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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 5.3 Integración por Sustitución

En Sección 4.4, aprendimos el papel clave que juegan las antiderivadas en el proceso de evaluar integrales definidas exactamente. El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que si \(F\) es cualquier antiderivada de \(f\text{,}\) entonces
\begin{equation*} \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\text{.} \end{equation*}
Además, nos dimos cuenta de que cada regla de derivada elemental desarrollada en Capítulo 2 conduce a una antiderivada elemental correspondiente, como se resume en Tabla 4.4.5. Así, si deseamos evaluar una integral como
\begin{equation*} \int_0^1 \left(x^3 - \sqrt{x} + 5^x \right) \,dx\text{,} \end{equation*}
es sencillo hacerlo, ya que podemos antidiferenciar fácilmente \(f(x) = x^3 - \sqrt{x} + 5^x\text{.}\) Debido a que una antiderivada de \(f\) es \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{\ln(5)}5^x\text{,}\) el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que
\begin{align*} \int_0^1 \left(x^3 - \sqrt{x} + 5^x\right) \,dx &= \left. \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{\ln(5)}5^x\right|_0^1\\ &= \left( \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{1}{\ln(5)}5^1 \right) - \left( 0 - 0 + \frac{1}{\ln(5)}5^0 \right)\\ &= -\frac{5}{12} + \frac{4}{\ln(5)}\text{.} \end{align*}
Vemos que tenemos un interés natural en poder encontrar tales antiderivadas algebraicas. Enfatizamos antiderivadas algebraicas, en oposición a cualquier antiderivada, ya que sabemos por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo que \(G(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) es de hecho una antiderivada de la función dada \(f\text{,}\) pero una que aún involucra una integral definida. Nuestro objetivo en esta sección es “deshacer” el proceso de diferenciación para encontrar una antiderivada algebraica para una función dada.

Actividad Introductoria 5.3.1.

En Sección 2.5, aprendimos la Regla de la Cadena y cómo se puede aplicar para encontrar la derivada de una función compuesta. En particular, si \(u\) es una función diferenciable de \(x\text{,}\) y \(f\) es una función diferenciable de \(u(x)\text{,}\) entonces
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ f(u(x)) \right] = f'(u(x)) \cdot u'(x)\text{.} \end{equation*}
En palabras, decimos que la derivada de una función compuesta \(c(x) = f(u(x))\text{,}\) donde \(f\) es considerada la función “externa” y \(u\) la función “interna”, es “la derivada de la función externa, evaluada en la función interna, multiplicada por la derivada de la función interna.”
  1. Para cada una de las siguientes funciones, usa la Regla de la Cadena para encontrar la derivada de la función. Asegúrate de etiquetar cada derivada por nombre (por ejemplo, la derivada de \(g(x)\) debe ser etiquetada como \(g'(x)\)).
    1. \(\displaystyle g(x) = e^{3x}\)
    2. \(\displaystyle h(x) = \sin(5x+1)\)
    3. \(\displaystyle p(x) = \arctan(2x)\)
    4. \(\displaystyle q(x) = (2-7x)^4\)
    5. \(\displaystyle r(x) = 3^{4-11x}\)
  2. Para cada una de las siguientes funciones, usa tu trabajo en (a) para ayudarte a determinar la antiderivada general
     1 
    Recuerda que la antiderivada general de una función incluye “\(+C\)” para reflejar toda la familia de funciones que comparten la misma derivada.
    de la función. Etiqueta cada antiderivada por nombre (por ejemplo, la antiderivada de \(m\) debe llamarse \(M\)). Además, verifica tu trabajo calculando la derivada de cada antiderivada propuesta.
    1. \(\displaystyle m(x) = e^{3x}\)
    2. \(\displaystyle n(x) = \cos(5x+1)\)
    3. \(\displaystyle s(x) = \frac{1}{1+4x^2}\)
    4. \(\displaystyle v(x) = (2-7x)^3\)
    5. \(\displaystyle w(x) = 3^{4-11x}\)
  3. Basado en tu experiencia en las partes (a) y (b), conjetura una antiderivada para cada una de las siguientes funciones. Prueba tus conjeturas calculando la derivada de cada antiderivada propuesta.
    1. \(\displaystyle a(x) = \cos(\pi x)\)
    2. \(\displaystyle b(x) = (4x+7)^{11}\)
    3. \(\displaystyle c(x) = xe^{x^2}\)

Subsection 5.3.1 Revirtiendo la Regla de la Cadena: Primeros Pasos

Siempre que \(f\) sea una función familiar cuya antiderivada es conocida y \(u(x)\) sea una función lineal, es sencillo antidiferenciar una función de la forma
\begin{equation*} h(x) = f(u(x))\text{.} \end{equation*}

Example 5.3.1.

