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Cálculo Activo

Matthew Boelkins

Section 6.5 Integrales Impropias

Otra aplicación importante de la integral definida mide la probabilidad de ciertos eventos. Por ejemplo, considera una empresa que fabrica bombillas incandescentes. Basándose en un gran volumen de resultados de pruebas, han determinado que la fracción de bombillas que fallan entre los tiempos \(t = a\) y \(t = b\) de uso (donde \(t\) se mide en meses) está dada por
\begin{equation*} \int_a^b 0.3 e^{-0.3t} \, dt\text{.} \end{equation*}
Por ejemplo, la fracción de bombillas que fallan durante su tercer mes de uso está dada por
\begin{align*} \int_2^3 0.3e^{-0.3t} \, dt \amp = -e^{-0.3t} \bigg \vert_2^3\\ \amp = -e^{-0.9} + e^{-0.6}\\ \amp \approx 0.1422\text{.} \end{align*}
Así que aproximadamente el 14.22% de todas las bombillas fallan entre \(t = 2\) y \(t = 3\text{.}\) Claramente podríamos ajustar los límites de integración para medir la fracción de bombillas que fallan durante cualquier período de tiempo de interés.

Actividad Introductoria 6.5.1.

Una empresa con una gran base de clientes tiene un centro de llamadas que recibe miles de llamadas al día. Después de estudiar los datos que representan cuánto tiempo esperan los clientes para recibir asistencia, encuentran que la función \(p(t) = 0.25e^{-0.25t}\) modela el tiempo de espera de los clientes de la siguiente manera: la fracción de clientes que esperan entre \(t = a\) y \(t = b\) minutos se da por
\begin{equation*} \int_a^b p(t) \, dt\text{.} \end{equation*}
Usa esta información para responder las siguientes preguntas.
  1. Determina la fracción de clientes que esperan entre 5 y 10 minutos.
  2. Determina la fracción de clientes que esperan entre 10 y 20 minutos.
  3. A continuación, estudiemos la fracción que espera hasta un cierto número de minutos:
    1. ¿Cuál es la fracción de clientes que esperan entre 0 y 5 minutos?
    2. ¿Cuál es la fracción de clientes que esperan entre 0 y 10 minutos?
    3. ¿Entre 0 y 15 minutos? ¿Entre 0 y 20?
  4. Sea \(F(b)\) la fracción de clientes que esperan entre \(0\) y \(b\) minutos. Encuentra una fórmula para \(F(b)\) que involucre una integral definida, y luego usa el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar una fórmula para \(F(b)\) que no involucre una integral definida.
  5. ¿Cuál es el valor del límite \(\lim_{b \to \infty} F(b)\text{?}\) ¿Cuál es su significado en el contexto del problema?

Subsection 6.5.1 Integrales Impropias que Involucran Intervalos Ilimitados

En vista de los ejemplos anteriores, vemos que podríamos querer integrar sobre un intervalo cuyo límite superior crece sin límite. Por ejemplo, para encontrar la fracción de bombillas que fallan eventualmente, deseamos encontrar
\begin{equation*} \lim_{b \to \infty} \int_0^b 0.3e^{-0.3t} \, dt\text{,} \end{equation*}
para lo cual también usaremos la notación
\begin{equation} \int_0^\infty 0.3e^{-0.3t} \, dt\text{.}\tag{6.5.1} \end{equation}
Tal integral puede interpretarse como el área de una región ilimitada, como se muestra a la derecha en Figura 6.5.1.
Figure 6.5.1. A la izquierda, el área delimitada por \(p(t) = 0.3e^{-0.3t}\) en el intervalo finito \([0,b]\text{;}\) a la derecha, el resultado de dejar que \(b \to \infty\text{.}\) Por “\(\cdots\)” en la figura de la derecha, queremos decir que la región se extiende hacia la derecha sin límite.
Llamamos a una integral cuyo intervalo de integración es ilimitado impropia. Por ejemplo, las integrales
\begin{equation*} \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx, \ \ \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1+x^2} \, dx, \ \ \text{y} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \end{equation*}
son todas impropias porque tienen límites de integración que involucran \(\infty\text{.}\) Para evaluar una integral impropia la reemplazamos con un límite de integrales propias. Es decir,
\begin{equation*} \int_0^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b f(x) \,dx\text{.} \end{equation*}
Primero intentamos evaluar \(\int_0^b f(x) \,dx\) usando el Primer TFC, y luego evaluamos el límite. ¿Es siquiera posible que el área de una región ilimitada sea finita? La siguiente actividad explora este tema y otros en más detalle.

