Section5.1Construyendo Gráficos Precisos de Antiderivadas
Preguntas Motivadoras
Dado el gráfico de la derivada de una función, ¿cómo podemos construir un gráfico completamente preciso de la función original?
¿Cuántas antiderivadas tiene una función dada? ¿Qué tienen en común todas esas antiderivadas?
Dada una función \(f\text{,}\) ¿cómo define la regla \(A(x) = \int_0^x f(t) \, dt\) una nueva función \(A\text{?}\)
Un tema recurrente en nuestra discusión sobre cálculo diferencial ha sido la pregunta “Dada la información sobre la derivada de una función desconocida \(f\text{,}\) ¿cuánta información podemos obtener sobre la propia \(f\text{?}\)” En Actividad 1.8.3, se conocía el gráfico de \(y = f'(x)\) (junto con el valor de \(f\) en un solo punto) y nos esforzamos por esbozar un posible gráfico de \(f\) cerca del punto conocido. En Ejemplo 3.1.7 — investigamos cómo la prueba de la primera derivada nos permite usar información sobre \(f'\) para determinar dónde la función original \(f\) está aumentando y disminuyendo, así como dónde \(f\) tiene valores extremos relativos. Si conocemos una fórmula o gráfico de \(f'\text{,}\) al calcular \(f''\) podemos encontrar dónde la función original \(f\) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Así, conocer \(f'\) y \(f''\) nos permite entender la forma del gráfico de \(f\text{.}\)
Volvimos a esta pregunta con aún más detalle en Sección 4.1. En ese contexto, conocíamos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento y trabajamos para determinar lo más posible sobre la función de posición del objeto. Encontramos conexiones entre el área neta firmada bajo la función de velocidad y el cambio correspondiente en la posición de la función, y el Teorema del Cambio Total iluminó aún más estas conexiones entre \(f'\) y \(f\text{,}\) mostrando que el cambio total en el valor de \(f\) en un intervalo \([a,b]\) está determinado por el área neta firmada delimitada por \(f'\) y el eje \(x\) en el mismo intervalo.
En lo que sigue, exploramos la situación en la que poseemos un gráfico preciso de la función derivada junto con un solo valor de la función \(f\text{.}\) A partir de esa información, nos gustaría determinar un gráfico de \(f\) que muestre dónde \(f\) está aumentando, disminuyendo, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, y también proporcione un valor de función preciso en cualquier punto.
Actividad Introductoria5.1.1.
Supón que se conoce la siguiente información sobre una función \(f\text{:}\) el gráfico de su derivada, \(y = f'(x)\text{,}\) se da en Figure 5.1.1. Además, supón que \(f'\) es lineal por tramos (como se muestra) y que para \(x \le 0\) y \(x \ge 6\text{,}\)\(f'(x) = 0\text{.}\) Finalmente, se da que \(f(0) = 1\text{.}\)
Figure5.1.1.A la izquierda, el gráfico de \(y = f'(x)\text{;}\) a la derecha, ejes para trazar \(y = f(x)\text{.}\)
¿En qué intervalo(s) es \(f\) una función creciente? ¿En qué intervalos es \(f\) decreciente?
¿En qué intervalo(s) es \(f\) cóncava hacia arriba? ¿cóncava hacia abajo?
¿En qué punto(s) tiene \(f\) un mínimo relativo? ¿un máximo relativo?
Recuerda que el Teorema del Cambio Total nos dice que
Usa la información dada y un razonamiento similar al de (d) para determinar el valor exacto de \(f(2)\text{,}\)\(f(3)\text{,}\)\(f(4)\text{,}\)\(f(5)\) y \(f(6)\text{.}\)
Basándote en tus respuestas a todas las preguntas anteriores, dibuja un gráfico completo y preciso de \(y = f(x)\) en los ejes proporcionados, asegurándote de indicar el comportamiento de \(f\) para \(x \lt 0\) y \(x \gt 6\text{.}\)
Subsection5.1.1Construyendo el gráfico de una antiderivada
Actividad de Vista Previa 5.1.1 demuestra que cuando podemos encontrar el área exacta bajo el gráfico de una función en cualquier intervalo dado, es posible construir un gráfico de la antiderivada de la función. Es decir, podemos encontrar una función cuya derivada se da. Ahora podemos determinar no solo la forma general del gráfico de la antiderivada, sino también la altura real del gráfico en cualquier punto de interés.
