CA Determinando la distancia recorrida a partir de la velocidad

Section 4.1 Determinando la distancia recorrida a partir de la velocidad

Preguntas Motivadoras

Si conocemos la velocidad de un cuerpo en movimiento en cada punto de un intervalo dado, ¿podemos determinar la distancia que el objeto ha recorrido en el intervalo de tiempo?
¿Cómo se relaciona el problema de encontrar la distancia recorrida con encontrar el área bajo una cierta curva?
¿Qué significa antidiferenciar una función y por qué es relevante este proceso para encontrar la distancia recorrida?
Si la velocidad es negativa, ¿cómo afecta esto al problema de encontrar la distancia recorrida?

En la primera sección del texto, consideramos un objeto en movimiento con posición conocida en el tiempo \(t\text{,}\) a saber, una pelota de tenis lanzada al aire con altura \(s\) (en pies) en el tiempo \(t\) (en segundos) dada por \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{.}\) Investigamos la velocidad promedio de la pelota en un intervalo \([a,b]\text{,}\) calculada por el cociente de diferencias \(\frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) Descubrimos que podíamos determinar la velocidad instantánea de la pelota en el tiempo \(t\) tomando la derivada de la función de posición,

\begin{equation*} s'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h)-s(t)}{h}\text{.} \end{equation*}

Así, si su función de posición es diferenciable, podemos encontrar la velocidad de un objeto en movimiento en cualquier punto en el tiempo.

De este estudio de posición y velocidad hemos aprendido mucho. Podemos usar la derivada para encontrar la tasa de cambio instantánea de una función en cualquier punto del dominio, para encontrar dónde la función está aumentando o disminuyendo, dónde es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y para localizar extremos relativos. La gran mayoría de los problemas y aplicaciones que hemos considerado han involucrado la situación en la que se conoce una función particular y buscamos información que depende de conocer la tasa de cambio instantánea de la función. Para todas estas tareas, procedemos de una función \(f\) a su derivada, \(f'\text{,}\) y usamos el significado de la derivada para ayudarnos a responder preguntas importantes.

También hemos encontrado la situación inversa, donde conocemos la derivada de una función, \(f'\text{,}\) y tratamos de deducir información sobre \(f\text{.}\) Nos enfocaremos en Capítulo 4 en este problema: si conocemos la tasa de cambio instantánea de una función, ¿podemos encontrar la función misma? Comenzamos con una pregunta más específica: si conocemos la velocidad instantánea de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria recta, ¿podemos encontrar su función de posición correspondiente?

Actividad Introductoria 4.1.1.

Supón que una persona está dando un paseo por un camino largo y recto y camina a una velocidad constante de 3 millas por hora.

En los ejes de la izquierda proporcionados en Figura 4.1.1, dibuja un gráfico etiquetado de la función de velocidad \(v(t) = 3\text{.}\)

Figure 4.1.1. A la izquierda, ejes para trazar \(y = v(t)\text{;}\) a la derecha, para trazar \(y = s(t)\text{.}\)
Nota que aunque la escala en los dos conjuntos de ejes es la misma, las unidades en los ejes de la derecha difieren de las de la izquierda. Los ejes de la derecha se usarán en la pregunta (d).
¿Qué distancia recorrió la persona durante las dos horas? ¿Cómo se relaciona esta distancia con el área de una cierta región bajo el gráfico de \(y = v(t)\text{?}\)
Encuentra una fórmula algebraica, \(s(t)\text{,}\) para la posición de la persona en el tiempo \(t\text{,}\) asumiendo que \(s(0) = 0\text{.}\) Explica tu razonamiento.
En los ejes de la derecha proporcionados en Figura 4.1.1, dibuja un gráfico etiquetado de la función de posición \(y = s(t)\text{.}\)
¿Para qué valores de \(t\) está aumentando la función de posición \(s\text{?}\) Explica por qué es así usando información relevante sobre la función de velocidad \(v\text{.}\)

Subsection 4.1.1 Área bajo la gráfica de la función de velocidad

En Actividad de Previsualización 4.1.1, aprendimos que cuando la velocidad de un objeto en movimiento es constante (y positiva), el área bajo la curva de velocidad en un intervalo de tiempo nos dice la distancia que el objeto ha recorrido.