Activity 6.5.2.

En esta actividad exploramos las integrales impropias \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx\) y \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.}\)
  1. Primero investigamos \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx\text{.}\)
    1. Usa el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para determinar los valores exactos de \(\int_1^{10} \frac{1}{x} \, dx\text{,}\) \(\int_1^{1000} \frac{1}{x} \, dx\text{,}\) y \(\int_1^{100000} \frac{1}{x} \, dx\text{.}\) Luego, usa tu dispositivo computacional para calcular una aproximación decimal de cada resultado.
    2. Usa el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida \(\int_1^{b} \frac{1}{x} \, dx\) (lo que resulta en una expresión que depende de \(b\)).
    3. Ahora, usa tu trabajo de (ii.) para evaluar el límite dado por
      \begin{equation*} \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} \frac{1}{x} \, dx\text{.} \end{equation*}
  2. A continuación, investigamos \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.}\)
    1. Usa el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para determinar los valores exactos de \(\int_1^{10} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{,}\) \(\int_1^{1000} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{,}\) y \(\int_1^{100000} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.}\) Luego, usa tu calculadora para calcular una aproximación decimal de cada resultado.
    2. Usa el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida \(\int_1^{b} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\) (lo que resulta en una expresión que depende de \(b\)).
    3. Ahora, usa tu trabajo de (ii.) para evaluar el límite dado por
      \begin{equation*} \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.} \end{equation*}
  3. Grafica las funciones \(y = \frac{1}{x}\) y \(y = \frac{1}{x^{3/2}}\) en los mismos ejes de coordenadas para los valores \(x = 0 \ldots 10\text{.}\) ¿Cómo compararías su comportamiento a medida que \(x\) aumenta sin límite? ¿Qué es similar? ¿Qué es diferente?
  4. ¿Cómo caracterizarías el valor de \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx\text{?}\) ¿y de \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{?}\) ¿Qué nos dice esto sobre las áreas respectivas delimitadas por estas dos curvas para \(x \ge 1\text{?}\)

Subsection 6.5.2 Convergencia y Divergencia

Actividad 6.5.2 sugiere que \(\lim_{b \to \infty} \int_1^b f(x) \, dx\) es finito o infinito (o no existe). Con estas posibilidades en mente, introducimos la siguiente terminología.
Si \(f(x)\) es no negativa para \(x \ge a\text{,}\) entonces decimos que la integral impropia \(\int_a^{\infty} f(x) \, dx\) converge siempre que
\begin{equation*} \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \end{equation*}
exista y sea finita. De lo contrario, decimos que \(\int_a^{\infty} f(x) \, dx\) diverge.
Restringiremos nuestro interés a integrales impropias para las cuales el integrando es no negativo. Además, requerimos que \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\text{,}\) porque si \(f\) no se aproxima a \(0\) cuando \(x \to \infty\text{,}\) entonces es imposible que \(\int_a^{\infty} f(x) \, dx\) converja.

Activity 6.5.3.

Determina si cada una de las siguientes integrales impropias converge o diverge. Para cada integral que converge, encuentra su valor exacto.
  1. \(\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\)
  2. \(\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x/4} \, dx\)
  3. \(\displaystyle \int_2^{\infty} \frac{9}{(x+5)^{2/3}} \, dx\)
  4. \(\displaystyle \int_4^{\infty} \frac{3}{(x+2)^{5/4}} \, dx\)
  5. \(\displaystyle \int_0^{\infty} x e^{-x/4} \, dx\)
  6. \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\text{,}\) donde \(p\) es un número real positivo

