Cálculo Activo

Aquí observamos que ni \(4\) ni \(2a\) dependen del valor de \(h\text{,}\) así que cuando \(h \to 0\text{,}\) \((4 - 2a - h) \to (4 - 2a)\text{.}\) Así, \(f'(a) = 4 - 2a\text{.}\)

Este resultado es consistente con los valores específicos que encontramos arriba: por ejemplo, \(f'(3) = 4 - 2(3) = -2\text{.}\) Y de hecho, nuestro trabajo confirma que el valor de \(a\) tiene casi ninguna influencia en el proceso de calcular la derivada. Notamos además que la letra que se usa es inmaterial: ya sea que la llamemos \(a\text{,}\) \(x\text{,}\) o cualquier otra cosa, la derivada en un valor dado se da simplemente por “4 menos 2 veces el valor.” Elegimos usar \(x\) para mantener la consistencia con la función original dada por \(y = f(x)\text{,}\) así como para el propósito de graficar la función derivada. Para la función \(f(x) = 4x - x^2\text{,}\) se sigue que \(f'(x) = 4 - 2x\text{.}\)

Debido a que el valor de la función derivada está vinculado al gráfico de la función original, tiene sentido mirar ambas funciones graficadas en el mismo dominio.

En Figura 1.4.1, a la izquierda mostramos un gráfico de \(f(x) = 4x - x^2\) junto con una selección de líneas tangentes en los puntos que hemos considerado arriba. A la derecha, mostramos un gráfico de \(f'(x) = 4 - 2x\) con énfasis en las alturas del gráfico de la derivada en la misma selección de puntos. Nota la conexión entre los colores en los gráficos de la izquierda y la derecha: la línea tangente verde en el gráfico original está vinculada al punto verde en el gráfico de la derecha de la siguiente manera: la pendiente de la línea tangente en un punto en el gráfico de la izquierda es la misma que la altura en el punto correspondiente en el gráfico de la derecha. Es decir, en cada valor respectivo de \(x\text{,}\) la pendiente de la línea tangente a la función original es la misma que la altura de la función derivada. Sin embargo, ten en cuenta que las unidades en los ejes verticales son diferentes: en el gráfico de la izquierda, las unidades verticales son simplemente las unidades de salida de \(f\text{.}\) En el gráfico de la derecha de \(y = f'(x)\text{,}\) las unidades en el eje vertical son unidades de \(f\) por unidad de \(x\text{.}\)

Una excelente manera de explorar cómo el gráfico de \(f(x)\) genera el gráfico de \(f'(x)\) es a través de un applet. Ve, por ejemplo, los applets en gvsu.edu/s/5C o gvsu.edu/s/5D, a través de los sitios de David Austin

¹

gvsu.edu/s/5r

y Marc Renault

²

gvsu.edu/s/5p

.

En Sección 1.3 cuando definimos por primera vez la derivada, escribimos la definición en términos de un valor \(a\) para encontrar \(f'(a)\text{.}\) Como hemos visto arriba, la letra \(a\) es simplemente un marcador de posición, y a menudo tiene más sentido usar \(x\) en su lugar. Para que conste, aquí reiteramos la definición de la derivada.

Para una investigación dinámica que te permita experimentar con graficar \(f'\) cuando se te da el gráfico de \(f\text{,}\) ve este applet de Marc Renault

³

gvsu.edu/s/8y

.

Ahora, recuerda el ejemplo inicial de esta sección: comenzamos con la función \(y = f(x) = 4x - x^2\) y usamos la definición de límite de la derivada para mostrar que \(f'(a) = 4 - 2a\text{,}\) o equivalentemente que \(f'(x) = 4 - 2x\text{.}\) Posteriormente graficamos las funciones \(f\) y \(f'\) como se muestra en Figura 1.4.1. Siguiendo Actividad 1.4.2, ahora entendemos que podríamos haber construido un gráfico bastante preciso de \(f'(x)\) sin conocer una fórmula para \(f\) o \(f'\text{.}\) Al mismo tiempo, es útil conocer una fórmula para la función derivada siempre que sea posible encontrar una.

En la próxima actividad, exploramos más a fondo el enfoque más algebraico para encontrar \(f'(x)\text{:}\) dada una fórmula para \(y = f(x)\text{,}\) se usará la definición de límite de la derivada para desarrollar una fórmula para \(f'(x)\text{.}\)