Figure 4.1.2. A la izquierda, una función de velocidad constante; a la derecha, una función de velocidad no constante.

La gráfica de la izquierda de Figura 4.1.2 muestra la velocidad de un objeto que se mueve a 2 millas por hora en el intervalo de tiempo \([1,1.5]\text{.}\) El área \(A_1\) de la región sombreada bajo \(y = v(t)\) en \([1,1.5]\) es

\begin{equation*} A_1= 2 \, \frac{\text{millas} }{\text{hora} } \cdot \frac{1}{2} \, \text{horas} = 1 \, \text{milla}\text{.} \end{equation*}

Este resultado es simplemente el hecho de que la distancia es igual a la tasa por el tiempo, siempre que la tasa sea constante. Así, si \(v(t)\) es constante en el intervalo \([a,b]\text{,}\) la distancia recorrida en \([a,b]\) es igual al área \(A\) dada por

\begin{equation*} A = v(a) (b-a) = v(a) \Delta t\text{,} \end{equation*}

donde \(\Delta t\) es el cambio en \(t\) en el intervalo. (Dado que la velocidad es constante, podemos usar cualquier valor de \(v(t)\) en el intervalo \([a,b]\text{,}\) simplemente elegimos \(v(a)\text{,}\) el valor en el extremo izquierdo del intervalo.) Para varios ejemplos donde la función de velocidad es constante por tramos, ve este applet

gvsu.edu/s/9T

La situación es más complicada cuando la función de velocidad no es constante. Pero en intervalos relativamente pequeños donde \(v(t)\) no varía mucho, podemos usar el principio del área para estimar la distancia recorrida. La gráfica a la derecha en Figura 4.1.2 muestra una función de velocidad no constante. En el intervalo \([1,1.5]\text{,}\) la velocidad varía de \(v(1) = 2.5\) hasta \(v(1.5) \approx 2.1\text{.}\) Una estimación de la distancia recorrida es el área del rectángulo representado,

\begin{equation*} A_2 = v(1) \Delta t = 2.5 \, \frac{\text{millas} }{\text{hora} } \cdot \frac{1}{2} \, \text{horas} = 1.25 \, \text{millas}\text{.} \end{equation*}

Nota que debido a que \(v\) está disminuyendo en \([1,1.5]\text{,}\) \(A_2 = 1.25\) es una sobreestimación de la distancia real recorrida.

Para estimar el área bajo esta función de velocidad no constante en un intervalo más amplio, digamos \([0,3]\text{,}\) un rectángulo no dará una buena aproximación. En su lugar, podríamos usar los seis rectángulos representados en Figura 4.1.3, encontrar el área de cada rectángulo y sumar el total. Obviamente hay decisiones que tomar y cuestiones que entender: ¿Cuántos rectángulos deberíamos usar? ¿Dónde deberíamos evaluar la función para decidir la altura del rectángulo? ¿Qué pasa si la velocidad es a veces negativa? ¿Podemos encontrar el área exacta bajo cualquier curva no constante?

Figure 4.1.3. Usando seis rectángulos para estimar el área bajo \(y = v(t)\) en \([0,3]\text{.}\)

Estudiaremos estas preguntas y más en lo que sigue; por ahora basta con observar que la simple idea del área de un rectángulo nos da una herramienta poderosa para estimar la distancia recorrida a partir de una función de velocidad, así como para estimar el área bajo una curva arbitraria. Para explorar el uso de múltiples rectángulos para aproximar el área bajo una función de velocidad no constante, ve este applet

gvsu.edu/s/9U

Activity 4.1.2.