Subsection 6.5.3 Integrales Impropias con Integrandos No Acotados

Una integral también se llama impropia si el integrando no está acotado en el intervalo de integración. Por ejemplo, considera
\begin{equation*} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{.} \end{equation*}
Debido a que \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) tiene una asíntota vertical en \(x = 0\text{,}\) \(f\) no es continua en \([0,1]\text{,}\) y la integral representa el área de la región no acotada mostrada a la derecha en Figura 6.5.2.
Figure 6.5.2. A la izquierda, el área delimitada por \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) en el intervalo finito \([a,1]\text{;}\) a la derecha, el resultado de dejar que \(a \to 0^+\text{,}\) donde vemos que la región sombreada se extenderá verticalmente sin límite.
Abordamos el problema del integrando no acotado reemplazando la integral impropia con un límite de integrales propias. Por ejemplo, para evaluar \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{,}\) reemplazamos \(0\) con \(a\) y dejamos que \(a\) se acerque a 0 desde la derecha. Así,
\begin{equation*} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{.} \end{equation*}
Evaluamos la integral propia \(\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{,}\) y luego tomamos el límite. Diremos que la integral impropia converge si este límite existe, y diverge de lo contrario. En este ejemplo, observamos que
\begin{align*} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx &= \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\\ &= \lim_{a \to 0^+} \left. 2\sqrt{x}\, \right\vert_a^1\\ &= \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{1} - 2\sqrt{a}\\ &= 2\text{,} \end{align*}
así que la integral impropia \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\) converge (al valor 2).
Tenemos que ser particularmente cuidadosos con los integrandos no acotados, porque pueden surgir de maneras que inicialmente no son obvias. Considera, por ejemplo, la integral
\begin{equation*} \int_1^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\text{.} \end{equation*}
A primera vista podríamos pensar que simplemente podemos aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo antidiferenciando \(\frac{1}{(x-2)^2}\) para obtener \(-\frac{1}{x-2}\) y luego evaluando de \(1\) a \(3\text{.}\) Si hiciéramos eso, estaríamos aplicando erróneamente el TFC porque \(f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}\) no es continua en todo el intervalo, como se ve en Figura 6.5.3.
Figure 6.5.3. La función \(f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}\) en un intervalo que incluye \(x = 2\text{.}\)
Tal aplicación incorrecta del TFC lleva a un resultado imposible (\(-2\)), lo cual sugeriría que algo que hicimos debe estar mal. En su lugar, debemos abordar la asíntota vertical en \(x = 2\) escribiendo
\begin{equation*} \int_1^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx = \lim_{a \to 2^-} \int_1^a \frac{1}{(x-2)^2} \, dx + \lim_{b \to 2^+} \int_b^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\text{.} \end{equation*}
Luego evaluamos dos límites separados de integrales propias. Por ejemplo, haciendo esto para la integral con \(a\) acercándose a \(2\) desde la izquierda, encontramos
\begin{align*} \int_1^2 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx&= \lim_{a \to 2^-} \int_1^a \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\\ &= \lim_{a \to 2^-} -\frac{1}{(x-2)} \bigg\vert_1^a\\ &= \lim_{a \to 2^-} -\frac{1}{(a-2)} + \frac{1}{1-2}\\ &= \infin\text{,} \end{align*}
ya que \(\frac{1}{a-2} \to -\infin\) cuando \(a\) se acerca a 2 desde la izquierda. Así, la integral impropia \(\int_1^2 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\) diverge; un trabajo similar muestra que \(\int_2^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\) también diverge. A partir de cualquiera de estos dos resultados, podemos concluir que la integral original, \(\int_1^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\) también diverge.

Activity 6.5.4.

Para cada una de las siguientes integrales definidas, decide si la integral es impropia o no. Si la integral es propia, evalúala usando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo. Si la integral es impropia, determina si la integral converge o diverge; si la integral converge, encuentra su valor exacto.
  1. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^{1/3}} \, dx\)
  2. \(\displaystyle \int_0^2 e^{-x} \, dx\)
  3. \(\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx\)
  4. \(\displaystyle \int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} \, dx\)
  5. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \tan(x) \, dx\)
  6. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)

Subsection 6.5.4 Resumen

  • Una integral \(\int_a^b f(x) \, dx\) puede ser impropia si al menos uno de \(a\) o \(b\) es \(\pm \infin\text{,}\) haciendo el intervalo no acotado, o si \(f\) tiene una asíntota vertical en \(x = c\) para algún valor de \(c\) que satisface \(a \le c \le b\text{.}\) Una razón por la que las integrales impropias son importantes es que ciertas probabilidades pueden ser representadas por integrales que involucran límites infinitos.
  • Cuando encontramos una integral impropia, trabajamos para entenderla reemplazando la integral impropia con un límite de integrales propias. Por ejemplo, escribimos
    \begin{equation*} \int_a^\infin f(x) \, dx = \lim_{b \to \infin} \int_a^b f(x) \, dx\text{,} \end{equation*}
    y luego trabajamos para determinar si el límite existe y es finito. Para cualquier integral impropia, si el límite resultante de las integrales propias existe y es finito, decimos que la integral impropia converge. De lo contrario, la integral impropia diverge.
  • Una clase importante de integrales impropias está dada por
    \begin{equation*} \int_1^{\infin} \frac{1}{x^p} \, dx \end{equation*}
    donde \(p\) es un número real positivo. Podemos mostrar que esta integral impropia converge siempre que \(p \gt 1\text{,}\) y diverge siempre que \(0 \lt p \le 1\text{.}\) Una clase relacionada de integrales impropias es \(\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx\text{,}\) que converge para \(0 \lt p \lt 1\text{,}\) y diverge para \(p \ge 1\text{.}\)

