferencial \(\frac{dP}{dt} = kP\) resolviendo para \(k\text{,}\) de modo que tengamos
\begin{equation*}
k = \frac{dP/dt}{P}\text{.}
\end{equation*}
Vemos que \(k\) es la proporción de la tasa de cambio con respecto a la población; en otras palabras, es la contribución a la tasa de cambio de una sola persona. Llamamos a esto la tasa de crecimiento per cápita.
En el modelo exponencial que introdujimos en Activity 7.6.2, la tasa de crecimiento per cápita es constante. Esto significa que cuando la población es grande, la tasa de crecimiento per cápita es la misma que cuando la población es pequeña. Es natural pensar que la tasa de crecimiento per cápita debería disminuir cuando la población se vuelve grande, ya que no habrá suficientes recursos para sostener a tantas personas. Esperamos que sea un modelo más realista asumir que la tasa de crecimiento per cápita depende de la población \(P\text{.}\)
En la actividad anterior, calculamos la tasa de crecimiento per cápita en un solo año calculando \(k\text{,}\) el cociente de \(\frac{dP}{dt}\) y \(P\) (lo cual hicimos para \(t = 0\)). Si volvemos a los datos en Table 7.6.1 y calculamos la tasa de crecimiento per cápita a lo largo de varios años, generamos los datos mostrados en Figure 7.6.2, que muestra cómo la tasa de crecimiento per cápita es una función de la población, \(P\text{.}\)
A partir de los datos, vemos que la tasa de crecimiento per cápita parece disminuir a medida que aumenta la población. De hecho, los puntos parecen estar muy cerca de una línea, que se muestra a dos escalas diferentes en Figure 7.6.3.
Observando esta línea cuidadosamente, podemos encontrar su ecuación como
\begin{equation*}
\frac{dP/dt}{P} = 0.025 - 0.002P\text{.}
\end{equation*}
Si multiplicamos ambos lados por \(P\text{,}\) llegamos a la ecuación diferencial
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = P(0.025 - 0.002P)\text{.}
\end{equation*}
Graficando la dependencia de \(dP/dt\) en la población \(P\text{,}\) vemos que esta ecuación diferencial demuestra una relación cuadrática entre \(\frac{dP}{dt}\) y \(P\text{,}\) como se muestra en Figure 7.6.4.
La ecuación \(\frac{dP}{dt} = P(0.025 - 0.002P)\) es un ejemplo de la ecuación logística, y es el segundo modelo de crecimiento poblacional que consideraremos. Esperamos que sea más realista, porque la tasa de crecimiento per cápita es una función decreciente de la población.
De hecho, el gráfico en Figure 7.6.4 muestra que hay dos soluciones de equilibrio, \(P=0\text{,}\) que es inestable, y \(P=12.5\text{,}\) que es un equilibrio estable. El gráfico muestra que cualquier solución con \(P(0) \gt 0\) eventualmente se estabilizará alrededor de 12.5. Por lo tanto, nuestro modelo predice que la población mundial eventualmente se estabilizará alrededor de 12.5 mil millones.
Una predicción para el comportamiento a largo plazo de la población es una conclusión valiosa que se puede extraer de nuestra ecuación diferencial. Sin embargo, también nos gustaría responder algunas preguntas cuantitativas. Por ejemplo, ¿cuánto tiempo tomará alcanzar una población de 10 mil millones? Para responder a esta pregunta, necesitamos encontrar una solución explícita de la ecuación.
Subsection 7.6.2 Resolviendo la ecuación diferencial logística
Dado que nos gustaría aplicar el modelo logístico en situaciones más generales, enunciamos la ecuación logística en su forma más general,
\begin{equation}
\frac{dP}{dt} = kP(N-P)\text{.}\tag{7.6.1}
\end{equation}
Las soluciones de equilibrio aquí son \(P=0\) y \(1-\frac PN = 0\text{,}\) lo que muestra que \(P=N\text{.}\) El equilibrio en \(P=N\) se llama la capacidad de carga de la población, ya que representa la población estable que puede ser sostenida por el medio ambiente.