Supón que una persona está caminando de tal manera que su velocidad varía ligeramente según la información dada en la Tabla 4.1.4 y el gráfico dado en la Figura 4.1.5.

\(t\)	\(v(t)\)
\(0.00\)	\(1.500\)
\(0.25\)	\(1.789\)
\(0.50\)	\(1.938\)
\(0.75\)	\(1.992\)
\(1.00\)	\(2.000\)
\(1.25\)	\(2.008\)
\(1.50\)	\(2.063\)
\(1.75\)	\(2.211\)
\(2.00\)	\(2.500\)

Table 4.1.4. Datos de velocidad para la persona caminando.

Figure 4.1.5. El gráfico de \(y = v(t)\text{.}\)

Usando la cuadrícula, el gráfico y los datos dados apropiadamente, estima la distancia recorrida por el caminante durante el intervalo de dos horas desde \(t = 0\) hasta \(t = 2\text{.}\) Deberías usar intervalos de tiempo de ancho \(\Delta t = 0.5\text{,}\) eligiendo una manera de usar la función consistentemente para determinar la altura de cada rectángulo con el fin de aproximar la distancia recorrida.
¿Cómo podrías obtener una mejor aproximación de la distancia recorrida en \([0,2]\text{?}\) Explica, y luego encuentra esta nueva estimación.
Ahora supón que sabes que \(v\) está dado por \(v(t) = 0.5t^3-1.5t^2+1.5t+1.5\text{.}\) Recuerda que \(v\) es la derivada de la función de posición del caminante, \(s\text{.}\) Encuentra una fórmula para \(s\) de modo que \(s' = v\text{.}\)
Basado en tu trabajo en (c), ¿cuál es el valor de \(s(2) - s(0)\text{?}\) ¿Cuál es el significado de esta cantidad?

Subsection 4.1.2 Dos enfoques: área y antidiferenciación

Cuando la velocidad de un objeto en movimiento es positiva, la posición del objeto siempre está aumentando. (Pronto consideraremos situaciones donde la velocidad es negativa; por ahora, nos enfocamos en la situación donde la velocidad es siempre positiva.) Hemos establecido que siempre que \(v\) es constante en un intervalo, la distancia exacta recorrida es el área bajo la curva de velocidad. Cuando \(v\) no es constante, podemos estimar la distancia total recorrida encontrando las áreas de los rectángulos que aproximan el área bajo la curva de velocidad.

Así, vemos que encontrar el área entre una curva y el eje horizontal es un ejercicio importante: además de ser una pregunta geométrica interesante, si la curva da la velocidad de un objeto en movimiento, el área bajo la curva nos dice la distancia exacta recorrida en un intervalo. Podemos estimar esta área si tenemos una gráfica o una tabla de valores para la función de velocidad.

En Actividad 4.1.2, encontramos un enfoque alternativo para encontrar la distancia recorrida. Si \(y = v(t)\) es una fórmula para la velocidad instantánea de un objeto en movimiento, entonces \(v\) debe ser la derivada de la función de posición del objeto, \(s\text{.}\) Si podemos encontrar una fórmula para \(s(t)\) a partir de la fórmula para \(v(t)\text{,}\) sabremos la posición del objeto en el tiempo \(t\text{,}\) y el cambio en la posición en un intervalo de tiempo particular nos dice la distancia recorrida en ese intervalo.

Para un ejemplo simple, considera la situación de Actividad de Previsualización 4.1.1, donde una persona está caminando a lo largo de una línea recta con una función de velocidad \(v(t) = 3\) mph.

