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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 1.3 La derivada de una función en un punto

La tasa de cambio instantánea de una función es una idea que se encuentra en la base del cálculo. Es una generalización de la noción de velocidad instantánea y mide qué tan rápido está cambiando una función particular en un punto dado. Si la función original representa la posición de un objeto en movimiento, esta tasa de cambio instantánea es precisamente la velocidad del objeto. En otros contextos, la tasa de cambio instantánea podría medir el número de células añadidas a un cultivo de bacterias por día, el número de galones adicionales de gasolina consumidos al aumentar la velocidad de un coche una milla por hora, o el número de dólares añadidos a un pago hipotecario por cada punto porcentual de aumento en la tasa de interés. La tasa de cambio instantánea también puede interpretarse geométricamente en el gráfico de la función, y esta conexión es fundamental para muchas de las ideas principales en el cálculo.
Recuerda que para un objeto en movimiento con función de posición \(s\text{,}\) su velocidad promedio en el intervalo de tiempo \(t = a\) a \(t = a+h\) se da por el cociente
\begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{.} \end{equation*}
De manera similar, hacemos la siguiente definición para una función arbitraria \(y = f(x)\text{.}\)

Definition 1.3.1.

Para una función \(f\text{,}\) la tasa de cambio promedio de \(f\) en el intervalo \([a,a+h]\) se da por el valor
\begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{.} \end{equation*}
De manera equivalente, si queremos considerar la tasa de cambio promedio de \(f\) en \([a,b]\text{,}\) calculamos
\begin{equation*} AV_{[a,b]} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}
Es esencial que entiendas cómo la tasa de cambio promedio de \(f\) en un intervalo está conectada con su gráfico.

Actividad Introductoria 1.3.1.

Supón que \(f\) es la función dada por el gráfico a continuación y que \(a\) y \(a+h\) son los valores de entrada como se indica en el eje \(x\text{.}\) Usa el gráfico en Figura 1.3.2 para responder las siguientes preguntas.
Figure 1.3.2. Gráfico de \(y = f(x)\) para Actividad de Vista Previa 1.3.1.
  1. Ubica y etiqueta los puntos \((a,f(a))\) y \((a+h, f(a+h))\) en el gráfico.
  2. Construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el segmento de línea desde \((a,f(a))\) hasta \((a+h,f(a+h))\text{.}\) ¿Cuáles son las longitudes de los respectivos catetos de este triángulo?
  3. ¿Cuál es la pendiente de la línea que conecta los puntos \((a,f(a))\) y \((a+h, f(a+h))\text{?}\)
  4. Escribe una oración significativa que explique cómo se conectan la tasa de cambio promedio de la función en un intervalo dado y la pendiente de una línea relacionada.

Subsection 1.3.1 La Derivada de una Función en un Punto

Así como definimos la velocidad instantánea en términos de la velocidad promedio, ahora definimos la tasa de cambio instantánea de una función en un punto en términos de la tasa de cambio promedio de la función \(f\) sobre intervalos relacionados. Esta tasa de cambio instantánea de \(f\) en \(a\) se llama “la derivada de \(f\) en \(a\text{,}\)” y se denota por \(f'(a)\text{.}\)

Definition 1.3.3.

Sea \(f\) una función y \(x = a\) un valor en el dominio de la función. Definimos la derivada de \(f\) con respecto a \(x\) evaluada en \(x = a\), denotada \(f'(a)\text{,}\) por la fórmula
\begin{equation*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{,} \end{equation*}
siempre que este límite exista.
En voz alta, leemos el símbolo \(f'(a)\) como “\(f\)-prima en \(a\)” o “la derivada de \(f\) evaluada en \(x = a\text{.}\)” Gran parte de los próximos capítulos se dedicará a entender, calcular, aplicar e interpretar derivadas. Por ahora, observamos las siguientes cosas importantes.

Note 1.3.4.