Esto es una consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo: si conocemos una función \(f\) y el valor de la antiderivada \(F\) en algún punto de partida \(a\text{,}\) podemos determinar el valor de \(F(b)\) a través de la integral definida. Dado que \(F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) se sigue que
También podemos interpretar la ecuación \(F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx\) en términos de los gráficos de \(f\) y \(F\) de la siguiente manera. En un intervalo \([a,b]\text{,}\)
diferencias en alturas en el gráfico de la antiderivadadadas por \(F(b) - F(a)\)corresponden al área neta firmada delimitada por la función original en el intervalo \([a,b]\text{,}\)que se da por\(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\)
Activity5.1.2.
Supón que la función \(y = f(x)\) está dada por el gráfico mostrado en Figura 5.1.2, y que las piezas de \(f\) son porciones de líneas o porciones de círculos. Además, sea \(F\) una antiderivada de \(f\) y digamos que \(F(0) = -1\text{.}\) Finalmente, asume que para \(x \le 0\) y \(x \ge 7\text{,}\)\(f(x) = 0\text{.}\)
Figure5.1.2.A la izquierda, el gráfico de \(y = f(x)\text{.}\)
¿En qué intervalo(s) es \(F\) una función creciente? ¿En qué intervalos es \(F\) decreciente?
¿En qué intervalo(s) es \(F\) cóncava hacia arriba? ¿cóncava hacia abajo? ¿ninguna de las dos?
¿En qué punto(s) tiene \(F\) un mínimo relativo? ¿un máximo relativo?
Usa la información dada para determinar el valor exacto de \(F(x)\) para \(x = 1, 2, \ldots, 7\text{.}\) Además, ¿cuáles son los valores de \(F(-1)\) y \(F(8)\text{?}\)
Basándote en tus respuestas a todas las preguntas anteriores, dibuja un gráfico completo y preciso de \(y = F(x)\) en los ejes proporcionados, asegurándote de indicar el comportamiento de \(F\) para \(x \lt 0\) y \(x \gt 7\text{.}\) Indica claramente la escala en los ejes vertical y horizontal de tu gráfico.
¿Qué pasa si cambiamos una pieza clave de información: en particular, digamos que \(G\) es una antiderivada de \(f\) y \(G(0) = 0\text{.}\) ¿Cómo (si es que cambia) cambiarían tus respuestas a las preguntas anteriores? Dibuja un gráfico de \(G\) en los mismos ejes que el gráfico de \(F\) que construiste en (e).
Subsection5.1.2Múltiples antiderivadas de una sola función
En la última pregunta de Actividad 5.1.2, encontramos una idea muy importante: una función \(f\) tiene más de una antiderivada. Cada antiderivada de \(f\) se determina de manera única por su valor en un solo punto. Por ejemplo, supón que \(f\) es la función dada a la izquierda en Figura 5.1.3, y supón además que \(F\) es una antiderivada de \(f\) que satisface \(F(0) = 1\text{.}\)
Figure5.1.3.A la izquierda, el gráfico de \(y = f(x)\text{.}\) A la derecha, tres antiderivadas diferentes de \(f\text{.}\)
De manera similar, \(F(2) = 1.5\text{,}\)\(F(3) = -0.5\text{,}\)\(F(4) = -2\text{,}\)\(F(5) = -0.5\text{,}\) y \(F(6) = 1\text{.}\) Además, podemos usar el hecho de que \(F' = f\) para determinar dónde \(F\) está aumentando y disminuyendo, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, y tiene extremos relativos y puntos de inflexión. Finalmente encontramos que el gráfico de \(F\) es el que se da en azul en Figura 5.1.3.
Si queremos una antiderivada \(G\) para la cual \(G(0) = 3\text{,}\) entonces \(G\) tendrá la misma forma exacta que \(F\) (ya que ambas comparten la derivada \(f\)), pero \(G\) se desplazará verticalmente desde el gráfico de \(F\text{,}\) como se muestra en rojo en Figura 5.1.3. Nota que \(G(1) - G(0) = \int_0^1 f(x) \, dx = 0.5\text{,}\) al igual que \(F(1) - F(0) = 0.5\text{,}\) pero como \(G(0) = 3\text{,}\)\(G(1) = G(0) + 0.5 = 3.5\text{,}\) mientras que \(F(1) = 1.5\text{.}\) De la misma manera, si asignamos un valor inicial diferente a la antiderivada, digamos \(H(0) = -1\text{,}\) obtendríamos otra antiderivada, como se muestra en magenta en Figura 5.1.3.