Figure 4.1.6. La función de velocidad \(v(t) = 3\) y la función de posición correspondiente \(s(t) = 3t\text{.}\)

En el gráfico de la izquierda de la función de velocidad en Figura 4.1.6, vemos la relación entre el área y la distancia recorrida,

\begin{equation*} A= 3 \, \frac{\text{millas} }{\text{hora} } \cdot 1.25 \, \text{horas} = 3.75 \, \text{millas}\text{.} \end{equation*}

Además, observamos

Aquí estamos haciendo la suposición implícita de que \(s(0) = 0\text{;}\) discutiremos diferentes posibilidades para los valores de \(s(0)\) en estudios posteriores.

que si \(s(t) = 3t\text{,}\) entonces \(s'(t) = 3\text{,}\) así que \(s(t) = 3t\) es la función de posición cuya derivada es la función de velocidad dada, \(v(t) = 3\text{.}\) Las respectivas ubicaciones de la persona en los momentos \(t = 0.25\) y \(t = 1.5\) son \(s(1.5) = 4.5\) y \(s(0.25) = 0.75\text{,}\) y por lo tanto

\begin{equation*} s(1.5) - s(0.25) = 4.5 - 0.75 = 3.75 \ \text{millas}\text{.} \end{equation*}

Este es el cambio de posición de la persona en \([0.25,1.5]\text{,}\) que es precisamente la distancia recorrida. En este ejemplo hay ideas y conexiones profundas que estudiaremos a lo largo del Capítulo 4.

Por ahora, observa que si conocemos una fórmula para una función de velocidad \(v\text{,}\) puede ser muy útil encontrar una función \(s\) que satisfaga \(s' = v\text{.}\) Decimos que \(s\) es una antiderivada de \(v\text{.}\) Más generalmente, tenemos la siguiente definición formal.

Definition 4.1.7.

Si \(g\) y \(G\) son funciones tales que \(G' = g\text{,}\) decimos que \(G\) es una antiderivada de \(g\text{.}\)

Por ejemplo, si \(g(x) = 3x^2 + 2x\text{,}\) \(G(x) = x^3 + x^2\) es una antiderivada de \(g\text{,}\) porque \(G'(x) = g(x)\text{.}\) Nota que decimos “una” antiderivada de \(g\) en lugar de “la” antiderivada de \(g\text{,}\) porque \(H(x) = x^3 + x^2 + 5\) es también una función cuya derivada es \(g\text{,}\) y por lo tanto \(H\) es otra antiderivada de \(g\text{.}\)

Activity 4.1.3.

Una pelota es lanzada verticalmente de tal manera que su función de velocidad está dada por \(v(t) = 32 - 32t\text{,}\) donde \(t\) se mide en segundos y \(v\) en pies por segundo. Supón que esta función es válida para \(0 \le t \le 2\text{.}\)

¿Para qué valores de \(t\) es positiva la velocidad de la pelota? ¿Qué te dice esto sobre el movimiento de la pelota en este intervalo de valores de tiempo?
Encuentra una antiderivada, \(s\text{,}\) de \(v\) que satisfaga \(s(0) = 0\text{.}\)
Calcula el valor de \(s(1) - s(\frac{1}{2})\text{.}\) ¿Cuál es el significado del valor que encuentras?
Usando el gráfico de \(y = v(t)\) proporcionado en Figura 4.1.8, encuentra el área exacta de la región entre la curva de velocidad y el eje \(t\) entre \(t = \frac{1}{2}\) y \(t = 1\text{.}\) ¿Cuál es el significado del valor que encuentras?

Figure 4.1.8. El gráfico de \(y = v(t)\text{.}\)
Responde las mismas preguntas que en (c) y (d) pero usando el intervalo \([0,1]\text{.}\)
¿Cuál es el valor de \(s(2) - s(0)\text{?}\) ¿Qué te dice este resultado sobre el vuelo de la pelota? ¿Cómo se conecta este valor con el gráfico proporcionado de \(y = v(t)\text{?}\) Explica.