  • La derivada de \(f\) en el valor \(x = a\) se define como el límite de la tasa de cambio promedio de \(f\) en el intervalo \([a,a+h]\) cuando \(h \to 0\text{.}\) Este límite puede no existir, por lo que no todas las funciones tienen una derivada en cada punto.
  • Decimos que una función es diferenciable en \(x = a\) si tiene una derivada en \(x = a\text{.}\)
  • La derivada es una generalización de la velocidad instantánea de una función de posición: si \(y = s(t)\) es una función de posición de un cuerpo en movimiento, \(s'(a)\) nos dice la velocidad instantánea del cuerpo en el tiempo \(t=a\text{.}\)
  • Debido a que las unidades en \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) son “unidades de \(f(x)\) por unidad de \(x\text{,}\)” la derivada tiene estas mismas unidades. Por ejemplo, si \(s\) mide la posición en pies y \(t\) mide el tiempo en segundos, las unidades en \(s'(a)\) son pies por segundo.
  • Debido a que la cantidad \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) representa la pendiente de la línea a través de \((a,f(a))\) y \((a+h, f(a+h))\text{,}\) cuando calculamos la derivada estamos tomando el límite de una colección de pendientes de líneas. Por lo tanto, la derivada en sí misma representa la pendiente de una línea particularmente importante.
Primero consideramos la derivada en un valor dado como la pendiente de una cierta línea.
Cuando calculamos una tasa de cambio instantánea, permitimos que el intervalo \([a,a+h]\) se reduzca a medida que \(h \to 0\text{.}\) Podemos pensar en un extremo del intervalo como “deslizándose hacia” el otro. En particular, siempre que \(f\) tenga una derivada en \((a,f(a))\text{,}\) el punto \((a+h,f(a+h))\) se acercará a \((a,f(a))\) a medida que \(h \to 0\text{.}\) Debido a que el proceso de tomar un límite es dinámico, puede ser útil usar tecnología informática para visualizarlo. Una opción es un applet de java en el que el usuario puede controlar el punto que se está moviendo. Para una colección útil de ejemplos, considera el trabajo de David Austin
 1 
gvsu.edu/s/5r
de la Universidad Estatal de Grand Valley, y este ejemplo particularmente relevante
 2 
gvsu.edu/s/5s
. Para applets que se han construido en Geogebra
 3 
Incluso puedes considerar construir tus propios ejemplos; el fantástico programa Geogebra está disponible para descarga gratuita y es fácil de aprender y usar.
, ve la biblioteca de Marc Renault
 4 
gvsu.edu/s/5p
a través de la Universidad de Shippensburg, con este ejemplo
 5 
gvsu.edu/s/5q
siendo especialmente adecuado para nuestro trabajo en esta sección.
Figura 1.3.5 muestra una secuencia de figuras con varias líneas diferentes a través de los puntos \((a, f(a))\) y \((a+h,f(a+h))\text{,}\) generadas por diferentes valores de \(h\text{.}\) Estas líneas (mostradas en las primeras tres figuras en magenta), a menudo se llaman líneas secantes a la curva \(y = f(x)\text{.}\) Una línea secante a una curva es simplemente una línea que pasa por dos puntos en la curva. Para cada una de estas líneas, la pendiente de la línea secante es \(m = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\text{,}\) donde el valor de \(h\) depende de la ubicación del punto que elegimos. Podemos ver en el diagrama cómo, a medida que \(h \to 0\text{,}\) las líneas secantes comienzan a acercarse a una sola línea que pasa por el punto \((a,f(a))\text{.}\) Si el límite de las pendientes de las líneas secantes existe, decimos que el valor resultante es la pendiente de la línea tangente a la curva. Esta línea tangente (mostrada en la figura más a la derecha en verde) al gráfico de \(y = f(x)\) en el punto \((a,f(a))\) tiene pendiente \(m = f'(a)\text{.}\)
Figure 1.3.5. Una secuencia de líneas secantes acercándose a la línea tangente a \(f\) en \((a,f(a))\text{.}\)
Si la línea tangente en \(x = a\) existe, el gráfico de \(f\) se ve como una línea recta cuando se observa de cerca en \((a,f(a))\text{.}\) En Figura 1.3.6 combinamos los cuatro gráficos en Figura 1.3.5 en uno solo a la izquierda, y ampliamos la caja centrada en \((a,f(a))\) a la derecha. Nota cómo la línea tangente se sitúa en relación con la curva \(y = f(x)\) en \((a,f(a))\) y cómo se parece mucho a la curva cerca de \(x = a\text{.}\)
Figure 1.3.6. Una secuencia de líneas secantes acercándose a la línea tangente a \(f\) en \((a,f(a))\text{.}\) A la derecha, ampliamos el punto \((a,f(a))\text{.}\) La pendiente de la línea tangente (en verde) a \(f\) en \((a,f(a))\) está dada por \(f'(a)\text{.}\)

