Es útil pensar en la profundidad debajo de la superficie del crock como la variable independiente, así que dejamos que el eje positivo \(x\) apunte hacia abajo, y el eje positivo \(y\) hacia la derecha, como se muestra en la figura. Debido a que la bomba se encuentra en la superficie del agua, tiene sentido pensar en la bomba moviendo el agua una “rebanada” a la vez, donde toma una rebanada delgada de la superficie, la bombea fuera del tanque, y luego procede a bombear la siguiente rebanada debajo.
Cada rebanada de agua tiene forma cilíndrica. Vemos que el radio de cada rebanada varía según la función lineal \(y = f(x)\) que pasa por los puntos \((0,1.5)\) y \((4,0.75)\text{,}\) donde \(x\) es la profundidad de la rebanada particular en el tanque; es un ejercicio sencillo encontrar que \(f(x) = 1.5 - 0.1875x\text{.}\) Ahora pensamos en el problema en varios pasos:
determinando el volumen de una rebanada típica;
encontrando el peso de una rebanada típica (y así la fuerza que debe ejercerse sobre ella);
decidiendo la distancia que se mueve una rebanada típica;
y calculando el trabajo para mover una rebanada representativa.
Una vez que sabemos el trabajo que se necesita para mover una rebanada, usamos una integral definida sobre un intervalo apropiado para encontrar el trabajo total.
Considera una rebanada cilíndrica representativa a una profundidad de \(x\) pies debajo de la parte superior del crock. El volumen aproximado de esa rebanada está dado por
\begin{equation*}
V_{\text{slice} } = \pi f(x)^2 \Delta x = \pi (1.5 - 0.1875x)^2 \Delta x\text{.}
\end{equation*}
Dado que el agua pesa 62.4 lb/ft\(^3\text{,}\) el peso aproximado de una rebanada representativa es
\begin{equation*}
F_{\text{slice} } = 62.4 \cdot V_{\text{slice} } = 62.4 \pi (1.5 - 0.1875x)^2 \Delta x\text{.}
\end{equation*}
Esta es también la fuerza aproximada que la bomba debe ejercer para mover la rebanada.
Debido a que la rebanada está ubicada a una profundidad de \(x\) pies debajo de la parte superior del crock, la rebanada movida por la bomba debe moverse \(x\) pies para llegar al nivel del suelo del sótano, y luego, como se indica en la descripción del problema, otros 9 pies para llegar al desagüe a nivel del suelo. Por lo tanto, la distancia total que recorre una rebanada representativa es
\begin{equation*}
d_{\text{slice} } = x + 9\text{.}
\end{equation*}
Finalmente, el trabajo para mover una rebanada representativa está dado por
\begin{equation*}
W_{\text{slice} } = F_{\text{slice} } \cdot d_{\text{slice} } = 62.4 \pi (1.5 - 0.1875x)^2 \Delta x \cdot (x+9)\text{.}
\end{equation*}
Sumamos el trabajo requerido para mover rebanadas a lo largo del tanque (de \(x = 0\) a \(x = 4\)), dejamos que \(\Delta x \to 0\text{,}\) y por lo tanto
\begin{equation*}
W = \int_0^4 62.4 \pi (1.5 - 0.1875x)^2 (x+9) \, dx\text{.}
\end{equation*}
Cuando se evalúa usando la tecnología apropiada, la integral muestra que el trabajo total es \(W = 3463.2 \pi\) libras-pie.