Determina la antiderivada general de
\begin{equation*} h(x) = (5x-3)^6\text{.} \end{equation*}
Verifica el resultado diferenciando.
Para esta función compuesta, la función externa \(f\) es \(f(u) = u^6\text{,}\) mientras que la función interna es \(u(x) = 5x - 3\text{.}\) Dado que la antiderivada de \(f\) es \(F(u) = \frac{1}{7}u^7+C\text{,}\) vemos que la antiderivada de \(h\) es
\begin{equation*} H(x) = \frac{1}{7} (5x-3)^7 \cdot \frac{1}{5} + C = \frac{1}{35} (5x-3)^7 + C\text{.} \end{equation*}
La inclusión de la constante \(\frac{1}{5}\) es esencial precisamente porque la derivada de la función interna es \(u'(x) = 5\text{.}\) De hecho, si ahora calculamos \(H'(x)\text{,}\) encontramos por la Regla de la Cadena (y la Regla del Múltiplo Constante) que
\begin{equation*} H'(x) = \frac{1}{35} \cdot 7(5x-3)^6 \cdot 5 = (5x-3)^6 = h(x)\text{,} \end{equation*}
y así \(H\) es de hecho la antiderivada general de \(h\text{.}\)
Por lo tanto, en el caso especial donde la función externa es familiar y la función interna es lineal, podemos antidiferenciar funciones compuestas según la siguiente regla.
Si \(h(x) = f(ax + b)\) y \(F\) es una antiderivada algebraica conocida de \(f\text{,}\) entonces la antiderivada general de \(h\) está dada por
\begin{equation*} H(x) = \frac{1}{a} F(ax+b) + C\text{.} \end{equation*}
Es útil tener una notación abreviada que indique la instrucción de encontrar una antiderivada. Así, de manera similar a cómo la notación
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ f(x) \right] \end{equation*}
representa la derivada de \(f(x)\) con respecto a \(x\text{,}\) usamos la notación de la integral indefinida,
\begin{equation*} \int f(x) \, dx \end{equation*}
para representar la antiderivada general de \(f\) con respecto a \(x\text{.}\) Volviendo al ejemplo anterior con \(h(x) = (5x-3)^6\text{,}\) podemos reformular la relación entre \(h\) y su antiderivada \(H\) a través de la notación
\begin{equation*} \int (5x-3)^6 \, dx = \frac{1}{35} (5x-6)^7 + C\text{.} \end{equation*}
Cuando encontramos una antiderivada, a menudo diremos que evaluamos una integral indefinida. Así como la notación \(\frac{d}{dx} [ \Box ]\) significa “encontrar la derivada con respecto a \(x\) de \(\Box\text{,}\)” la notación \(\int \Box \, dx\) significa “encontrar una función de \(x\) cuya derivada sea \(\Box\text{.}\)”

Activity 5.3.2.

Evalúa cada una de las siguientes integrales indefinidas. Verifica cada antiderivada que encuentres diferenciando.
  1. \(\displaystyle \int \sin(8-3x) \, dx\)
  2. \(\displaystyle \int \sec^2 (4x) \, dx\)
  3. \(\displaystyle \int \frac{1}{11x - 9} \, dx\)
  4. \(\displaystyle \int \csc(2x+1) \cot(2x+1) \, dx\)
  5. \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}}\, dx\)
  6. \(\displaystyle \int 5^{-x}\, dx\)