Subsection 4.1.3 Cuando la velocidad es negativa

La suposición de que la velocidad es positiva en un intervalo dado garantiza que el movimiento de un objeto sea siempre en una sola dirección, y por lo tanto asegura que su cambio de posición sea el mismo que la distancia que recorre. Como vimos en Actividad 4.1.3, hay situaciones naturales en las que la velocidad de un objeto es negativa, y nos gustaría entender este escenario también.

Considera un ejemplo simple donde una mujer va a caminar por la playa a lo largo de un tramo de costa muy recta que corre de este a oeste. Suponemos que su posición inicial es \(s(0) = 0\text{,}\) y que su función de posición aumenta a medida que se mueve hacia el este desde su ubicación inicial. Por ejemplo, \(s = 1\) milla representa una milla al este de la ubicación inicial, mientras que \(s = -1\) nos dice que está una milla al oeste de donde comenzó a caminar por la playa.

Ahora supón que camina de la siguiente manera. Desde el inicio en \(t = 0\text{,}\) camina hacia el este a una velocidad constante de \(3\) mph durante 1.5 horas. Después de 1.5 horas, se detiene abruptamente y comienza a caminar hacia el oeste a una velocidad constante de \(4\) mph y lo hace durante 0.5 horas. Luego, después de otra parada y arranque abruptos, reanuda su caminata a una velocidad constante de \(3\) mph hacia el este durante una hora más. ¿Cuál es la distancia total que recorrió en el intervalo de tiempo de \(t = 0\) a \(t = 3\text{?}\) ¿Cuál es el cambio total en su posición durante ese tiempo?

Estas preguntas se pueden responder sin cálculo porque la velocidad es constante en cada intervalo. De \(t = 0\) a \(t = 1.5\text{,}\) ella recorrió

\begin{equation*} D_{[0,1.5]} = 3 \ \text{millas por hora} \cdot 1.5 \ \text{horas} = 4.5 \ \text{millas}\text{.} \end{equation*}

De \(t = 1.5\) a \(t = 2\text{,}\) la distancia recorrida es

\begin{equation*} D_{[1.5,2]} = 4 \ \text{millas por hora} \cdot 0.5 \ \text{horas} = 2 \ \text{millas}\text{.} \end{equation*}

Finalmente, en la última hora caminó

\begin{equation*} D_{[2,3]} = 3 \ \text{millas por hora} \cdot 1 \ \text{hora} = 3 \ \text{millas}\text{,} \end{equation*}

así que la distancia total que recorrió es

\begin{equation*} D = D_{[0,1.5]} + D_{[1.5,2]} + D_{[2,3]} = 4.5 + 2 + 3 = 9.5 \ \text{millas}\text{.} \end{equation*}

Dado que la velocidad para \(1.5 \lt t \lt 2\) es \(v = -4\text{,}\) indicando movimiento en dirección oeste, la mujer primero caminó 4.5 millas hacia el este, luego 2 millas hacia el oeste, seguidas de 3 millas más hacia el este. Así, el cambio total en su posición es

\begin{equation*} \text{cambio en la posición} = 4.5 - 2 + 3 = 5.5 \ \text{millas}\text{.} \end{equation*}

Hemos podido responder estas preguntas con bastante facilidad, y si pensamos en el problema gráficamente, podemos generalizar nuestra solución al escenario más complicado cuando la velocidad no es constante, y posiblemente negativa.

Figure 4.1.9. A la izquierda, la función de velocidad de la persona caminando; a la derecha, la función de posición correspondiente.

En Figura 4.1.9, vemos cómo las distancias que calculamos pueden ser vistas como áreas: \(A_1 = 4.5\) proviene de multiplicar la tasa por el tiempo (\(3 \cdot 1.5\)), al igual que \(A_2\) y \(A_3\text{.}\) Pero mientras \(A_2\) es un área (y por lo tanto positiva), porque la función de velocidad es negativa para \(1.5 \lt t \lt 2\text{,}\) esta área tiene un signo negativo asociado. El área negativa distingue entre distancia recorrida y cambio en la posición.