Este ejemplo demuestra un hecho importante que se cumple de manera más general:
Si \(G\) y \(H\) son ambas antiderivadas de una función \(f\) en un intervalo \((a,b)\text{,}\) entonces la función \(G - H\) debe ser constante en el intervalo \((a,b)\text{.}\)
Para ver por qué se cumple este resultado, observa que si \(G\) y \(H\) son ambas antiderivadas de \(f\text{,}\) entonces \(G' = f\) y \(H' = f\text{.}\) Por lo tanto,
Dado que la única manera en que una función puede tener derivada cero es siendo una función constante, se sigue que la función \(G - H\) debe ser constante.
Ahora vemos que si una función tiene al menos una antiderivada, debe tener infinitas: podemos sumar cualquier constante de nuestra elección a la antiderivada y obtener otra antiderivada. Por esta razón, a veces nos referimos a la antiderivada general de una función \(f\text{.}\)
Para identificar una antiderivada particular de \(f\text{,}\) debemos conocer un solo valor de la antiderivada \(F\) (este valor a menudo se llama una condición inicial). Por ejemplo, si \(f(x) = x^2\text{,}\) su antiderivada general es \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C\text{,}\) donde incluimos el “\(+C\)” para indicar que \(F\) incluye todas las posibles antiderivadas de \(f\text{.}\) Si sabemos que \(F(2) = 3\text{,}\) sustituimos 2 por \(x\) en \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C\text{,}\) y encontramos que
o \(C = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}\text{.}\) Por lo tanto, la antiderivada particular en este caso es \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}\text{.}\)
Activity5.1.3.
Para cada una de las siguientes funciones, dibuja un gráfico preciso de la antiderivada que satisface la condición inicial dada. Además, dibuja el gráfico de dos antiderivadas adicionales de la función dada, y menciona las condiciones iniciales correspondientes que cada una de ellas satisface. Si es posible, encuentra una fórmula algebraica para la antiderivada que satisface la condición inicial.
función original: \(g(x) = \left| x \right| - 1\text{;}\) condición inicial: \(G(-1) = 0\text{;}\) intervalo para el dibujo: \([-2,2]\)
función original: \(h(x) = \sin(x)\text{;}\) condición inicial: \(H(0) = 1\text{;}\) intervalo para el dibujo: \([0,4\pi]\)
función original: \(p(x) = \begin{cases}x^2, \amp \text{ if } 0 \lt x \lt 1 \\ -(x-2)^2, \amp \text{ if } 1 \lt x \lt 2 \\ 0 \amp \text{ otherwise } \end{cases}\text{;}\) condición inicial: \(P(0) = 1\text{;}\) intervalo para el dibujo: \([-1,3]\)
Subsection5.1.3Funciones definidas por integrales
La ecuación (5.1.1) nos permite calcular el valor de la antiderivada \(F\) en un punto \(b\text{,}\) siempre que sepamos \(F(a)\) y podamos evaluar la integral definida desde \(a\) hasta \(b\) de \(f\text{.}\) Es decir,
En varias situaciones, hemos usado esta fórmula para calcular \(F(b)\) para varios valores diferentes de \(b\text{,}\) y luego hemos trazado los puntos \((b,F(b))\) para ayudarnos a dibujar un gráfico preciso de \(F\text{.}\) Esto sugiere que podríamos querer pensar en \(b\text{,}\) el límite superior de integración, como una variable en sí misma. Con ese fin, introducimos la idea de una función integral, una función cuya fórmula implica una integral definida.
Definition5.1.4.
Si \(f\) es una función continua, definimos la correspondiente función integral \(A\) según la regla
Nota que debido a que \(x\) es la variable independiente en la función \(A\text{,}\) y determina el punto final del intervalo de integración, necesitamos usar una variable diferente como la variable de integración. Una elección estándar es \(t\text{,}\) pero cualquier variable que no sea \(x\) es aceptable.
Una forma de pensar en la función \(A\) es como la “área neta firmada desde \(a\) hasta \(x\)” función, donde consideramos la región delimitada por \(y = f(t)\text{.}\) Por ejemplo, en Figura 5.1.5, vemos una función \(f\) representada a la izquierda, y su correspondiente función de área (eligiendo \(a = 0\)), \(A(x) = \int_0^x f(t) \, dt\) mostrada a la derecha.
