Preguntas Motivadoras
- En un escenario donde se describe una situación para la cual se buscan parámetros óptimos, ¿cómo desarrollamos una función que modele la situación y usamos cálculo para encontrar el máximo o mínimo deseado?
Section 3.4 Optimización Aplicada
Cerca de la conclusión de Sección 3.3, consideramos dos problemas de optimización donde determinar la función a optimizar era parte del problema. En Ejemplo 3.3.4, buscamos usar un solo trozo de alambre para construir un triángulo equilátero y un cuadrado con el fin de maximizar el área total combinada encerrada. En la siguiente Actividad 3.3.4, investigamos cómo el volumen de una caja construida a partir de un trozo de cartón al quitar cuadrados de cada esquina y doblar los lados depende del tamaño de los cuadrados removidos.
En ninguno de estos problemas se proporcionó explícitamente una función a optimizar. Más bien, primero tratamos de entender el problema dibujando una figura e introduciendo variables, y luego buscamos desarrollar una fórmula para una función que modelara la cantidad a optimizar. Una vez establecida la función, consideramos qué dominio era apropiado. En ese punto, finalmente estábamos listos para aplicar las ideas del cálculo para determinar el mínimo o máximo absoluto.
A lo largo de lo que sigue en la sección actual, el énfasis principal está en que el lector resuelva problemas. Inicialmente, se proporciona una guía sustancial, con los problemas progresando para requerir mayor independencia a medida que avanzamos.
Actividad Introductoria 3.4.1.
Según las regulaciones postales de EE.UU., la circunferencia más la longitud de un paquete enviado por correo no puede exceder las 108 pulgadas, donde por “circunferencia” nos referimos al perímetro del extremo más pequeño. ¿Cuál es el volumen máximo posible de un paquete rectangular con un extremo cuadrado que se puede enviar por correo? ¿Cuáles son las dimensiones del paquete de mayor volumen?
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Sea \(x\) la longitud de un lado del extremo cuadrado y \(y\) la longitud del lado más largo. Etiqueta estas cantidades apropiadamente en la imagen mostrada en Figura 3.4.1.
Figure 3.4.1. Un paquete rectangular con un extremo cuadrado. - ¿Cuál es la cantidad a optimizar en este problema? Encuentra una fórmula para esta cantidad en términos de \(x\) y \(y\text{.}\)
- La declaración del problema nos dice que la circunferencia más la longitud del paquete no puede exceder las 108 pulgadas. Para maximizar el volumen, asumimos que realmente necesitaremos que la circunferencia más la longitud sea igual a 108 pulgadas. ¿Qué ecuación produce esto involucrando \(x\) y \(y\text{?}\)
- Resuelve la ecuación que encontraste en (c) para una de \(x\) o \(y\) (la que sea más fácil).
- Ahora usa tu trabajo en (b) y (d) para determinar una fórmula para el volumen del paquete de manera que esta fórmula sea una función de una sola variable.
- ¿Sobre qué dominio deberíamos considerar esta función? Nota que tanto \(x\) como \(y\) deben ser positivos; ¿cómo produce la restricción de que la circunferencia más la longitud sea de 108 pulgadas intervalos de valores posibles para \(x\) y \(y\text{?}\)
- Encuentra el máximo absoluto del volumen del paquete en el dominio que estableciste en (f) y por lo tanto también determina las dimensiones de la caja de mayor volumen. Justifica que has encontrado el máximo usando cálculo.
Subsection 3.4.1 Más problemas de optimización aplicada
Muchos de los pasos en Actividad de Vista Previa 3.4.1 son los que ejecutaremos en cualquier problema de optimización aplicada. Los resumimos brevemente aquí para proporcionar una visión general de nuestro enfoque en preguntas posteriores.
Note 3.4.2.
- Dibuja una imagen e introduce variables. Es esencial primero entender qué cantidades se permiten variar en el problema y luego representar esos valores con variables. Construir una figura con las variables etiquetadas es casi siempre un primer paso esencial. A veces dibujar varios diagramas puede ser especialmente útil para tener una idea de la situación. Un buen ejemplo de esto se puede ver en este applet, donde la elección de dónde doblar un trozo de alambre en la forma de un rectángulo determina tanto la forma como el área del rectángulo.
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gvsu.edu/s/99 - Identifica la cantidad a optimizar así como cualquier relación clave entre las cantidades variables. Esencialmente, este paso implica escribir ecuaciones que involucren las variables que se han introducido: una para representar la cantidad cuyo mínimo o máximo se busca, y posiblemente otras que muestren cómo múltiples variables en el problema pueden estar interrelacionadas.