La distancia recorrida es la suma de las áreas,

\begin{equation*} D = A_1 + A_2 + A_3 = 4.5 + 2 + 3 = 9.5 \ \text{millas}\text{.} \end{equation*}

Pero el cambio en la posición tiene que tener en cuenta el viaje en la dirección negativa. Un área por encima del eje \(t\) se considera positiva porque representa la distancia recorrida en la dirección positiva, mientras que una por debajo del eje \(t\) se ve como negativa porque representa el viaje en la dirección negativa. Así, el cambio en la posición de la mujer es

\begin{equation*} s(3) - s(0) = (+4.5) + (-2) + (+3) = 5.5 \ \text{millas}\text{.} \end{equation*}

En otras palabras, la mujer camina 4.5 millas en la dirección positiva, seguidas de dos millas en la dirección negativa, y luego 3 millas más en la dirección positiva.

La velocidad negativa también se ve en el gráfico de la función de posición \(y=s(t)\text{.}\) Su pendiente es negativa (específicamente, \(-4\)) en el intervalo \(1.5\lt t\lt 2\) porque la velocidad es \(-4\) en ese intervalo. La pendiente negativa muestra que la función de posición está disminuyendo porque la mujer está caminando hacia el este, en lugar de hacia el oeste.

Para resumir, vemos que si la velocidad es a veces negativa, el cambio en la posición de un objeto en movimiento es diferente de la distancia recorrida. Si calculamos por separado la distancia recorrida en cada intervalo donde la velocidad es positiva o negativa, podemos calcular ya sea la distancia total recorrida o el cambio total en la posición. Asignamos un valor negativo a las distancias recorridas en la dirección negativa cuando calculamos el cambio en la posición, pero un valor positivo cuando calculamos la distancia total recorrida.

Activity 4.1.4.

Supón que un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta tiene su velocidad \(v\) (en metros por segundo) en el tiempo \(t\) (en segundos) dada por la función lineal a trozos cuyo gráfico se muestra a la izquierda en Figura 4.1.10. Vemos el movimiento hacia la derecha como en la dirección positiva (con velocidad positiva), mientras que el movimiento hacia la izquierda es en la dirección negativa.

Figure 4.1.10. La función de velocidad de un objeto en movimiento.

Supón además que la posición inicial del objeto en el tiempo \(t = 0\) es \(s(0) = 1\text{.}\)

Determina la distancia total recorrida y el cambio total en la posición en el intervalo de tiempo \(0 \le t \le 2\text{.}\) ¿Cuál es la posición del objeto en \(t = 2\text{?}\)
¿En qué intervalos de tiempo está aumentando la función de posición del objeto en movimiento? ¿Por qué? ¿En qué intervalos está disminuyendo la posición del objeto? ¿Por qué?
¿Cuál es la posición del objeto en \(t = 8\text{?}\) ¿Cuántos metros en total ha recorrido para llegar a este punto (incluyendo la distancia en ambas direcciones)? ¿Es esto diferente del cambio total en la posición del objeto en \(t = 0\) a \(t = 8\text{?}\)
Encuentra la posición exacta del objeto en \(t = 1, 2, 3, \ldots, 8\) y usa estos datos para dibujar un gráfico preciso de \(y = s(t)\) en los ejes proporcionados a la derecha en Figura 4.1.10. ¿Cómo puedes usar la información proporcionada sobre \(y = v(t)\) para determinar la concavidad de \(s\) en cada intervalo relevante?