Figure5.1.5.A la izquierda, el gráfico de la función dada \(f\text{.}\) A la derecha, la función de área \(A(x) = \int_0^x f(t) \ dt\text{.}\)
La función \(A\) mide el área neta firmada desde \(t = 0\) hasta \(t = x\) delimitada por la curva \(y = f(t)\text{;}\) este valor se reporta luego como la altura correspondiente en el gráfico de \(y = A(x)\text{.}\)Este applet 1
gvsu.edu/s/cz
, da vida a la imagen estática en Figura 5.1.5. Allí, el usuario puede mover el punto rojo en la función \(f\) y ver cómo cambia la altura correspondiente en el punto azul claro en el gráfico de \(A\text{.}\)
La elección de \(a\) es algo arbitraria. En la actividad que sigue, exploramos cómo el valor de \(a\) afecta el gráfico de la función integral.
Activity5.1.4.
Supón que \(g\) está dado por el gráfico a la izquierda en Figura 5.1.6 y que \(A\) es la función integral correspondiente definida por \(A(x) = \int_1^x g(t) \, dt\text{.}\)
Figure5.1.6.A la izquierda, el gráfico de \(y = g(t)\text{;}\) a la derecha, ejes para trazar \(y = A(x)\text{,}\) donde \(A\) está definida por la fórmula \(A(x) = \int_1^x g(t) \ dt\text{.}\)
¿En qué intervalo(s) es \(A\) una función creciente? ¿En qué intervalos es \(A\) decreciente? ¿Por qué?
¿En qué intervalo(s) crees que \(A\) es cóncava hacia arriba? ¿cóncava hacia abajo? ¿Por qué?
¿En qué punto(s) tiene \(A\) un mínimo relativo? ¿un máximo relativo?
Usa la información dada para determinar los valores exactos de \(A(0)\text{,}\)\(A(1)\text{,}\)\(A(2)\text{,}\)\(A(3)\text{,}\)\(A(4)\text{,}\)\(A(5)\text{,}\) y \(A(6)\text{.}\)
Basándote en tus respuestas a todas las preguntas anteriores, dibuja un gráfico completo y preciso de \(y = A(x)\) en los ejes proporcionados, asegurándote de indicar el comportamiento de \(A\) para \(x \lt 0\) y \(x \gt 6\text{.}\)
¿Cómo se compara el gráfico de \(B\) con \(A\) si \(B\) está definido por \(B(x) = \int_0^x g(t) \, dt\text{?}\)
Subsection5.1.4Resumen
Dado el gráfico de una función \(f\text{,}\) podemos construir el gráfico de su antiderivada \(F\) siempre que (a) sepamos un valor inicial de \(F\text{,}\) digamos \(F(a)\text{,}\) y (b) podamos evaluar la integral \(\int_a^b f(x) \, dx\) exactamente para elecciones relevantes de \(a\) y \(b\text{.}\) Por ejemplo, si deseamos saber \(F(3)\text{,}\) podemos calcular \(F(3) = F(a) + \int_a^3 f(x) \, dx\text{.}\) Cuando combinamos esta información sobre los valores de la función de \(F\) junto con nuestra comprensión de cómo el comportamiento de \(F' = f\) afecta la forma general de \(F\text{,}\) podemos desarrollar un gráfico completamente preciso de la antiderivada \(F\text{.}\)
Debido a que la derivada de una constante es cero, si \(F\) es una antiderivada de \(f\text{,}\) se sigue que \(G(x) = F(x) + C\) también será una antiderivada de \(f\text{.}\) Además, cualquier dos antiderivadas de una función \(f\) difieren precisamente por una constante. Por lo tanto, cualquier función con al menos una antiderivada de hecho tiene infinitas, y los gráficos de cualquier dos antiderivadas diferirán solo por una traslación vertical.
Dada una función \(f\text{,}\) la regla \(A(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) define una nueva función \(A\) que mide el área neta firmada delimitada por \(f\) en el intervalo \([a,x]\text{.}\) Llamamos a la función \(A\) la función integral correspondiente a \(f\text{.}\)
Exercises5.1.5Exercises
1.Definite integral of a piecewise linear function.
Use the graph of \(f(x)\) shown below to find the following integrals.
(Click on the graph for a larger version.)