- Determina una función de una sola variable que modele la cantidad a optimizar; esto puede implicar usar otras relaciones entre variables para eliminar una o más variables en la fórmula de la función. Por ejemplo, en Actividad de Vista Previa 3.4.1, inicialmente encontramos que \(V = x^2 y\text{,}\) pero luego la relación adicional de que \(4x + y = 108\) (perímetro más longitud igual a 108 pulgadas) nos permite relacionar \(x\) y \(y\) y así observar que equivalentemente \(y = 108-4x\text{.}\) Sustituyendo \(y\) en la ecuación de volumen obtenemos \(V(x) = x^2(108-4x)\text{,}\) y así hemos escrito el volumen como una función de la única variable \(x\text{.}\)
- Decide el dominio en el cual considerar la función que se está optimizando. A menudo, las restricciones físicas del problema limitarán los valores posibles que la variable independiente puede tomar. Pensar en el diagrama que describe la situación general y cualquier relación entre variables en el problema a menudo ayuda a identificar los valores más pequeños y más grandes de la variable de entrada.
- Usa cálculo para identificar el máximo y/o mínimo absoluto de la cantidad que se está optimizando. Esto siempre implica encontrar los números críticos de la función primero. Luego, dependiendo del dominio, ya sea construimos un gráfico de signos de la primera derivada (para un intervalo abierto o no acotado) o evaluamos la función en los extremos y números críticos (para un intervalo cerrado y acotado), usando ideas que hemos estudiado hasta ahora en Capítulo 3.
- Finalmente, asegurémonos de haber respondido la pregunta: ¿la pregunta busca el máximo absoluto de una cantidad, o los valores de las variables que producen el máximo? Es decir, encontrar el volumen máximo absoluto de un paquete es diferente de encontrar las dimensiones del paquete que producen el máximo.
Activity 3.4.2.
Una lata de sopa en forma de cilindro circular recto se va a hacer con dos materiales. El material para el lado de la lata cuesta $0.015 por pulgada cuadrada y el material para las tapas cuesta $\(0.027\) por pulgada cuadrada. Supón que deseamos construir una lata que tenga un volumen de 16 pulgadas cúbicas. ¿Qué dimensiones minimizan el costo de la lata?
- Dibuja una imagen de la lata y etiqueta sus dimensiones con variables apropiadas.
- Usa tus variables para determinar expresiones para el volumen, el área de la superficie y el costo de la lata.
- Determina la función de costo total como una función de una sola variable. ¿Cuál es el dominio en el que deberías considerar esta función?
- Encuentra el costo mínimo absoluto y las dimensiones que producen este valor.
La familiaridad con fórmulas geométricas comunes es particularmente útil en problemas como el de Actividad 3.4.2. A veces esas fórmulas involucran perímetro, área, volumen o área de superficie. En otras ocasiones, las restricciones de un problema introducen triángulos rectángulos (donde se aplica el Teorema de Pitágoras) u otras funciones cuyas fórmulas proporcionan relaciones entre las variables.
Activity 3.4.3.
Un excursionista que comienza en un punto \(P\) en un camino recto camina hacia el este hacia el punto \(Q\text{,}\) que está en el camino y a 3 kilómetros del punto \(P\text{.}\)
Dos kilómetros al norte del punto \(Q\) hay una cabaña. El excursionista caminará por el camino durante un tiempo, a un ritmo de 8 kilómetros por hora. En algún punto \(Z\) entre \(P\) y \(Q\text{,}\) el excursionista deja el camino y se dirige en línea recta hacia la cabaña a través del bosque, caminando a un ritmo de 3 kph, como se muestra en Figure 3.4.3. Para minimizar el tiempo de ir de \(P\) a \(Z\) a la cabaña, ¿dónde debería el excursionista girar hacia el bosque?
En problemas más geométricos, a menudo usamos curvas o funciones para proporcionar restricciones naturales. Por ejemplo, podríamos investigar qué triángulo isósceles que circunscribe un círculo unitario tiene el área más pequeña, lo cual puedes explorar por ti mismo en este applet. O de manera similar, para una región delimitada por una parábola, podríamos buscar el rectángulo de mayor área que se ajuste debajo de la curva, como se muestra en este applet. La siguiente actividad es similar al último problema.
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gvsu.edu/s/9b3
gvsu.edu/s/9cActivity 3.4.4.