Subsection 4.1.4 Resumen

Si conocemos la velocidad de un cuerpo en movimiento en cada punto de un intervalo dado y la velocidad es positiva en todo momento, podemos estimar la distancia recorrida por el objeto y en algunas circunstancias determinar este valor exactamente.
En particular, cuando la velocidad es positiva en un intervalo, podemos encontrar la distancia total recorrida encontrando el área bajo la curva de velocidad y sobre el eje \(t\) en el intervalo de tiempo dado. Puede que solo podamos estimar esta área, dependiendo de la forma de la curva de velocidad.
Una antiderivada de una función \(f\) es una nueva función \(F\) cuya derivada es \(f\text{.}\) Es decir, \(F\) es una antiderivada de \(f\) siempre que \(F' = f\text{.}\) En el contexto de velocidad y posición, si conocemos una función de velocidad \(v\text{,}\) una antiderivada de \(v\) es una función de posición \(s\) que satisface \(s' = v\text{.}\) Si \(v\) es positiva en un intervalo dado, digamos \([a,b]\text{,}\) entonces el cambio en la posición, \(s(b) - s(a)\text{,}\) mide la distancia que el objeto en movimiento recorrió en \([a,b]\text{.}\)
Si su velocidad es a veces negativa, un objeto en movimiento a veces viaja en la dirección opuesta o retrocede. Para determinar la distancia recorrida, tenemos que calcular la distancia por separado en intervalos donde la velocidad es positiva o negativa, y tener en cuenta el cambio en la posición en cada uno de esos intervalos.

Exercises 4.1.5 Exercises

1. Estimating distance traveled from velocity data.

A car comes to a stop six seconds after the driver applies the brakes. While the brakes are on, the following velocities are recorded:

Time since brakes applied (sec)	0	2	4	6
Velocity (ft/s)	90	46	17	0

Give lower and upper estimates (using all of the available data) for the distance the car traveled after the brakes were applied.

lower:

upper:

(for each, include help (units)

⁴

/pg_files/helpFiles/Units.html

)

On a sketch of velocity against time, show the lower and upper estimates you found above..

2. Distance from a linear velocity function.

The velocity of a car is \(f(t) = 11 t\) meters/second. Use a graph of \(f(t)\) to find the exact distance traveled by the car, in meters, from \(t=0\) to \(t=10\) seconds.

distance = (include help (units)

⁵

/pg_files/helpFiles/Units.html

)

3. Change in position from a linear velocity function.

The velocity of a particle moving along the \(x\)-axis is given by \(f(t) = 12 - 4 t\) cm/sec. Use a graph of \(f(t)\) to find the exact change in position of the particle from time \(t=0\) to \(t=4\) seconds.

change in position = (include help (units)

⁶

/pg_files/helpFiles/Units.html

)

4. Comparing distance traveled from velocity graphs.

Two cars start at the same time and travel in the same direction along a straight road. The figure below gives the velocity, \(v\) (in km/hr), of each car as a function of time (in hr).

The velocity of car A is given by the solid, blue curve, and the velocity of car B by dashed, red curve.

(a)

Which car attains the larger maximum velocity?

(b)

Which stops first?

(c)

Which travels farther?

5. Finding average acceleration from velocity data.

Suppose that an accelerating car goes from 0 mph to 68.2 mph in five seconds. Its velocity is given in the following table, converted from miles per hour to feet per second, so that all time measurements are in seconds. (Note: 1 mph is 22/15 feet per sec = 22/15 ft/s.) Find the average acceleration of the car over each of the first two seconds.

\(t\)	0	1	2	3	4	5
\(v(t)\)	0.00	34.09	59.09	77.27	90.91	100.00

average acceleration over the first second = (include help (units)

⁷

/pg_files/helpFiles/Units.html

)

average aceleration over the second second = (include help (units)

⁸

/pg_files/helpFiles/Units.html

)

6. Change in position from a quadratic velocity function.

The velocity function is \(v(t) = t^2 - 3 t + 2\) for a particle moving along a line. Find the displacement (net distance covered) of the particle during the time interval \([-2,5]\text{.}\)

displacement =

7.

Along the eastern shore of Lake Michigan from Lake Macatawa (near Holland) to Grand Haven, there is a bike path that runs almost directly north-south. For the purposes of this problem, assume the road is completely straight, and that the function \(s(t)\) tracks the position of the biker along this path in miles north of Pigeon Lake, which lies roughly halfway between the ends of the bike path.

