Cálculo Activo

Hasta ahora, hemos usado las palabras aumentando y disminuyendo intuitivamente para describir el gráfico de una función. Aquí definimos estos términos de manera más formal.

En pocas palabras, una función que aumenta es una que sube a medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo del gráfico, y una función que disminuye es una que baja a medida que el valor de la entrada aumenta. Si la función tiene una derivada, el signo de la derivada nos dice si la función está aumentando o disminuyendo.

Sea \(f\) una función que es diferenciable en un intervalo \((a,b)\text{.}\) Es posible mostrar que si \(f'(x) > 0\) para cada \(x\) tal que \(a \lt x \lt b\text{,}\) entonces \(f\) está aumentando en \((a,b)\text{;}\) de manera similar, si \(f'(x) \lt 0\) en \((a,b)\text{,}\) entonces \(f\) está disminuyendo en \((a,b)\text{.}\)

Por ejemplo, la función representada en Figura 1.6.5 está aumentando en todo el intervalo \(-2 \lt x \lt 0\text{,}\) y disminuyendo en el intervalo \(0 \lt x \lt 2\text{.}\) Nota que el valor \(x = 0\) no está incluido en ninguno de los intervalos ya que en esta ubicación, la función está cambiando de aumentar a disminuir.

Porque \(f'\) es en sí misma una función, es perfectamente factible que consideremos la derivada de la derivada, que es la nueva función \(y = [f'(x)]'\text{.}\) Llamamos a esta función resultante la segunda derivada de \(y = f(x)\text{,}\) y denotamos la segunda derivada por \(y = f''(x)\text{.}\) En consecuencia, a veces llamaremos a \(f'\) “la primera derivada” de \(f\text{,}\) en lugar de simplemente “la derivada” de \(f\text{.}\)

El significado de la función derivada sigue siendo válido, así que cuando calculamos \(y = f''(x)\text{,}\) esta nueva función mide las pendientes de las líneas tangentes a la curva \(y = f'(x)\text{,}\) así como la tasa de cambio instantánea de \(y = f'(x)\text{.}\) En otras palabras, así como la primera derivada mide la tasa a la que cambia la función original, la segunda derivada mide la tasa a la que cambia la primera derivada. La segunda derivada nos ayudará a entender cómo está cambiando la tasa de cambio de la función original.

Además de preguntar si una función está aumentando o disminuyendo, también es natural preguntar cómo una función está aumentando o disminuyendo. Hay tres comportamientos básicos que una función creciente puede demostrar en un intervalo, como se muestra en Figura 1.6.7: la función puede aumentar cada vez más rápidamente, puede aumentar a la misma velocidad, o puede aumentar de una manera que se está desacelerando. Fundamentalmente, estamos comenzando a pensar en cómo se curva una curva particular, con la comparación natural hecha con líneas, que no se curvan en absoluto. Más que esto, queremos entender cómo la curvatura en el gráfico de una función está ligada al comportamiento caracterizado por la primera derivada de la función.

En la curva más a la izquierda en Figura 1.6.7, dibuja una secuencia de líneas tangentes a la curva. A medida que nos movemos de izquierda a derecha, las pendientes de esas líneas tangentes aumentarán. Por lo tanto, la tasa de cambio de la función representada está aumentando, y esto explica por qué decimos que esta función está aumentando a una tasa creciente. Para el gráfico más a la derecha en Figura 1.6.7, observa que a medida que \(x\) aumenta, la función aumenta, pero las pendientes de las líneas tangentes disminuyen. Esta función está aumentando a una tasa decreciente.

Opciones similares se aplican a cómo una función puede disminuir. Aquí debemos ser muy cuidadosos con nuestro lenguaje, porque las funciones decrecientes implican pendientes negativas. Los números negativos presentan una tensión interesante entre el lenguaje común y el lenguaje matemático. Por ejemplo, puede ser tentador decir que “\(-100\) es mayor que \(-2\text{.}\)” Pero debemos recordar que “mayor que” describe cómo los números se ubican en una línea numérica: \(x \gt y\) siempre que \(x\) esté a la derecha de \(y\text{.}\) Así que, por supuesto, \(-100\) es menor que \(-2\text{.}\) Informalmente, podría ser útil decir que “\(-100\) es más negativo que \(-2\text{.}\)” Cuando los valores de una función son negativos, y esos valores se vuelven más negativos a medida que aumenta la entrada, la función debe estar disminuyendo.

Ahora considera los tres gráficos mostrados en Figura 1.6.8. Claramente, el gráfico del medio muestra una función que disminuye a una tasa constante. Ahora, en la primera curva, dibuja una secuencia de líneas tangentes. Vemos que las pendientes de estas líneas se vuelven cada vez menos negativas a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Eso significa que los valores de la primera derivada, aunque todos negativos, están aumentando, y así decimos que la curva más a la izquierda está disminuyendo a una tasa creciente.

Esto deja solo la curva más a la derecha en Figura 1.6.8 para considerar. Para esa función, las pendientes de las líneas tangentes son negativas a lo largo del intervalo representado, pero a medida que nos movemos de izquierda a derecha, las pendientes se vuelven cada vez más negativas. Por lo tanto, la pendiente de la curva está disminuyendo, y decimos que la función está disminuyendo a una tasa decreciente.

Ahora introducimos la noción de concavidad que proporciona un lenguaje más simple para describir estos comportamientos. Cuando una curva se abre hacia arriba en un intervalo dado, como la parábola \(y = x^2\) o la función de crecimiento exponencial \(y = e^x\text{,}\) decimos que la curva es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Del mismo modo, cuando una curva se abre hacia abajo, como la parábola \(y = -x^2\) o el opuesto de la función exponencial \(y = -e^{x}\text{,}\) decimos que la función es cóncava hacia abajo. La concavidad está vinculada tanto a la primera como a la segunda derivada de la función.

En Figura 1.6.9, vemos dos funciones y una secuencia de líneas tangentes a cada una. En el gráfico de la izquierda, donde la función es cóncava hacia arriba, observa que las líneas tangentes siempre están por debajo de la curva misma, y las pendientes de las líneas tangentes están aumentando a medida que nos movemos de izquierda a derecha. En otras palabras, la función \(f\) es cóncava hacia arriba en el intervalo mostrado porque su derivada, \(f'\text{,}\) está aumentando en ese intervalo. De manera similar, en el gráfico de la derecha en Figura 1.6.9, donde la función mostrada es cóncava hacia abajo, vemos que las líneas tangentes siempre están por encima de la curva, y las pendientes de las líneas tangentes están disminuyendo a medida que nos movemos de izquierda a derecha. El hecho de que su derivada, \(f'\text{,}\) esté disminuyendo hace que \(f\) sea cóncava hacia abajo en el intervalo.

Declaramos estas observaciones más recientes formalmente como las definiciones de los términos cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Explorar el contexto de posición, velocidad, y aceleración es una excelente manera de entender cómo una función, su primera derivada, y su segunda derivada están relacionadas entre sí. En Actividad 1.6.2, podemos reemplazar \(s\text{,}\) \(v\text{,}\) y \(a\) con una función arbitraria \(f\) y sus derivadas \(f'\) y \(f''\text{,}\) y esencialmente todas las mismas observaciones se mantienen. En particular, nota que lo siguiente es equivalente: en un intervalo donde el gráfico de \(f\) es cóncavo hacia arriba, \(f'\) está aumentando y \(f''\) es positivo. Del mismo modo, en un intervalo donde el gráfico de \(f\) es cóncavo hacia abajo, \(f'\) está disminuyendo y \(f''\) es negativo.