Subsection 5.3.2 Revirtiendo la Regla de la Cadena: \(u\)-sustitución

Surge una pregunta natural de nuestro trabajo reciente: ¿qué pasa cuando la función interna no es lineal? Por ejemplo, ¿podemos encontrar antiderivadas de funciones como
\begin{equation*} g(x) = x e^{x^2} \ \text{y} \ h(x) = e^{x^2}? \end{equation*}
Es importante recordar que la diferenciación y la antidiferenciación son procesos casi inversos (que no lo son debido al \(+C\) que surge al antidiferenciar). Esta relación casi inversa nos permite tomar cualquier regla de derivada conocida y reescribirla como una regla correspondiente para una integral indefinida. Por ejemplo, dado que
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[x^5\right] = 5x^4\text{,} \end{equation*}
podemos escribir de manera equivalente
\begin{equation*} \int 5x^4 \, dx = x^5 + C\text{.} \end{equation*}
Recuerda que la Regla de la Cadena establece que
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ f(g(x)) \right] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\text{.} \end{equation*}
Reformulando esta relación en términos de una integral indefinida,
\begin{equation} \int f'(g(x)) g'(x) \, dx = f(g(x))+C\text{.}\tag{5.3.1} \end{equation}
Ecuación (5.3.1) nos dice que si podemos ver una función dada como \(f'(g(x)) g'(x)\) para algunas elecciones apropiadas de \(f\) y \(g\text{,}\) entonces podemos antidiferenciar la función revirtiendo la Regla de la Cadena. Nota que tanto \(g(x)\) como \(g'(x)\) aparecen en la forma de \(f'(g(x)) g'(x)\text{;}\) a veces diremos que buscamos identificar un par función-derivada (\(g(x)\) y \(g'(x)\)) cuando intentamos aplicar la regla en Ecuación (5.3.1).
Si podemos identificar un par función-derivada, introduciremos una nueva variable \(u\) para representar la función \(g(x)\text{.}\) Con \(u = g(x)\text{,}\) sigue en notación de Leibniz que \(\frac{du}{dx} = g'(x)\text{,}\) de modo que en términos de diferenciales
 2 
Si recordamos de la definición de la derivada que \(\frac{du}{dx} \approx \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}}\) y usamos el hecho de que \(\frac{du}{dx} = g'(x)\text{,}\) entonces vemos que \(g'(x) \approx \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}}\text{.}\) Resolviendo para \(\Delta u\text{,}\) \(\Delta u \approx g'(x) \Delta x\text{.}\) Es esta última relación la que, cuando se expresa en notación de “diferencial” nos permite escribir \(du = g'(x) \, dx\) en la fórmula de cambio de variable.
, \(du = g'(x)\, dx\text{.}\) Ahora convirtiendo la integral indefinida a una nueva en términos de \(u\text{,}\) tenemos
\begin{equation*} \int f'(g(x)) g'(x) \, dx = \int f'(u) \,du\text{.} \end{equation*}
Siempre que \(f'\) sea una función elemental cuya antiderivada es conocida, podemos evaluar fácilmente la integral indefinida en \(u\text{,}\) y luego determinar la antiderivada general deseada de \(f'(g(x)) g'(x)\text{.}\) Llamamos a este proceso \(u\)-sustitución, y resumimos la regla de la siguiente manera:
Con la sustitución \(u = g(x)\text{,}\)
\begin{equation*} \int f'(g(x)) g'(x) \, dx = \int f'(u) \,du = f(u) + C = f(g(x)) + C\text{.} \end{equation*}
Para ver la sustitución \(u\) en acción, consideramos el siguiente ejemplo.

Example 5.3.2.