Note 1.3.7.

La tasa de cambio instantánea de \(f\) con respecto a \(x\) en \(x = a\text{,}\) \(f'(a)\text{,}\) también mide la pendiente de la línea tangente a la curva \(y = f(x)\) en \((a,f(a))\text{.}\)
El siguiente ejemplo demuestra varias ideas clave relacionadas con la derivada de una función.

Example 1.3.8. Usando la definición de límite de la derivada.

Para la función \(f(x) = x - x^2\text{,}\) usa la definición de límite de la derivada para calcular \(f'(2)\text{.}\) Además, discute el significado de este valor y dibuja un gráfico etiquetado que apoye tu explicación.
Solution.
A partir de la definición de límite, sabemos que
\begin{equation*} f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\text{.} \end{equation*}
Ahora usamos la regla para \(f\text{,}\) y observamos que \(f(2) = 2 - 2^2 = -2\) y \(f(2+h) = (2+h) - (2+h)^2\text{.}\) Sustituyendo estos valores en la definición de límite, tenemos que
\begin{equation*} f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h) - (2+h)^2 - (-2)}{h}\text{.} \end{equation*}
Para permitir que \(h \to 0\text{,}\) debemos simplificar el cociente. Expandiendo y distribuyendo en el numerador,
\begin{equation*} f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2+h - 4 - 4h - h^2 + 2}{h}\text{.} \end{equation*}
Combinando términos semejantes, tenemos
\begin{equation*} f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{ -3h - h^2}{h}\text{.} \end{equation*}
A continuación, eliminamos un factor común de \(h\) tanto en el numerador como en el denominador y encontramos que
\begin{equation*} f'(2) = \lim_{h \to 0} (-3-h)\text{.} \end{equation*}
Finalmente, podemos tomar el límite a medida que \(h \to 0\text{,}\) y así concluimos que \(f'(2) = -3\text{.}\) Notamos que \(f'(2)\) es la tasa de cambio instantánea de \(f\) en el punto \((2,-2)\text{.}\) También es la pendiente de la línea tangente al gráfico de \(y = x - x^2\) en el punto \((2,-2)\text{.}\) Figura 1.3.9 muestra tanto la función como la línea a través de \((2,-2)\) con pendiente \(m = f'(2) = -3\text{.}\)
Figure 1.3.9. La línea tangente a \(y = x - x^2\) en el punto \((2,-2)\text{.}\)
Las siguientes actividades te ayudarán a explorar una variedad de ideas clave relacionadas con las derivadas.

Activity 1.3.2.