Considera la región en el plano \(x\)-\(y\) que está delimitada por el eje \(x\) y la función \(f(x) = 25-x^2\text{.}\) Construye un rectángulo cuya base se encuentra en el eje \(x\) y está centrado en el origen, y cuyos lados se extienden verticalmente hasta que intersectan la curva \(y = 25-x^2\text{.}\) ¿Cuál de estos rectángulos tiene el área máxima posible? ¿Cuál de estos rectángulos tiene el mayor perímetro? ¿Cuál tiene la mayor combinación de perímetro y área? (Desafío: responde las mismas preguntas en términos de los parámetros positivos \(a\) y \(b\) para la función \(f(x) = b-ax^2\text{.}\))
Activity 3.4.5.
Se está construyendo un canalón doblando una pieza rectangular de chapa de metal de \(4 \times 24\) (medida en pies).
Se harán dos pliegues simétricos a 2 pies de distancia paralelos al lado más largo del rectángulo para que el canalón tenga secciones transversales en forma de trapecio, como se muestra en Figura 3.4.4. ¿A qué ángulo deben hacerse los pliegues para producir el canalón de máximo volumen?
Subsection 3.4.2 Resumen
- Aunque no hay un solo algoritmo que funcione en cada situación donde se usa la optimización, en la mayoría de los problemas que consideramos, los siguientes pasos son útiles: dibuja una imagen e introduce variables; identifica la cantidad a optimizar y encuentra relaciones entre las variables; determina una función de una sola variable que modele la cantidad a optimizar; decide el dominio en el cual considerar la función que se está optimizando; usa cálculo para identificar el máximo y/o mínimo absoluto de la cantidad que se está optimizando.
Exercises 3.4.3 Exercises
1. Maximizing the volume of a box.
An open box is to be made out of a 10-inch by 18-inch piece of cardboard by cutting out squares of equal size from the four corners and bending up the sides. Find the dimensions of the resulting box that has the largest volume.
Dimensions of the bottom of the box: x
Height of the box:
2. Minimizing the cost of a container.
A rectangular storage container with an open top is to have a volume of 26 cubic meters. The length of its base is twice the width. Material for the base costs 11 dollars per square meter. Material for the sides costs 9 dollars per square meter. Find the cost of materials for the cheapest such container.
Total cost = (Round to the nearest penny and include monetary units. For example, if your answer is 1.095, enter $1.10 including the dollar sign and second decimal place.)
3. Maximizing area contained by a fence.
An ostrich farmer wants to enclose a rectangular area and then divide it into six pens with fencing parallel to one side of the rectangle (see the figure below). There are 620 feet of fencing available to complete the job. What is the largest possible total area of the six pens?
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline \amp \amp \amp \amp \amp \\ \hline
\end{array}
\end{equation*}
Largest area = (include help (units))
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/pg_files/helpFiles/Units.html4. Minimizing the area of a poster.
The top and bottom margins of a poster are 8 cm and the side margins are each 6 cm. If the area of printed material on the poster is fixed at 388 square centimeters, find the dimensions of the poster with the smallest area.
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\amp \amp \\
\hline
\amp printed \amp \\
\amp material \amp \\
\hline
\amp \amp \\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
Width = (include help (units))
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/pg_files/helpFiles/Units.htmlHeight = (include help (units))
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/pg_files/helpFiles/Units.html5. Maximizing the area of a rectangle.
A rectangle is inscribed with its base on the \(x\)-axis and its upper corners on the parabola \(y= 1-x^2\text{.}\) What are the dimensions of such a rectangle with the greatest possible area?
Width =
Height =
6.
A rectangular box with a square bottom and closed top is to be made from two materials. The material for the sides costs $1.50 per square foot and the material for the top and bottom costs $3.00 per square foot. If you are willing to spend $15 on the box, what is the largest volume it can contain? Justify your answer completely using calculus.
7.
A farmer wants to start raising cows, horses, goats, and sheep, and desires to have a rectangular pasture for the animals to graze in. However, no two different kinds of animals can graze together. In order to minimize the amount of fencing she will need, she has decided to enclose a large rectangular area and then divide it into four equally sized pens by adding three segments of fence inside the large rectangle that are parallel to two existing sides. She has decided to purchase 7500 ft of fencing. What is the maximum possible area that each of the four pens will enclose?
8.
Two vertical poles of heights 60 ft and 80 ft stand on level ground, with their bases 100 ft apart. A cable that is stretched from the top of one pole to some point on the ground between the poles, and then to the top of the other pole. What is the minimum possible length of cable required? Justify your answer completely using calculus.
9.
A company is designing propane tanks that are cylindrical with hemispherical ends. Assume that the company wants tanks that will hold 1000 cubic feet of gas, and that the ends are more expensive to make, costing $5 per square foot, while the cylindrical barrel between the ends costs $2 per square foot. Use calculus to determine the minimum cost to construct such a tank.