Ahora resolvemos la ecuación logística (7.6.1). La ecuación es separable, así que separamos las variables
\begin{equation*}
\frac{1}{P(N-P)}\frac{dP}{dt} = k\text{,}
\end{equation*}
e integramos para encontrar que
\begin{equation*}
\int \frac{1}{P(N-P)}~dP = \int k~dt\text{.}
\end{equation*}
Para encontrar la antiderivada en la izquierda, usamos la descomposición en fracciones parciales
\begin{equation*}
\frac{1}{P(N-P)} = \frac 1N\left[\frac 1P + \frac 1{N-P}\right]\text{.}
\end{equation*}
Ahora estamos listos para integrar, con
\begin{equation*}
\int \frac 1N\left[\frac 1P + \frac 1{N-P}\right] ~dP = \int k~dt\text{.}
\end{equation*}
A la izquierda, observa que \(N\) es constante, así que podemos eliminar un factor de \(\frac{1}{N}\) y antidiferenciar para encontrar que
\begin{equation*}
\frac 1N (\ln|P| - \ln|N-P|) = kt + C\text{.}
\end{equation*}
Multiplicando ambos lados de esta última ecuación por \(N\) y usando una regla de logaritmos, encontramos que
\begin{equation*}
\ln\left|\frac{P}{N-P}\right| = kNt + C\text{.}
\end{equation*}
Desde la definición del logaritmo, reemplazando \(e^C\) con \(C\text{,}\) y dejando que \(C\) absorba los signos de valor absoluto, ahora sabemos que
\begin{equation*}
\frac{P}{N-P} = Ce^{kNt}\text{.}
\end{equation*}
En este punto, todo lo que queda es determinar \(C\) y resolver algebraicamente para \(P\text{.}\)
Si la población inicial es \(P(0) = P_0\text{,}\) entonces se sigue que \(C = \frac{P_0}{N-P_0}\text{,}\) así que
\begin{equation*}
\frac{P}{N-P} = \frac{P_0}{N-P_0}e^{kNt}\text{.}
\end{equation*}
Resolveremos esta ecuación para \(P\) multiplicando ambos lados por \((N-P)(N-P_0)\) para obtener
\begin{align*}
P(N-P_0) &= P_0(N-P)e^{kNt}\\
&= P_0Ne^{kNt} - P_0Pe^{kNt}\text{.}
\end{align*}
Resolviendo para \(P_0Ne^{kNt}\text{,}\) expandiendo y factorizando, se sigue que
\begin{align*}
P_0Ne^{kNt} &= P(N-P_0) + P_0 Pe^{kNt}\\
&= P(N-P_0 + P_0e^{kNt})\text{.}
\end{align*}
Dividiendo para resolver por \(P\text{,}\) vemos que
\begin{equation*}
P = \frac{P_0Ne^{kNt}}{N-P_0 + P_0e^{kNt}}\text{.}
\end{equation*}
Finalmente, elegimos multiplicar el numerador y el denominador por \(\frac{1}{P_0}e^{-kNt}\) para obtener
\begin{equation*}
P(t) = \frac{N}{\left(\frac{N-P_0}{P_0}\right) e^{-kNt} + 1}\text{.}
\end{equation*}
Aunque eso fue mucho álgebra, nota el resultado: hemos encontrado una solución explícita a la ecuación logística.
Solución a la Ecuación Logística.
La solución al problema de valor inicial
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = kP(N-P), \ P(0) = P_0\text{,}
\end{equation*}
es
\begin{equation}
P(t) = \frac{N}{\left(\frac{N-P_0}{P_0}\right) e^{-kNt} + 1}\text{.}\tag{7.6.2}
\end{equation}
Para la ecuación logística que describe la población de la tierra con la que trabajamos anteriormente en esta sección, tenemos
\begin{equation*}
k=0.002, N= 12.5, \ \text{y} \ P_0 = 6.084\text{.}
\end{equation*}
Esto da la solución
\begin{equation*}
P(t) = \frac{12.5}{1.0546e^{-0.025t} + 1}\text{,}
\end{equation*}
cuyo gráfico se muestra en Figura 7.6.5.
El gráfico muestra la población estabilizándose en 12.5 mil millones, como esperábamos, y que la población será de alrededor de 10 mil millones en el año 2050. Estos resultados, que hemos encontrado usando un modelo matemático relativamente simple, concuerdan bastante bien con las predicciones hechas usando un modelo mucho más sofisticado desarrollado por las Naciones Unidas.
La ecuación logística es buena para modelar cualquier situación en la que sea posible un crecimiento limitado. Por ejemplo, podría modelar la propagación de un virus de gripe a través de una población contenida en un crucero, la tasa a la que se propaga un rumor dentro de un pequeño pueblo, o el comportamiento de una población animal en una isla. A través de nuestro trabajo en esta sección, hemos resuelto completamente la ecuación logística, independientemente de los valores de las constantes \(N\text{,}\) \(k\text{,}\) y \(P_0\text{.}\) Cada vez que encontremos una ecuación logística, podemos aplicar la fórmula que encontramos en la Ecuación (7.6.2).
