Cálculo Activo

La idea demostrada en Actividad de Vista Previa 2.8.1 — que podemos evaluar un límite indeterminado de la forma \(\frac{0}{0}\) reemplazando cada uno de los numeradores y denominadores con sus linealizaciones locales en el punto de interés — puede generalizarse de una manera que nos permite evaluar una amplia gama de límites. Tenemos una función \(h(x)\) que puede escribirse como un cociente \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{,}\) donde \(f\) y \(g\) son ambas diferenciables en \(x=a\) y para las cuales \(f(a) = g(a) = 0\text{.}\) Nos gustaría evaluar el límite indeterminado dado por \(\lim_{x \to a} h(x)\text{.}\) Figura 2.8.1 ilustra la situación. Vemos que tanto \(f\) como \(g\) tienen una intersección en \(x\) en \(x = a\text{.}\) Sus respectivas aproximaciones de línea tangente \(L_f\) y \(L_g\) en \(x = a\) también se muestran en la figura. Podemos aprovechar el hecho de que una función y su aproximación de línea tangente se vuelven indistinguibles a medida que \(x \to a\text{.}\)

Este resultado se mantiene siempre que \(g'(a)\) no sea igual a cero. El nombre formal del resultado es la Regla de L’Hôpital.

Al reemplazar el numerador y el denominador con sus respectivas derivadas, a menudo reemplazamos un límite indeterminado con uno cuyo valor podemos determinar fácilmente.

Aunque la Regla de L’Hôpital puede aplicarse de una manera completamente algebraica, es importante recordar que la justificación de la regla es gráfica: la idea principal es que las pendientes de las líneas tangentes a \(f\) y \(g\) en \(x = a\) determinan el valor del límite de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) a medida que \(x \to a\text{.}\)

No es el hecho de que \(f\) y \(g\) ambos se acerquen a cero lo que más importa, sino más bien la tasa a la que cada uno se acerca a cero lo que determina el valor del límite. Esta es una buena manera de recordar lo que dice la Regla de L’Hôpital: si \(f(a) = g(a) = 0\text{,}\) entonces el límite de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) a medida que \(x \to a\) está dado por la razón de las pendientes de \(f\) y \(g\) en \(x = a\text{.}\)

El concepto de infinito, denotado \(\infty\text{,}\) surge naturalmente en cálculo, como en gran parte de las matemáticas. Es importante notar desde el principio que \(\infty\) es un concepto, pero no un número en sí mismo. De hecho, la noción de \(\infty\) naturalmente invoca la idea de límites. Considera, por ejemplo, la función \(f(x) = \frac{1}{x}\text{,}\) cuyo gráfico se muestra en Figura 2.8.4.

Notamos que \(x = 0\) no está en el dominio de \(f\text{,}\) por lo que naturalmente podemos preguntarnos qué pasa cuando \(x \to 0\text{.}\) A medida que \(x \to 0^+\text{,}\) observamos que \(f(x)\) aumenta sin límite. Es decir, podemos hacer que el valor de \(f(x)\) sea tan grande como queramos acercando \(x\) cada vez más (pero no igual) a 0, mientras mantenemos \(x \gt 0\text{.}\) Esta es una buena manera de pensar en lo que representa el infinito: una cantidad tiende al infinito si no hay un solo número que la cantidad siempre sea menor que.

Los límites que involucran el infinito identifican asíntotas verticales y asíntotas horizontales de una función. Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \infty\text{,}\) entonces \(x = a\) es una asíntota vertical de \(f\text{,}\) mientras que si \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\text{,}\) entonces \(y = L\) es una asíntota horizontal de \(f\text{.}\) Declaraciones similares se pueden hacer usando \(-\infty\text{,}\) y con límites laterales como \(x \to a^-\) o \(x \to a^+\text{.}\)

En clases de precálculo, es común estudiar el comportamiento al final de ciertas familias de funciones, por lo que queremos decir el comportamiento de una función cuando \(x \to \infty\) y cuando \(x \to -\infty\text{.}\) Aquí examinamos brevemente algunas funciones familiares y anotamos los valores de varios límites que involucran \(\infty\text{.}\)

Para la función exponencial natural \(e^x\text{,}\) notamos que \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) y \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\text{.}\) Para la función de decaimiento exponencial \(e^{-x}\text{,}\) estos límites se invierten, con \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\) y \(\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = \infty\text{.}\) Pasando a la función logaritmo natural, tenemos \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) y \(\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty\text{.}\) Mientras que tanto \(e^x\) como \(\ln(x)\) crecen sin límite cuando \(x \to \infty\text{,}\) la función exponencial lo hace mucho más rápido que la función logaritmo. Pronto usaremos límites para cuantificar lo que queremos decir con “rápidamente.”

Una función puede no tener un límite cuando \(x \to \infty\text{.}\) Por ejemplo, considera el gráfico de la función seno a la derecha en Figura 2.8.5. Debido a que la función continúa oscilando entre \(-1\) y \(1\) cuando \(x \to \infty\text{,}\) decimos que \(\lim_{x \to \infty} \sin(x)\) no existe.

Finalmente, es sencillo analizar el comportamiento de cualquier función racional cuando \(x \to \infty\text{.}\)

Aquí, tanto \(x^2 \to \infty\) como \(e^x \to \infty\text{,}\) pero no hay un enfoque algebraico obvio que nos permita encontrar el valor del límite. Afortunadamente, resulta que la Regla de L’Hôpital se extiende a casos que involucran el infinito.

(Para ser técnicamente correctos, necesitamos agregar la hipótesis adicional de que \(g'(x) \ne 0\) en un intervalo abierto que contenga \(a\) o en cada vecindario del infinito si \(a\) es \(\infty\text{;}\) esto casi siempre se cumple en la práctica.)