Evalúa la integral indefinida
\begin{equation*} \int x^3 \cdot \sin (7x^4 + 3) \, dx \end{equation*}
y verifica el resultado diferenciando.
Solution.
Podemos hacer dos observaciones algebraicas respecto al integrando, \(x^3 \cdot \sin (7x^4 + 3)\text{.}\) Primero, \(\sin (7x^4 + 3)\) es una función compuesta; como tal, sabemos que necesitaremos un enfoque más sofisticado para antidiferenciar. Segundo, \(x^3\) es casi la derivada de \((7x^4 + 3)\text{;}\) el único problema es una constante faltante. Así, \(x^3\) y \((7x^4 + 3)\) son casi un par función-derivada. Además, sabemos la antiderivada de \(f(u) = \sin(u)\text{.}\) La combinación de estas observaciones sugiere que podemos evaluar la integral indefinida dada invirtiendo la regla de la cadena a través de la sustitución \(u\text{.}\)
Dejando que \(u\) represente la función interna de la función compuesta \(\sin (7x^4 + 3)\text{,}\) tenemos \(u = 7x^4 + 3\text{,}\) y así \(\frac{du}{dx} = 28x^3\text{.}\) En notación diferencial, se sigue que \(du = 28x^3 \, dx\text{,}\) y así \(x^3 \, dx = \frac{1}{28} \, du\text{.}\) La integral indefinida original puede reescribirse ligeramente como
\begin{equation*} \int \sin (7x^4 + 3) \cdot x^3 \, dx\text{,} \end{equation*}
y así, sustituyendo \(u\) por \(7x^4 + 3\) y \(\frac{1}{28} \, du\) por \(x^3 \, dx\text{,}\) se sigue que
\begin{equation*} \int \sin (7x^4 + 3) \cdot x^3 \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{28} \, du\text{.} \end{equation*}
Ahora podemos evaluar la integral más fácil en \(u\text{,}\) y luego reemplazar \(u\) por la expresión \(7x^4 + 3\text{.}\) Haciendo esto, encontramos
\begin{align*} \int \sin (7x^4 + 3) \cdot x^3 \, dx &= \int \sin(u) \cdot \frac{1}{28} \, du\\ &= \frac{1}{28} \int \sin(u) \, du\\ &= \frac{1}{28} (-\cos(u)) + C\\ &= -\frac{1}{28} \cos(7x^4 + 3) + C\text{.} \end{align*}
Para verificar nuestro trabajo, observamos por la regla de la cadena que
\begin{equation*} \frac{d}{dx} \left[ -\frac{1}{28}\cos(7x^4 + 3) \right] = -\frac{1}{28} \cdot (-1)\sin(7x^4 + 3) \cdot 28x^3 = \sin(7x^4 + 3) \cdot x^3\text{,} \end{equation*}
que es de hecho el integrando original.
La sustitución \(u\) funcionó porque la función que multiplicaba \(\sin (7x^4 + 3)\) era \(x^3\text{.}\) Si en cambio esa función fuera \(x^2\) o \(x^4\text{,}\) el proceso de sustitución no habría funcionado. Este es uno de los principales desafíos de la antidiferenciación: pequeños cambios en el integrando hacen enormes diferencias. Por ejemplo, podemos usar la sustitución \(u\) con \(u = x^2\) y \(du = 2xdx\) para encontrar que
\begin{align*} \int xe^{x^2} \, dx &= \int e^u \cdot \frac{1}{2} \, du\\ &= \frac{1}{2} \int e^u \, du\\ &= \frac{1}{2} e^u + C\\ &= \frac{1}{2} e^{x^2} + C\text{.} \end{align*}
Sin embargo, para la integral indefinida similar
\begin{equation*} \int e^{x^2} \, dx\text{,} \end{equation*}
la sustitución \(u\) \(u = x^2\) ya no es posible porque falta el factor de \(x\text{.}\) Por lo tanto, parte de la lección de la sustitución \(u\) es cuán especializado es el proceso: solo se aplica a situaciones donde, hasta una constante faltante, el integrando es el resultado de aplicar la regla de la cadena a una función diferente, relacionada.

Activity 5.3.3.

Evalúa cada una de las siguientes integrales indefinidas usando estos pasos:
  • Encuentra dos funciones dentro del integrando que formen (hasta una posible constante faltante) un par función-derivada;
  • Haz una sustitución y convierte la integral a una que involucre \(u\) y \(du\text{;}\)
  • Evalúa la nueva integral en \(u\text{;}\)
  • Convierte la función resultante de \(u\) de nuevo a una función de \(x\) usando tu sustitución anterior;
  • Verifica tu trabajo derivando la función de \(x\text{.}\) Deberías obtener el integrando originalmente dado.
  1. \(\displaystyle \int \frac{x^2}{5x^3+1} \, dx\)
  2. \(\displaystyle \int e^x \sin(e^x) \, dx\)
  3. \(\displaystyle \int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx\)

Subsection 5.3.3 Evaluando Integrales Definidas mediante sustitución \(u\)