Activity 7.6.3.
Considera la ecuación logística
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = kP(N-P)
\end{equation*}
- ¿En qué valor de \(P\) es mayor la tasa de cambio?
- Considera el modelo para la población de la tierra que creamos. ¿En qué valor de \(P\) es mayor la tasa de cambio? ¿Cómo se compara eso con la población en los últimos años?
- Según el modelo que desarrollamos, ¿cuál será la población en el año 2100?
- Según el modelo que desarrollamos, ¿cuándo alcanzará la población los 9 mil millones?
- Ahora considera la solución general al problema logístico de valor inicial que encontramos, dado por\begin{equation*} P(t) = \frac{N}{\left(\frac{N-P_0}{P_0}\right)e^{-kNt} + 1}\text{.} \end{equation*}Verifica algebraicamente que \(P(0) = P_0\) y que \(\lim_{t\to\infty} P(t) = N\text{.}\)
Subsection 7.6.3 Resumen
- Si asumimos que la tasa de crecimiento de una población es proporcional a la población, llegamos a un modelo en el que la población crece sin límites y a una tasa que crece sin límites.
- Al asumir que la tasa de crecimiento per cápita disminuye a medida que la población crece, llegamos al modelo logístico de crecimiento poblacional, que predice que la población eventualmente se estabilizará en la capacidad de carga.
Exercises 7.6.4 Exercises
1. Analyzing a logistic equation.
The slope field for a population \(P\) modeled by \(dP/dt = 2 P - 4 P^2\) is shown in the figure below.
(a) On a print-out of the slope field, sketch three non-zero solution curves showing different types of behavior for the population \(P\text{.}\) Give an initial condition that will produce each:
\(P(0) =\) ,
\(P(0) =\) , and
\(P(0) =\) .
(b) Is there a stable value of the population? If so, give the value; if not, enter none:
Stable value =
(c) Considering the shape of solutions for the population, give any intervals for which the following are true. If no such interval exists, enter none, and if there are multiple intervals, give them as a list. (Thus, if solutions are increasing when \(P\) is between 1 and 3, enter (1,3) for that answer; if they are decreasing when \(P\) is between 1 and 2 or between 3 and 4, enter (1,2),(3,4). Note that your answers may reflect the fact that \(P\) is a population.)
\(P\) is increasing when \(P\) is in
\(P\) is decreasing when \(P\) is in
Think about what these conditions mean for the population, and be sure that you are able to explain that.
In the long-run, what is the most likely outcome for the population?
\(P\to\)
(Enter infinity if the population grows without bound.)
Are there any inflection points in the solutions for the population? If so, give them as a comma-separated list (e.g., 1,3); if not, enter none.
Inflection points are at \(P =\)
Be sure you can explain what the meaning of the inflection points is for the population.
(d) Sketch a graph of \(dP/dt\) against \(P\text{.}\) Use your graph to answer the following questions.
When is \(dP/dt\) positive?
When \(P\) is in
When is \(dP/dt\) negative?
When \(P\) is in
(Give your answers as intervals or a list of intervals.)
When is \(dP/dt\) zero?
When \(P=\)
(If there is more than one answer, give a list of answers, e.g., 1,2.)
When is \(dP/dt\) at a maximum?
When \(P=\)
Be sure that you can see how the shape of your graph of \(dP/dt\) explains the shape of solution curves to the differential equation.
2. Analyzing a logistic model.
The table below gives the percentage, \(P\text{,}\) of households with a VCR, as a function of year.
| Year | 1978 | 1979 | 1980 | 1981 | 1982 | 1983 | 1984 |
| P | 0.3 | 0.5 | 1.1 | 1.8 | 3.1 | 5.5 | 10.6 |
| Year | 1985 | 1986 | 1987 | 1988 | 1989 | 1990 | 1991 |
| P | 20.8 | 36.0 | 48.7 | 58.0 | 64.6 | 71.9 | 71.9 |
(a) A logistic model is a good one to use for these data. Explain why this might be the case: logically, how large would the growth in VCR ownership be when they are first introduced? How large can the ownership ever be?
We can also investigate this by estimating the growth rate of \(P\) for the given data. Do this at the beginning, middle, and near the end of the data:
\(P'(1980) \approx\)
\(P'(1985) \approx\)
\(P'(1990) \approx\)
Be sure you can explain why this suggests that a logistic model is appropriate.
(b) Use the data to estimate the year when the point of inflection of \(P\) occurs.
The inflection point occurs approximately at .