Suppose that the biker’s velocity function is given by the graph in Figure 4.1.11 on the time interval \(0 \le t \le 4\) (where \(t\) is measured in hours), and that \(s(0) = 1\text{.}\)

Figure 4.1.11. The graph of the biker’s velocity, \(y = v(t)\text{,}\) at left. At right, axes to plot an approximate sketch of \(y = s(t)\text{.}\)

Approximately how far north of Pigeon Lake was the cyclist when she was the greatest distance away from Pigeon Lake? At what time did this occur?
What is the cyclist’s total change in position on the time interval \(0 \le t \le 2\text{?}\) At \(t = 2\text{,}\) was she north or south of Pigeon Lake?
What is the total distance the biker traveled on \(0 \le t \le 4\text{?}\) At the end of the ride, how close was she to the point at which she started?
Sketch an approximate graph of \(y = s(t)\text{,}\) the position function of the cyclist, on the interval \(0 \le t \le 4\text{.}\) Label at least four important points on the graph of \(s\text{.}\)

8.

A toy rocket is launched vertically from the ground on a day with no wind. The rocket’s vertical velocity at time \(t\) (in seconds) is given by \(v(t)= 500-32t\) feet/sec.

At what time after the rocket is launched does the rocket’s velocity equal zero? Call this time value \(a\text{.}\) What happens to the rocket at \(t = a\text{?}\)
Find the value of the total area enclosed by \(y = v(t)\) and the \(t\)-axis on the interval \(0 \le t \le a\text{.}\) What does this area represent in terms of the physical setting of the problem?
Find an antiderivative \(s\) of the function \(v\text{.}\) That is, find a function \(s\) such that \(s'(t) = v(t)\text{.}\)
Compute the value of \(s(a) - s(0)\text{.}\) What does this number represent in terms of the physical setting of the problem?
Compute \(s(5) - s(1)\text{.}\) What does this number tell you about the rocket’s flight?

9.

An object moving along a horizontal axis has its instantaneous velocity at time \(t\) in seconds given by the function \(v\) pictured in Figure 4.1.12, where \(v\) is measured in feet/sec. Assume that the curves that make up the parts of the graph of \(y=v(t)\) are either portions of straight lines or portions of circles.

Figure 4.1.12. The graph of \(y = v(t)\text{,}\) the velocity function of a moving object.

Determine the exact total distance the object traveled on \(0 \le t \le 2\text{.}\)
What is the value and meaning of \(s(5) - s(2)\text{,}\) where \(y = s(t)\) is the position function of the moving object?
On which time interval did the object travel the greatest distance: \([0,2]\text{,}\) \([2,4]\text{,}\) or \([5,7]\text{?}\)
On which time interval(s) is the position function \(s\) increasing? At which point(s) does \(s\) achieve a relative maximum?

10.

Filters at a water treatment plant become dirtier over time and thus become less effective; they are replaced every 30 days. During one 30-day period, the rate at which pollution passes through the filters into a nearby lake (in units of particulate matter per day) is measured every 6 days and is given in the following table. The time \(t\) is measured in days since the filters were replaced.

Table 4.1.13. Pollution data for the water filters.

Day, \(t\)	\(0\)	\(6\)	\(12\)	\(18\)	\(24\)	\(30\)
Rate of pollution in units per day, \(p(t)\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)	\(13\)	\(18\)	\(35\)

Plot the given data on a set of axes with time on the horizontal axis and the rate of pollution on the vertical axis.
Explain why the amount of pollution that entered the lake during this 30-day period would be given exactly by the area bounded by \(y = p(t)\) and the \(t\)-axis on the time interval \([0,30]\text{.}\)
Estimate the total amount of pollution entering the lake during this 30-day period. Carefully explain how you determined your estimate.

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