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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 8.1 Secuencias

Nos encontramos con secuencias todos los días. Tus pagos mensuales de servicios, los intereses anuales que ganas en inversiones, la cantidad que gastas en comestibles cada semana; todos son ejemplos de secuencias. Otras secuencias con las que puedes estar familiarizado incluyen la secuencia de Fibonacci \(1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots \text{,}\) donde cada término es la suma de los dos términos anteriores, y los números triangulares \(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \ldots \text{,}\) el número de vértices en los triángulos mostrados en Figura 8.1.1.
Figure 8.1.1. Números triangulares
Las secuencias de enteros son de tal interés para los matemáticos y otros que tienen una revista
 1 
The Journal of Integer Sequences en http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/
dedicada a ellas y una enciclopedia en línea
 2 
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences en http://oeis.org/
que cataloga una gran cantidad de secuencias de enteros y sus conexiones. Las secuencias también se usan en grabaciones digitales e imágenes.
Nuestros estudios en cálculo han tratado con funciones continuas. Las secuencias modelan información discreta en lugar de continua. Estudiaremos formas de representar y trabajar con información discreta en este capítulo mientras investigamos secuencias y series, y finalmente veremos conexiones clave entre lo discreto y lo continuo.

Actividad Introductoria 8.1.1.

Supón que recibes \(\dollar5000\) a través de una herencia. Decides invertir este dinero en un fondo que paga \(8\%\) anualmente, compuesto mensualmente. Eso significa que cada mes tu inversión gana \(\frac{0.08}{12} \cdot P\) dólares adicionales, donde \(P\) es tu saldo principal al inicio del mes. Así que en el primer mes tu inversión gana
\begin{equation*} 5000 \left(\frac{0.08}{12}\right) \end{equation*}
o \(\dollar33.33\text{.}\) Si reinviertes este dinero, entonces tendrás \(\dollar5033.33\) en tu cuenta al final del primer mes. A partir de este punto, asume que reinviertes todos los intereses que ganas.
  1. ¿Cuánto interés ganarás en el segundo mes? ¿Cuánto dinero tendrás en tu cuenta al final del segundo mes?
  2. Completa Table 8.1.2 para determinar el interés ganado y la cantidad total de dinero en esta inversión cada mes durante un año.
    Table 8.1.2. Interés
    Mes Interés
    ganado    		 Cantidad total
    de dinero
    en la cuenta
    \(0\) \(\dollar0.00\) \(\dollar5000.00\)
    \(1\) \(\dollar33.33\) \(\dollar5033.33\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(6\)
    \(7\)
    \(8\)
    \(9\)
    \(10\)
    \(11\)
    \(12\)
  3. Como veremos más adelante, la cantidad de dinero \(P_n\) en la cuenta después del mes \(n\) se da por
    \begin{equation*} P_n = 5000\left(1+\frac{0.08}{12}\right)^{n}\text{.} \end{equation*}
    Usa esta fórmula para verificar tus cálculos en Table 8.1.2. Luego encuentra la cantidad de dinero en la cuenta después de 5 años.
  4. ¿Cuántos años pasarán antes de que la cuenta se haya duplicado en valor a $10000?

Subsection 8.1.1 Secuencias

Como ilustra Actividad de Previsualización 8.1.1, muchos fenómenos discretos pueden representarse como listas de números (como la cantidad de dinero en una cuenta durante un período de meses). Llamamos a cualquier lista de este tipo una secuencia. Una secuencia no es más que una lista de términos en algún orden. A menudo listamos las entradas de la secuencia con subíndices,
\begin{equation*} s_1, s_2, \ldots, s_n \ldots\text{,} \end{equation*}
donde el subíndice denota la posición de la entrada en la secuencia.

Definition 8.1.3.

Una secuencia es una lista de términos \(s_1, s_2, s_3, \ldots\) en un orden especificado.
Podemos pensar en una secuencia como una función \(f\) cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos donde \(f(n) = s_n\) para cada entero positivo \(n\text{.}\) Esta vista alternativa será útil en muchas situaciones.
A menudo denotamos la secuencia
\begin{equation*} s_1, s_2, s_3, \ldots \end{equation*}
por \(\{s_n\}\text{.}\) El valor \(s_n\) (alternativamente \(s(n)\)) se llama el \(n\)-ésimo término en la secuencia. Si los términos son todos 0 después de algún valor fijo de \(n\text{,}\) decimos que la secuencia es finita. De lo contrario, la secuencia es infinita. Con secuencias infinitas, a menudo nos interesa su comportamiento final y la idea de secuencias convergentes.

Activity 8.1.2.