(Give the year in which it occurs.)
What percent of households had VCRs then? \(P =\)
What limiting value \(L\) does this point of inflection predict (note that if the logistic model is reasonable, this prediction should agree with the data for 1990 and 1991)?
\(L =\)
(c) The best logistic equation (solution to the logistic differential equation) for these data turns out to be the following.
\begin{equation*}
P=\frac{75}{1+316.75e^{-0.699t}}.
\end{equation*}
What limiting value does this predict?
\(L =\)
3. Finding a logistic function for an infection model.
The total number of people infected with a virus often grows like a logistic curve. Suppose that 25 people originally have the virus, and that in the early stages of the virus (with time, \(t\text{,}\) measured in weeks), the number of people infected is increasing exponentially with \(k=1.7\text{.}\) It is estimated that, in the long run, approximately 6500 people become infected.
(a) Use this information to find a logistic function to model this situation.
\(P =\)
(b) Sketch a graph of your answer to part (a). Use your graph to estimate the length of time until the rate at which people are becoming infected starts to decrease. What is the vertical coordinate at this point?
vertical coordinate =
4. Analyzing a population growth model.
Any population, \(P\text{,}\) for which we can ignore immigration, satisfies
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} =\hbox{Birth rate} - \hbox{Death rate}.
\end{equation*}
For organisms which need a partner for reproduction but rely on a chance encounter for meeting a mate, the birth rate is proportional to the square of the population. Thus, the population of such a type of organism satisfies a differential equation of the form
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = a P^2 - b P\quad\hbox{with } a,\,b>0.
\end{equation*}
This problem investigates the solutions to such an equation.
(a) Sketch a graph of \(dP/dt\) against \(P\text{.}\) Note when \(dP/dt\) is positive and negative.
\(dP/dt \lt 0\) when \(P\) is in
\(dP/dt > 0\) when \(P\) is in
(Your answers may involve a and b. Give your answers as an interval or list of intervals: thus, if dP/dt is less than zero for P between 1 and 3 and P greater than 4, enter (1,3),(4,infinity).)
(b) Use this graph to sketch the shape of solution curves with various initial values: use your answers in part (a), and where \(dP/dt\) is increasing and decreasing to decide what the shape of the curves has to be. Based on your solution curves, why is \(P=b/a\) called the threshold population?
If \(P(0) > b/a\text{,}\) what happens to \(P\) in the long run?
\(P\to\)
If \(P(0) = b/a\text{,}\) what happens to \(P\) in the long run?
\(P\to\)
If \(P(0) \lt b/a\text{,}\) what happens to \(P\) in the long run?
\(P\to\)
5.
The logistic equation may be used to model how a rumor spreads through a group of people. Suppose that \(p(t)\) is the fraction of people that have heard the rumor on day \(t\text{.}\) The equation
\begin{equation*}
\frac{dp}{dt} = 0.2p(1-p)
\end{equation*}
describes how \(p\) changes. Suppose initially that one-tenth of the people have heard the rumor; that is, \(p(0) = 0.1\text{.}\)
- What happens to \(p(t)\) after a very long time?
- Determine a formula for the function \(p(t)\text{.}\)
- At what time is \(p\) changing most rapidly?
- How long does it take before 80% of the people have heard the rumor?
6.
Suppose that \(b(t)\) measures the number of bacteria living in a colony in a Petri dish, where \(b\) is measured in thousands and \(t\) is measured in days. One day, you measure that there are 6,000 bacteria and the per capita growth rate is 3. A few days later, you measure that there are 9,000 bacteria and the per capita growth rate is 2.
- Assume that the per capita growth rate \(\frac{db/dt}{b}\) is a linear function of \(b\text{.}\) Use the measurements to find this function and write a logistic equation to describe \(\frac{db}{dt}\text{.}\)
- What is the carrying capacity for the bacteria?
- At what population is the number of bacteria increasing most rapidly?
- If there are initially 1,000 bacteria, how long will it take to reach 80% of the carrying capacity?
7.
Suppose that the population of a species of fish is controlled by the logistic equation
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = 0.1P(10 - P)\text{,}
\end{equation*}
where \(P\) is measured in thousands of fish and \(t\) is measured in years.
- What is the carrying capacity of this population?
- Suppose that a long time has passed and that the fish population is stable at the carrying capacity. At this time, humans begin harvesting 20% of the fish every year. Modify the differential equation by adding a term to incorporate the harvesting of fish.
- What is the new carrying capacity?
- What will the fish population be one year after the harvesting begins?
- How long will it take for the population to be within 10% of the carrying capacity?
