Cálculo Activo

En Section 1.2, aprendimos que \(f\) tiene límite \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\) siempre que podamos hacer que el valor de \(f(x)\) sea tan cercano a \(L\) como queramos tomando \(x\) suficientemente cerca (pero no igual a) \(a\text{.}\) Si es así, escribimos \(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{.}\)

Esencialmente hay dos comportamientos que una función puede exhibir cerca de un punto donde no tiene un límite. En Figure 1.7.3, a la izquierda vemos una función \(f\) cuyo gráfico muestra un salto en \(a = 1\text{.}\) Si dejamos que \(x\) se acerque a 1 desde el lado izquierdo, el valor de \(f\) se aproxima a 2, pero si dejamos que \(x\) se acerque a \(1\) desde la derecha, el valor de \(f\) tiende a 3. Debido a que el valor de \(f\) no se aproxima a un solo número cuando \(x\) se acerca arbitrariamente a 1 desde ambos lados, sabemos que \(f\) no tiene un límite en \(a = 1\text{.}\)

Para tales casos, introducimos la noción de límite por la izquierda y límite por la derecha (o límite unilateral).

Para la función \(g\) representada a la derecha en Figure 1.7.3, la función no tiene un límite en \(a = 1\) por una razón diferente. Aunque la función no tiene un salto en su gráfico en \(a = 1\text{,}\) aún no es el caso que \(g\) se aproxime a un solo valor cuando \(x\) se aproxima a 1. En particular, debido al comportamiento de oscilación infinita de \(g\) a la derecha de \(a = 1\text{,}\) decimos que el límite por la derecha de \(g\) cuando \(x \to 1^+\) no existe, y por lo tanto \(\lim_{x \to 1} g(x) \ \text{no existe} \text{.}\)

En resumen, si un límite por la izquierda o por la derecha no existe o si los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales entre sí, el límite general no existe.

Es decir, una función tiene un límite en \(x = a\) si y solo si tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha en \(x = a\) existen y tienen el mismo valor.

En Preview Activity 1.7.1, la función \(f\) dada en Figure 1.7.1 no tiene un límite en solo dos valores: en \(a = -2\) (donde los límites por la izquierda y por la derecha son 2 y \(-1\text{,}\) respectivamente) y en \(x = 2\text{,}\) donde \(\lim_{x \to 2^+} f(x)\) no existe). Nota bien que incluso en valores como \(a = -1\) y \(a = 0\) donde hay huecos en el gráfico, el límite aún existe.

Intuitivamente, una función es continua si podemos dibujar su gráfico sin levantar el lápiz de la página. Alternativamente, podríamos decir que el gráfico de una función continua no tiene saltos ni huecos. En Figure 1.7.5 consideramos tres funciones que tienen un límite en \(a = 1\text{,}\) y las usamos para hacer más precisa la idea de continuidad.

Sin hueco ni salto en el gráfico de \(h\) en \(a = 1\text{,}\) decimos que \(h\) es continua allí. Más formalmente, hacemos la siguiente definición.

Las condiciones (a) y (b) están técnicamente contenidas implícitamente en (c), pero las indicamos explícitamente para enfatizar su importancia individual. La definición dice que una función es continua en \(x = a\) siempre que su límite cuando \(x \to a\) exista y sea igual a su valor funcional en \(x = a\text{.}\) Si una función es continua en cada punto de un intervalo \([a,b]\text{,}\) decimos que la función es “continua en \([a,b]\text{.}\)” Si una función es continua en cada punto de su dominio, simplemente decimos que la función es “continua.” Así, las funciones continuas son particularmente agradables: para evaluar el límite de una función continua en un punto, todo lo que necesitamos hacer es evaluar la función.

Esta ruta de sustituir un valor de entrada para evaluar un límite funciona siempre que sepamos que la función considerada es continua. Además de las funciones polinómicas, todas las funciones exponenciales y las funciones seno y coseno son continuas en cada punto, al igual que muchas otras funciones familiares y sus combinaciones.

Recordamos que se dice que una función \(f\) es diferenciable en \(x = a\) si \(f'(a)\) existe. Además, para que \(f'(a)\) exista, sabemos que la función \(y = f(x)\) debe tener una línea tangente en el punto \((a,f(a))\text{,}\) ya que \(f'(a)\) es precisamente la pendiente de esta línea. Para siquiera preguntar si \(f\) tiene una línea tangente en \((a,f(a))\text{,}\) es necesario que \(f\) sea continua en \(x = a\text{:}\) si \(f\) no tiene un límite en \(x = a\text{,}\) si \(f(a)\) no está definido, o si \(f(a)\) no es igual al valor de \(\lim_{x \to a} f(x)\text{,}\) entonces no tiene sentido hablar de una línea tangente a la curva en este punto.

De hecho, se puede probar formalmente que si una función \(f\) es diferenciable en \(x = a\text{,}\) entonces debe ser continua en \(x = a\text{.}\) Así que, si \(f\) no es continua en \(x = a\text{,}\) entonces automáticamente \(f\) no es diferenciable allí. Por ejemplo, en Figura 1.7.5, tanto \(f\) como \(g\) no son diferenciables en \(x = 1\) porque ninguna de las funciones es continua en \(x = 1\text{.}\) Pero, ¿puede una función no ser diferenciable en un punto donde la función es continua?

En Figura 1.7.8, la función tiene una esquina aguda en un punto. Para la función representada \(f\text{,}\) observamos que \(f\) es claramente continua en \(a = 1\text{,}\) ya que \(\lim_{x \to 1} f(x) = 1 = f(1)\text{.}\)

Pero la función \(f\) en Figura 1.7.8 no es diferenciable en \(a = 1\) porque \(f'(1)\) no existe. Una forma de ver esto es observar que \(f'(x) = -1\) para cada valor de \(x\) que es menor que 1, mientras que \(f'(x) = +1\) para cada valor de \(x\) que es mayor que 1. Eso hace que parezca que tanto \(+1\) como \(-1\) serían igualmente buenos candidatos para el valor de la derivada en \(x = 1\text{.}\) Alternativamente, podríamos usar la definición de límite de la derivada para intentar calcular \(f'(1)\text{,}\) y descubrir que la derivada no existe. Finalmente, podemos ver visualmente que la función \(f\) en Figura 1.7.8 no tiene una línea tangente. Cuando ampliamos \((1,1)\) en el gráfico de \(f\text{,}\) no importa cuán de cerca examinemos la función, siempre se verá como una “V”, y nunca como una sola línea, lo que nos dice que no hay posibilidad de una línea tangente allí.

Si una función tiene una línea tangente en un punto dado, cuando ampliamos el punto de tangencia, la función y la línea tangente deberían parecer esencialmente indistinguibles

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Ver, por ejemplo, este applet, donde al ampliar se muestra la creciente similitud entre la línea tangente y la curva.

. Por el contrario, si ampliamos un punto y la función se ve como una sola línea recta, entonces la función debería tener una línea tangente allí, y por lo tanto ser diferenciable. Por lo tanto, una función que es diferenciable en \(x = a\text{,}\) de cerca, se verá más y más como su línea tangente en \((a,f(a))\text{.}\) Por lo tanto, decimos que una función que es diferenciable en \(x = a\) es linealmente local.

Para resumir la discusión anterior sobre diferenciabilidad y continuidad, hacemos varias observaciones importantes.