Exercises 6.5.5 Exercises

1. An improper integral on a finite interval.

Consider the integral
\begin{equation*} \int_{0}^{\,3} {\frac{9}{x\sqrt{x}}}\, dx \end{equation*}
If the integral is divergent, type an upper-case "D". Otherwise, evaluate the integral.

2. An improper integral on an infinite interval.

Calculate the integral below, if it converges. If it does not converge, enter diverges for your answer.
\(\int_{2}^{\infty} 3x^{2}e^{-x^{3}} \,dx =\)

3. An improper integral involving a ratio of exponential functions.

Calculate the integral, if it converges. If it diverges, enter diverges for your answer.
\(\int_{-\infty}^{-2}\,{e^{2 x}\over 1 + e^{2 x}}\,dx =\)

4. A subtle improper integral.

Calculate the integral, if it converges. If it diverges, enter diverges for your answer.
\({\displaystyle\int_{-2}^{2}{1\over v}\,dv} =\)

5. An improper integral involving a ratio of trigonometric functions.

Find the area under the curve \(y = \tan(t)\) between \(t = 0\) and \(t = \pi/2\text{.}\) Enter diverges if the area is not bounded.
area =

6.

Determine, with justification, whether each of the following improper integrals converges or diverges.
  1. \(\displaystyle \int_e^{\infty} \frac{\ln(x)}{x} \, dx\)
  2. \(\displaystyle \int_e^{\infty} \frac{1}{x\ln(x)} \, dx\)
  3. \(\displaystyle \int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^2} \, dx\)
  4. \(\int_e^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^p} \, dx\text{,}\) where \(p\) is a positive real number
  5. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(x)}{x} \, dx\)
  6. \(\displaystyle \int_0^1 \ln(x) \, dx\)

7.

Sometimes we may encounter an improper integral for which we cannot easily evaluate the limit of the corresponding proper integrals. For instance, consider \(\int_1^{\infty} \frac{1}{1+x^3} \, dx\text{.}\) While it is hard (or perhaps impossible) to find an antiderivative for \(\frac{1}{1+x^3}\text{,}\) we can still determine whether or not the improper integral converges or diverges by comparison to a simpler one. Observe that for all \(x \gt 0\text{,}\) \(1 + x^3 \gt x^3\text{,}\) and therefore
\begin{equation*} \frac{1}{1+x^3} \lt \frac{1}{x^3}\text{.} \end{equation*}
It therefore follows that
\begin{equation*} \int_1^b \frac{1}{1+x^3} \, dx \lt \int_1^b \frac{1}{x^3} \, dx \end{equation*}
for every \(b \gt 1\text{.}\) If we let \(b \to \infty\) so as to consider the two improper integrals \(\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx\) and \(\int_1^\infty \frac{1}{x^3} \, dx\text{,}\) we know that the larger of the two improper integrals converges. And thus, since the smaller one lies below a convergent integral, it follows that the smaller one must converge, too. In particular, \(\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx\) must converge, even though we never explicitly evaluated the corresponding limit of proper integrals. We use this idea and similar ones in the exercises that follow.
  1. Explain why \(x^2 + x + 1 \gt x^2\) for all \(x \ge 1\text{,}\) and hence show that \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx\) converges by comparison to \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\text{.}\)
  2. Observe that for each \(x \gt 1\text{,}\) \(\ln(x) \lt x\text{.}\) Explain why
    \begin{equation*} \int_2^b \frac{1}{x} \, dx \lt \int_2^b \frac{1}{\ln(x)} \,dx \end{equation*}
    for each \(b \gt 2\text{.}\) Why must it be true that \(\int_2^\infty \frac{1}{\ln(x)} \, dx\) diverges?
  3. Explain why \(\sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \gt 1\) for all \(x \gt 1\text{.}\) Then, determine whether or not the improper integral
    \begin{equation*} \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx \end{equation*}
    converges or diverges.
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