  1. Sea \(s_n\) el \(n\)-ésimo término en la secuencia \(1, 2, 3, \ldots\text{.}\) Encuentra una fórmula para \(s_n\) y usa herramientas tecnológicas apropiadas para dibujar un gráfico de las entradas en esta secuencia trazando puntos de la forma \((n,s_n)\) para algunos valores de \(n\text{.}\) La mayoría de las calculadoras gráficas pueden trazar secuencias; las instrucciones siguen para la TI-84.
    • En el menú MODE, resalta SEQ en la línea FUNC y presiona ENTER.
    • En el menú Y=, ahora verás líneas para ingresar secuencias. Ingresa un valor para nMin (donde comienza la secuencia), una función para u(n) (el \(n\)-ésimo término en la secuencia), y el valor de u(nMin).
    • Establece las coordenadas de tu ventana (esto implica elegir límites para \(n\) así como las coordenadas de la ventana XMin, XMax, YMin, y YMax.
    • La tecla GRAPH dibujará un gráfico de tu secuencia.
    Usando tu conocimiento de límites de funciones continuas cuando \(x \to \infty\text{,}\) decide si esta secuencia \(\{s_n\}\) tiene un límite cuando \(n \to \infty\text{.}\) Explica tu razonamiento.
  2. Sea \(s_n\) el \(n\)-ésimo término en la secuencia \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\text{.}\) Encuentra una fórmula para \(s_n\text{.}\) Dibuja un gráfico de algunos puntos en esta secuencia. Usando tu conocimiento de límites de funciones continuas cuando \(x \to \infty\text{,}\) decide si esta secuencia \(\{s_n\}\) tiene un límite cuando \(n \to \infty\text{.}\) Explica tu razonamiento.
  3. Sea \(s_n\) el \(n\)-ésimo término en la secuencia \(2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots\text{.}\) Encuentra una fórmula para \(s_n\text{.}\) Usando tu conocimiento de límites de funciones continuas cuando \(x \to \infty\text{,}\) decide si esta secuencia \(\{s_n\}\) tiene un límite cuando \(n \to \infty\text{.}\) Explica tu razonamiento.
A continuación formalizamos las ideas de Actividad 8.1.2.

Activity 8.1.3.

  1. Recuerda nuestro trabajo anterior con límites que involucran el infinito en Sección 2.8. Explica claramente qué significa para una función continua \(f\) tener un límite \(L\) cuando \(x \to \infty\text{.}\)
  2. Dado que una secuencia infinita de números reales es una función de los enteros a los números reales, aplica la idea de la parte (a) para explicar qué crees que significa para una secuencia \(\{s_n\}\) tener un límite cuando \(n \to \infty\text{.}\)
  3. Basado en tu respuesta a la parte (b), decide si la secuencia \(\left\{ \frac{1+n}{2+n}\right\}\) tiene un límite cuando \(n \to \infty\text{.}\) Si es así, ¿cuál es el límite? Si no, ¿por qué no?
En Actividades 8.1.2 y 8.1.3 investigamos una secuencia \(\{s_n\}\) que tiene un límite cuando \(n\) tiende a infinito. Más formalmente, hacemos la siguiente definición.

Definition 8.1.4.

Una secuencia \(\{ s_n \}\) converge o es una secuencia convergente siempre que haya un número \(L\) tal que podamos hacer \(s_n\) tan cercano a \(L\) como queramos tomando \(n\) suficientemente grande. En esta situación, llamamos a \(L\) el límite de la secuencia convergente y escribimos
\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} s_n = L\text{.} \end{equation*}
Si la secuencia \(\{s_n\}\) no converge, decimos que la secuencia \(\{s_n\}\) diverge.
La idea de que una secuencia tenga un límite cuando \(n \to \infty\) es la misma que la idea de que una función continua tenga un límite cuando \(x \to \infty\text{.}\) La única diferencia es que las secuencias son discretas en lugar de continuas.

Activity 8.1.4.

Usa métodos gráficos y/o algebraicos para determinar si cada una de las siguientes secuencias converge o diverge.
  1. \(\displaystyle \left\{\frac{1+2n}{3n-2}\right\}\)
  2. \(\displaystyle \left\{\frac{5+3^n}{10+2^n}\right\}\)
  3. \(\left\{\frac{10^n}{n!}\right\}\) (donde \(!\) es el símbolo de factorial y \(n! = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)\) para cualquier entero positivo \(n\) (por convención definimos \(0!\) como 1)).