A.\(\int_{-5}^0 f(x) dx =\)
B. If the vertical red shaded area in the graph has area \(A\text{,}\) estimate: \(\int_{-5}^{7} f(x) dx =\)
(Your estimate may be written in terms of \(A\text{.}\))
2.A smooth function that starts out at 0.
Consider the graph of the function \(f(x)\) shown below.
(Click on the graph for a larger version)
A. Estimate the integral
\(\int_0^7{f(x)dx} \approx\)
B. If \(F\) is an antiderivative of the same function \(f\) and \(F(0) = 30\text{,}\) estimate \(F(7)\text{:}\)
\(F(7) \approx\)
3.A piecewise constant function.
Assume \(f'\) is given by the graph below. Suppose \(f\) is continuous and that \(f(3)=0\text{.}\)
(Click on the graph for a larger version.)
Sketch, on a sheet of work paper, an accurate graph of \(f\text{,}\) and use it to find each of
\(f(0) =\)
and
\(f(7) =\)
Then find the value of the integral:
\(\int_0^7 f'(x)\,dx =\)
(Note that you can do this in two different ways!)
4.Another piecewise linear function.
The figure below shows \(f\text{.}\)
(Click on the graph for a larger version.)
If \(F'=f\) and \(F(0)=0\text{,}\) find \(F(b)\) for \(b=\)1, 2, 3, 4, 5, 6, and fill these values in the following table.
\(b\)
1
2
3
4
5
6
\(F(b)\)
5.
A moving particle has its velocity given by the quadratic function \(v\) pictured in Figure 5.1.7. In addition, it is given that \(A_1 = \frac{7}{6}\) and \(A_2 = \frac{8}{3}\text{,}\) as well as that for the corresponding position function \(s\text{,}\)\(s(0) = 0.5\text{.}\)
Use the given information to determine \(s(1)\text{,}\)\(s(3)\text{,}\)\(s(5)\text{,}\) and \(s(6)\text{.}\) What do these values mean in the context of the moving particle?
On what interval(s) is \(s\) increasing? That is, when is the particle moving forward? On what interval(s) is \(s\) decreasing? That is, when is the particle moving backward?
On what interval(s) is \(s\) concave up? That is, when is the particle accelerating? On what interval(s) is \(s\) concave down? That is, when is the particle decelerating?
Sketch an accurate, labeled graph of \(s\) on the axes at right in Figure 5.1.7.
Note that \(v(t) = -2 + \frac{1}{2}(t-3)^2\text{.}\) Find a formula for \(s\text{.}\)
Figure5.1.7.At left, the given graph of \(v\text{.}\) At right, axes for plotting \(s\text{.}\)
6.
A person exercising on a treadmill experiences different levels of resistance and thus burns calories at different rates, depending on the treadmill’s setting. In a particular workout, the rate at which a person is burning calories is given by the piecewise constant function \(c\) pictured in Figure 5.1.8. Note that the units on \(c\) are “calories per minute.”
Figure5.1.8.At left, the given graph of \(c\text{.}\) At right, axes for plotting \(C\text{.}\)
Let \(C\) be an antiderivative of \(c\text{.}\) What does the function \(C\) measure? What are its units?
Assume that \(C(0) = 0\text{.}\) Determine the exact value of \(C(t)\) at the values \(t = 5, 10, 15, 20, 25, 30\text{.}\)
Sketch an accurate graph of \(C\) on the axes provided at right in Figure 5.1.8. Be certain to label the scale on the vertical axis.
Determine a formula for \(C\) that does not involve an integral and is valid for \(5 \le t \le 10\text{.}\)
7.
Consider the piecewise linear function \(f\) given in Figure 5.1.9. Let the functions \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) and \(C\) be defined by the rules \(A(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt\text{,}\)\(B(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt\text{,}\) and \(C(x) = \int_{1}^{x} f(t) \, dt\text{.}\)
For the values \(x = -1, 0, 1, \ldots, 6\text{,}\) make a table that lists corresponding values of \(A(x)\text{,}\)\(B(x)\text{,}\) and \(C(x)\text{.}\)
On the axes provided in Figure 5.1.9, sketch the graphs of \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) and \(C\text{.}\)
How are the graphs of \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) and \(C\) related?
How would you best describe the relationship between the function \(A\) and the function \(f\text{?}\)
Figure5.1.9.At left, the given graph of \(f\text{.}\) At right, axes for plotting \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) and \(C\text{.}\)