Considera la función \(f\) cuya fórmula es \(\displaystyle f(x) = 3 - 2x\text{.}\)
  1. ¿Qué tipo familiar de función es \(f\text{?}\) ¿Qué puedes decir sobre la pendiente de \(f\) en cada valor de \(x\text{?}\)
  2. Calcula la tasa de cambio promedio de \(f\) en los intervalos \([1,4]\text{,}\) \([3,7]\text{,}\) y \([5,5+h]\text{;}\) simplifica cada resultado tanto como sea posible. ¿Qué notas sobre estas cantidades?
  3. Usa la definición del límite de la derivada para calcular la tasa de cambio instantánea exacta de \(f\) con respecto a \(x\) en el valor \(a = 1\text{.}\) Es decir, calcula \(f'(1)\) usando la definición del límite. Muestra tu trabajo. ¿Te sorprende el resultado?
  4. Sin hacer cálculos adicionales, ¿cuáles son los valores de \(f'(2)\text{,}\) \(f'(\pi)\text{,}\) y \(f'(-\sqrt{2})\text{?}\) ¿Por qué?

Activity 1.3.3.

Un globo de agua es lanzado verticalmente en el aire desde una ventana. La altura del globo en pies en el tiempo \(t\) en segundos después de ser lanzado está dada por \(s(t) = -16t^2 + 16t + 32\text{.}\) Usa esta función para responder a cada una de las siguientes preguntas.
  1. Dibuja un gráfico preciso y etiquetado de \(s\) en los ejes proporcionados en Figura 1.3.10. Deberías poder hacer esto sin usar tecnología de computación.
    Figure 1.3.10. Ejes para trazar \(y = s(t)\) en Actividad 1.3.3.
  2. Calcula la tasa de cambio promedio de \(s\) en el intervalo de tiempo \([1,2]\text{.}\) Incluye unidades en tu respuesta y escribe una oración para explicar el significado del valor que encontraste.
  3. Usa la definición de límite para calcular la tasa de cambio instantánea de \(s\) con respecto al tiempo, \(t\text{,}\) en el instante \(a = 1\text{.}\) Muestra tu trabajo usando la notación adecuada, incluye unidades en tu respuesta, y escribe una oración para explicar el significado del valor que encontraste.
  4. En tu gráfico en (a), dibuja dos líneas: una cuya pendiente represente la tasa de cambio promedio de \(s\) en \([1,2]\text{,}\) la otra cuya pendiente represente la tasa de cambio instantánea de \(s\) en el instante \(a=1\text{.}\) Etiqueta cada línea claramente.
  5. ¿Para qué valores de \(a\) esperas que \(s'(a)\) sea positivo? ¿Por qué? Responde las mismas preguntas cuando “positivo” se reemplaza por “negativo” y “cero.”

Activity 1.3.4.

Una ciudad de rápido crecimiento en Arizona tiene su población \(P\) en el tiempo \(t\text{,}\) donde \(t\) es el número de décadas después del año 2010, modelado por la fórmula \(P(t) = 25000 e^{t/5}\text{.}\) Usa esta función para responder a las siguientes preguntas.
  1. Dibuja un gráfico preciso de \(P\) para \(t = 0\) a \(t = 5\) en los ejes proporcionados en Figura 1.3.11. Etiqueta cuidadosamente la escala en los ejes.
    Figure 1.3.11. Ejes para trazar \(y = P(t)\) en Actividad 1.3.4.
  2. Calcula la tasa de cambio promedio de \(P\) entre 2030 y 2050. Incluye unidades en tu respuesta y escribe una oración para explicar el significado (en lenguaje cotidiano) del valor que encontraste.
  3. Usa la definición de límite para escribir una expresión para la tasa de cambio instantánea de \(P\) con respecto al tiempo, \(t\text{,}\) en el instante \(a = 2\text{.}\) Explica por qué este límite es difícil de evaluar exactamente.
  4. Estima el límite en (c) para la tasa de cambio instantánea de \(P\) en el instante \(a = 2\) usando varios valores pequeños de \(h\text{.}\) Una vez que hayas determinado una estimación precisa de \(P'(2)\text{,}\) incluye unidades en tu respuesta, y escribe una oración (usando lenguaje cotidiano) para explicar el significado del valor que encontraste.
  5. En tu gráfico anterior, dibuja dos líneas: una cuya pendiente represente la tasa de cambio promedio de \(P\) en \([2,4]\text{,}\) la otra cuya pendiente represente la tasa de cambio instantánea de \(P\) en el instante \(a=2\text{.}\)
  6. En una oración cuidadosamente redactada, describe el comportamiento de \(P'(a)\) a medida que \(a\) aumenta en valor. ¿Qué refleja esto sobre el comportamiento de la función dada \(P\text{?}\)