Hemos introducido la sustitución \(u\) como un medio para evaluar integrales indefinidas de funciones que pueden escribirse, hasta un múltiplo constante, en la forma \(f(g(x))g'(x)\text{.}\) Esta misma técnica puede usarse para evaluar integrales definidas que involucren tales funciones, aunque necesitamos tener cuidado con los límites de integración correspondientes. Considera, por ejemplo, la integral definida
\begin{equation*} \int_2^5 xe^{x^2} \, dx\text{.} \end{equation*}
Siempre que escribimos una integral definida, es implícito que los límites de integración corresponden a la variable de integración. Para ser más explícitos, observa que
\begin{equation*} \int_2^5 xe^{x^2} \, dx = \int_{x=2}^{x=5} xe^{x^2} \, dx\text{.} \end{equation*}
Cuando ejecutamos una sustitución \(u\text{,}\) cambiamos la variable de integración; es esencial notar que esto también cambia los límites de integración. Por ejemplo, con la sustitución \(u = x^2\) y \(du = 2x \, dx\text{,}\) también se sigue que cuando \(x = 2\text{,}\) \(u = 2^2 = 4\text{,}\) y cuando \(x = 5\text{,}\) \(u = 5^2 = 25\text{.}\) Así, bajo el cambio de variables de la sustitución \(u\text{,}\) ahora tenemos
\begin{align*} \int_{x=2}^{x=5} xe^{x^2} \, dx &= \int_{u=4}^{u=25} e^{u} \cdot \frac{1}{2} \, du\\ &= \left. \frac{1}{2}e^u \right|_{u=4}^{u=25}\\ &= \frac{1}{2}e^{25} - \frac{1}{2}e^4\text{.} \end{align*}
Alternativamente, podríamos considerar la integral indefinida relacionada \(\int xe^{x^2} \, dx\text{,}\) encontrar la antiderivada \(\frac{1}{2}e^{x^2}\) mediante la sustitución \(u\text{,}\) y luego evaluar la integral definida original. Con ese método, tendríamos
\begin{align*} \int_{2}^{5} xe^{x^2} \, dx &= \left. \frac{1}{2}e^{x^2} \right|_{2}^{5}\\ &= \frac{1}{2}e^{25} - \frac{1}{2}e^4\text{,} \end{align*}
que es, por supuesto, el mismo resultado.

Activity 5.3.4.

Evalúa cada una de las siguientes integrales definidas exactamente a través de una sustitución \(u\) adecuada.
  1. \(\displaystyle \int_1^2 \frac{x}{1 + 4x^2} \, dx\)
  2. \(\displaystyle \int_0^1 e^{-x} (2e^{-x}+3)^{9} \, dx\)
  3. \(\displaystyle \int_{2/\pi}^{4/\pi} \frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} \,dx\)

Subsection 5.3.4 Resumen

  • Para encontrar fórmulas algebraicas para antiderivadas de funciones algebraicas más complicadas, necesitamos pensar cuidadosamente sobre cómo podemos invertir las reglas de diferenciación conocidas. Con ese fin, es esencial que entendamos y recordemos las derivadas conocidas de funciones básicas, así como las reglas estándar de derivación.
  • La integral indefinida proporciona notación para antiderivadas. Cuando escribimos “\(\int f(x) \, dx\text{,}\)” queremos decir “la antiderivada general de \(f\text{.}\)” En particular, si tenemos funciones \(f\) y \(F\) tales que \(F' = f\text{,}\) las siguientes dos afirmaciones dicen exactamente lo mismo:
    \begin{equation*} \frac{d}{dx}[F(x)] = f(x) \ \text{y} \ \int f(x) \, dx = F(x) + C\text{.} \end{equation*}
    Es decir, \(f\) es la derivada de \(F\text{,}\) y \(F\) es una antiderivada de \(f\text{.}\)
  • La técnica de la sustitución \(u\) nos ayuda a evaluar integrales indefinidas de la forma \(\int f(g(x))g'(x) \, dx\) mediante las sustituciones \(u = g(x)\) y \(du = g'(x) \, dx\text{,}\) de modo que
    \begin{equation*} \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\text{.} \end{equation*}
    Una parte clave de elegir la expresión en \(x\) para ser representada por \(u\) es la identificación de un par función-derivada. Para hacerlo, a menudo buscamos una función “interna” \(g(x)\) que sea parte de una función compuesta, mientras investigamos si \(g'(x)\) (o un múltiplo constante de \(g'(x)\)) está presente como un factor multiplicador del integrando.

Exercises 5.3.5 Exercises

1. Product involving 4th power of a polynomial.

Find the following integral. Note that you can check your answer by differentiation.
\(\displaystyle \int\, t^{3}\mathopen{}\left(t^{4}-4\right)^{2} \,dt =\)

2. Product involving \(\sin(x^6)\).

Find the the general antiderivative \(F(x)\) of the function \(f(x)\) given below. Note that you can check your answer by differentiation.
\(f(x) = 7 x^{5} \sin(x^{6})\)
antiderivative \(F(x) =\)

3. Fraction involving \(\ln^9\).

Find the following integral. Note that you can check your answer by differentiation.
\(\displaystyle \int\,\frac{\ln^{8}\mathopen{}\left(z\right)}{z}\,dz =\)

4. Fraction involving \(e^{5 x}\).

Find the following integral. Note that you can check your answer by differentiation.
\(\displaystyle \int\, \frac{e^{5x}}{1+e^{5x}} \,dx =\)

5. Fraction involving \(e^{5 \sqrt{y}}\).

Find the following integral. Note that you can check your answer by differentiation.
\(\displaystyle \int\, \frac{2e^{4\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} \,dy =\)

6. Definite integral involving \(e^{-cos(q)}\).

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find
\(\displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi}\, e^{\sin\mathopen{}\left(q\right)}\cdot \cos\mathopen{}\left(q\right) \,dq =\)

7.