Subsection 8.1.2 Resumen

  • Una secuencia es una lista de objetos en un orden especificado. Normalmente trabajaremos con secuencias de números reales. Podemos pensar en una secuencia como una función de los enteros positivos al conjunto de números reales.
  • Una secuencia \(\{s_n\}\) de números reales converge a un número \(L\) si podemos hacer que cada valor de \(s_k\) para \(k \ge n\) sea tan cercano como queramos a \(L\) eligiendo \(n\) suficientemente grande.
  • Una secuencia diverge si no converge.

Exercises 8.1.3 Exercises

1. Limits of five sequences.

Match the formulas with the descriptions of the behavior of the sequence as \(n\to\infty\text{.}\)
  1. \(\displaystyle s_n = 1 + \cos(n)/n\)
  2. \(\displaystyle s_n = n(n+1) - 1\)
  3. \(\displaystyle s_n = (n+1)/n\)
  4. \(\displaystyle s_n = (\sin(n)/n)\)
  5. \(\displaystyle s_n = n\sin(n)/(n+1)\)
  1. converges to zero through positive and negative numbers
  2. does not converge, but doesn’t go to \(\pm\infty\)
  3. diverges to \(\infty\)
  4. converges to one from above and below
  5. converges to one from above

2. Formula for a sequence, given first terms.

Find a formula for \(s_n\text{,}\) \(n\ge 1\) for the sequence 0, 3, 8, 15, 24...
\(s_n =\)

3. Divergent or convergent sequences.

For each of the sequences below, enter either diverges if the sequence diverges, or the limit of the sequence if the sequence converges as \(n\to\infty\text{.}\) (Note that to avoid this becoming a "multiple guess" problem you will not see partial correct answers.)
A. \({4 n + 1\over n^2}\) :
B. \({n^2\over 4^n}\) :
C. \({4 n + 1\over n}\) :
D. \({\sin(n)\over \cos(n) + 2}\) :

4. Terms of a sequence from sampling a signal.

In electrical engineering, a continuous function like \(f(t) = \sin t\text{,}\) where \(t\) is in seconds, is referred to as an analog signal. To digitize the signal, we sample \(f(t)\) every \(\Delta t\) seconds to form the sequence \(s_n = f(n\Delta t)\text{.}\) For example, sampling \(f\) every 1/10 second produces the sequence \(\sin(1/10)\text{,}\) \(\sin(2/10)\text{,}\) \(\sin(3/10)\text{,...}\)
Suppose that the analog signal is given by
\begin{equation*} f(t) = {\sin(1 t)\over t}. \end{equation*}
Give the first 6 terms of a sampling of the signal every \(\Delta t = 1.5\) seconds:
(Enter your answer as a comma-separated list.)

5.

Finding limits of convergent sequences can be a challenge. However, there is a useful tool we can adapt from our study of limits of continuous functions at infinity to use to find limits of sequences. We illustrate in this exercise with the example of the sequence
\begin{equation*} \frac{\ln(n)}{n}\text{.} \end{equation*}
  1. Calculate the first 10 terms of this sequence. Based on these calculations, do you think the sequence converges or diverges? Why?
  2. For this sequence, there is a corresponding continuous function \(f\) defined by
    \begin{equation*} f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\text{.} \end{equation*}
    Draw the graph of \(f(x)\) on the interval \([0,10]\) and then plot the entries of the sequence on the graph. What conclusion do you think we can draw about the sequence \(\left\{\frac{\ln(n)}{n}\right\}\) if \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\text{?}\) Explain.
  3. Note that \(f(x)\) has the indeterminate form \(\frac{\infty}{\infty}\) as \(x\) goes to infinity. What idea from differential calculus can we use to calculate \(\lim_{x \to \infty} f(x)\text{?}\) Use this method to find \(\lim_{x \to \infty} f(x)\text{.}\) What, then, is \(\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}\text{?}\)

6.

We return to the example begun in Preview Activity 8.1.1 to see how to derive the formula for the amount of money in an account at a given time. We do this in a general setting. Suppose you invest \(P\) dollars (called the principal) in an account paying \(r\%\) interest compounded monthly. In the first month you will receive \(\frac{r}{12}\) (here \(r\) is in decimal form; e.g., if we have \(8\%\) interest, we write \(\frac{0.08}{12}\)) of the principal \(P\) in interest, so you earn
\begin{equation*} P\left(\frac{r}{12}\right) \end{equation*}
dollars in interest. Assume that you reinvest all interest. Then at the end of the first month your account will contain the original principal \(P\) plus the interest, or a total of
\begin{equation*} P_1 = P + P\left(\frac{r}{12}\right) = P\left( 1 + \frac{r}{12}\right) \end{equation*}
dollars.
  1. Given that your principal is now \(P_1\) dollars, how much interest will you earn in the second month? If \(P_2\) is the total amount of money in your account at the end of the second month, explain why
    \begin{equation*} P_2 = P_1\left( 1 + \frac{r}{12}\right) = P\left( 1 + \frac{r}{12}\right)^2\text{.} \end{equation*}
  2. Find a formula for \(P_3\text{,}\) the total amount of money in the account at the end of the third month in terms of the original investment \(P\text{.}\)
  3. There is a pattern to these calculations. Let \(P_n\) the total amount of money in the account at the end of the third month in terms of the original investment \(P\text{.}\) Find a formula for \(P_n\text{.}\)

7.