Subsection 1.3.2 Resumen

  • La tasa de cambio promedio de una función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) es \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\) Las unidades en la tasa de cambio promedio son unidades de \(f(x)\) por unidad de \(x\text{,}\) y el valor numérico de la tasa de cambio promedio representa la pendiente de la línea secante entre los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\) en el gráfico de \(y = f(x)\text{.}\) Si vemos el intervalo como \([a,a+h]\) en lugar de \([a,b]\text{,}\) el significado sigue siendo el mismo, pero la tasa de cambio promedio ahora se calcula por \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{.}\)
  • La tasa de cambio instantánea con respecto a \(x\) de una función \(f\) en un valor \(x = a\) se denota \(f'(a)\) (se lee “la derivada de \(f\) evaluada en \(a\)” o “\(f\)-prima en \(a\)”) y se define por la fórmula
    \begin{equation*} f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{,} \end{equation*}
    siempre que el límite exista. Nota particularmente que la tasa de cambio instantánea en \(x = a\) es el límite de la tasa de cambio promedio en \([a,a+h]\) a medida que \(h \to 0\text{.}\)
  • Siempre que la derivada \(f'(a)\) exista, su valor nos dice la tasa de cambio instantánea de \(f\) con respecto a \(x\) en \(x = a\text{,}\) que geométricamente es la pendiente de la línea tangente a la curva \(y = f(x)\) en el punto \((a,f(a))\text{.}\) Incluso decimos que \(f'(a)\) es la “pendiente de la curva” en el punto \((a,f(a))\text{.}\)
  • Los límites nos permiten pasar de la tasa de cambio sobre un intervalo a la tasa de cambio en un solo punto.

Exercises 1.3.3 Exercises

1. Estimating derivative values graphically.

Consider the function \(y = f(x)\) graphed below.
Give the \(x\)-coordinate of a point where:
A. the derivative of the function is negative: \(x =\)
B. the value of the function is negative: \(x =\)
C. the derivative of the function is smallest (most negative): \(x =\)
D. the derivative of the function is zero: \(x =\)
E. the derivative of the function is approximately the same as the derivative at \(x = 2.25\) (be sure that you give a point that is distinct from \(x = 2.25\text{!}\)): \(x =\)

2. Tangent line to a curve.

The figure below shows a function \(g(x)\) and its tangent line at the point \(B = (6.8,2)\text{.}\) If the point \(A\) on the tangent line is \((6.74,2.05)\text{,}\) fill in the blanks below to complete the statements about the function \(g\) at the point \(B\text{.}\)
\(g(\) \() =\)
\(g'(\) \() =\)

3. Interpreting values and slopes from a graph.

Consider the graph of the function \(f(x)\) shown below.
Using this graph, for each of the following pairs of numbers decide which is larger. Be sure that you can explain your answer.
A. \(f(6)\)
  • <
  • =
  • >
\(f(8)\)
B. \(f(6) - f(4)\)
  • <
  • =
  • >
\(f(4) - f(2)\)
C. \(\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}\)
  • <
  • =
  • >
\(\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2}\)
D. \(f'(2)\)
  • <
  • =
  • >
\(f'(8)\)

4. Finding an exact derivative value algebraically.

Find the derivative of \(g(t) = 2 t^2 + 2 t\) at \(t=7\) algebraically.
\(g'(7) =\)

5. Estimating a derivative from the limit definition.

Estimate \(f'(3)\) for \(f(x) = 6^x\text{.}\) Be sure your answer is accurate to within 0.1 of the actual value.
\(f'(3) \approx\)
Be sure that you can explain your reasoning.