This problem centers on finding antiderivatives for the basic trigonometric functions other than \(\sin(x)\) and \(\cos(x)\text{.}\)
  1. Consider the indefinite integral \(\int \tan(x) \, dx\text{.}\) By rewriting the integrand as \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) and identifying an appropriate function-derivative pair, make a \(u\)-substitution and hence evaluate \(\int \tan(x) \, dx\text{.}\)
  2. In a similar way, evaluate \(\int \cot(x) \, dx\text{.}\)
  3. Consider the indefinite integral
    \begin{equation*} \int \frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx\text{.} \end{equation*}
    Evaluate this integral using the substitution \(u = \sec(x) + \tan(x)\text{.}\)
  4. Simplify the integrand in (c) by factoring the numerator. What is a far simpler way to write the integrand?
  5. Combine your work in (c) and (d) to determine \(\int \sec(x) \, dx\text{.}\)
  6. Using (c)-(e) as a guide, evaluate \(\int \csc(x) \, dx\text{.}\)

8.

Consider the indefinite integral \(\int x \sqrt{x-1} \, dx\text{.}\)
  1. At first glance, this integrand may not seem suited to substitution due to the presence of \(x\) in separate locations in the integrand. Nonetheless, using the composite function \(\sqrt{x-1}\) as a guide, let \(u = x-1\text{.}\) Determine expressions for both \(x\) and \(dx\) in terms of \(u\text{.}\)
  2. Convert the given integral in \(x\) to a new integral in \(u\text{.}\)
  3. Evaluate the integral in (b) by noting that \(\sqrt{u} = u^{1/2}\) and observing that it is now possible to rewrite the integrand in \(u\) by expanding through multiplication.
  4. Evaluate each of the integrals \(\int x^2 \sqrt{x-1} \, dx\) and \(\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx\text{.}\) Write a paragraph to discuss the similarities among the three indefinite integrals in this problem and the role of substitution and algebraic rearrangement in each.

9.

Consider the indefinite integral \(\int \sin^3(x) \, dx\text{.}\)
  1. Explain why the substitution \(u = \sin(x)\) will not work to help evaluate the given integral.
  2. Recall the Fundamental Trigonometric Identity, which states that \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\text{.}\) By observing that \(\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x)\text{,}\) use the Fundamental Trigonometric Identity to rewrite the integrand as the product of \(\sin(x)\) with another function.
  3. Explain why the substitution \(u = \cos(x)\) now provides a possible way to evaluate the integral in (b).
  4. Use your work in (a)-(c) to evaluate the indefinite integral \(\int \sin^3(x) \, dx\text{.}\)
  5. Use a similar approach to evaluate \(\int \cos^3(x) \, dx\text{.}\)

10.

For the town of Mathland, MI, residential power consumption has shown certain trends over recent years. Based on data reflecting average usage, engineers at the power company have modeled the town’s rate of energy consumption by the function
\begin{equation*} r(t) = 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4)\text{.} \end{equation*}
Here, \(t\) measures time in hours after midnight on a typical weekday, and \(r\) is the rate of consumption in megawatts
 3 
The unit megawatt is itself a rate, which measures energy consumption per unit time. A megawatt-hour is the total amount of energy that is equivalent to a constant stream of 1 megawatt of power being sustained for 1 hour.
at time \(t\text{.}\) Units are critical throughout this problem.
  1. Sketch a carefully labeled graph of \(r(t)\) on the interval [0,24] and explain its meaning. Why is this a reasonable model of power consumption?
  2. Without calculating its value, explain the meaning of \(\int_0^{24} r(t) \, dt\text{.}\) Include appropriate units on your answer.
  3. Determine the exact amount of energy Mathland consumes in a typical day.
  4. What is Mathland’s average rate of power consumption in a given 24-hour period? What are the units on this quantity?
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