Sequences have many applications in mathematics and the sciences. In a recent paper
 3 
Hui H, Farilla L, Merkel P, Perfetti R. The short half-life of glucagon-like peptide-1 in plasma does not reflect its long-lasting beneficial effects, Eur J Endocrinol 2002 Jun;146(6):863-9.
the authors write
The incretin hormone glucagon-like peptide-1 (GLP-1) is capable of ameliorating glucose-dependent insulin secretion in subjects with diabetes. However, its very short half-life (1.5-5 min) in plasma represents a major limitation for its use in the clinical setting.
The half-life of GLP-1 is the time it takes for half of the hormone to decay in its medium. For this exercise, assume the half-life of GLP-1 is 5 minutes. So if \(A\) is the amount of GLP-1 in plasma at some time \(t\text{,}\) then only \(\frac{A}{2}\) of the hormone will be present after \(t+5\) minutes. Suppose \(A_0 = 100\) grams of the hormone are initially present in plasma.
  1. Let \(A_1\) be the amount of GLP-1 present after 5 minutes. Find the value of \(A_1\text{.}\)
  2. Let \(A_2\) be the amount of GLP-1 present after 10 minutes. Find the value of \(A_2\text{.}\)
  3. Let \(A_3\) be the amount of GLP-1 present after 15 minutes. Find the value of \(A_3\text{.}\)
  4. Let \(A_4\) be the amount of GLP-1 present after 20 minutes. Find the value of \(A_4\text{.}\)
  5. Let \(A_n\) be the amount of GLP-1 present after \(5n\) minutes. Find a formula for \(A_n\text{.}\)
  6. Does the sequence \(\{A_n\}\) converge or diverge? If the sequence converges, find its limit and explain why this value makes sense in the context of this problem.
  7. Determine the number of minutes it takes until the amount of GLP-1 in plasma is 1 gram.

8.

Continuous data is the basis for analog information, like music stored on old cassette tapes or vinyl records. A digital signal like on a CD or MP3 file is obtained by sampling an analog signal at some regular time interval and storing that information. For example, the sampling rate of a compact disk is 44,100 samples per second. So a digital recording is only an approximation of the actual analog information. Digital information can be manipulated in many useful ways that allow for, among other things, noisy signals to be cleaned up and large collections of information to be compressed and stored in much smaller space. While we won’t investigate these techniques in this chapter, this exercise is intended to give an idea of the importance of discrete (digital) techniques.
Let \(f\) be the continuous function defined by \(f(x) = \sin(4x)\) on the interval \([0,10]\text{.}\) A graph of \(f\) is shown in Figure 8.1.5.
Figure 8.1.5. The graph of \(f(x) = \sin(4x)\) on the interval \([0,10]\)
We approximate \(f\) by sampling, that is by partitioning the interval \([0,10]\) into uniform subintervals and recording the values of \(f\) at the endpoints.
  1. Ineffective sampling can lead to several problems in reproducing the original signal. As an example, partition the interval \([0,10]\) into 8 equal length subintervals and create a list of points (the sample) using the endpoints of each subinterval. Plot your sample on graph of \(f\) in Figure Figure 8.1.5. What can you say about the period of your sample as compared to the period of the original function?
  2. The sampling rate is the number of samples of a signal taken per second. As the part (a) illustrates, sampling at too small a rate can cause serious problems with reproducing the original signal (this problem of inefficient sampling leading to an inaccurate approximation is called aliasing). There is an elegant theorem called the Nyquist-Shannon Sampling Theorem that says that human perception is limited, which allows that replacement of a continuous signal with a digital one without any perceived loss of information. This theorem also provides the lowest rate at which a signal can be sampled (called the Nyquist rate) without such a loss of information. The theorem states that we should sample at double the maximum desired frequency so that every cycle of the original signal will be sampled at at least two points. Recall that the frequency of a sinusoidal function is the reciprocal of the period. Identify the frequency of the function \(f\) and determine the number of partitions of the interval \([0,10]\) that give us the Nyquist rate.
  3. Humans cannot typically pick up signals above 20 kHz. Explain why, then, that information on a compact disk is sampled at 44,100 Hz.
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