6.

Consider the graph of \(y = f(x)\) provided in Figure 1.3.12.
  1. On the graph of \(y = f(x)\text{,}\) sketch and label the following quantities:
    • the secant line to \(y = f(x)\) on the interval \([-3,-1]\) and the secant line to \(y = f(x)\) on the interval \([0,2]\text{.}\)
    • the tangent line to \(y = f(x)\) at \(x = -3\) and the tangent line to \(y = f(x)\) at \(x = 0\text{.}\)
  2. What is the approximate value of the average rate of change of \(f\) on \([-3,-1]\text{?}\) On \([0,2]\text{?}\) How are these values related to your work in (a)?
  3. What is the approximate value of the instantaneous rate of change of \(f\) at \(x = -3\text{?}\) At \(x = 0\text{?}\) How are these values related to your work in (a)?
Figure 1.3.12. Plot of \(y = f(x)\text{.}\)

7.

For each of the following prompts, sketch a graph on the provided axes in Figure 1.3.13 of a function that has the stated properties.
Figure 1.3.13. Axes for plotting \(y = f(x)\) in (a) and \(y = g(x)\) in (b).
  1. \(y = f(x)\) such that
    • the average rate of change of \(f\) on \([-3,0]\) is \(-2\) and the average rate of change of \(f\) on \([1,3]\) is 0.5, and
    • the instantaneous rate of change of \(f\) at \(x = -1\) is \(-1\) and the instantaneous rate of change of \(f\) at \(x = 2\) is 1.
  2. \(y = g(x)\) such that
    • \(\frac{g(3)-g(-2)}{5} = 0\) and \(\frac{g(1)-g(-1)}{2} = -1\text{,}\) and
    • \(g'(2) = 1\) and \(g'(-1) = 0\)

8.

Suppose that the population, \(P\text{,}\) of China (in billions) can be approximated by the function \(P(t) = 1.15(1.014)^t\) where \(t\) is the number of years since the start of 1993.
  1. According to the model, what was the total change in the population of China between January 1, 1993 and January 1, 2000? What will be the average rate of change of the population over this time period? Is this average rate of change greater or less than the instantaneous rate of change of the population on January 1, 2000? Explain and justify, being sure to include proper units on all your answers.
  2. According to the model, what is the average rate of change of the population of China in the ten-year period starting on January 1, 2012?
  3. Write an expression involving limits that, if evaluated, would give the exact instantaneous rate of change of the population on today’s date. Then estimate the value of this limit (discuss how you chose to do so) and explain the meaning (including units) of the value you have found.
  4. Find an equation for the tangent line to the function \(y = P(t)\) at the point where the \(t\)-value is given by today’s date.

9.

The goal of this problem is to compute the value of the derivative at a point for several different functions, where for each one we do so in three different ways, and then to compare the results to see that each produces the same value.
For each of the following functions, use the limit definition of the derivative to compute the value of \(f'(a)\) using three different approaches: strive to use the algebraic approach first (to compute the limit exactly), then test your result using numerical evidence (with small values of \(h\)), and finally plot the graph of \(y = f(x)\) near \((a,f(a))\) along with the appropriate tangent line to estimate the value of \(f'(a)\) visually. Compare your findings among all three approaches; if you are unable to complete the algebraic approach, still work numerically and graphically.
  1. \(f(x) = x^2 - 3x\text{,}\) \(a = 2\)
  2. \(f(x) = \frac{1}{x}\text{,}\) \(a = 1\)
  3. \(f(x) = \sqrt{x}\text{,}\) \(a = 1\)
  4. \(f(x) = 2 - |x-1|\text{,}\) \(a = 1\)
  5. \(f(x) = \sin(x)\text{,}\) \(a = \frac{\pi}{2}\)
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